证明题

中考数学证明题精选之老阳三干创作

1.如图，两相交圆的公共弦AB为32，在⊙O1中为内接正三角形的一边，在⊙O2中

为内接正六边形的一边，求这两圆的面积之比。

2.已知扇形的圆心角为1500，弧长为20，求扇形的面积。

3.如图，已知PA、PB切⊙O于A、B两点，PO＝4cm，∠APB

＝600，求阴影部分的周长。

4.如图，已知直角扇形AOB，半径OA＝2cm，以OB为直径在扇形内

作半圆M，过M引MP∥AO交

AB于P，求

AB与半圆弧及MP围成的阴

影部分面积

阴

S。

5.如图，⊙O内切于△ABC，切点分别为D、E、F，若∠C＝900，AD＝

4，BD＝6，求图中阴影部分的面积。

6.如图，在Rt△ABC中，∠C＝900，O点在AB上，半圆O切AC于D，切BC于E，

AO＝15cm，BO＝20cm，求

DE的长。

7.如图，有一个直径是1米圆形铁皮，要从中剪出一个最大的

圆心角为900的扇形ABC，求：

（1）被剪掉（阴影）部分的面积；

（2）用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面半径

是多少？

8.如图，⊙O与⊙O

外切于M，AB、CD是它们的外公切线，A、B、C、D为切点，

EO

⊥OA于E，且∠AOC＝1200。

（1）求证：⊙O

的周长等于

AMC的弧长；

（2）若⊙O

的半径为1cm，求图中阴影部分的面积。

9.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°,且AB=1，BC=2，tan∠ADC=2.

(1)求证：DC=BC;

(2)E是梯形内一点，F是梯形外一点，且∠EDC=∠FBC，DE=BF，试判断△ECF的

2

O

1

O•

•

例1图

B

A

例4图

2

1

O

Q

M

P

B

A

•

第3题图

A

B

O

C

形状，并证明你的结论；

(3)在（2）的条件下，当BE：CE=1：2，∠

BEC=135°时，求sin∠BFE的值.

10.已知：如图，在□ABCD中，E、F分别为边AB、

CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于

G．

（1）求证：△ADE≌△CBF；

（2）若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结

论．

11.如图13－1，一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别

重合在一起．现正方形ABCD坚持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也

是BD中点）按顺时针方向旋转．

（1）如图13－2，当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察

或丈量BM，FN的长度，猜测BM，FN满足的数量关系，并证明你的猜测；

（2）若三角尺GEF旋转到如图13－3所示的位置时，线段FE的延长线与AB的

延长线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，

（1）中的猜测还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

12.如图，已知⊙O的直径AB垂直于弦CD于E，连结AD、BD、OC、OD，且OD＝5。

（1）若sin∠BAD

3

5

，求CD的长；

（2）若∠ADO：∠EDO＝4：1，求扇形OAC（阴影部分）的面积（结果保存）。

13.如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B

点的切线相交于点D，E为CH中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交直线

AB于点G.

（1）求证：点F是BD中点；

（2）求证：CG是⊙O的切线；

（3）若FB=FE=2，求⊙O的半径．

14.如图，已知O为原点，点A的坐标为（4，3），

⊙A的半径为2．过A作直线l平行于x轴，点P在直线l上运动．

（１）当点P在⊙O上时，请你直接写出它的坐标；

E

B

F

C

D

A

图13－2

E

A

B

D

G

F

O

M

N

C

图13－3

A

B

D

G

E

F

O

M

N

C

图13－1

A(G)

B(E)

C

O

D(F)

（２）设点P的横坐标为12，试判断直线OP与⊙A的位置关系，并说明理由.

15.如图，延长⊙O的半径OA到B，使OA=AB，

DE是圆的一条切线，E是切点，过点B作DE的垂线，

垂足为点C.

求证：∠ACB=

3

1

∠OAC.

16.如图１，一架长4米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上，梯子与地面

的倾斜角α为60．

⑴求AO与BO的长；

⑵若梯子顶端A沿NO下滑，同时底端B沿OM向右滑行.

①如图2，设A点下滑到C点，B点向右滑行到D点，而且AC:BD=2:3，试计算

梯子顶端A沿NO下滑多少米；

②如图３，当A点下滑到A’点，B点向右滑行到B’点时，梯子AB的中点P也

随之运动到P’点．若∠POP’＝15，试求AA’的长．

17．如图⊙O的直径DF与弦AB交于点E，C为⊙O外一点，CB⊥AB，G•是直线CD

上一点，∠ADG=∠ABD，求证：AD·CE=DE·DF．

说明：（1）如果你经过反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过

程中的某种思路推导过程写出来（要求至少写3步）．（2）在你经过说明（1）的

过程之后，•可以从下列①、②、③中选取一个弥补或更换已知条件，完成你的证

明．

①∠CDB=∠CEB；②AD∥EC；③∠DEC=∠ADF，且∠CDE=90°．

C

O

B

A

E

D

G

F

C

A

B

D

O

E

18．已知，如图，在半径为4的⊙O中，AB、CD是两条直

径，M为OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E，且

EM>MC，连结DE，DE=15．

（1）求EM的长；（2）求sin∠EOB的值．

19．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，

•D•是AB延长线上一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，且

AC平分∠EAB．

（1）求证：DE是⊙O切线；

（2）若AB=6，AE=

24

5

，求BD和BC的长．

20．如图：⊙O1与⊙O2外切于点P，O1O2的延长线交⊙O2于点A，AB切⊙O1于点B，

交⊙O2于点C，BE是⊙O1的直径，过点B作BF⊥O1P，垂足为F，延长BF交PE于点

G．

（1）求证：PB2=PG·PE；（2）若PF=

3

2

，tan∠A=

3

4

，求：O1O2的长．

21．如图，P是⊙O外一点，割线PA、PB分别与⊙O相交于A、C、B、D四点，

PT•切⊙O于点T，点E、F分别在PB、PA上，且PE=PT，∠PFE=∠ABP．

（1）求证：PD·PF=PC·PE；

（2）若PD=4，PC=5，AF=

21

20

，求PT的长．

（1）求tan∠DCE的值；（2）求AB的长．

M

C

O

B

A

E

D

C

O

B

A

E

D

T

C

O

B

A

E

D

P

F

C

O

B

A

E

D

23．如图，已知矩形ABCD，以A为圆心，AD为半径的圆交AC、AB于M、E，CE•的

延长线交⊙A于F，CM=2，AB=4．

（1）求⊙A的半径；（2）求CE的长和△AFC的面积．

24．如图，正方形ABCD是⊙O的内接正方形，延长BA到E，使

AE=AB，连结ED．

（1）求证：直线ED是⊙O的切线；

（2）连结EO交AD于点F，求证：EF=2FO．

25.如图8．PA和PB分别与⊙O相切于A，B两点，作直径AC，

并延长交PB于点D．连结OP，CB．（1）求证：OP∥CB；（2）若PA＝12，

DB：DC＝2：1，求⊙O的半径．

26.如图9．在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，O为BC的中

点。（1）写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C（2）如果点

M、N分别在线段AB、AC上移动，移动中坚持AN＝BM，请判断

△OMN的形状，并证明你的结论。

27.如图9，已知△ABC内接于⊙O，直线DE与⊙O相切于点A．BD∥CA．求证：

AB·DA＝BC·BD．

28.刘卫同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图①、②．图

①中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6cm；图②中，∠D=90°，∠E=45°，DE=4

cm．图③是刘卫同学所做的一个实验：他将△DEF的直角边DE与△ABC的斜边

AC重合在一起，并将△DEF沿AC方向移动．在移动过程中，D、E两点始终在

AC边上(移动开始时点D与点A重合)．

(1)在△DEF沿AC方向移动的过程中，刘卫同学发现：F、C两点间的距离逐渐

▲．

(填“不变”、“变大”或“变小”)

(2)刘卫同学经过进一步地研究，编制了如下问题：

M

C

B

A

E

D

O

F

问题①：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，F、C的连线与AB平

行?

问题②：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，以线段AD、FC、BC

的长度为三边长的三角形是直角三角形?

问题③：在△DEF的移动过程中，是否存在某个位置，使得∠FCD=15°?如果存

在，

求出AD的长度；如果不存在，请说明理由．

请你分别完成上述三个问题的解答过程．

29.如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），

点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线y＝－

1

2

x＋b

交折线OAB于点E．

（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；

（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形

OA1B1C1，试探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变更，若不

变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.

30.已知：如图13，在□ABCD中，AE是BC边上的高，将△ABE沿BC方向平移，使

点E与点C重合，得△GFC.

⑴求证：BEDG；

⑵若∠B60，当AB与BC满足什么数量关系时，四边形ABFG是菱形？证明

你的结论.

C

D

B

A

EO

x

y

A

D

G

A

M

N

F

31.如图14，以BC为直径的⊙O交△CFB的边CF于点A，BM平分∠ABC交AC于点

M，

AD⊥BC于点D，AD交BM于点N，ME⊥BC于点E，AB2＝AF·AC，cos∠ABD＝

5

3，AD

＝12．

⑴求证：△ANM≌△ENM；

⑵试探究：直线FB与⊙O相切吗？请说明理由.

⑶证明四边形AMEN是菱形，并求该菱形的面积S.

32.如图，已知正方形OABC在直角坐标系xoy中，点A、C分别在x、y轴的正半轴

上，点O为坐标原点，等腰直角三角板OEF的直角顶点O在坐标原点，E、F分

别在OA、OC上，且OA＝4，OE＝2，将三角板OEF绕O点逆时针旋转至OE1F1，

的位置，连接AE1、CF1．

（1）求证：△AOE1≌△OCF1；

（2）将三角板OEF绕O点逆时针旋转一周，是否存在某一位置，使得OE∥CF，若

存在，请求出此时E点的坐标，若不存在，请说明理由．

2011年中考冲刺班数学证明题集锦答案

1.解：设正三角形外接圆⊙O1的半径为

3

R，正六边形外接圆⊙O2的半径为

6

R，

由题意得：ABR

3

3

3

，ABR

6

，∴

3

R∶

6

R＝3∶3；∴⊙O1的面积∶⊙O2的面积＝

1∶3。

2.解：设扇形的半径为R，则

180

Rn

l



＝，n＝1500，20l

∴

180

150

20

R

＝，24R

∴2402420

2

1

2

1

lRS＝

扇形

。

3.解：连结OA、OB

∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点

∴PA＝PB，∠PAO＝∠PBO＝Rt∠

∠APO＝

2

1

∠APB＝300

在Rt△PAO中，AP＝32

2

3

430cos0PO

OA＝

2

1

PO＝2，∴PB＝32

∵∠APO＝300，∠PAO＝∠PBO＝Rt∠

∴∠AOB＝300，∴



3

4

180

2120







AB

l

∴阴影部分的周长＝PA＋PB＋

AB＝

3

4

3232＝)

3

4

34(cm

答：阴影部分的周长为)

3

4

34(cm。

4.解：连结OP

∵AO⊥OB，MP∥OA，∴MP∥OB

又OM＝BM＝1，OP＝OA＝2

∴∠1＝600，∠2＝300

∴PM＝3

2

3

OP

而

3

1

360

30

2RS

POA扇

，

2

3

2

1





PMOMS

PMO

设PM交半圆M于Q，则直角扇形BMQ的面积为

4

1

4

1

2rS

BMQ扇

∴)(

POA

PMO

BMQAOB

SSSSS

扇扇扇

阴

－



＝



















3

1

2

3

4

1

4

1

2R＝

2

3

12

5



5.4；

6.6；

7.（1）

8

1

平方米，（2）

8

2

米；

8.（1）证明：由已知得∠AOO

＝600，ABO

O为直角梯形，设⊙O与⊙O

的半径

分别为R、r，则cos600＝

rR

rR





，即rR3，∴⊙O

的周长为r2，而

AMC＝

180

120R

＝

r2，∴⊙O

的周长等于

AMC的弧长。（2）)

6

11

34(

阴影

Scm2。

9.[解析]（1）过A作DC的垂线AM交DC于M,

则AM=BC=2.

又tan∠ADC=2,所以

2

1

2

DM.即DC=BC.

(2)等腰三角形.

证明：因为,,DEDFEDCFBCDCBC.

所以，△DEC≌△BFC

所以，,CECFECDBCF.

所以，90ECFBCFBCEECDBCEBCD

即△ECF是等腰直角三角形.

（3）设BEk,则2CECFk，所以22EFk.

因为135BEC，又45CEF，所以90BEF.

所以22(22)3BFkkk

所以

1

sin

33

k

BFE

k

.

10.[解析]（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠1＝∠C，AD＝CB，AB＝CD．

∵点E、F分别是AB、CD的中点，

∴AE＝

2

1

AB，CF＝

2

1

CD．

∴AE＝CF

∴△ADE≌△CBF．

（2）当四边形BEDF是菱形时，

四边形AGBD是矩形．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC．

∵AG∥BD，

∴四边形AGBD是平行四边形．

∵四边形BEDF是菱形，

∴DE＝BE．

∵AE＝BE，

∴AE＝BE＝DE．

∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．

∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，

∴2∠2＋2∠3＝180°．

∴∠2＋∠3＝90°．

即∠ADB＝90°．

∴四边形AGBD是矩形

11.（1）BM=FN．

证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，

∴∠ABD=∠F=45°，OB=OF．

又∵∠BOM=∠FON，∴△OBM≌△OFN．

∴BM=FN．

（2）BM=FN仍然成立．

（3）证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，

∴∠DBA=∠GFE=45°，OB=OF．

∴∠MBO=∠NFO=135°．

又∵∠MOB=∠NOF，∴△OBM≌△OFN．

∴BM=FN．

12.（1）因为AB是⊙O的直径，OD＝5

所以∠ADB＝90°，AB＝10

在Rt△ABD中，sin∠BAD

BD

AB



又sin∠BAD

3

5

，所以

BD

10

3

5

，所以BD6

因为∠ADB＝90°，AB⊥CD

所以DEABADBDCEDE··，

所以DE1086

所以DE

24

5

所以CDDE2

48

5

（2）因为AB是⊙O的直径，AB⊥CD

所以CBBDACAD

⌒⌒⌒⌒

，

所以∠BAD＝∠CDB，∠AOC＝∠AOD

因为AO＝DO，所以∠BAD＝∠ADO

所以∠CDB＝∠ADO

设∠ADO＝4x，则∠CDB＝4x

由∠ADO：∠EDO＝4：1，则∠EDO＝x

因为∠ADO＋∠EDO＋∠EDB＝90°

所以

4490xxx

所以x＝10°

所以∠AOD＝180°－（∠OAD＋∠ADO）＝100°

所以∠AOC＝∠AOD＝100°

13.(1)证明：∵CH⊥AB，DB⊥AB，∴△AEH∽AFB，△ACE∽△ADF

∴

FD

CE

AF

AE

BF

EH

，∵HE＝EC，∴BF＝FD

(2)方法一：连接CB、OC，

∵AB是直径，∴∠ACB＝90°∵F是BD中点，

∴∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO

∴∠OCF=90°,∴CG是⊙O的切线---------6′

方法二：可证明△OCF≌△OBF(参照方法一尺度得分)

(3)解：由FC=FB=FE得：∠FCE=∠FEC

可证得：FA＝FG，且AB＝BG

由切割线定理得：（2＋FG）2＝BG×AG=2BG2○

1

在Rt△BGF中，由勾股定理得：BG2＝FG2－BF2○

2

由○

1

、○

2

得：FG2-4FG-12=0

解之得：FG1＝6，FG2＝－2（舍去）

∴AB＝BG＝24

∴⊙O半径为22

14.解:⑴点P的坐标是（2,3）或（6,3）

⑵作AC⊥OP,C为垂足.

∵∠ACP=∠OBP=90,∠1=∠1

∴△ACP∽△OBP

∴

ACAP

OBOP



在OBPRt中,22153OPOBBP,又AP=12-4=8,∴

8

3

153

AC



∴AC=24153≈1.94

∵1.94<2

∴OP与⊙A相交.

15.证明：连结OE、AE，并过点A作AF⊥DE于点F，（3分）

∵DE是圆的一条切线，E是切点，

∴OE⊥DC，

又∵BC⊥DE,

∴OE∥AF∥BC.

∴∠1=∠ACB，∠2=∠3.

∵OA=OE，

∴∠4=∠3.

∴∠4=∠2.

又∵点A是OB的中点，

∴点F是EC的中点.

∴AE=AC.

∴∠1=∠2.

∴∠4=∠2=∠1.

即∠ACB=

3

1

∠OAC.

16.

1

2

2

OBAB米.

3

sin60423

2

OAAB米.--------------(3分)

⑵设2,3,ACxBDx在CODRt中,

根据勾股定理:222OCODCD

∴2

2

2232234xx-------------(5分)

∴21312830xx

∵0x∴0381213x

∴

8312

13

x



-------------(7分)

AC=2x=

16324

13



即梯子顶端A沿NO下滑了

16324

13



米.----(8分)

⑶∵点P和点

P

分别是AOBRt的斜边AB与''OBARt的斜边''BA的中点

∴POPA，OPAP'''-------------(9分)

∴,PAOAOPPAOAOP



-------(10分)

∴PAOPAOAOPAOP





∴15PAOPAOPOP





∵30PAO

∴45PAO



-----------------------(11分)

∴

2

cos45422

2

AOAB



-----(12分)

∴(2322)AAOAAO



米.--------(13分)

17．证明：连结AF，则∠ABD=∠F．

∵∠ADG=∠ABD，∴∠ADG=∠F．

∵DF为⊙O的直径，∴∠DAF=90°，

∴∠ADF+∠F=90°，∴∠ADG+∠ADF=∠FDG=90°，

∴∠DAF=∠CDE=90°，∵CB⊥AB，

∴∠ADG+∠ADF=∠FDG=90°，

∴∠DAF=∠CDE=90°，∵CB⊥AB，

∴∠CBE=90°．取EC中点M，连结DM、BM，则DM=BM=CM=EM，

即D、E、B、C在以EC为直径的圆上，

∴∠ABD=∠DCE，∴∠DCE=∠F，

∴△DAF∽△EDC，∴

ADDF

DECE

，

∴AD·CE=DE·DF，以下略；

18．（1）DC为⊙O的直径，DE⊥EC，

EC=22DCDE=7．

设EM=x，由于M为OB的中点，

∴BM=2，AM=6，∴AM·MB=x·（7-x），即6×2=x（7-x），

解得x1=3，x2=4，∵EM>MC，∴EM=4．

（2）∵OE=EM=4，∴△OEM为等腰三角形，过E作EF⊥OM，垂足为F，

则OF=1，∴EF=22OEOF=15．

∴sin∠EOB=

15

4

．

19．（1）连结CO，则AO=BO=CO，

∴∠CAO=∠ACO，又∵∠EAC=∠CAO，

∠ACO=∠EAC，∴AE∥OC，

∴DE是⊙O的切线．

（2）∵AB=6，∴AO=BO=CO=3．

由（1）知，AE∥OC，

∴△DCO∽△DEA，

CODO

EADA

=

BDBO

BDAB





．

又∵AE=

24

5

，∴

33

24

6

5

BD

BD







，

解得BD=2．

∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．

又∵∠EAC=∠CAB，∴Rt△EAC∽Rt△CAB，

∴

AEAC

ACAB

，即AC2=AB·AE=6×

24

5

=

114

5

．

在Rt△ABC中，

由勾股定理，得BC2=AB2-AC2=36-

114

5

=

36

5

．

∵BC>0，BC=

36

5

=

6

5

5

．

20．（1）∵BE是⊙O1的直径，∴∠BPE=90°．

∵BF⊥O1P，∴∠BPF+∠FBP=90°．

∵∠GPE+∠BPF=90°，∴∠GPF=∠BPF．

∵O1E=O1P，

∴∠E=∠GPF=∠PBF，又∠BPG=∠EPB=90°，

∴△GPB∽△BPE，∴PB2=PE·PG．

（2）∵AB是⊙O1的切线，∴O1B⊥AB，

∴△O1BF∽△O1AB，∴∠O1BF=∠A．

∵tan∠A=

3

4

，∴tan∠O1BF=

3

4

．

设O1F=3m，则BF=4m．

由勾股定理得：O1B=5m=O1P，∴PF=5m-3m=2m．

又∵PF=

3

2

，∴m=

3

4

，∴O1B=O1P，∴BF=

3

4

×4=3．

由tan∠A=

BF

AF

，∴AF=

3

3

4

=4，∴AP=4-

3

2

=

5

2

，

∴PO2=

5

4

，∴O1O2=

5

4

+

3

2

+

9

4

=

20

4

=5．

21．（1）连CD，因A、B、D、C四点共圆，

∴∠DCP=∠ABP，而∠PFE=∠ABP，

∴∠DCP=∠PFE，CD∥EF，∴

PDPC

PEPF

，即PD·PF=PC·PE．

（2）设PT长为x，∴PE=PT，由（1）结论得PF=

5

4

x，

由PT2=PC·PA得x2=5（

5

4

x+

21

20

），解之得x1=7，x2=-

3

4

，∴PT=7．

22．（1）由已知得EC2=ED（ED+

5

2

），解之得ED=2或ED=-

9

2

（舍去）．

∵BC为直径，∴CD⊥BE，由勾股定理得CD=5，∴tan∠DCE=

2

5

5

DE

CD

．

（2）连AC交BD于F，由（1）得，AD=DC=5，BC=

3

2

5．

可证△ADF∽△BCF，∴

DFAD

CFBC

=

2

3

．

设DF=2x，则CF=3x．由CF-DF=CD，得9x-4x=5，x=1，∴DF=2，CF=3，∴

BF=

1

2

．

由相交弦定理得AF=

1

3

DFBF

CF

，∴AB=22BFAF=

1

5

6

．

23．（1）由勾股定理，列方程可求AD=3．

（2）过A作AG⊥EF于G，由勾股定理得CE=10，

由切割线定理得CF=

8

5

10，由△BCE∽△GAE，•得AG=

9

10

10．S△AFC=

36

5

．

24．证明：（1）连结OD易得∠EDA=45°，∠ODA=45°，

∴∠ODE=∠ADE+∠ODA=90°，•∴直线ED是⊙O的切线

（2）作OM⊥AB于M，∴M为AB中点，

∴AE=AB=2AM，AF∥OM，∴

EFAE

FOAM

=2，∴EF=2FO.

25.

26.

27.证明：∵DE与⊙O相切，

∴∠C＝∠1，

∵BD∥CA，

∴∠2＝∠3……6分

∴△ABC∽△BDA．……9分

∴

DA

BC

BD

AB

．……12分

∴AB·DA＝BC·BD．

28.【答案】

29.（1）由题意得B（3，1）．

若直线经过点A（3，0）时，则b＝

3

2

若直线经过点B（3，1）时，则b＝

5

2

若直线经过点C（0，1）时，则b＝1

①若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b≤

3

2

，如图25-a，

C

A

D

E

O

·

1

2

3

B

此时E（2b，0）

∴S＝

1

2

OE·CO＝

1

2

×2b×1＝b

②若直线与折线OAB的交点在BA上时，即

3

2

＜b＜

5

2

，如图2

此时E（3，

3

2

b），D（2b－2，1）

∴S＝S矩－(S△OCD

＋S△OAE

＋S△DBE

)

＝3－[

1

2

(2b－1)×1＋

1

2

×(5－2b)·(

5

2

b)＋

1

2

×3(

3

2

b)]＝2

5

2

bb

∴

2

3

1

2

535

222

bb

S

bbb





















（2）如图3，设O1A1与CB相交于点M，OA与C1B1相交于点N，则矩形OA1B1C1与

矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积。

由题意知，DM∥NE，DN∥ME，∴四边形DNEM为平行四边形

根据轴对称知，∠MED＝∠NED

又∠MDE＝∠NED，∴∠MED＝∠MDE，∴MD＝ME，∴平行四边形DNEM为菱形．

图3

H

N

M

C

1

A

1

B

1

O

1

D

E

x

y

C

B

A

O

D

E

x

y

CB

A

O

图2

图1

D

E

x

y

CB

A

O

过点D作DH⊥OA，垂足为H，

由题易知，tan∠DEN＝

1

2

，DH＝1，∴HE＝2，

设菱形DNEM的边长为a，

则在Rt△DHM中，由勾股定理知：222(2)1aa，∴

5

4

a

∴S四边形DNEM

＝NE·DH＝

5

4

∴矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变更，面积始终为

5

4

．

30.证明：⑴∵四边形ABCD是平行四边形，∴ABCD.

∵AE是BC边上的高，且CG是由AE沿BC方向平移而成.

∴CG⊥AD.∴∠AEB∠CGD90.

∵AECG，∴Rt△ABE≌Rt△CDG.

∴BEDG.····················3分

⑵当BC

2

3AB时，四边形ABFC是菱形.

∵AB∥GF，AG∥BF，∴四边形ABFG是平行四边形.

∵Rt△ABE中，∠B60，∴∠BAE30，∴BE

2

1AB.

∵BECF，BC

2

3AB，∴EF

2

1AB.

∴ABBF.∴四边形ABFG是菱形

31.证明：⑴∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°

又∵ME⊥BC，BM平分∠ABC，∴AM＝ME，∠AMN＝∠EMN

又∵MN＝MN，∴△△ANM≌△ENM··········3分

⑵∵AB2＝AF·AC，∴

AC

AB

＝

AB

AF

又∵∠BAC＝∠FAB＝90°，∴△ABF∽△ACB

∴∠ABF＝∠C，∴∠FBC＝∠ABC＋∠ABF＝∠ABC＋∠C＝90°

∴FB是⊙O的切线················6分

⑶由⑴得AN＝EN，AM＝EM，∠AMN＝EMN

又∵AN∥ME，∴∠ANM＝∠EMN

∴∠AMN＝∠ANM，∴AN＝AM

∴AM＝ME＝EN＝AN

∴四边形AMEN是菱

形……………………………………………………………………7分

∵cos∠ABD＝

5

3，∠ADB＝90°，∴

AB

BD

＝

5

3

设BD＝3x，则AB＝5x，由勾股定理，得

AD＝2235)()(xx－＝4x，而AD＝12，∴x＝3

∴BD＝9，AB＝15·················8分

∵MB平分∠AME，∴BE＝AB＝15，∴DE＝BE－BD＝6

∵ND∥ME，∴∠BND＝∠BME

又∵∠NBD＝∠MBE，∴△BND∽△BME，∴

ME

ND

＝

BE

BD…………………………10分

设ME＝x，则ND＝12－x

∴

x

x－12

＝

15

9，解得x

2

15……………………………………………………………

11分

∴S＝ME·DE＝

2

15

×6＝

45………………………………………………………………12分

32.（1）证明：∵四边形OABC为正方形，∴OC＝OA，∵三角板OEF是等腰直角

三角形，∴OE1

＝OF1，又三角板OEF绕O点逆时针旋转至OE1F1的位置时，∠AOE1＝

∠COF1，∴△OAE1≌△OCF1；

（2）存在，∵OE⊥OF，过点F与OE平行的直线有且只有一条，而且与OF垂直，

又当三角板OEF绕O点逆时针旋转一周时，则点F与OF垂直的直线必是⊙O的切

线，又点C为⊙O外一点，过点C与⊙O相切的直线只有2条，无妨设为CF1和

CF2，此时，E点分别在E1和E2点，满足CF1∥OE1，CF2∥OE2，点切点F1在第二象限

时，点E1在第一象限，在Rt△CF2O中，OC＝4，OF1＝2，cos∠COF1＝1

OF

1

=

OC2

，∴∠

COF1＝60°，∴∠AOE1＝60°，∴点E1的横坐标为2cos60°＝1，点E1的纵坐标为

2sin60°＝3，∴E1的坐标为（1，3），当切点F2在第一象限时，点E2在第四象

限，同理可求E2（1，－3），∴三角板OEF绕O点逆时针旋转一周，存在两个位

置，使得OE∥CF，此时点E的坐标分别为E1（1，3或者E2（1，－3）．