七年级数学教案

七上数学教案

第一章有理数

教学目标

1．知识与技能

①通过生活实例，了解学习有理数的必要性．

②理解并掌握数轴、相反数、绝对值、有理数等有关概念．

③通过本章的学习，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单

的混合运算．

2．过程与方法

通过本章的学习，培养学生应用数学知识解决实际问题的能力．

3．情感、态度与价值观

结合生活实例引入新课，通过师生共同参与的教学活动，激励学

生学习数学的兴趣，让学生真正体验到数学知识来源于生活并服务于

生活．

教学重点、难点

重点：有理数的运算.这一章的主要学习目标都可以归结到有理

数的运算上，比如有理数的有关概念---数轴、相反数、绝对值,运算

法则,运算律,近似数等内容的学习，直接目标都是落实到有理数的运

算上．

难点：负数概念的建立，绝对值意义,有理数法则的理解.

课时分配

内容课时

1．1正数和负数1

1．2有理数4

1．3有理数的加减法5

1．4有理数的乘除法4

1．5有理数的乘方4

单元复习与验收2

教学建议

教师在教学过程中注意从实际问题（即联系实际生活的典型例子）

引入，让学生参与数学活动，在教师的引导和学生大胆尝试的过程中，

使学生自觉地发现问题，分析问题和解决问题，从而使学生自得知识，

自觅规律．

1．在进行有理数的有关概念的教学时：

（1）注意从实际问题引入，使学生知道数学知识来源于生活．•

如：从温度与海拔高度引入负数，从而得出有理数的概念；借助温度

引出数轴，建立数（有理数）与形（数轴上的点）之间的联系．

（2）注意借助数轴的直观性讲述相反数、绝对值，体会用字母

表示数的优越性，体现代数的特点,•使学生对概念的认识能更深一步，

并为今后学习整式、方程打下基础．

2．讲解有理数运算时，有理数加法及乘法法则的导出借助数轴

会更直观更形象更易于学生理解，法则要着重强调符号的确定,在此

基础上注意绝对值的运算，提高学生计算准确率．

1．1正数和负数

教学目标

1．知识与技能

①了解正数与负数的引入是实际生活的需要．

②会判断一个数是正数还是负数．

③会用正负数表示互为相反意义的量．

2．过程与方法

通过正负数的学习，培养学生应用数学知识的意识,训练学生运

用新知识解决实际问题的能力．

3．情感、态度与价值观

通过师生共同的教学活动，激发学生学习数学的兴趣，让学生体

验到数学知识来源于生活并为生活服务．

教学重点难点

重点：会判断一个数是正数还是负数，会运用正负数表示具有相

反意义的量，理解0•的含义．

难点：负数的引入和理解．

教与学互动设计

（一）创设情境，导入新课

课件展示珠穆朗玛峰和吐鲁番盆地，由同学感受高于水平面和

低于水平面的不同情况．

（二）合作交流，解读探究

1．举出一些生活中常遇到的具有相反意义的量，如温度是零上

7℃和零下5℃，买进90张课桌与卖出80张课桌，汽车向东50米和

向西120米等．

想一想以上都是一些具有相反意义的量，你能用小学算术中的

数来表示出每一对量吗？你能再举一些日常生活中具有相反意义的

量吗？该如何表示它们呢？

2．为了用数表示具有相反意义的量，我们把其中一种意义的量，

如零上温度，前进、收入、上升、高出等规定为正的，而把与它相反

的量，如零下温度、后退、支出、下降、低于等规定为负的，正的量

用算述里学过的数表示，负的量用学过的数前面加上“－”（读作负）

号来表示（零除外）．

活动每组同学之间相互合作交流，一位同学任意说出具有相反

意义的两个量，由其他同学用正负数表示．

讨论什么样的数是负数？什么样的数是正数？0是正数还是负

数？•

【总结】正数是大于0的数，负数是在正数前面加“－”号的数，

0既不是正数，也不是负数，是正数与负数的分界．

（三）应用迁移，巩固提高

例1举出几对具有相反意义的量，并分别用正、负数表示．

【提示】具有相反意义的量有“上升”与“下降”，“前”与“后”、

“高于”与“低于”、“得到”与“失去”、“收入”与“支出”等．

【点评】这是一道开放性试题，旨在考查学生用正负数表示具

有相反意义量的能力．

例2在某次乒乓球检测中，一只乒乓球超过标准质量0.02克

记作＋0.02克，•那么－0.03克表示什么？

【答案】表示比标准质量低0.03克．

例32001年美国的商品进出口总额比上年减少6.4%可记为

-6.4%，中国增长7.5%可记为＋7.5%．

备选例题

（2004·山东淄博）某项科学研究以45分钟为1个时间单位，•

并记为每天上午10时为0，10时以前记为负，10时以后记为正．例

如，9:15记为-1，10:45记为1等等．依此类推，上升7:45应记为（）

A.3B.-3C.-2.5D.-7.45

【点拨】读懂题意是解决本题的关键．7:45与10相差135分

钟．

【答案】B

（四）总结反思，拓展升华

为了表示现实生活中具有相反意义的量引进了负数．正数就是我

们过去学过（除零外）的数，在正数前加上“－”号就是负数，不能

说“有正号的数是正数，有负号的数是负数”．另外，0既不是正数

也不是负数．

1．填空-1，2，-3，4，-5，6，-7，-8…第81个数是–

81，第2005个数是–2005．

【提示】通过观察可见，数字绝对值的排列是按由小到大的顺序，

符号是负正相间，第奇数个数为负，第偶数个数为正．

【点评】本题属于找规律问题,从绝对值和符号两方面考虑．

2．表1-1-1是小张同学一周中简记储蓄罐中钱的进出情况表（存

入记为“＋”）：

表1-1-1

星期日一二三四五六

（元）＋16+5.0-1.2-2.1-0.9+10-2.6

（1）本周小张一共用掉了多少钱？存进了多少钱？

【答案】6.8元，31元．

（2）储蓄罐中的钱与原来多了还是少了？

【答案】多了．

（3）如果不用正、负数的方法记账，你还可以怎样记账？比较

各种记账的优劣．

【答案】用文字说明，但前者更简洁．

3．数学游戏：4个同学站成一排，从左到右每个人编上号：1，

2，3，4．用“＋”表示“站”，“－”（负号）表示“蹲”．

（1）由一个同学大声喊：+1，-2，-3，+4，则第1、第4个同

学站，第2、第3个同学蹲，并保持这个姿势，然后再大声喊：-1，

-2，+3，+4，如果第2、第4个同学中有改变姿势的，则表示输了，

作小小的“惩罚”；

（2）增加游戏难度，把4个同学顺序调整一下，但每个人记作

自己原来的编号，再重复1．的游戏；

（3）这不仅仅是游戏哟！在电脑中，•所有“命令”或“数据”

都是用有理数（特别是二进制数）表示的．例如，没有特别的“翻译”

程序，电脑就不明白你给屏幕上的卡通人下的是“站”还是“蹲”的

命令，这时，就可输入正负数以区别不同的姿势．

（五）课堂跟踪反馈

夯实基础

1．填空题

（1）如果节约用水30吨记为+30吨，那么浪费20吨记为－

20吨．

（2）如果4年后记作＋4，那么8年前记作-8．

（3）如果运出货物7吨记作－7吨，那么＋100吨表示运进货

物100吨．

（4）一年内，小亮体重增加了3kg，记作＋3，小阳体重减少了

2kg，则小阳增长了2kg．

2．中午12时，水位低于标准水位0.5米，记作－0.5米，下午

1时，•水位上涨了1米，下午5时，水位又上涨了0.5米．

（1）用正数或负数记录下午1时和下午5时的水位；

（2）下午5时的水位比中午12时水位高多少？

【答案】（1）下午1时，水位0.5米；下午5时，水位－1

米（2）0.5+1=1.5（米）

提升能力

3．粮食每袋标准重量是50公斤，现测得甲、乙、丙三袋粮食重

量如下：52公斤，49公斤，49.8公斤．如果超重部分用正数表示，

请用正数和负数记录甲、乙、丙三袋粮食的超重数和不足数．

【答案】+2，-1，-0.2．

4．有没有这样的有理数，它既不是正数，也不是负数？

【答案】有，是0．

5．下列各数中哪些是正数？哪些是负数？

－15，-0.02，

6

7

，-

1

71

，4，-2

1

3

，1.3，0，3.14，

【答案】正数：

6

7

，4，1.3，3.14，；负数：－15，0.02，

-

1

71

，-2

1

3

开放探究

6．同学聚会，约定在中午12点到会，早到的记为正，迟到的记

为负，结果最早到的同学记为＋3点，最迟到的同学记为-1.5点，•

你知道他们分别是什么时候到的吗？最早到的同学比最迟到的同学

早多少小时？

【答案】最早的同学上午9点到，最迟的是下午1点半到，最

早的比最迟的早到4.5个小时．

7．新中考题

（2004·玉林）冷库Ａ的温度是－5℃，冷库Ｂ的温度是－15℃，

•则温度高的是冷库Ａ．

教学反思：

本节课是学生进入初中的第一节数学课,也是非常重要的一节课

-----负数的引入.课堂上我主要采用了体验探究的教学方式，为学生

提供了大量亲自操作的机会，使学生直接参与教学活动，学生在动手

操作中对抽象的数学知识获取感性的认识，进而通过教师的引导加工

总结上升为理性认识，从而获得新知，使学生的学习过程变为一个再

创造的过程，同时让学生体会到获取知识的方法，感受在解决问题的

过程中与他人合作的重要性，为学生今后获取新知以及探索和发现新

知打下基础.

1．2有理数

1．2．1有理数

教学目标

1．知识与技能

①理解有理数的意义．

②能把有理数按要求分类．

③了解0在有理数分类的作用．

2．过程与方法

经历本节的学习，培养学生分类讨论的意识和能正确地进行分类

的能力．

教学重点难点

重点：会把已知各数填入相应的数集图里．

难点：掌握有理数的两种分类．

教与学互动设计

（一）创设情境，导入新课

讨论交流通过上节课的学习同学们已经知道,我们认识的数除

了小学里所学的之外，还有另一类数，即负数．大家讨论一下，到目

前为止，你已经认识了哪些类型的数．

（二）合作交流，解读探究

学生列举：3，5.7，-7，-9，-10，0，

1

3

，

2

5

，-3

5

6

，-7.4，5.2…

议一议你能说说这些数的特点吗？

学生回答，并相互补充：有小学学过的整数、0、分数，也有负

整数、负分数．

说明：我们把所有的这些数统称为有理数．

试一试你能对以上各种类型的数作出一张分类表吗？

有理数

说明：以上分类，若学生思考有困难，可加以引导：因为整数和分数

统称为有理数，所以有理数可分为整数和分数两大类，那么整数又包

含那些数？分数呢？

做一做以上按整数和分数来分，那可不可以按数的性质（正数、

负数）来分呢，试一试．

有理数































正整数

正有理数

正分数

零

负整数

负有理数

负分数

正分数

分数

整数

负分数

负整数

零

正整

数

（3）数的集合

把所有正数组成的集合，叫做正数集合．

试一试试着归纳总结，什么是负数集合、整数集合、分数集合、

有理数集合．

（三）应用迁移，巩固提高

例1把下列各数填入相应的集合内：

12

7

，3.1416，0，2004，-

8

5

，-0.23456，10%，10.l，0.67，-89

正数集合负数集合整数集合分数集合

【答案】

例2以下是两位同学的分类方法，你认为他们分类的结果正确

吗？为什么？

正数集合

22

7

,2004,10%,

10.1,0.67,...

负数集合

-3.1416,-

8

5

,

-0.23456,-89,...

整数集合

0,2004,-89,...

分数集合

12

7

,-3.1416,-

8

5

,

-0.23456,10%,10.1,

0.67,...

…………

有理数

























正整数

正有理数

正分数

负整数

负有理数

负分数

有理数



















正数

整数

分数

负数

零

【答案】两者都错，前者丢掉了零，后者把正负数、整数、分

数混为一谈,分类标准不清楚.

【点评】以上是对各类有理数的特点及有理数的分类进行的训

练，基础性强，需要重视

例3以下结论中正确的有（Ｂ）

①0是最小的正整数②0是最小的有理数

③0不是负数④0既是非正数，也是非负数

A.1个B.2个C.3个D.4个

例4如果用字母表示一个数，那a可能是什么样的数，一定为

正数吗？与你的伙伴交流一下你的看法．

【答案】不一定，a可能是正数，可能是负数，也可能是0．

【点评】此题开放性较强．要求学生能用分类的思想对a全面

认识,体会用字母表示数的意义.

备选例题

（2004·浙江温州）观察下列数，按某种规律在横线上填入适当

的数，并说明你的理由．

2

3

，

3

4

，

4

5

，________，

6

7

，…你的理解是

_________．

【点拨】找出各项数的特点是本题关键所在，第一个数为

2

3

，

后一个数是前一个数的分子，分母都加1所得的数．

【答案】

5

6

（四）总结反思，拓展升华

提问：今天你获得了哪些知识？

由学生自己小结，然后教师总结：今天我们学习了有理数的定义

和有理数的两种分类方法．我们要能正确地判断一个数属于哪一类，

要特别注意“0”的含义．

1．请你在图1-2-1的圈中填上适合的数，使得圈内的数依次

为整数集、•有理数集、正数集、分数集、负数集．

【答案】答案不唯一，如图1-2-2所示．

2．有理数按正、负可分为











正有理数

零

负有理数

-

12

5

0.4

81

3

0

按整数分，可分为







整数

分数

（1）你能自己再制定一个标准，对有理数进行另一种分类吗？

（2）生活中，我们也常常对事物进行分类，请你举例说明．

【答案】（1）如将有理数分成大于1的数，小于1的数，等于

1的数．

（2）例如对人按年龄可分为：婴儿、幼儿、儿童、少年、青年、

中年、老年．

3．下面两个圈分别表示负数集和分数集，你能说出两个图的重

叠部分表示什么数的集合呢？

答案负分数

（五）课堂跟踪反馈

夯实基础

1．把下列各数填入相应的大括号内：

-7，0.125，

1

2

，-3

1

2

，3，0，50%，-0.3

（1）整数集合{-7，3，0}

（2）分数集合{0.125，

1

2

，-3

1

2

，50%，-0.3}

（3）负分数集合{-3

1

2

，-0.3}

（4）非负数集合{0.125，

1

2

，3，0，50%}

分数集合

负数集合

（5）有理数集合{-7，0.125，

1

2

，-3

1

2

，3，0，50%，-0.3}

2．下列说法正确的是（Ｄ）

Ａ．整数就是自然数Ｂ．0不是自然数

Ｃ．正数和负数统称为有理数Ｄ．0是整数而不是正数

3．某商店出售的三种规格的面粉袋上写着（25±0.1）千克，（25

±0.2•千克），（25±0.3）千克的字样，从中任意两袋，它们质量相

差最大的是0.6千克．

提升能力

4．字母a可以表示数，在我们现在所学的范围内，你能否试着

说明a可以表示什么样的数？

【答案】a可以表示正整数，正分数，0，负整数或负分数．

5．某校对初一新生的男生进行了引体向上的测试，以能做5个

为标准，•超过的次数记为正数，不足的次数记为负数，其中10名男

生的测试成绩如下：

－2-12-130-1-210

（1）这10名男生有百分之几达标（即达标率）？

（2）这10名男生共做了多少个引体向上？

【答案】（1）50%；（2）5×10-1=49（个）

开放探究

6．应用创新题

若向东8米记作＋8米，如果一个人从Ａ地出发先走＋12米，再

走－15米，又走＋18米，最后走－20米，你能判断这个人此时在何

处吗？

【答案】在Ａ地西边5米处．

7．新中考题

（2004·内蒙古赤峰）我市2004年元月某一天的天气预报中，

宁城县的最低温度是－22℃，克旗的最低温度是－26℃，这一天宁城

县的最低气温比克旗的最低气温高（Ａ）

A．4℃B．-4℃C．8℃D．-8℃

（六）资料采撷

原始的计算工具

计算是人类的一种思维活动，人类初期的计算主要是计数．最早

用来帮助计数的工具是人类的四肢（手、脚、手指、脚趾）或身边的

小石头、贝壳、绳子等．中国有句古话叫“屈指可数”，说明人们常

用手指来计算简单的数．

在美国纽约的博物馆里，珍藏着一件从秘鲁出土的古代文物，名

叫“基普”，意即打了绳结的绳子．基普是古人用来计数和记事的．传

说公元前6世纪，•波斯国王在一次征战中曾命令一支部队守桥，他

把一条打了结的皮带交给留守将士，要他们每守一天解开一个结，一

直守到皮带上的结全部解完了才准撤退．

在没有文字的我国古代，人们用在绳子上打结的方法来计数和记

事．一件事打一个结，大事打个大结，小事打个小结，办完了一件事

就解掉一个结．

古人不仅用绳结计数，而且还使用小石子等其他工具来计数．例

如，他们饲养的羊，早晨放牧到草地里，晚上必须圈到栅栏里．这样，

早晨从栅栏里放出来的时候，出来一只就往罐子里扔一块小石子；傍

晚羊进栅栏时，进去一只就从罐子里拿出一块小石子．如果石子全部

拿光了，就说明羊全部进圈了；如果罐子里还剩下石子，说明有羊丢

失了，必须立刻寻找．

教学反思：

这节课的教学，我主要采用了探究式的教学方式，为学生提供合

作交流的机会，引导学生在已有知识、经验、方法的基础上去思考问

题,探寻结果.学生直接参与教学活动，学习积极性高,课堂气氛活跃,

通过学生的讨论,抽象的问题简单化.另外教师也可以从学生的回答

中受到启发,有方法型的,有技巧型的.教师参与学生的讨论可以增加

学生的学习兴趣和动力,学生在讨论的过程中可以相互学习,取长补

短,深刻体会到与他人合作的重要性.

1．2．2数轴

教学目标

1．知识与技能

①掌握数轴三要素，能正确画出数轴．

②能将已知数在数轴上表示出来，能说出数轴上已知点所表示的

数．

2．过程与方法

①使学生受到把实际问题抽象成数学问题的训练，逐步形成应用

数学的意识．

②结合本节内容，对学生渗透数形结合的重要思想方法．

3．情感、态度与价值观

使学生进一步形成数学来源于实践，反过来又服务于实践的辩证

唯物主义观点．

教学重点难点

重点：数轴的概念．

难点：从直观认识到理性认识，从而建立数轴概念．

教与学互动设计

（一）创设情境，导入新课

课件展示在一条东西方向的马路上，有一个学校，学校东50m

和西150m•处分别有一个书店和一个超市，学校西100m和160m处分

别有一个邮局和医院，分别用A、B、C、D表示书店、超市、邮局、

医院，你会画图表示这一情境吗？（学生画图）

（二）合作交流，解读探究

师：对照大家画的图，为了使表达更清楚，我们把0•左右两边

的数分别用正数和负数来表示，即用一直线上的点把正数、负数、0

都表示出来．•也就是本节内容──数轴．

点拨（1）引导学生学会画数轴．

第一步：画直线定原点

第二步：规定从原点向右的方向为正（左边为负方向）

第三步：选择适当的长度为单位长度（据情况而定）

第四步：拿出教学温度计，由学生观察温度计的结构和数轴的结

构是否有共同之处．

对比思考：原点相当于什么；正方向与什么一致；单位长度又是

什么？

（2）有了以上基础，我们可以来试着定义数轴：

规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴．

做一做学生自己练习画出数轴．

试一试：你能利用你自己画的数轴上的点来表示数4，1.5，-3，

-

7

2

，0吗？

讨论若a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的什么位

置上？与原点相距多少个单位长度；表示－a的点在原点的什么位置

上？•与原点又相距了多少个长度单位？

小结整数能在数轴上都找到点吗？分数呢？

可见，所有的__________都可以用数轴上的点表示___________•

都在原点的左边，______________都在原点的右边．

（三）应用迁移，巩固提高

例1下列所画数轴对不对？如果不对，指出错在哪里．

①

4

5231

②

-102

3

1

③

-1

-2

021

④

0

⑤

-1

0

1

⑥

-1-2

0

-3

21

【答案】①错．没有原点②错．没有正方向③正确④

错．没有单位长度⑤错．单位长度不统一⑥正确⑦错．正方向

标错

例2试一试：用你画的数轴上的点表示4，1.5，-3，-

7

3

，0

【答案】

图中Ａ点表示4，Ｂ点表示1.5，Ｃ点表示-3，Ｄ点表示－

7

3

，

Ｅ点表示0．

例3如果a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的什么

位置上？•表示－a的点在原点的什么位置上呢？

【提示】由数轴上数的特点不准得到，正数都在原点的右边，

负数都在原点左边．

【答案】所有的有理数都可以在数轴上找个点与它对应，原点

右边的点表示正数，原点左边的点表示负数．

【点评】数与数轴上的点结合，这是一种重要的数学思想，数

形结合．

例4下列语句：①数轴上的点又能表示整数；②数轴是一条直

线；•③数轴上的一个点只能表示一个数；④数轴上找不到既不表示

正数，又不表示负数的点；⑤数轴上的点所表示的数都是有理数．正

确的说法有（Ｂ）

⑦

-1-2

0

21

-1

-2-5

-4

0-3

5

42

3

1

ED

CBA

A.1个B.2个C.3个D.4个

【提示】题中，结合数轴上的点与有理数的特点，可见①中错

误的；②、③是正确的；④中可以含有0，•⑤中应该是所有的有理

数都可以在数轴上找出对应的点，但并不是数轴上的点都表示有理数．

例5（1）与原点的距离为2.5个单位的点有两个，它们

分别表示有理数2.5•和-2.5．

（2）一个蜗牛从原点开始，先向左爬了4个单位，再向右爬了

7•个单位到达终点，那么终点表示的数是+3．

例6在数轴上表示－2

1

2

和1

2

3

，并根据数轴指出所有大于-2

1

2

而

小于1

2

3

的整数．

【答案】-2，-1，0，1

【点评】本题反映了数形结合的思想方法．

例7数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1cm，

若这个数轴上随意画出一条长2000cm的线段AB，则线段AB盖住的

整点是（C）

A．1998或1999B．1999或2000

C．2000或2001D．2001或2002

【提示】分两种情况分析：（1）当线段AB的起点是整点时，•

终点也落在整点上，那就盖住2001个整点；（2）是当线段AB的起点

不是整点时，•终点也不落在整点上，那么线段AB盖住了2000个整

点．

【点评】本题体现了新课程标准的探索和实践能力．

备选例题

（2004·新疆生产建设兵团）在数轴上，离原点距离等于3的数

是________．

【点拨】不要忽视在原点的左右两边．

【答案】±3

（四）总结反思，拓展升华

数轴是非常重要的工具，它使数和直线上的点建立了对立关

系．它揭示了数和形的内在联系，为我们今后进一步研究问题提供了

新方法和新思想．大家要掌握数轴的三要素，正确画出数轴．提醒大

家，所有的有理数都可以用数轴上的相关点来表示，但反过来并不成

立，即数轴上的点并不都表示有理数．

一条直线的流水线上，依次有5个卡通人，•它们站立的位置在

数轴上依次用点M1、M2、M3、M4、M5表示，如图：

（1）点M4和M2所表示的有理数是什么？

（2）点M3和M5两点间的距离为多少？

（3）怎样将点M3移动，使它先达到M2，再达到M5，请用文字说

明；

（4）若原点是一休息游乐所，那5个卡通人到游乐所休息的总

路程为多少？

【答案】（1）M4表示2，M2表示3；（2）相距7个单位长度；

（3）先向左移动1个单位，再向右移动8个单位长度；（4）17个单

M

5M

4

M

3

M

2

M

1

-1

-2-5

-4

0-3

5

42

3

1

位长度．

（五）课堂跟踪反馈

夯实基础

1．规定了原点、正方向、单位长度的直线叫数轴，

所有的有理数都可从用数轴上的点来表示．

2．P从数轴上原点开始，向右移动2个单位，再向左移5个单

位长度，此时P点所表示的数是-3．

3．把数轴上表示2的点移动5个单位后，所得的对应点表示的

数是（C）

A．7B．-3C．7或-3D．不能确定

4．在数轴上，原点及原点左边的点所表示的数是（D）

A．正数B．负数C．不是负数D．不是正数

5．数轴上表示5和-5的点离开原点的距离是5，但它们分

别在原点的两边．

提升能力

6．1是最小的正整数，0是最小的非负数，0是最大

的非正数．

7．与原点距离为3.5个单位长度的点有2个，它们分别是

3.5和-3.5．

8．画一条数轴，并把下列数表示在数轴上：+2，-3，0.5，0，

-4.5，4，3

1

3

【答案】略

开放探究

9．在数轴上与-1相距3个单位长度的点有2个，为-4或

2；长为3个单位长度的木条放在数轴上，最多能覆盖4个整数

点．

10．新中考题

（2004·南京）下列四个数中，在-2到0之间的数是（Ａ）

A．-1B．1C．-3D．3

教学反思：

这节课的学习，我主要采用了体验探究的教学方式，为学生提供

了亲自操作的机会，引导学生运用已有经验、知识、方法去探索与发

现等式的性质，使学生直接参与教学活动，学生在动手操作中对抽象

的数学定理获取感性的认识，进而通过教师的引导加工上升为理性认

识，从而获得新知，使学生的学习变为一个再创造的过程，同时让学

生学到获取知识的思想和方法，体会在解决问题的过程中与他人合作

的重要性，为学生今后获取知识以及探索和发现打下基础。

1．2．3相反数

教学目标

1．知识与技能

①借助数轴了解相反数的概念，知道互为相反数的位置关系．

②给一个数，能求出它的相反数．

2．过程与方法

①训练学生利用数轴应用数形结合的方法解决问题．

②培养学生自己归纳总结规律的能力．

3．情感、态度与价值观

①通过相反数的学习，渗透数形结合的思想．

②感受事物之间对立、统一联系的辩证思想．

教学重点难点

重点：理解相反数的意义．

难点：理解和掌握双重符号简化的规律．

教与学互动设计

（一）创设情境，导入新课

活动请一个学生到讲台前面对大家，向前走5步，向后走5步．

交流如果向前走为正，那向前走5步与向后走5步分别记作什

么？

（二）合作交流，解读探究

１．观察下列数：6和-6，2

2

3

和－2

2

3

，7和－7，

5

7

和－

5

7

，并把

它们在数轴上标出．

想一想（1）上述各对数之间有什么特点？

（2）表示这两对数的点在数轴上有什么特点？

（3）你能够写出具有上述特点的数吗？

观察像这样只有符号不同的两个数叫相反数．

两个互为相反数的数，在数轴上的对应点（0除外），是在原点

两旁，•并且距离原点相等的两个点．即：互为相反数的两个数在数

轴上的对应点关于原点对称．我们把a的相反数记为－a，并且规定

0的相反数就是零．

【总结】在正数前面添上一个“－”号，就得到这个正数的相

反数，是一个负数；把负数前的“－”号去掉，就得到这个负数的相

反数，是一个正数．

２．在任意一个数前面添上“－”号，新的数就是原数的相反数．如

-（+5）=•-5，表示+5的相反数为-5；-（-5）=5，表示-5的相反数

是5；-0=0，表示0•的相反数是0．

（三）应用迁移，巩固提高

例1填空

（1）-5.8是5.8的相反数，3的相反数是－（+3），a的

相反数是–a，a-b的相反数是-（a-b），0的相反数是0．

（2）正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0

的相反数是它本身．

例2下列判断不正确的有（C）

①互为相反数的两个数一定不相等；②互为相反数的数在数轴上

的点一定在原点的两边；③所有的有理数都有相反数；④相反数是符

号相反的两个点．

A.1个B.2个C.3个D.4个

例3化简下列各符号：

（1）-[-（-2）]（2）+{-[-（+5）]}

（3）-{-{-…-（-6）}…}（共n个负号）

【答案】（1）-2（2）5（3）当n为偶数时，为6；当n

为奇数时，为-6．

【提示】化简的规律是：有偶数个负号，结果为正；有奇数个

负号，结果为负．

例4数轴上A点表示+4，B、C两点所表示的数是互为相反数，

且C到A•的距离为2，点B和点C各对应什么数？

【答案】C点表示2或6，则相应的B点应表示-2或-6．

【提示】画出数轴，结合数轴的特点来分析．

【点评】经历观察数学活动，发展自己的指导能力．

备选例题

（2004·江西）如图所示，数轴上的点A所表示的是实数a，则

点A到原点的距离是___________．

【点拨】由数轴上的位置，不难知道a是一个负数，这是解决

本题的前提．

【答案】-a

（四）总结反思，拓展升华

归纳①相反数的概念及表示方法．

②相反数的代数意义和几何意义．

③符号的化简．

1．（1）王亮说：“一个数总比它的相反数大”．你认为正确吗？

为什么？

a0

A

（2）若数轴上表示一对相反数的两点之间的距离为26.8，求这

两个数．

【答案】（1）不正确，如0的相反数还是0，负数的相反数

是正数．

（2）其中的一个数到原点的距离为13.4，所以这两个数是＋13.4

和－13.4．

2．你若a是不小于－1又不大于3的数，那么a的相反数是什

么样的数呢？

【提示】结合数轴进行观察比较．

解：由题意知-1≤a≤，而-1，a，3的相反数分别是1，-a，-3．

∴-a在1和-3之间

故-3≤a≤1

∴a的相反数是不小于-3又不大于1的数．

【点评】在解决问题中，能进行简单的、有条理的思考．

（五）课堂跟踪反馈

夯实基础

1．判断题

（1）-3是相反数（×）

（2）-7和7是相反数（∨）

（3）-a的相反数是a，它们互为相反数（∨）

（4）符号不同的两个数互为相反数（×）

2．分别写出下列各数的相反数，并把它们在数轴上表示出来．

1，-2，0，4.5，-2.5，3

【答案】相反数分别为：-1，2，0，-4.5，2.5，-3，数轴表

示略．

3．若一个数的相反数不是正数，则这个数一定是（Ｂ）

A．正数B．正数或0C．负数D．负数或0

4．一个数比它的相反数小，这个数是（Ｂ）

A．正数B．负数C．非负数D．非正数

5．数轴上表示互为相反数的两个点之间的距离为4

2

3

，则这两个

数是±

7

3

．

6．比-6的相反数大7的数是13．

提升能力

7．若a与a-2互为相反数，则a的相反数是–1．

8．（1）-（-8）的相反数是–8，

（2）+（-6）是6的相反数．

（3）1-a的相反数是a-1．

（4）若-x=9，则x=-9．

9．已知有理数m、-3、n在数轴上位置如图所示，将m、-3、n•

的相反数在数轴上表示，并将这6个数用“<”连接起来．

【答案】-3<-n

开放探究

M0

-3

10．如图是一个正方体纸盒的展开图，请把-11，12，11，-2，-12，

2•分别填入六个正方形，使得按虚线折成的正方体后，对面上的两个

数互为相反数．

11．试讨论-a的正负．

【答案】当a<0时，-a>0，当a>0时，-a〈0，当a=0时，－

a=0．

12．新中考题

（2004·河南）－

3

4

的相反数是（Ａ）

A．

3

4

B．－

3

4

C．

4

3

D．－

4

3

教学反思：

这节课的学习，我主要采用了体验探究的教学方式，为学生提供

了亲自操作的机会，引导学生运用已有经验、知识、方法去探索与发

现等式的性质，使学生直接参与教学活动，学生在动手操作中对抽象

的数学定理获取感性的认识，进而通过教师的引导加工上升为理性认

识，从而获得新知，使学生的学习变为一个再创造的过程，同时让学

生学到获取知识的思想和方法，体会在解决问题的过程中与他人合作

的重要性，为学生今后获取知识以及探索和发现打下基础。

1．2．4绝对值（第一课时）

-2

2

-11

-1211

12

教学目标

1．知识与技能

①能根据一个数的绝对值表示“距离”，初步理解绝对值的概念，

能求一个数的绝对值．

②通过应用绝对值解决实际问题，体会绝对值的意义和作用．

2．过程与方法

经历绝对值的代数定义转化成数学式子的过程中，培养学生运用

数学转化思想指导思维活动的能力．

3．情感、态度与价值观

①通过解释绝对值的几何意义，渗透数形结合的思想．

②体验运用直观知识解决数学问题的成功．

教学重点难点

重点：给出一个数，会求它的绝对值．

难点：绝对值的几何意义、代数定义的导出．

教与学互动设计

（一）创设情境，导入新课

活动请两同学到讲台前，分别向左、向右行3米．

交流①他们所走的路线相同吗？②若向右为正，分别可怎样

表示他们的位置？③他们所走的路程的远近是多少？

（二）合作交流，解读探究

观察出示一组数6与-6，3.5与-3.5，1和-1，它们是一对互

为________，•它们的__________不同，__________相同．

【总结】例如6和-6两个数在数轴上的两点虽然分布在原点

的两边，•但它们到原点的距离相等，如果我们不考虑两点在原点的

哪一边，只考虑它们离开原点的距离，这个距离都是6，我们就把这

个距离叫做6和－6的绝对值．

绝对值：在数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，

记作│a│．

想一想（1）-3的绝对值是什么？

（2）+2

3

7

的绝对值是多少？

（3）-12的绝对值呢？

（4）a的绝对值呢？

答案略．

交流同桌间合作交流，每位同学任说五个数，由同桌指出它们

的绝对值．

思考例1求8，-8，3，-3，

1

4

，－

1

4

的绝对值．（出示胶片）

由此，你想到什么规律？

总结互为相反数的两个数的绝对值相同．

求+2.3，-1.6，9，0，-7，+3的绝对值．（出示胶片）

由此，你想到什么规律？

讨论交流正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，

0•的绝对值是零．

总结正数的绝对值是它本身．

负数的绝对值是它的相反数．

零的绝对值是零．

讨论字母a可以代表任意的数，那么表示什么数？这时a的绝

对值分别是多少？

学生活动：分组讨论，教师加入讨论，学生相反补充回答．

归纳若a>0，则│a│=a

若a<0，则│a│=-a

若a=0，则│a│=0

（三）应用迁移，巩固提高

例题填空：

（1）绝对值等于4的数有2个，它们是±4．

（2）绝对值等于-3的数有0个．

（3）绝对值等于本身的数有无数个，它们是0和正数（非

负数）．

（4）①若│a│=2，则a=±2．

②若│-a│=3，则a=±3．

（5）绝对值不大于2的整数是0，±1，±2．

（6）根据绝对值的意义，思考：

①如果=1，那么a>0；

②如果=-1，那么a<0；

③如果a<0，那么－│a│=a．

【点评】去绝对值符号，首先要判断绝对值里的正负情况，由

此发展自身的合情推理能力．

备选例题

（2004·四川资阳）绝对值为4的数是（）

A．±4B．4C．-4D．2

【点拨】要注意到一个正数的绝对值等于它本身，负数的绝对

值等于它的相反数．

【答案】A

（四）总结反思，拓展升华

本节课，我们学习认识了绝对值，要注意掌握以下两点：①一个

数的绝对值是在数轴上表示这个数的点到原点的距离；②求一个数的

绝对值必须先判断是正数还是负数．

1．阅读与理解：

点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表

示为│AB│．

当AB两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图（1）所

示，│AB│=│OB│=│b│=│a-b│；

当A、B两点都不在原点时：

①如图（2）所示，点都在原点的右边，

│AB│=│OB│-│OA│=│b│-│a│=•b-a=│a-b│；

②如图（3）所示，点都在原点的左边，

│AB=│OB│-│OA│=│b│-│a│=-b-•（-a）=│a-b│；

③如图（4）所示，点都在原点的两边，

│AB│=│OA│+│OB│=│a│+│b│=•-a+b=│a-b│；

综上，数轴上A、B两点之间的距离│AB│=│a-b│．

2．回答下列问题：

（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是3，数轴上表示

-2和－5•的两点之间的距离是3，数轴上表示1和-3的两点之间

的距离是4；

（2）数轴上表示x和-1的两点之间的距离是│x+1│，如

果│AB│=2，那么x•为1或是-3；

（3）当代数式│x+1│+│x-2│取最小值时，相应的x的取值范

围是-1≤x≤2．

（五）课堂跟踪反馈

夯实基础

1．填空题

（1）-│-3│=-3，+│-0.27│=0.27，

-│+26│=-26，-（+24）=-24．

（2）-4的绝对值是4，绝对值等于4的数是±4．

（3）若│x│=2，则x=±2，若│-x│=2，则x=±2．若

│-x│=3，则x不存在．

（4）│3.14-｜=-3.14．

（5）绝对值小于3的所有整数有±2，±1，0．

2．选择题

(1)

O(A)

b

a

B

O

(2)

b

a

BA

O

(3)

b

a

BAO

(4)

b

a

BA

（1）则│a│≥0，那么（D）

A．a>0B．a<0C．a≠0D．a为任意数

（2）若│a│=│b│，则a、b的关系是（C）

A．a=bB．a=-bC．a+b=0或a-b=0D．a=0且b=0

（3）下列说法不正确的是（B）

A．如果a的绝对值比它本身大，则a一定是负数

B．如果两个数相等，那么它们的绝对值也必不相等

C．两个负有理数，绝对值大的离原点远

D．两个负有理数，大的离原点近

（4）若│x│+x=0，则x一定是（C）

A．负数B．0C．非正数D．非负数

（5）已知│a+b│+│a-b│-2b=0，在数轴上给出关于a、b的四

种位置关系，•则可能成立的有（B）

A．1种B．2种C．3种D．4种

提升能力

3．若实数a、b满足│3a-1│+│b-2│=0，求a+b的值．

【答案】a=

1

3

，b=2，a+b=2

1

3

开放探究

4．正式排球比赛，对所使用的排球的重量是严重规定的，检查

5个排球的重量，超过规定重量的克数记为正数，不足规定重量的克

数记作负数，检查结果如下表：

b

a0b

a0b

a

0b

a

0

+15-10+30-20-40

指出哪个排球的质量好一些（即重量最接近规定重量）？你怎样

用学过的绝对值知识来说明这个问题？

【答案】第2个球更好一些，因为它的绝对值最小，说明接近

规定的重量．

5．新中考题

（2004·长沙）-2的绝对值是2．

教学反思：

这节课的学习，我主要采用了体验探究的教学方式，为学生提供

了亲自操作的机会，引导学生运用已有经验、知识、方法去探索与发

现等式的性质，使学生直接参与教学活动，学生在动手操作中对抽象

的数学定理获取感性的认识，进而通过教师的引导加工上升为理性认

识，从而获得新知，使学生的学习变为一个再创造的过程，同时让学

生学到获取知识的思想和方法，体会在解决问题的过程中与他人合作

的重要性，为学生今后获取知识以及探索和发现打下基础。

1．2．4绝对值（第二课时）

教学目标

1．知识与技能

会利用绝对值比较两个负数的大小．

2．过程与方法

利用绝对值概念比较有理数的大小，培养学生的逻辑思维能力．

3．情感、态度与价值观

敢于面对数学活动中的困难，有学好数学的自信心．

教学重点难点

重点：利用绝对值比较两个负数的大小．

难点：利用绝对值比较两个异分母负分数的大小．

教与学互动设计

（一）创设情境，导入新课

投影你能比较下列各组数的大小吗？

（1）│-3│与│-8│（2）4与-5（3）0与3

（4）-7和0（5）0.9和1.2

（二）合作交流，解读探究

讨论交流由以上各组数的大小比较可见：正数都大于0，0都

大于负数，正数都大于负数．

思考若任取两个负数，该如何比较它的大小呢？

点拨若-7表示－7℃，-1表示－1℃，则两个温度谁高谁低？

【总结】两个负数，绝对值大的反而小，或说，两个负数绝对

值小的反而大．

注意①比较两个负数的大小又多了一种方法，即：两个负数，

绝对值大的反而小．

②异号的两数比较大小，要考虑它们的正负；同号两数比较大小，

要考虑先比较它们的绝对值．

③在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序也就是从小到大的

顺序，即：左边的数总比右边的数要小．即：利用数轴来比较有理数

的大小．

（三）应用迁移，巩固提高

例1比较下列各组数的大小

（1）－

5

6

和－2.7

（2）－

5

7

和－

3

4

解：（1）∵｜－

5

6

｜＝

5

6

│-2.7│=2.7，而

5

6

＜2.7

∴－

5

6

>-2.7

（2）∵｜－

5

7

｜=

5

7

＝

20

28

，｜－

3

4

｜＝

3

4

＝

21

28

，而

20

28

＜

21

28

∴－

5

7

＞－

3

4

例2按从大到小的顺序，用“〈”号把下列数连接起来．

-4

1

2

，-（-

2

3

），│-0.6│，-0.6，-│4.2│

解：∵-（-

2

3

）=

2

3

，│-0.6│=0.6，-│4.2│=-4.2

而|-4

1

2

|=4

1

2

，│-0.6│=0.6，│-4.2│=4.2

且4

1

2

>4.2>0.6，0.6<

2

3

∴-4

1

2

<-│4.2│<-0.6<│-0.6│<-（-

2

3

）

例3自己任写三个数，使它大于-

5

7

而小于-

1

8

．

【点评】此题是一个开放型问题，培养学生发散性思维．

例4已知│a│=4，│b│=3，且a>b，求a、b的值．

【答案】a=4，b=±3

备选例题

（2004．江苏南通）如图1-2-11所示，在所给数轴上画出数-3，

-1，│-2│的点．把这组数从小到大用“〈”号连接起来．

【提示】把它们分别在数轴上点出相关位置，并比较大小．

【答案】略

（四）总结反思，拓展升华

1．本节课所学的有理数的大小比较你能掌握两种方法吗？

（1）利用数轴，在数轴上把这些数表示出来，•然后根据“数轴

上左边的数总比右边的数大”来比较；

（2）利用比较法则：“正数大于零，负数小于零，两个负数，•

绝对值大的反而小”来进行．

2．（1）阅读下列比较－a与－

2

3

a的大小的解题过程：

解：∵│-a│=a，│-

2

3

a│=

2

3

a

又∵a>

2

3

a∴-a<-

2

3

a

你认为上述解答过程正确吗？与同学们研究，并发表你的看法．

（2）要比较有理数a和

1

3

a的大小时，因为a的正、负不能确定．所

以要分a>0，a=0，a<0三种情况讨论：

当a>0时，a>

1

3

a．

当a=0时，a=

1

3

a．

当a<0时，a<

1

3

a．

利用以上结论解题：

①计算│a│+a=_________．

②比较3a+a的值．

0

1

【点评】（1）错，-a与-

2

3

a并不一定是负数，•不可以用比

较绝对值方法加以比较，可以用比差法，也可以分类．

（2）①当a>0时，2a；当a≤0时，0

②a>0时，3a>a；a=0时，3a=a；a<0时，3a

（五）课堂跟踪反馈

夯实基础

1．填空题

（1）绝对值小于3的负整数有-1，-2，绝对值不小于2且

不大于5的非负整数有2、3、4、5．

（2）若│x│=-x，则x≤0，若＝1，则a>0．

（3）用“〉”、“＝”、“〈”填空：

①-7<-5②-0.1<-0.01

③-│-3.2│<-（-3.2）④-│-

10

3

│>-3.34

⑤-

8

9

>－

8

7

⑥-（-

1

4

）>0.025

⑦-<-3.14⑧-

22

23

>－

202

203

（4）若│x+3│=5，则x=2或－8．

2．选择题

（1）下列判断正确的是（Ｄ）

A．a>-aB．2a>aC．a>-

1

a

D．│a│≥a

（2）下列分数中，大于－

1

3

而小于－

1

4

的数是（B）

A．－

11

20

B．－

4

13

C．－

3

16

D．－

6

17

（3）│m│与－5m的大小关系是（D）

A．│m│>-5mB．│m│<-5m

C．│m│=-5mD．以上都有可能

（4）m≠0，则

|a|

a

＝（C）

A．1B．-1C．±1D．无法判断

提升能力

3．解答题

（1）比较－

7

8

和－

6

7

的大小，并写出比较过程．

【答案】－

7

8

＜－

6

7

，过程略

（2）求同时满足：①│a│=6，②-a>0这两个条件的有理数a．

【答案】a=-6

（3）将有理数：-（-4），0，-│-3

1

2

│，-│+2│，-│-（+1.5）

│，-（-3），│-（+2

1

2

）│表示到数轴上，并用“〈”把它们连接起

来．

【答案】略

（4）甲、乙、丙、丁四个有理数讨论大小问题．甲说：我是正

整数中最小的．•乙说：我是绝对值最小的．丙说：我与甲的一半相

反．丁说：我是丙的倒数．你能写出它们分别是多少吗？然后按从小

到大的顺序排列．

【答案】甲乙丙丁分别是1，0，-

1

2

，-2，丁〈丙〈乙〈甲

（5）若a<0，b>0，且│a│<│b│，试用“〈”号连接a、b、-a、

-b．

【答案】-b

开放探究

4．开放题

已知数轴上有A和B两点，它们之间的距离为1，点A和原点的

距离为2，•那么所有满足条件的点B对应的数有哪些？

【答案】-3、-1、1、3

5．新中考题

（2004·山东泰安）若│a│=1，│b│=4，且ab<0，则a+b＝3

或-3．

（六）资料采撷

“数形结合”的思想方法

数学是研究数和形的学科，代数研究数的问题，几何研究图形的

性质．在数学里数和形是密切联系的，我们常常用代数的方法来处理

几何问题；反过来，也借助几何图形来理解代数概念，寻找解题思路，

处理代数问题．这种数和形之间的相互应用，是一种重要的数学思想，

叫做数形结合思想．

数轴的引入，使我们能用直观的图形来理解数的有关概念，这就

是“数”与“形”的结合．利用数轴可以比较几个有理数的大小；利

用数轴可以更好地理解相反数、绝对值的概念；利用数轴可以直观地

研究有理数的加法运算等．也就是说，在后面将充分利用数轴这个工

具，从数形结合的观点出发，学习一系列新知识．

教学反思：

这节课的学习，我主要采用了体验探究的教学方式，为学生提供

了亲自操作的机会，引导学生运用已有经验、知识、方法去探索与发

现等式的性质，使学生直接参与教学活动，学生在动手操作中对抽象

的数学定理获取感性的认识，进而通过教师的引导加工上升为理性认

识，从而获得新知，使学生的学习变为一个再创造的过程，同时让学

生学到获取知识的思想和方法，体会在解决问题的过程中与他人合作

的重要性，为学生今后获取知识以及探索和发现打下基础。

1．3有理数的加减法

1．3．1有理数的加法（第一课时）

教学目标

1．知识与技能

经历探索有理数的加法法则，理解有理数加法的意义，初步掌握

有理数加法法则，并能准确地进行有理数的加法运算．

2．过程与方法

①有理数加法法则的导出及运用过程中，训练学生独立分析问题

的能力及口头表达能力．

②渗透数形结合的思想，培养学生运用数形结合的方法解决问题

的能力．

3．情感、态度与价值观

①通过观察、归纳、推断得到数学猜想，体验数学充满探索性和

创造性．

②运用知识解决问题的成功体验．

教学重点难点

重点：有理数的加法法则的理解和运用．

难点：异号两数相加．

教与学互动设计

（一）创设情境，导入新课

课件展示下午放学时，小新的车子坏了，他去修车，不能按时

回家，怕妈妈担心，打电话告诉妈妈，可妈妈坚持要去接他，问他在

什么地方修车，他说在我们学校门前的东西方向的路上，你先走20

米，再走30米，就能看到我了．于是妈妈来到校园门口．

（二）合作交流，解读探究

讨论妈妈能找到他吗？

讨论交流若规定向东为正，向西为负．

（1）若两次都向东，很显然，一共向东走了50米．

算式是：20+30=50

即这位同学位于学校门口东方50米．

这一运算可用数轴表示为

（2）若两次都向西，则他现在位于原来位置的西50米处．

算式是：（-20）+（-30）=-50

这一算式在数轴上可表示成：

203040

20

30

50

-100

10

O

-20

-10-30-50

-4030

20

10

（3）若第一次向东20米，第二次向西走30米．•则利用数轴可

以看到这位同学位于原位置的西方10米处．

算式是：+20+（-30）=-10（学生试画数轴以下同）

（4）若第一次向西走20米，第二次向东走30米．•利用数轴可

以看到这位同学位于原位置的什么地方？如何用算式表示？

算式是：（-20）+（+30）=+10

对以下两种情形，你能表示吗？

（5）第一次向西走了20米，第二次向东走了20米，•那这位同

学位于原位置的什么地方？

这位同学回到了原位置．即：-（20）+（+20）=0．

（6）如果第一次向西走了20米，第二次没有走，那如何呢？

-20+0=-20

思考根据以上6个算式，你能总结出有理数相加的符号如何确

定？•和的绝对值如何确定？互为相反数相加，一个有理数和0相加，

和分别为多少？

学生活动小组讨论、试看分类、归纳

观察（1）式，两个加数都为正，和的符号也是正，•和的绝对值

正好是两个加数绝对值的和．

观察（2）式，两个加数都为负，和的符号也是负，•和的绝对值

是两个加数绝对值的和．

由（1）（2）归纳：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值

相加．

如：（-7）+（-8）=-15，16+17=+33，（-4）+（-9）=-13

观察（3）式、（4）式可见：两个加数的符号不同，和的符号有

的是“＋”号，有的是“－”号，为了更清楚总结规律．可引导学生

再举几个类似的例子，从而可总结得到：

绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并

用较大的绝对值减去较小的绝对值．

观察（5）可知：互为相反的两个数和为0．

观察（6）可知：一个数和零相加，仍然得这个数．

【总结】有理数加法法则：

（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．

（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符

号，•并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相

加得0．

（3）一个数同0相加，仍得这个数．

（三）应用迁移，巩固提高

例1计算

（1）（-4）+（-6）=-10

（2）（+15）+（-17）=-2

（3）（-39）+（-21）=-60

（4）（-6）+│-10│+（-4）=0

（5）（-37）+22=-15

（6）-3+（3）=0

例2某足球队在一场比赛中上半场负5球，下半场胜4球，•

那么全场比赛该队净胜－1球．

例3绝对值小于2005的所有整数和为0．

例4一个数是11，另一个数比11的相反数大2，那么这两个

数的和为（C）

A．24B．-24C．2D．-2

例5下面结论正确的有（B）

①两个有理数相加，和一定大于每一个加数．

②一个正数与一个负数相加得正数．

③两个负数和的绝对值一定等于它们绝对值的和．

④两个正数相加，和为正数．

⑤两个负数相加，绝对值相减．

⑥正数加负数，其和一定等于0．

A．0个B．1个C．2个D．3个

例6根据有理数加法法则，分别根据下列条件，利用│a│与

│b│表示a•与b的和：

（1）a>0，b>0，则a+b=│a│+│b│

（2）a<0，b<0，则a+b=-（│a│+│b│）

（3）a>0，b<0，│a│>│b│，则a+b=│a│-│b│

（4）a>0，b<0，│a│<│b│，则a+b=-（│b│-│a│）

例7如果a>0，b<0，且a+b<0，比较a、+a、b、－b的大小．

【提示】由a>0，b<0，且a+b<0，根据加法法则来确定a、b

的绝对值的大小再利用数轴来比较大小．

【答案】b<-a

【点评】数形结合的思想是解决问题的关键．

备选例题

（2004·南京）在1，－1，-2这三个数中，任意两数之和的最

大值是（）

A.1B.0C.-1D.3

【点拨】只有找出最大的两个数，才会出现最大的和．

【答案】B

（四）总结反思，拓展升华

1．有理数的加法法则指出进行有理数加法运算，首先应先判断

类型，•然后确定和的符号，最后计算和的绝对值．特别是绝对值不

等的异号两数相加，和的符号与绝对值较大的加数符号相同，并把绝

对值相减，因为正负互为抵消了一部分．

2．活动

（1）请你在顺序给出的数字2、3、4、5、6、7、8、9•前面添

加“＋”或“－”号，使它们的和为10；

（2）把你的答案与同学的答案对一下，有什么不一样？•不同的

填写方法共有几种？

（3）若允许出现一位数和两位数（不改变给出的数字的次序，•

在某些数字前面不添加“＋”或“－”号，此时把连续的两个数字示

为两位数），还能得到10吗？回答是肯定的．例如：2+34+56+7-89，

请你试一试，写出几个式子：

（4）请你另外约定某个规则，并按规则写出一些式子来．

【答案】（1）-2-3-4+5+6+7-8+9；-2-3+4-5+6-7+8+9；

-2+3-4-5-6+7+8+9；-2+3+4+5-6+7+8-9；

-2+3+4+5+6-7-8+9；2-3+4-5+6+7+8-9；

2-3+4+5-6+7-8+9；2+3-4-5+6+7-8+9；

2+3-4+5-6-7+8+9；2+3+4+5+6+7-8-9（提示：使得负数之和为

17）．

（2）共10种（3）如23+4+5+67-89等

（4）在顺次给出的数字2，3，4，5，6，7，8，9前面增加“＋”

或“－”号，使它们的和为0．如2+3+4-5+6+7-8-9等．（提示：使

得负数和为22）

（五）课堂跟踪反馈

夯实基础

1．填空题

（1）绝对值不小于3且小于5的所有整数的和为0．

（2）已知两数5

1

2

和－6

1

2

，这两个数的相反数的和是1，

两数和的相反数是1，两数绝对值的和是12，两数和的绝对

值是1．

（3）①若a>0，b>0，则a+b>0．

②若a<0，b<0，且a+b<0．

③若a>0，b<0，且│a│>│b│，则a+b>0．

④若a>0，b<0，且│a│<│b│，则a+b<0．

（4）若│a│=3，│b│=5，则│a+b│=2或8，a+b=±2

或±8．

（5）若a<0，b>0，且a+b<0，则│a│>│b│（填“>”或

“<”）

2．计算题

（1）（-15）+27=12

（2）（-3.2）+（+3.2）=-0.9

（3）5.2+（-2.8）=2.4

（4）（-2）+（+1）=－１

1

6

（5）-8+│-5│=-3

（6）-（-7）+（-2）=5

提升能力

3．列式计算

（1）求3

1

3

的相反数与-2

2

3

的绝对值的和．

（2）某市一天上午的气温是10℃，上午上升2℃，半夜又下降

15℃，则半夜的气温是多少．

【答案】（1）-3

1

3

+│-2

2

3

│=－

2

3

（2）10+2+（-15）=-3（℃）

4.若a<0，b>0，且a+b<0，试比较a、b、-a、-b的大小，•并用

“〈”把它们连接起来．

【答案】利用加法法则和数轴结合a<-b

开放探究

5．在－44，-43，-42，…，2001，2002，2003，2004，2005•

这一串的整数中，•求前100个连续整数的和．

【答案】550

6．举例说明当m、n为任意有理数时，│m+n│与│m│+│n│的

大小关系，•并与同学们共同讨论：

（1）你所列举的大小关系是否全面．

（2）运用有理数加法法则加以解释．

【答案】（1）│m+n│≤│m│+│n│（2）略

7．新中考题

（2004·吉林）填空题：某天早晨的气温是－7℃，中午上升了

11℃，•则中午的气温是4℃．

教学反思：

这节课的学习，我主要采用了体验探究的教学方式，为学生提供

了亲自操作的机会，引导学生运用已有经验、知识、方法去探索与发

现等式的性质，使学生直接参与教学活动，学生在动手操作中对抽象

的数学定理获取感性的认识，进而通过教师的引导加工上升为理性认

识，从而获得新知，使学生的学习变为一个再创造的过程，同时让学

生学到获取知识的思想和方法，体会在解决问题的过程中与他人合作

的重要性，为学生今后获取知识以及探索和发现打下基础。

1．3．1有理数的加法（第二课时）

教学目标

1．知识与技能

①能运用加法运算律简化加法运算．

②理解加法运算律在加法运算中的作用，适当进行推理训练．

2．过程与方法

①培养学生的观察能力和思维能力．

②经历对有理数的运算，领悟解决问题应选择适当的方法．

3．情感、态度与价值观

在数学学习中获得成功的体验．

教学重点难点

重点：如何运用加法运算律简化运算．

难点：灵活运用加法运算律．

教与学互动设计

（一）情境创设，导入新课

思考在小学里，我们学过的加法运算有哪些运算律？它们的内

容是什么？能否举一两个例子来？

那这些加法运算律还适于有理数范围吗？今天，我们一起来探究

这个问题．

（二）合作交流，解读探究

体验1．自己任举两个数（至少有一种是负数），分别填入下列

□和○中，•并比较它们的运算结果，你发现了什么？

□＋○和○＋□

发现：对任选择的数，都有□＋○＝○＋□，即小学里学过的加

法交换律在有理数范围内仍是成立的．

体验2．任选三个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列

□，○，•◇内，并比较它们的运算结果．

（□＋○）＋◇和□＋（○＋◇）

发现都有（□＋○）＋◇＝□＋（○＋◇），这就是说，小学的

加法结合律，在有理数范围内都是成立的．

小结有理数的加法仍满足交换律和结合律．

加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变．用式子表

示成a+b=a+b．

加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个

数相加，和不变，用式子表示成（a+b）+c=a+（b+c）

（三）应用过移，巩固提高

例1说出下列每一步运算的依据

（-0.125）+（+5）+（-7）+（+

1

8

）+（+2）

=（-0.125）+（+

1

8

）+（+5）+（+2）+（-7）（加法交换律）

=[（-0.125）+（+

1

8

）]+[（+5）+（+2）]+（-7）（加法结合律）

=0+（+7）+（-7）（有理数的加法法则）

=0（有理数的加法法则）

例2利用有理数的加法运算律计算，使运算简便．

（1）（+9）+（-7）+（+10）+（-3）+（-9）

（2）（+0.36）+（-7.4）+（+0.03）+（-0.6）+（+0.64）

（3）（+1）+（-2）+（+3）+（-4）+…+（+2003）+（-2004）

【答案】（1）0（2）-6.7（3）-1002

例3某出租司机某天下午营运全是在东西走向的人民大道进行

的，•如果规定向东为正，向西为负，他这天下午行车里程如下（单

位：千米）

+15，+14，-3，-11，+10，-12，+4，-15，+16，-18

（1）他将最后一名乘客送到目的地，该司机距下午出发点的距

离是多少千米？

（2）若汽车耗油量为a公升/千米，这天下午汽车共耗油多少公

升？

解：（1）+15+（+14）+（-3）+（-11）+（+10）+（-12）+4+（-15）

+16+（-18）

=[15+（-15）]+（14+10+4+16）+[（-3）+（-11）+（-12）+

（-18）]

=0

（2）（│+15│+│+14│+│-3│+│-11│+│+10│+│-12│+│4

│+│-15│+•│16│+│-18│）·a

=118a

【答案】（1）将最后一名乘客送到目的地，该司机仍在其出

发点．

（2）共耗油118a公升．

例4若│2x-3│与│y+3│互为相反数，求x+y的相反数．

【提示】两个非负数互为相反数，只有都为０．

解：根据题意，有2x-3=0，y+3=0

则x=

3

2

，y=-3

x+y=

3

2

+（-3）=－

3

2

．

所以x+y的相反数是

3

2

．

备选例题

（2004·芜湖）小王上周在股市以收盘价/（收市时的价格）每

股25•元买进某公司股票1000股，在接下来的一周交易日内，小王

记下该股票每日收盘价格相比前一天的涨跌情况：（单位：元）

星期一二三四五

每股涨跌（元）+2-0.5+1.5-1.8+0.8

根据上表回答问题：

（1）星期二收盘时，该股票每股多少元？

（2）周内该股票收盘时的最高价、最低价分别是多少？

（3）已知买入股票与卖出股票均需支付成交金额的千分之五的

交易费．•若小王在本周五以收盘价将全部股票卖出，他的收益情况

如何？

【答案】（1）星期二收盘价为25+2-0.5=26.5（元／股）

（2）收盘最高价为25+2-0.5+1.5=28（元/股）

收盘最低价为25+2-0.5+1.5-1.8=26.2（元/股）

（3）小王的收益为：27×1000（1-5‰）-25×1000（1+5‰）

=27000-135-25000-125

=1740（元）

∴小王的本次收益为1740元．

（五）总结反思，拓展升华

本节课我们探索了有理数的加法交换律和结合律．灵活运用加法

的运算律使运算简便．一般情况下，我们将互相为相反数的相结合，

同分母的分数相结合，能凑整数的数相结合，正数负数分别相加，从

而使计算简便．

1．计算



1

12

＋

23

1

＋

34

1

＋…＋

20032004

1

2．如果│a│=3，│b│=2，且a

3．取-56，从该数起，逐次加1，得到一列数．-56，-55，-54，

-53，-52，…问：

（1）第10个整数是多少？第56个呢？第100个呢？

（2）依次求出这列数前10个、前56个、前100个整数的和分

别是多少？

（3）这列数字前n个数的和是否随着n的增大而增大？请说明

理由．

【答案】1．

2004

2003

2．5或1．

3．（1）-47，-1，43

（2）-515，-1596，-650

（3）不是，当加到第58个数（为1）时，前n个数的和才开始

递增．

（六）课堂跟踪反馈

夯实基础

1．运用加法的运算律计算（+6

3

1

）+（-18）+（+4

3

2

）+（-6.8）

+18+（-3.2）最适当的是（D）

A．[（+6

3

1

）+（4

3

2

）+18]+[（-18）+（-6.8）+（-3.2）]

B．[（+6

3

1

）+（-6.8）+（4

3

2

）]+[（-18）+18+（-3.2）]

C．[（+6

3

1

）+（-18）]+[（+4

3

2

）+（-6.8）]+[18+（-3.2）]

D．[（+6

3

1

）+（+4

3

2

）]+[（-18）+18）]+[（-3.2）+（-6.8）]

2．已知│x│=4，│y│=5，则│x+y│的值为（C）

A．1B．9C．9或1D．±9或±1

3．有理数中，所有整数的和等于0．

4．（-2）+4+（-6）+8+…+（-98）+100=50．

5．一个加数是绝对值等于

8

1

的负有理数，另一个加数是－

2

1

的相

反数，•这两个数的和等于

8

3

．

6．计算题

（1）-16

3

1

+29

6

1

（2）（+0.65）+（-1.9）+（-1.1）+（-

20

13

）+（+5

3

2

）+（-2

3

1

）

（3）1

4

3

+（-6.5）+3

8

3

+（-1.75）+2

8

5

（4）（+6

5

3

）+（-5

3

2

）+（4

5

2

）+（+2

7

1

）+（-1）+（-1

7

1

）

【答案】（1）12

6

5

（2）

3

1

（3）-0.5（4）5

提升能力

7．小李到银行共办理了四笔业务，第一笔存入120元，第二笔

支取了85元，第三笔取出70元，第四笔存入130元．如果将这四笔

业务合并为一笔，•请你替他策划一下这一笔业务该怎样做．

【答案】＋120+（-85）+（-70）+（+130）=95（元），所以一

次存入95元．

8．某检修小组乘汽车沿公路检修线路，约定前进为正，后退为

负．•某天自Ａ地出发到收工时所走路线（单位：千米）为：+10，-3，

+4，+2，-8，+13，-2，+12，+8，•+5．

（1）问收工时距Ａ地多远？

（2）若每千米路程耗油0.2升，问从Ａ地出发到收工共耗油多

少升？

【答案】（1）距Ａ41千米（2）13.4升

开放探究

把-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3这些数填入下图的圆圈中，

•使得每条直线上数字之和都为0．

【答案】

9．新中考题

3

-1

-5

-4

-3

-2

2

1

0

（2004·重庆万州区）计算：-3+│-1│=-2．

教学反思：

这节课的学习，我主要采用了体验探究的教学方式，为学生提供

了亲自操作的机会，引导学生运用已有经验、知识、方法去探索与发

现等式的性质，使学生直接参与教学活动，学生在动手操作中对抽象

的数学定理获取感性的认识，进而通过教师的引导加工上升为理性认

识，从而获得新知，使学生的学习变为一个再创造的过程，同时让学

生学到获取知识的思想和方法，体会在解决问题的过程中与他人合作

的重要性，为学生今后获取知识以及探索和发现打下基础。

1．3．2有理数的减法（第一课时）

教学目标

1．知识与技能

①经历探索有理数减法法则的过程，理解有理数减法法则．

②会熟练进行有理数减法运算．

2．过程与方法

①体验把减法运算转化为加法运算，渗透转化思想．

②经历探索有理数减法法则的过程，发展学生的逻辑思维能力．

3．情感、态度与价值观

在数学学习中获得成功的体验，尊重并充分理解他人的见解．

教学重点难点

重点：有理数减法法则和运算．

难点：有理数减法法则的推导．

教与学互动设计

（一）创设情境，导入新课

抢答游戏（1）-7+______=+5，（2）______+（-3）=12，（3）

（-72）+______=-30

投影2．大家看这幅画面，由实物投影仪显示课本第１页引言

中的画面，•这是北京2003年11月某天的温度为-3～3℃，它确切的

含义是什么？•这一天的最高温差是多少？

观察、讨论

表明最高温度差为3℃，最低温度为-3℃，这天最高温差为6℃．

思考能不能列计算式？

生：3-（-3）

（二）合作交流，解读探究

鼓励学生充分探索，提示减法是加法的逆运算，思考该如何转化．

观察下列两式：（？）+（-3）=4

根据有理数加法法则，有（+7）+（-3）=4

因而为：4-（-3）=7

观察总结比较下列两式：

4-（-3）=74+3=7

因而有：4-（-3）=4+3

你能发现什么吗？

再举一组数：计算（-5）-（+3）=-5+_____

学生活动3+（？）=-5

因为3+（-8）=-5

所以（-5）-（+3）=-8

又-5+（-3）=-8

总结归纳：减去一个数，等于加上这个数的相反数，字母表示为：

a-b=a+（-b）

（三）应用迁移，巩固提高

例1计算题

（1）（－

3

2

）-（+

12

1

）-（-

4

1

）

（2）（-0.1）-（-8

3

1

）+（-11

3

2

）-（-

10

1

）

（3）（-1.5）-（-1.4）-（-3.6）+（-4.3）-（+5.2）

（4）（5-6）-（7-9）

【答案】（1）－

2

1

（2）-3

3

1

（3）-6（4）1

例2根据题意列出式子计算

（1）一个加数是1.8，和是－0.81，求另一个加数．

（2）－

3

1

的绝对值的相反数与

3

2

的相反数的差．

解：（1）另一个数为-0.81-1.8=-2.61

（2）-｜-

3

1

|-（-

3

2

）=-

3

1

例3若│a│=8，│b│=3，且a

解：由题知a=±8，b=±3，且a

a-b=-8-3=-11或a-b=-8-（-3）=-5，即：a-b=-11或-5．

所以:(-5)-(+3)=(-5)+(-3)=-8

例4若a<0，b>0，则

（1）│a-b│=b-a

（2）若│a+b│+│a-b│=-2a，则应添加什么条件．

【提示】去绝对值首先必须考虑绝对值的正负，在（2）中，

要使结果为-2a，即前一个绝对值为－a-b，后一个绝对值为b-a，即

a+b必须为负，•从而确定成立的条件．

【答案】a+b<0

【点评】由结论反过来推导条件，根据结论的特征作推断．

备选例题（2004·浙江绍兴）比-1小1的数是（D）

A．-1B．0C．1D．-2

【提示】即-1-1=－2

【答案】D

（四）总结反思，拓展升华

总括：有理数减法法则是一个转化法则，减数变为它的相反数，

从而减法转化为加法．可见，引进负数后对加法和减法，可以用统一

的加法来解决．

不论是正数、负数或是零，都符合有理数减法法则，在使用法则

时，注意减号变加号的同时把减数变成它的相反数，而被减数不变．

1．已知a<0，b<0，│a│>│b│，试判断a-b的符号．

【答案】负

（2）a、b是两个有理数，试比较a-b与a的大小．

【答案】当b>0时，a-ba．

3．已知有理数a、b在数轴上对应的位置如图所示：

（1）比较a-b与a+b的大小．

（2）化简│b-a│+│a+b│

【答案】（1）a-b>a+b（2）-2b

4．下图是一家饭店楼层的示意图．其中有6层是客房，底楼是

接待处，•地下3层是停车场．

7

客

户

6

5

4

3

2

1接待处

-1

停车场-2

-3

（1）客房5楼与停车场2楼相差几层？

（2）一服务员把汽车停在停车场1楼，进入该层电梯，往上7

层，又下3层，再下3层，最后上7层，你知道最后他在哪里？

（3）某日，电梯停电，该服务员在停车场1楼停好汽车后，只

-1b

a

1

0

能走楼梯，他先去客房，依次到了5楼、1楼、4楼，然后去接待处，

最后回到停到场1楼，他共走了几层楼梯？

【答案】（1）7层（2）客房7层（3）16层

（五）课堂跟踪反馈

夯实基础

1．填空题

（1）0℃比－10℃高多少度？列算式为0-（-10），转化为

加法是0+10，•运算结果为10．

（2）减法法则为减去一个数，等于加上这个数的相反数，

即把减法转为加法．

（3）比-18小5的数是–23，比-18小-5的数是–13．

（4）A、B两地海拔高度为100米、-20米，B地比A地低120

米．

2．下列说法正确的是（C）

A．正数与正数的差是正数B．负数与负数的差是正数

C．正数减去负数差为正数D．0减去正数差为正数

3．下列说法正确的个数是（A）

①减去一个数等于加上这个数;②零减去一个数，仍得这个数

③两个相反数相减得零;④有理数减法中，被减数不一定比减

数或差大

⑤减去一个负数，差一定大于被减数;⑥减去一个正数，差不

一定小于被减数

A．2个B．3个C．4个D．5个

4．计算题

（1）（-7）-（-4）-（+5）;（2）（-9）-[（-10）-（-2）]

（3）（-4

4

1

）-（+5

3

1

）-（-4

4

1

）;（4）-8.2-9.2-1.6-（-5）

【答案】（1）-8，（2）-1，（3）-5

3

1

，（4）-14

提升能力

5．若│a│=5，│b│=7，且│a+b│=-（a+b），求a-b的值．

【答案】12或2

6．全班学生分为五个组进行游戏，每组的基本分为100分，答

对一题加50分，答错一题扣50分，游戏结束时，各组的分数如下：

第1组第2组第3组第4组第5组

100150-400350-100

（1）第一名超出第二名多少分？

（2）第一名超出第五名多少分？

【答案】（1）200，（2）750

开放探究

7．设A是-4的相反数与-12的绝对值的差，B是比－6大5的数．

求：（1）A-B（2）B-A（3）从（1）、（2）的计算结果，你能

知道A-B与B-A•之间有什么关系？

【答案】A=-8，B=-1（1）-7（2）7（3）互为相反数关

系

8．若a>0，b<0，试比较－a，-b，-（a+b），-（a-b）的大小关

系．

【答案】-（a-b）<-a<（-（a+b）<-b

9．新中考题

（2004·重庆）计算2-（3）的结果为（B）

A．-5B．5C．1D．-1

教学反思：

这节课的学习，我主要采用了体验探究的教学方式，为学生提供

了亲自操作的机会，引导学生运用已有经验、知识、方法去探索与发

现等式的性质，使学生直接参与教学活动，学生在动手操作中对抽象

的数学定理获取感性的认识，进而通过教师的引导加工上升为理性认

识，从而获得新知，使学生的学习变为一个再创造的过程，同时让学

生学到获取知识的思想和方法，体会在解决问题的过程中与他人合作

的重要性，为学生今后获取知识以及探索和发现打下基础。

1．3．2有理数的减法（第二课时）

教学目标

1．知识与技能

使学生理解加减法统一成加法的意义，能熟练地进行有理数加减

法的混合运算．

2．过程与方法

通过加减法的相互转化，培养学生的应变能力，口头表达能力及

计算能力．

3．情感、态度与价值观

敢于面对数学活动中的困难，并有独立克服困难和运用知识解决

问题的成功体验．

教学重点难点

重点：把加减混合运算理解为加法算式．

难点：把省略括号的和的形式直接按有理数加法进行计算．

教与学互动设计

（一）创设情境，导入新课

竞赛活动比一比，看谁算得快

（-20）+（+3）-（-5）-（+7）

（-7）+（+5）+（-4）-（-10）

（二）合作交流，解读探究

师：对比上式①，你首先想到将原式如何变形？

生：根据有理数的减法法则把减号统一成加号，即原式变为：

-20+（+3）+（+5）+（-7）

师：很好，可见在引入相反数后，加减混合运算可以统一为加法

运算．用字母可表示成：

a+b-c=a+b+（-c）．

下面：请大家一起来练习计算以上两道题．

学生作业练习

师针对学生做的方法评析，作以下说明．

1．式③表示的是-20，+3，+5，-7的和，为了书写简单，可以

省略式中的括号，•从而有-20+3+5-7．

大家要注意到，虽然加号和括号都省略了，但-20+3+5-7仍表示

-20，+3，+5，-•7的和所以这个算式可以读作“负20，正3，正5，

负7的和”．当然，•按运算意义也可读作“负20加3加5减7”．

学生尝试用两种读法读．同桌间互相出式，并读出两种读法．

2．刚才在大家练习的过程中，我们看到有两种典型的处理方法，

•一是将原式按次序计算；二是将原式换成（-20-7）+（3+5）．大家

观察比较一下，•你看哪种方法更好，为什么？

生：第二种过程更简便、合理．因为它运用了有理数加法的交换

律、结合律．

师：太棒了，在有理数的加法运算中，通常应用加法运算律，可

使计算简化，根据刚才过程可见，在有理数加减混合运算统一成加法

后，一般应注意运算的合理性，适当运用运算律．大家一起看下面问

题：

（三）应用迁移，巩固提高

例1把（+

3

2

）+（－

5

4

）-（+

5

1

）-（-

3

1

）-（+1）写成省略加

号的和的形式，并计算．

解：（+

3

2

）+（－

5

4

）-（+

5

1

）-（-

3

1

）-（+1）

=（+

3

2

）+（－

5

4

）-（-

5

1

）-（+

3

1

）-（+1）

=

3

2

－

5

4

-

5

1

+

3

1

-1

=

3

2

+

3

1

-

5

4

-

5

1

-1

=1-1-1

=-1

说明：解题过程由学生口述、教师板演，同时提问每步的根据和

目的，并强调书写的规范化．

师：纵观这道题的解答过程，你能总结得到什么？小组同学可作

交流．

学生小组交流，并总结．

【总结】有理数的加减混合运算的计算有如下几个步骤：

1．将减法转化成加法运算：

2．省略加号和括号；

3．运用加法交换律和结合律，将同号两数相加；

4．按有理数加法法则计算．

例2比谁算得对，算得快

（1）（+

7

2

）+（-

9

4

）-（+

9

5

）-（-

5

7

）-（+1）

（2）-7-（-8）-（-7

1

2

）-（+9）+（-10）+11

1

2

（3）-99+100-97+98-95+96+…+2

（4）-1-2-3-…-100

【点拨】按照正确的运算法则进行运算．

【答案】（1）-1，（2）1，（3）50，（4）-5050

例3银行储蓄所办理了8件工作业务，取出950元，存进500

元，取出800元，•存进1200元，存进了2500元，取出1025元，取

出200元，存进400元，这时，银行现款是增加了，还是减少了？增

加或减少了多少元？

【点拨】根据题意把取出记为“－”，存进记为“＋”，列出算

式进行运算．

解：每次存款数记为-950，＋500，-800，+1200，+2500，-1025，

-200，+400．

则总额为：

－950+500+（-800）+1200+2500+（-1025）+（-200）+400

=1625（元）

答：增加了1625元．

备选例题（2003·桂林）计算1-3+5-7+9-11+…+97-99

【点拨】抓住算式的结构规律，可以考虑两两结合．

解：原式＝（1-3）+（5-7）+（9-11）+…+（97-99）=-50

（五）总结反思，拓展升华

回顾一下本节课所学内容，你学会了什么？

说明：在学生思考回答的过程中将本节的重点知识纳入知识系统．

1．若x<0，则│x-（-x）│等于（D）

A.-xB.0C.2xD.-2x

2．“*”表示一种运算，规则是

3*6=3-4+5-6

0*6=0-1+2-3+4-5+6

-3*6=-3-（-2）+（-1）-0+1-2+3-4+5-6

3*（-6）=3-2+1-0+（-1）-（-2）+（-3）-（-4）+（-5）-

（-6）

0*（-6）=0-（-1）+（-2）-（-3）+（-4）-（-5）+（-6）

（-3）*（-6）=（-3）-（-4）+（-5）-（-6）

（1）试根据以上的运算规则，填写下列各式的运算过程和结果：

①（-4）*4=-4-（-3）+（-2）-（-1）+0-1+2-3+4=0；

②1*10=1-2+3-4+5-6+7-8+9-10=-5；

③（-5）*（-11）=（-5）-（-6）+（-7）-（-8）+（-9）

-（-10）+（-11）

=-8；

④0*（-4）=0-（-1）+（-2）-（-3）+（-4）=-2；

⑤4*（-5）=4-3+2-1+0-（-1）+（-2）-（-3）+（-4）-

（-5）=5；

（2）根据以上的运算规则，填写结果：

①1*100=-50；

②（-100）*（-1）=-50；

③若（-1）*n=2，则n为C；（在下列答案中选：A.5B.-4

C.-4或5D.无法确定）

④若n*（-3）=-2，则n=-1或6；若n*（-1）=-2，则

n=-3或－4．

（六）课堂跟踪反馈

1．填空题

（1）式子-6-8+10+6-5读作负6，负8，正10，正6与负5的

和，或读作负6•减8•加10加6减5．

（2）把－a+（+b）-（-c）+（-d）写成省略加号的和的形式为

-a+b＋c-d．

（3）若│x-1│+│y+1│=0，则x-y=2．

（4）运用交换律填空：-8+4-7+6=-8–7+4+6

2．选择题

（1）已知m是6的相反数，n比m的相反数小2，则m+n等于（D）

A．4B．8C．-10D．-2

（2）使等式│-5-x│=│-5│+│x│成立的x是（D）

A．任意一个数B．任意一个正数

C．任意一个负数D．任意一个非负数

（3）-a+b-c由交换律可得（B）

A．-b+a-cB．b-a-cC．a-+c-bD．-b+a+c

（4）a、b两数在数轴上位置如图，设M=a+b，N=-a+b，H=a-b，

G=-a-b，•则下列各式中正确的是（B）

A.M>N>H>GB.H>M>G>NC.H>M>N>G

D.G>H>M>N

提升能力

3．计算题

（1）0-（+5）-（-3.6）+（-4）+（-3）-（-7.4）

（2）（+3

3

4

）-（-1

1

2

）+（-

1

6

）-（-

5

8

）-（+4

2

3

）

-1b

a

1

0

（3）2-（-5

5

6

）-（+4

3

7

）+（-2

1

6

）-（+6

11

21

）

（4）1-2+3-4+5…+2003-2004

【答案】（1）-1（2）

25

24

（3）-5

2

7

（4）-1002

4．某医院的急诊病房收治了一位非典病人，护士每隔2个小时

为这位病人量一次体温（单位为℃）（正常人的体温37℃）．

（1）完成下表：

时刻8点10点12点14点16点18

点

体温

与正常人的正常体温

差值

（2）这一天的8点18点之间，这位急诊病人哪个时刻体温最高？

哪个时刻的体温低？

（3）这位病人的这一天的平均体温是多少？

【答案】（1）略（2）14点最高（3）38.6℃

开放探究

5．股票交易是市场经济中的一种金融活动，它可以促进投资和

资金流通．•南京某证券交易所的一种股票第一天最高价比开盘价高

0.2元，•最低价比开盘价低0.3元，第二天的最高价比开盘价高0.3

元，最低价比开盘价低0.1元，第三天的最高价等于开盘价，最低价

比开盘价低0.2元．一天中最高价与最低价的差，•叫做这天股票的

涨幅．计算这三天的平均涨幅．

【答案】0.4

6．新中考题

（2004·呼和浩特）选择题：计算9-（-3）=（D）

A．-12B．6C．-6D．12

教学反思：

这节课的学习，我主要采用了体验探究的教学方式，为学生提供

了亲自操作的机会，引导学生运用已有经验、知识、方法去探索与发

现等式的性质，使学生直接参与教学活动，学生在动手操作中对抽象

的数学定理获取感性的认识，进而通过教师的引导加工上升为理性认

识，从而获得新知，使学生的学习变为一个再创造的过程，同时让学

生学到获取知识的思想和方法，体会在解决问题的过程中与他人合作

的重要性，为学生今后获取知识以及探索和发现打下基础。

1.3.2有理数的减法（第三课时）

教学目标

1．知识与技能

使学生会使用计算器进行有理数的加减运算．

2．过程与方法

尝试从不同角度寻求解决问题的方法，并能有效地解决问题．

3．情感、态度与价值观

有克服困难和运用知识解决问题的成功体验．

教学重点难点

重点：记清计算器中常用功能键的用法，多进行实际操作，逐步

熟悉计算器的用法．

难点：准确地用计算器进行加减运算．

教与学互动设计

（一）创设情境，导入新课

观察体验大家看这样一个算式：-15.13+4.85+（-7.69）-

（-13.38）要计算出它的值，你能有什么方法吗？

引导使用计算器、电子计算器，简称计算器，具有运算快，操

作简便，体积小，功能多等特点，既可帮助我们进行各种复杂的数学

计算，还可以帮助我们理解数学概念，有时计算器还可以编程序或绘

制各种图形．在信息高速发展的时代，它已成为人们广泛使用的计算

工具．

本节课我们来学习计算器的简单使用方法．

（二）合作交流，解读探究

自主探索我们平时用的是带符号键（一）的计算器或带符号键

+/-•的计算器．下面，我们就这两种类型的计算器将上式计算一下．

首先阅读课本第30页，并对照计算器操作，再练习计算

-15.13+4.85+（-7.69）-（-13.38）

学生活动：阅读、对照课本实际操作．

学生演示（一）-15.13+4.85+（-7.69）-（13.38）

=-15.13+4.85-7.69+13.38

按键顺序

（一）15.13+4.85-7.69+13.38=显示-4.59

演示（二）

15.13+-+4.85-7.69+13.18=显示-4.59

总结：-15.13+4.85+（-7.69）-（-13.38）=-4.59

（三）应用迁移，巩固提高

例1用计算器计算

（1）（-417）+509+（-371）+（-137）

（2）（-18.65）+（-6.23）+18.41+6.53-（-12.64）

（3）81.26-（+293.08）-（-8.74）-（-111.29）

（4）-26.18+（-12.93）+16.77-（-78.81）

【答案】（1）-416（2）12.7（3）-91.79（4）56.47

例2课本练习．

备选例题（2004·湖北荆门）计算机利用的二进制数，它共有

两个数码0，•1，将一个十进制数转化为二进制数，只需把该数写成

若干个2n数的和，•依次写出成0即可．如19（+）

=16+2+1=1×24+0×23+0×22+1×21+1×20=10011（二）为二进制下的

5•位数，则十进制数2004是二进制下的（）

A.10位数B.11位数C.12位数D.13位数

【提示】根据二进制数的定义来将2004改写为二进制形式．

2004=1×210+1×29+1×28+1×27+1×26+1×25+1×24+1×23+1×22

可见，•二进制下2004是11位．

【答案】B

（四）总结反思，拓展升华

1．使用计算器，能使我们从繁杂的计算中解放出来．使用时，•

要记清计算器中常用的功能键的用法，多进行实际操作，操作时还需

注意以下几点：（1）•计算器？要平稳放置；（2）计算开始时按ON，

停止使用按OFF；（3）按下数学键时，•应看其是否正确．

2．用计算器计算

（1）

2222

121





=____________.

（2）

333333

12321





=___________.

（3）

44444444

1234321





=_______________.

由此，你可以猜想出哪些类似等式

_________________________________.

【点评】借助计算器解决问题，通过观察、操作、归纳、推断

等教学活动，体验数学问题的创造性，感受数学思考的严谨性．

【答案】（1）121（2）12321（3）1234321

5555555555

123454321





=123454321

（五）课堂跟踪反馈

夯实基础

1．用计算器求－3.525-（-0.743）-4.511，按键顺序是3.525

+-+0.743•-•4.511或（一）3.525+0.743-4.511

提升能力

2．用计算器计算：

（1）-729+361-（-438）-（-266）

（2）71.89-（-61.03）+（-38.88）-（+63.74）

（3）688-319+（-263）-（-399）

（4）-4.71-（-8.92）+（-13.83）-（+21.76）

（5）81.26-293.08+8.74+111.23

【答案】（1）336（2）30.3（3）505（4）-12、14（5）

-91.85

开放探究

3．你能在－5和35之间插入三个数，使这5•个数中相邻两个数

之间的距离相等吗？

【答案】5、15、25

4．新中考题

（2004·绍兴）用计算器探索：按一定规律排列的一组数：

1

10

，

1

11

，

1

12

，…

1

19

，

1

20

．如果从中选出若干个数，使它们的和大于0.5，

那么至少要选________个数．

【解析】本题主要考查学生计算器的运用能力，可将这些数按

从大到小的顺序输入相加，可以发现，

1

10

+

1

11

+

1

12

+

1

13

+

1

14

+

1

15

+

1

16

≈

0.5517>0.5，故至少要选7个数．

【答案】7

（六）资料采撷

＋，＋，×或·，÷的由来

加减乘除（＋，－，×或·，÷）等数学符号都是经过长期发展

而形成的，到了17世纪，才得到广泛使用．

加法符号，开始使用的是英文plus（加）的字头p．在德国，•

使用了相当于英语“and”（和）的词“et”．随着欧洲商业繁荣，写

“et”也嫌慢了，•为了加快速度，把两个字母连着写，因此“et”

慢慢地变成了“＋”．

减法也是一样，使用英文minus（减少）的字头m，为了便于速

写，逐渐变成了“－”．

在“＋”号出现了100年左右后，•英国的奥特雷德首先使用了

“×”作为乘号．后来，莱布尼兹认为“×”容易与x相混淆，建议

用“·”作为乘号，这样，•“·”也得到了承认．

除法的符号“÷”是英国的瓦里斯最初使用的，后来在英国得到

推广．除的本意是，符号“÷”的中间的横线把上、下两部分分开，

形象地表示了“分”．

教学反思：

这节课的学习，我主要采用了体验探究的教学方式，为学生提供

了亲自操作的机会，引导学生运用已有经验、知识、方法去探索与发

现等式的性质，使学生直接参与教学活动，学生在动手操作中对抽象

的数学定理获取感性的认识，进而通过教师的引导加工上升为理性认

识，从而获得新知，使学生的学习变为一个再创造的过程，同时让学

生学到获取知识的思想和方法，体会在解决问题的过程中与他人合作

的重要性，为学生今后获取知识以及探索和发现打下基础。

1.4有理数的乘除法

1.4.1有理数的乘法（第一课时）

教学目标

1．知识与技能

①经历探索有理数乘法法则的过程，发展观察、归纳、猜想、验

证的能力．

②会进行有理数的乘法运算．

2．过程与方法

通过对问题的变式探索，培养观察、分析、抽象的能力．

3．情感、态度与价值观

通过观察、归纳、类比、推断获得数学猜想，体验数学活动中的

探索性和创造性．

教学重点难点

重点：能按有理数乘法法则进行有理数乘法运算．

难点：含有负因数的乘法．

教与学互动设计

（一）创设情境，导入新课

做一做出示一组算式，请同学们用计算器计算并找出它们的规

律．

例1（1）（+5）×（+3）=_______;（2）（+5）×（-3）=________

（3）（-5）×（+3）=________;（4）（-5）×（-3）=________

例2（1）（+6）×（+4）=________;（2）（+6）×（-4）=________

（3）（-6）×（+4）=________;（4）（-6）×（-4）=________

（二）合作交流，解读探究

想一想你们发现积的符号与因数的符号之间的关系如何？

学生活动：计算、讨论

总结一正一负的两个数的乘积为负；两正或两负的乘积是正数．

两数相乘，同号得正，异号得负．

想一想两数相乘，积的绝对值是怎么得到的呢？

学生：是两因数的绝对值的积．

引导此结论能否用现实来验证呢？请同学们阅读教科书第36

页，讨论协作完成问题的解释．

探究交流阅读课本，小组讨论、总结．

学生甲解释：课本上说蜗牛沿一条直线的跑道，以每分钟2cm•

的速度向右爬行了3分钟．那么它现在在什么位置？（即它位于原来

位置的哪个方向，•与原位置相距多少米？）

式子（+2）×（+3）=+6

（+2）表示向右爬行，（+3）表示爬行了3分钟．即小虫位于原

位置右边6米．

学生乙解释：（-2）×（+3）=-6表示蜗牛向左从每分钟2m的速

度爬行了3•分钟后离开原位置的左边6m的距离．

师：引导学生可否把（-2）看成是蜗牛的速度为每分钟-2m爬行

了3分钟．

学生答．

师：你们能否试着把这一情境用数轴来表示呢？

学生代表到黑板作图，运用数轴把刚才的说法结合数轴来讲解．

师：下面问题，涉及到时间为负的情况．这该如何来领会．

学生活动：小组讨论．

学生代表：-3是指蜗牛3分钟前从起点爬到现在的位置的时间，

•积的负号是指3分钟前的位置在现在位置的左边表示“－”，6是蜗

牛3分钟前与现在的距离．

师：能否用数轴来展现其过程吗？

学生试着画数轴，并请一位同学到黑板演示过程．

师：用负数表示现在之前的一段时间，这是一个创意．在你们的

讨论过程中，现在可否作出（-2）×（-3）=+6的解释呢？并用数轴

来表示，试一试．

学生回答问题．

课件展示把刚才的情境设计成多媒体课件，让学生感受形成过

程．

师：大家再思考，如果3×0或-3×0，那积为多少？从而可得到

什么结论？

生：任何数和0相乘都得零．

学生活动：一同学任说一数，由另一同学说出它的倒数．

小结正数的倒数是正数，负数的倒数还是负数，0没有倒数．

（三）应用迁移，巩固提高

例1判断题

（1）两数相乘，若积为正数，则这两个因数都是正数．（×）

（2）两数相乘，若积为负数，则这两个数异号．（∨）

（3）两个数的积为0，则两个数都是0．（×）

（4）互为相反的数之积一定是负数．（×）

（5）正数的倒数是正数，负数的倒数是负数．（∨）

【点拨】根据有理数和乘法运算法则来作出判断．

例2填空题

（1）（-1

1

4

）×（-

4

5

）=1，（2）（+3）×（-2）=-6，

（3）0×（-4）=0，（4）1

2

3

×（-1

1

5

）=-2，

（5）（-15）×（-

1

3

）=5，（6）-│-3│×（-2）=6，

（7）输入值a=-4，b=

3

4

，输出结果：①ab=-3，②-a·b=

3，③a·a=16，④b·（-b）=－

9

16

【点评】乘号“×”也可用“·”代替，或省略不写，但要以

不引起误会为原则，如a×b可表示成a·b或ab，而（+2）×（-5）

可表示成（-2）（-5）或（-2）·（-5），凡数字相乘，如果不用括号，

用“×”为好，例如2×5不宜写成2·5或25．

例3用正、负数表示气温的变化量：上升为正、下降为负．•

某登山队攀登一座山峰，每登高1km，气温的变化量为-6℃．攀登5km

后，气温有什么变化？

【答案】（-6）×5=-30，即下降了30℃．

例4在整数-5，-3，-1，2，4，6中任取三个数相乘，所得的

积的最大值是多少？•任取两个数相加，所得的和的最小值又是多

少？

【答案】（-5）×（-3）×6=90，为最大的积；-5+（-3）=-8，

是最小的两数之和．

【提示】每次销售价的改变都是在改变前的价格的基础上进行

的．

6．课本练习

备选例题（2004·江苏南通）以下是一个简单的数值运算程序：

输入x•→×（-3）→-2→输出．当输入的x值为－1时，则输出的

数值为1．

【点拨】程序运算式是有理数运算的新型形式，该程序所反映

的运算过程是-3x-2．当输入x为-1时，运算式为（-3）×（-1）-2=1．

（四）总结反思，拓展升华

引导学生从三个方面理解本节课所学内容：1．有理数的乘法法

则；2．多个不为0的因数相乘时，积的符号的确定；3．几个相乘的

因数中，只要有一个0因数，•则积的确定．

1．自己操作实践、如何应用计算器来计算有理数的乘法、阅读

课本P41．并练习用计算器来计算：

（1）74×59=4366;（2）（-98）×（-63）=6174

（3）（-49）×（+204）=-9996;（4）37×（-73）=-2701

2．“⊙”表示一种新运算，它的规则是：a⊙b=-a×b-（a+b）

（1）求3⊙5=-23;（2）求（3⊙4）⊙5=109

（3）请你定义一种新运算“○

×

”，使其中含有乘法运算，且2○

×

（-3）=1

【答案】a○

×

b=-a×b+（-a+b）

（五）课堂跟踪反馈

夯实基础

1．填空题

（1）若ab>0，则表示a、b的关系是a、b同号．若ab=0，

则表示a、b的关系是a、b中至少有一个为0．若ab<0，则表示

a、b的关系是a、b异号．

（2）（-2）×（-3）=6，（-

2

3

）·（-1

1

2

）=1，2001×

（-2002）×2003×（-2004）×0=0．

2．选择题

（1）若ab>0，则必有（D）

A．a>0，b>0B．a<0，b<0C．a>0，b<0C．同

号

（2）若ab=0，则必有（C）

A．a=b=0B．a=0

C．a、b中至少有一个为0D．a、b中最多有一个为0

（3）一个有理数和它的相反数的积（C）

A．符号必为正B．符号必为负C．一定不大于

0D．一定大于0

（4）有奇数个负因数相乘，其积为（B）

A．正B．负C．非正数D．非负数

3．计算题

（1）（-3

1

2

）×（-4）（2）（-2）×（-3）×（-5）

（3）（-7

2

3

）×3×（－

1

23

）（4）（-9.89）×（-6.2）×（-26）

×（-30.7）×0

【答案】（1）14（2）-30（3）1（4）0

提升能力

4．现定义两种运算“○

＋

”和“○

·

”对于任意两个整数a、b，有

a○

＋

b=a+b-1，a○

·

b=ab-1，求4○

·

[（6○

＋

8）○

＋

（3○

·

5）]的值．

【答案】103

开放探究

5．（2004·云南）观察按下列顺序排列的等式．

9×0+1=1

9×1+2=11

9×2+3=21

9×3+4=31

9×4+5=41

……

猜想，第n个等式（n为正整数）用n表示，可以表示成9（n-1）

+n=10（n-1）+1．

（六）资料采撷

“相反数”和“倒数”

绝对值相等、符号相反的两个数，称为互为相反数，要强调“互

为”的含义．a的相反数记为－a．初学代数，见到字母，学生往往

只想到它代表正数，而没想到字母也可能是负数或0．这些都应使学

生明确其真正意义．•相反数等于本身的数是0．

倒数早在小学就学过了．如果两个数的乘积是1，这两个数就互

为倒数，•这里也强调“互为”的含义．并且还应使学生注意：0没

有倒数，•互为倒数的两个数同号，倒数等于本身的数是±1．

“反”和“倒”的意思比较相近，容易搞错．其实它们是完全不

同的两个概念．一般地，相反数是指一对数，它们的绝对值相等，符

号相反；倒数也是指一对数，它们的绝对值不等，符号相同．

教学反思：

这节课的学习，我主要采用了体验探究的教学方式，为学生提供

了亲自操作的机会，引导学生运用已有经验、知识、方法去探索与发

现等式的性质，使学生直接参与教学活动，学生在动手操作中对抽象

的数学定理获取感性的认识，进而通过教师的引导加工上升为理性认

识，从而获得新知，使学生的学习变为一个再创造的过程，同时让学

生学到获取知识的思想和方法，体会在解决问题的过程中与他人合作

的重要性，为学生今后获取知识以及探索和发现打下基础。

1.4.1有理数的乘法（第二课时）

教学目标

1．知识与技能

使学生经历探索有理数乘法的交换律、结合律和分配律，并能灵

活运用乘法运算律进行有理数的乘法运算，使之计算简便．

2．过程与方法

通过对问题的探索，培养观察、分析和概括的能力．

3．情感、态度与价值观

能面对数学活动中的困难，有学好数学的自信心．

教学重点难点

重点：熟练运用运算律进行计算．

难点：灵活运用运算律．

教与学互动设计

（一）创设情境，导入新课

想一想上一节课大家一起学习了有理数的乘法运算法则，掌握

得较好．那在学习过程中，大家有没有思考多个有理数相乘该如何来

计算？

做一做（出示胶片）你能运算吗？

（1）2×3×4×（-5）

（2）2×3×（-4）×（-5）

（3）2×（-3）×（-4）×（-5）

（4）（-2）×（-3）×（-4）×（-5）

（5）-1×302×（-2004）×0

由此我们可总结得到什么？

（二）合作交流，解读探究

交流讨论不难得到结论：几个不为0的数乘，•积的符号由负

因数这个数决定．当负因数的个数是偶数时，积为正；负因数的个数

是奇数时，积为负，并把绝对值相乘．

注意只要有一个因数为0，则积为0．

（三）应用迁移，巩固提高

例1计算（-3）×

5

6

×（－

9

5

）×（－

1

4

）×（-8）×（-1）

【提示】先找出其中负因数的个数为5个，故积的符号为负，再

将绝对值相乘．

＝（-3）×

5

6

×（－

9

5

）×（－

1

4

）×（-8）×（-1）

＝-3×

5

6

×

9

5

×

1

4

×8×1

=-9

例2计算（-1999）×（-2000）×（-2001）×（-2002）×2003

×（-2004）×0

【提示】不管数字有多么复杂，只要其中有一个为0，则积为

0．

数学游戏学生活动：按下列要求探索：

（1）任选两个有理数（至少有一个为负），分别填入□和○内，

•并比较两个结果：

□×○＝_________和○×□________

（2）任选三个有理数（至少有一个为负），分别填入□、•○和

◇中，并比较计算结果：

（□·○）·◇＝_________和□·（○·◇）=__________

（3）任选三个有理数（至少有一个为负），分别填入□、○和◇

中，•并比较计算结果：

◇·（□＋○）＝________和◇·□和◇·○＝________

【总结】有理数的乘法仍满足交换律，结合律和分配律．

乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变，用式子表

示为a·b=b·a

乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个

数相乘，积不变．用式子表示成（a·b）·c=a·（b·c）

乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这

两个数相乘．

用字母表示成：a（b+c）=a·b+a·c

例3（投影）计算:（1）-

3

4

×（8-

4

3

-

14

15

）

（2）19

18

19

×（-15）

【分析】①利用乘法分配律

②将19

18

19

换成20-

1

19

，再用分配律计算．

学生板演、练习．

备选例题（2004·江苏泰州）-1

1

2

的倒数是（）

A．

2

3

B．

3

2

C．-

2

3

D．-

3

2

【提示】-1

1

2

化为假分数-

3

2

，它的倒数为-

2

3

【答案】C

（四）总结反思，拓展延伸

本节课我们的成果是探究出有理数的乘法运算律并进行了应

用．可见，运算律的运用十分灵活，各种运算律常常是混合应用的．这

就要求我们要有较好的掌握运算律进行计算的能力，要寻找最佳解题

途径，不断总结经验，使自己的能力得到提高．

一列数a1，a2，a3，…an．

若a=100+（-6）×1，

a=100+（-6）×2，

a=100+（-6）×3，

…

则an=100-6n；当an=-2002时，n=351．

在这列数a1，a2，a3，…，an中最小的正数＝4，最大的负数

＝-2．

（五）课堂跟踪反馈

夯实基础

（1）两个整数的积为8，它们的和等于±9或±6．

（2）“a、b同号”用不等式表示为ab>0．“a、b异号”用不

等式表示为ab<0．

（3）3.1416×7.5944+3.1416×（-5.5944）=6.2832.

（4）（

1

2

-3-

5

9

+

5

6

-

7

12

）×（-36）=101.

（5）（-8）×（-12）×（-0.125）×（-

1

3

）×（-0.001）=-0.004.

（6）（-14

13

14

）×（+4）=（-15+

1

14

）×4=-15×4+

1

14

×4

=-59

5

7

（7）已知a>0，b<0，则│ab│＋b│a│=0．

（8）若a+b<0，ab>0，则a<0，b<0．

2．计算题

（1）（-

1

12

）×

8

15

×（-

2

3

）×（-2

1

4

）=-

1

15

（2）6.878×（-15）+6.878×（-12）-6.878×（-37）=68.78

（3）

1

4

×-16×（-

4

5

）×（-1

1

4

）×8×（-0.25）=8

（4）（-

1

6

-

3

20

+

4

5

-

11

12

×（-5）×12=26

（5）（-99

88

89

）×36=-3599

53

89

提升能力

3．若a、b、c为有理数，且│a+1│＋│b＋2│＋│c+3│＝0．求

（a-1）（b+2）（c-3）

4．已知x、y为有理数，如果规定一种新运算※，定义x※y=xy+1．•

根据运算符号的意义完成下列各题．

（1）2※4=9（2）求1※4※0=1

（3）任意选取两个有理数（至少一个为负数）分别填入下例□

与○内，•并比较两个运算结果，你能发现什么？

□※○与○※□

（4）根据以上方法，设a、b、c为有理数．请与其他同学交流

a※（b+c）与a※b+•a※c的关系，并用式子把它们表达出来．

【答案】（3）相等（4）a※（b+c）+1=a※b+a※c

开放探究

5．趣味题

以前有一个农民，他有17只羊，临终前，他嘱咐把羊分给三个

儿子，他说：“大儿子分一半，二儿子分

1

3

，小儿子分

1

4

，但是不允

许把羊杀死或者卖掉”．三个儿子感到很为难，不知怎么分，你能他

们分吗？

【答案】借一只羊就会有18只，他们分别分得9只，6只和2

只后，•还剩一只羊，再还给人家．

6．新中考题

（2004·山东淄博）观察下列数表

1234…第一行

2345…第二行

3456…第三行

4567…第四行

┋┋┋┋

第第第第

一二三四

列列列列

根据数表所反映的规律，第n行第n列交叉点上的数应为（A）

A．2n-1B．2n+1C．n2-1D．n2

教学反思：

这节课的学习，我主要采用了体验探究的教学方式，为学生提供

了亲自操作的机会，引导学生运用已有经验、知识、方法去探索与发

现等式的性质，使学生直接参与教学活动，学生在动手操作中对抽象

的数学定理获取感性的认识，进而通过教师的引导加工上升为理性认

识，从而获得新知，使学生的学习变为一个再创造的过程，同时让学

生学到获取知识的思想和方法，体会在解决问题的过程中与他人合作

的重要性，为学生今后获取知识以及探索和发现打下基础。

1．4．2有理数的除法（第一课时）

教学目标

1．知识与技能

①了解有理数除法的定义．

②经历有理数除法法则的过程，会进行有理数的除法运算．

③会化简分数．

2．过程与方法

①通过有理数除法法则的导出及运用，让学生体会转化思想．

②培养学生运用数学思想指导数学思维活动的能力．

3．情感、态度与价值观

在独立思考的基础上，积极参与对数学问题的讨论，能从交流中

获益．

教学重点难点

重点：正确应用法则进行有理数的除法运算．

难点：怎样根据不同的情况来选取适当的方法求商．

教与学互动设计

（一）创设情境，导入新课

我们在前几节课和大家一起学习了有理数的乘法．并且还由乘法

而认识了有理数的倒数问题．那大家知道乘法的逆运算是什么？该如

何计算和应用．这就是本节课我们学习的内容．

（二）合作交流，解读探究

试一试（-10）÷2=？

交流因为除法是乘法的逆运算，也就是求一个数“？”，使（?）

×2=-10

显然有（-5）×2=-10，所以（-10）÷2=-5

我们还知道：（-10）×

1

2

=-5

由上式表明除法可转为乘法．即：（-10）÷2=（-10）×

1

2

再试一试：（-12）÷（-3）=？

【总结】除以一个数，等于乘以这个数的倒数（除数不能为0）．•

用字母表示成a÷b=a×

1

b

，（b≠0）．

（三）应用迁移，巩固提高

例1计算：（1）（-36）÷9（2）（-63）÷（-9）（3）

（－

12

25

）÷

3

5

（4）0÷3（5）1÷（-7）（6）（-6.5）÷0.13

（7）（－

4

5

）÷（－

2

5

）（8）0÷（-5）

提出问题：在大家的计算过程中，应用除法法则的同时，有没有

新的发现？

学生活动：分组讨论．

【总结】两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0•

除以任何一个不等于0的数，都得0．

【点拨】这个运算方法的得出为计算有理数除法又添了一种方

法．我们要根据具体情况灵活选用方法．大家试来比较一下，以上各

题分别用哪种运算法则更简便．

【讨论】（1）、（2）、（5）、（6）用确定符号，并把绝对值相除．

（3）、（7）用除以一个数，等于乘以这个数的倒数．

【引导】小学里我们都知道，除号与分数线可相互转换．如

-12

3

=-12÷3．•利用这个关系，我们可以将分数进行化简．

例2化简下列分数

（1）

-45

-15

（2）

12

-36

（3）

-7

-14

（4）

0

-8

学生活动：口答．

备选例题（2004·福建南平）

a

|a|

＋

b

|b|

（ab≠0）的所有可能

的值有（C）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【点拨】本题含有绝对值符号，故要考虑a、b的正负情况．当

a>0时，

a

|a|

＝1；当a<0时，

a

|a|

＝－1．

【答案】C

例3试着用计算器计算

（1）-0.056÷1.4=-0.04;（2）1.252÷（-4.4）

=-0.285

（3）（-3.561）÷（-1.96）=1.817

【说明】让学生练习用计算器进行有理数的除法计算．通过自

己的亲身的探索、操作而增强学生的独立意识和动手能力．

（四）总结反思，拓展延伸

本节课大家一起学习了有理数除法法则．有理数的除法有2种方

法，•一是根据除以一个数等于乘以这个数的倒数，二是根据“两数

相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．一般能整除时用第

二种．

1．（1）m为负整数，它的倒数

1

m

，它的相反数为-m，试比较m，

1

m

和－m的大小．

（2）m为正整数，结论又怎样？

（3）m为非零有理数，讨论m，

1

m

和－m的大小．

【答案】（1）-m>

1

m

≥m（2）m≥

1

m

>-m（3）①-1

－m>m>

1

m

，②m≤-1时，-•m>

1

m

≥m，③当0

1

m

>m>-m，④m≥

1时，m≥

1

m

>-m．

（六）课堂跟踪反馈

夯实基础

1．选择题

（1）如果一个数除以它的倒数，商是1，那么这个数是（D）

A．1B．2C．-1D．±1

（2）若两个有理数的商是负数，那么这两个数一定是（D）

A．都是正数B．都是负数C．符号相同D．符号

不同

（3）

|a|

a

=-1，则a为（B）

A．正数B．负数C．非正数D．非负数

（4）若a+b<0，

b

a

>0，则下列成立的是（B）

A．a>0，b>0B．a<0，b<0C．a>0，b<0D．a<0，

b>0

2．计算题

（1）（-2

1

7

）÷（－

5

14

）=6（2）3.5÷

7

8

÷（-1

1

7

）=

－

7

2

（3）－

3

2

÷（-7）÷（-

5

14

）=-

3

5

（4）（-1）÷（+

3

5

）÷（-

3

7

）=

35

9

提升能力

3．填空题

（1）若a、b是互为倒数，则3ab=3．

（2）相反数是它本身的数有0，绝对值等于它本身的数是

非负数，倒数等于它本身的数是1，-1．

（3）若<0，且yz<0，那么x>0．（填“）”、“〈”〉

（4）当x=2时，代数式没有意义．

（5）±1的倒数等于本身，0的相反数等于本身，非

负数的绝对值等于本身，•一个数除以1等于本身，一个数除以

–1等于这个数的相反数．

开放探究

4．一家公司为了开发某种产品，需要每年向银行存款或取款，

到今年，•存取款结果正好为零．如果把向银行的存款数（万元）记

为正数，那么向银行的取款数（万元）就应当记为负数；如果把现在

起向后的时间（年）记为正数，那么把现在起向前的时间（年）记为

负数，在这个问题中，

（1）（-100）÷4的实际意义是___________；

（2）（-100）÷（-4）的实际意义是_____________．

仿照上题，请你举一个实例，使问题的数量为：

（1）16÷（-2）（2）（-10）÷（-2）

【答案】略

5．新中考题

（2004·北京）－

1

3

的倒数是（B）

A．3B．-3C．

1

3

D．－

1

3

（七）资料采撷

大数学家维纳的故事

维纳（1894─1964）是最早在美洲数学界赢得国际荣誉的大数学

家，关于他的轶事多极了．

维纳早期在英国，后来赴美国麻省理工学院任职，长达25年．他

是校园中大名鼎鼎的人物，人人都想与他套近乎．有一次一个学生问

维纳怎样求解一个具体问题，维纳思考片刻就写出了答案．实际上这

位学生并不想知道答案，只是问他“方法”．维纳说：“可是，就没有

别的方法了吗？”思考片刻，他微笑着随即写出了另一种解法．维纳

最有名的故事是有关搬家的事．一次维纳乔迁，妻子熟悉维纳的个性，

搬家前一天晚上再三提醒他．她还找了一张便条，上面写着新居的地