线性代数知识点总结

.

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线性代数知识点总结

第一章行列式

1.n阶行列式

12

12

12

11121

21222

12

12

1L

L

L

L

L

MMOM

L

n

n

n

n

tppp

n

ppnp

ppp

nnnn

aaa

aaa

Daaa

aaa

2.特殊行列式



11121

12

222

11221122

0

1

00

n

tn

n

nnnn

nn

aaa

aa

Daaaaaa

a

L

L

L

LL

MMOM

L

1

2

12n

n









L

O

，

1

1

2

2

12

1

nn

n

n











L

N

3.行列式的性质

定义记11121

21222

12

n

n

nnnn

aaa

aaa

D

aaa



L

L

MMOM

，11211

12222

12

n

n

T

nnnn

aaa

aaa

D

aaa



L

L

MMOM

L

，行列式TD称为行列式

D的转置行列式。

性质1行列式与它的转置行列式相等。

性质2互换行列式的两行

ij

rr或列

ij

cc，行列式变号。

推论如果行列式有两行（列）完全相同（成比例），则此行列式为零。

性质3行列式某一行（列）中所有的元素都乘以同一数

()

j

krk

，等于用数k乘此行列式；

推论1D的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到D的外面;

推论2D中某一行（列）所有元素为零，则=0D。

性质4若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则

1112111

2122222

12

()

()

()

iin

iin

nnnininn

aaaaa

aaaaa

D

aaaaa















LL

LL

MMMM

LL

1

2

1212

inin

inin

nnninnnnninn

aaaaaaaa

aaaaaaaa

aaaaaaaa









LLLL

LLLL

LLLLLLLLLL

LLLL

性质6把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，

.

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行列式的值不变。

计算行列式常用方法：①利用定义；②利用运算



ij

rkr

把行列式化为上三角形行列式，从

而算得行列式的值。

4.行列式按行（列）展开

余子式在

n

阶行列式中，把元素

ij

a所在的第i行和第j列划去后，留下来的1n阶行列

式叫做元素

ij

a的余子式，记作

ij

M。

代数余子式1ij

ijij

AM记，叫做元素

ij

a的代数余子式。

引理一个

n

阶行列式，如果其中第i行所有元素除（i，j）(,)ij元外

ij

a都为零，那么这

行列式等于

ij

a与它的代数余子式的乘积，即

ijij

DaA。

（高阶行列式计算首先把行列上的元素尽可能多的化成0，保留一个非零元素，降阶）

定理

n

阶行列式

11121

21222

12



L

L

MMOM

L

n

n

nnnn

aaa

aaa

D

aaa

等于它的任意一行（列）的各元素与其对应

的代数余子式的乘积之和，即

1122iiiiinin

DaAaAaAL，

(1,2,,)inL

1122jjjjnjnj

DaAaAaAL或，(1,2,,)jnL。

第二章矩阵

1.矩阵

11121

21222

11

n

n

mmmn

aaa

aaa

A

aaa















L

L

LLLL

L

行列式是数值，矩阵是数表，各个元素组成

方阵：行数与列数都等于n的矩阵A。记作：A

n。

行(列)矩阵：只有一行(列)的矩阵。也称行(列)向量。

同型矩阵：两矩阵的行数相等，列数也相等。

相等矩阵：AB同型,且对应元素相等。记作：A＝B

零矩阵：元素都是零的矩阵（不同型的零矩阵不同）

对角阵：不在主对角线上的元素都是零。

单位阵：主对角线上元素都是1，其它元素都是0，记作：E

注意矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得

.

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其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同。

2.矩阵的运算

矩阵的加法

1111121211

2121222222

1122

nn

nn

mmmmmnmn

ababab

ababab

AB

ababab





















L

L

LLLL

L

说明只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。

矩阵加法的运算规律

1ABBA；2ABCABC



11121

21222

11

3,()

n

n

ijijmn

mn

mmmn

aaa

aaa

AaAa

aaa

























L

L

LLLL

L

设矩阵记，A称为矩阵A

的负矩阵

40,AAABAB。

数与矩阵相乘

11121

21222

11

,

n

n

mmmn

aaa

aaa

AAAAA

aaa























L

L

LLLL

L

数与矩阵的乘积记作或规定为

数乘矩阵的运算规律（设AB、为

mn

矩阵，,为数）

1AA；2AAA；3ABAB。

矩阵相加与数乘矩阵统称为矩阵的线性运算。

矩阵与矩阵相乘设(b)

ij

B是一个

ms

矩阵，(b)

ij

B是一个

sn

矩阵，那么规定矩阵

A与矩阵B的乘积是一个

mn

矩阵(c)

ij

C，其中



1

2

121122

j

j

iiisijijissj

sj

b

b

aaaababab

b

















LL

M1

s

ikkj

k

ab



，1,2,;1,2,,imjnLL，

并把此乘积记作CAB

注意

.

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1。A与B能相乘的条件是：A的列数＝B的行数。

2。矩阵的乘法不满足交换律，即在一般情况下，ABBA，而且两个非零矩阵的

乘积可能是零矩阵。

3。对于n阶方阵A和B，若AB=BA，则称A与B是可交换的。

矩阵乘法的运算规律

1ABCABC；2ABABAB

3ABCABAC，BCABACA4

mnnnmmmnmn

AEEAA





5若A是n阶方阵，则称Ak为A的k次幂，即k

k

AAAAL

14243

个

，并且mkmkAAA，

k

mmkAA,mk为正整数。规定：A0＝E（只有方阵才有幂运算）

注意矩阵不满足交换律，即ABBA，k

kkABAB（但也有例外）

转置矩阵把矩阵A的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做A的转置矩阵，记作A，

1T

TAA；2T

TTABAB；3T

TAA；4T

TTABBA。

方阵的行列式由

n

阶方阵A的元素所构成的行列式，叫做方阵A的行列式，记作A

注意矩阵与行列式是两个不同的概念，n阶矩阵是n2个数按一定方式排成的数表，而n

阶行列式则是这些数按一定的运算法则所确定的一个数。

1TAA；2nAA；(3)ABABBABA

对称阵设A为n阶方阵，如果满足A=AT，那么A称为对称阵。

伴随矩阵行列式A的各个元素的代数余子式

ij

A所构成的如下矩阵

11211

12222

12

n

n

nnnn

AAA

AAA

A

AAA

















L

L

LLLL

L

称为矩阵A的伴随矩阵。

性质AAAAAE（易忘知识点）

总结

（1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。

（2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘,且矩

阵相乘不满足交换律。

（3）矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同。

逆矩阵：AB＝BA＝E，则说矩阵A是可逆的，并把矩阵B称为A的逆矩阵。1AB即。

说明

.

..页脚.

1A，B互为逆阵，A=B-1

2只对方阵定义逆阵。（只有方阵才有逆矩阵）

3.若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的。

定理1矩阵A可逆的充分必要条件是0A，并且当A可逆时，有1*

1

AA

A

（重要）

奇异矩阵与非奇异矩阵当0A时，A称为奇异矩阵，当0A时，A称为非奇异矩

阵。即0AAA可逆为非奇异矩阵。

求逆矩阵方法*

*1

(1)||||0

2

1

(3)

||

AA

A

AA

A







先求并判断当时逆阵存在；

（）求；

求。

初等变换的应用：求逆矩阵：1(|)|AEEA初等行变换。

逆矩阵的运算性质

1

111,,AAAA

若可逆则亦可逆且

1

1

1

2,0,,AAAA





若可逆数则可逆且。

1113,,,ABABABBA若为同阶方阵且均可逆则亦可逆且()。

1

14,,T

TTAAAA

若可逆则亦可逆且。

1

15,AAA

若可逆则有。

3.矩阵的初等变换

初等行（列）变换

1()

ij

rr对调两行，记作。

20()

i

krk以数乘以某一行的所有元素，记作。

.

..页脚.

3()

ij

krkr把某一行所有元素的倍加到另一行对应的元素上去，记作。

初等列变换：把初等行变换中的行变为列，即为初等列变换，所用记号是把“r”换成“c”。

矩阵等价ABAB如果矩阵经有限次初等变换变成矩阵，就称矩阵与等价。

行阶梯形矩阵：可画出一条阶梯线，线的下方全为零，每个台阶只有一行，台阶数即是非零

行的行数阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也是非零行

的第一个非零元。（非零行数及矩阵的秩）

.

00000

34000

52130

23012

的秩求矩阵



































B

R(B)=3

行最简形矩阵：行阶梯矩阵中非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元

素都为0.

标准型：对行最简形矩阵再施以初等列变换，可以变换为形如r

mn

EO

F

OO











的矩阵，称

为标准型。标准形矩阵是所有与矩阵A等价的矩阵中形状最简单的矩阵。

初等变换的应用

求逆矩阵：1(|)|AEEA初等行变换或

1

AE

EA









初等列变换。

4.矩阵的秩

矩阵的秩任何矩阵

mn

A



，总可以经过有限次初等变换把它变为行阶梯形，行阶梯形矩

阵中非零行的行数是唯一确定的。（非零行的行数即为矩阵的秩）

说明

1.矩阵A

m×n

，则R(A)≤min{m,n};

2.R(A)=R(AT);

3.R(A)≥r的充分必要条件是至少有一个r阶子式不为零;

4.R(A)≤r的充分必要条件是所有r+1阶子式都为零.

满秩和满秩矩阵矩阵ij

mn

Aa



，若()RAm，称A为行满秩矩阵；若()RAn，

称A为列满秩矩阵；,(),AnRAnA若为阶方阵且则称为满秩矩阵。

()nARAn若阶方阵满秩，即

0A；

.

..页脚.

1A必存在；

A为非奇异阵；

,~.

nn

AEAE必能化为单位阵即

矩阵秩的求法

定理1矩阵A经过有限次行(列)初等变换后其秩不变。即若A～B，则R(A)=R(B)。

推论()()PQRPAQRA若、可逆，则

矩阵秩的性质总结

(1)0()min{,}

mn

RAmn





(2)()()TRARA

(3)~,ABRARB若则()()PQRPAQRA(4)若、可逆，则

(5)max{(),()}(,)()()

()(,)()1.

RARBRABRARB

BbRARARA



b特别当为非零列向量时，有

(6)()()()RABRARB

(7)()min{(),()}.RABRARB

(8),()().

mnnl

ABORARBn



若则

(9)AB=OAB=O设，若为列满秩矩阵，则（矩阵乘法的消去率）。

第三章

1.n维向量n个数a

1

,a

2

,…,a

n

组成的一个有序数组(a

1

,a

2

,…,a

n

)称为一个n维向量,记为

1

2

12

()(,,,)

...

T

n

n

a

a

aaa

a

















L列向量形式或（行向量形式），其中第i个数a

i

称为向量

的第i个分量。

向量组若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组。

设矩阵A=(a

ij

)

m×n

有n个m维列向量，即

111211

212222

12

jn

jn

mmmjmn

A

aaaa

aaaa

aaaa

















LL

LL

MMMMMM

LL

，

.

..页脚.

12n

a,a,,aAL向量组称为矩阵的列向量组。同理，也可说矩阵A有m个行向量组组成。

向量，向量组，矩阵与方程组的关系

向量组矩阵：

12

(,,,)

m

AL

向量方程方程组：

1

11121

2

21222

12

n

n1n2n

...

m

m

m

m

a

aab

a

aab

xxx

a

aab



























M

MMM

，

可简写作

1122nn

xxxL

向量方程方程组矩阵形式

11

22

12

(,,,)

m

nn

xb

xb

Axb

xb

















L

MM

线性组合给定向量组

12

:,,,

m

AL和向量b，如果存在一组数

12

,

m

L，，使

1122mm

bL，则向量b是向量组A的线性组合，这时称b向量能由向量组

A线性表示。

定理1向量b能由向量组

12

:,,,

m

AL线性表示的充分必要条件是矩阵

12

(,,,)

m

AaaaL的秩等于矩阵

12

(,,,,b)

m

BaaaL的秩。即R(A)=R(A,b)。

向量组的线性表示设有两个向量组

1212

:,,,:,,,

ms

ABLL及，若B组中每

个向量都能由向量组A线性表示，则称向量组B能由向量组A线性表示，若向量组A与向

量组B能相互线性表示，则称这两个向量组等价。

向量组的线性相关给定向量组

12m

:,,,AL，如果存在不全为零的数

12

,,,

m

kkkL

使

1122

0

mm

kkkL，则称向量组是线性相关的，否则称它线性无关；若当且仅

.

..页脚.

当

12

0

m

kkkL时上式成立，则称向量组A线性无关。

线性相关：可线性组合表示的，线性无关：相互独立，互不代表

注意

1.对于向量组来说，不是线性无关，就是线性相关。

2.对于两个向量来说，线性相关意味着两向量的分量对应成比例，几何含义两向量共线；

三个向量线性相关意味着三向量共面。

3.,0,0,向量组只有一个向量时若则说线性相关若则说线性无关。

4.包含零向量的任何向量组是线性相关的，此时总存在不为零的k，使得

12

00000

n

kLL

线性相关性的判定

定理向量组

12

,,,

m

L（当2m时）线性相关的充分必要条件是

12

,,,

m

L中

至少有一个向量可由其余m-1个向量线性表示

定理4向量组

12

:,,,

m

AaaaL线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵

12

(,,,)

m

AaaaL小于向量的个数m，向量组线性无关的充分必要条件是R（A）=m。

最大线性无关向量组设有向量组A，如果在A中能选出r个向量

12

,,,

r

L，满足：

012

1:,,,

r

AL（）向量组线性无关；

(2)向量组A中任意r+1个向量(如果有的话)都线性相关；

则称向量组

012

:,,,

r

AL是向量组A的一个最大线性无关向量组。

(2)*向量组A中任何一个(其它)向量可由

012

:,,,

r

AL线性表示。

第四章线性方程组的解

线性方程组

11112211

21122222

1122

nn

nn

mmmnnm

axaxaxb

axaxaxb

axaxaxb





















L

L

LLLLLLLL

L

如果有解，则称其为相容的，否则称为不相容

的。

n元齐次线性方程组Ax=0

（1）R(A)=nAx=0有唯一解，零解（无非零解）

（2）R(A)

n元非齐次线性方程组Axb

（1）无解的充分必要条件是(A)R(A,b)R

.

..页脚.

（2）有唯一解的充分必要条件是(A)R(A,b)nR

（3）有无限多解的充分必要条件是(A)R(A,b)nR

基础解系齐次线性方程组0Ax的通解具有形式

1122

xcc(c

1

,c

2

为任意常数)，

称通解式112212

,xcccc为任意常数中向量

12

,构成该齐次线性方程组的基础解

系。

非齐次线性方程组解的通解具有形式*

1122

xcc(c

1

,c

2

为任意常数)，不带参数部分

*是非齐次方程组的一个特解；带参数部分

1122

cc的两个向量构成对应齐次方程的基

础解系。

齐次方程组解的性质、结构

的解向量仍是

，数的解向量，则对任意实是齐次方程设

0

k

,0,

2211

2121







Ax

k

kkAx





非齐次方程组解的性质

.0

0kk,1)(

2211

2121

的解为对应的齐次方程

时，则当的解都是及设





Axkkx

bAxxx





.

1kk,2)(

2211

2121

的解为对应的齐次方程

时，则当的解都是及设

bAxkkx

bAxxx









1

,,,

,,,3

21

21

2211

21









s

s

ss

s

kkk

kkkbAx

kkk

bAx









为任意实数，且的解向量，仍是

的解向量，则是非齐次方程）设（





解的系数和为1是非齐次方程的解，为0是齐次方程的解。

线性方程组的解法

齐次线性方程组：将系数矩阵A化成行阶梯形矩阵，判断是否有非零解.若有非零解，化成

行最简形矩阵，写出其解；

非齐次线性方程组：将增广矩阵B=(A,b)化成行阶梯形矩阵，判断其是否有解．若有解，化

成行最简形矩阵，写出其解；

第五章矩阵的相似

.

..页脚.

第六章二次型

.

..页脚.