高等数学知识点

高数重点总结

1、基本初等函数：反函数(y=arctanx)，对数函数(y=lnx)，幂函数(y=x)，指数函数(xay

)，

三角函数(y=sinx)，常数函数(y=c)

2、分段函数不是初等函数。

3、无穷小：高阶+低阶=低阶例如：1limlim

0

2

0





x

x

x

xx

xx

4、两个重要极限：e

x

ex

x

xx

x

x

xx



















1

1lim1lim)2(1

sin

lim)1(

1

00

经验公式：当

)(,0)(,

0

xgxfxx，)()(lim

)(

0

0

)(1lim

xgxf

xg

xx

xxexf



例如：3

3

lim

1

0

031lim

















eexx

x

x

x

x

5、可导必定连续，连续未必可导。例如：||xy连续但不可导。

6、导数的定义：

0

0

0

0

'

)()(

lim)('

)()(

lim

0

xf

xx

xfxf

xf

x

xfxxf

xxx















7、复合函数求导：



)(')('

)(

xgxgf

dx

xgdf

•

例如：

xxx

x

xx

x

yxxy













24

12

2

2

1

1

',

8、隐函数求导：(1)直接求导法；(2)方程两边同时微分，再求出dy/dx

例如：

y

x

dx

dy

ydyxdx

y

x

yyyx

yx







22,),2(

'0'22,),1(

122

左右两边同时微分法

左右两边同时求导解：法

9、由参数方程所确定的函数求导：若











)(

)(

thx

tgy

，则

)('

)('

/

/

th

tg

dtdx

dtdy

dx

dy

，其二阶导数：





)('

)('/)('

/

)/(

/

2

2

th

dt

thtgd

dtdx

dt

dxdyd

dx

dxdyd

dx

yd



10、微分的近似计算：

)(')()(

000

xfxxfxxf•

例如：计算31sin

11、函数间断点的类型：(1)第一类：可去间断点和跳跃间断点；例如：

x

x

y

sin

（x=0

是函数可去间断点），)sgn(xy（x=0是函数的跳跃间断点）(2)第二类：振荡间断点

和无穷间断点；例如：













x

xf

1

sin)(（x=0是函数的振荡间断点），

x

y

1

（x=0是函

数的无穷间断点）

12、渐近线：

水平渐近线：cxfy

x





)(lim

铅直渐近线：.)(lim是铅直渐近线，则若，axxf

ax





斜渐近线：axxfb

x

xf

abaxy

xx





)(lim,

)(

lim,即求设斜渐近线为

例如：求函数

1

1

2

23







x

xxx

y的渐近线

13、驻点：令函数y=f(x)，若f'(x0)=0，称x0是驻点。

14、极值点：令函数y=f(x)，给定x0的一个小邻域u(x0,δ),对于任意x∈u(x0,δ)，都

有f(x)≥f(x0)，称x0是f(x)的极小值点；否则，称x0是f(x)的极大值点。极小值点与极

大值点统称极值点。

15、拐点：连续曲线弧上的上凹弧与下凹弧的分界点，称为曲线弧的拐点。

16、拐点的判定定理：令函数y=f(x)，若f"(x0)=0，且x0；x>x0时，f"(x)<0

或xx0时，f"(x)>0，称点(x0，f(x0))为f(x)的拐点。

17、极值点的必要条件：令函数y=f(x)，在点x0处可导，且x0是极值点，则f'(x0)=0。

18、改变单调性的点：

0)('

0

xf

，

)('

0

xf

不存在，间断点（换句话说，极值点可能是

驻点，也可能是不可导点）

19、改变凹凸性的点：

0)("

0

xf

，

)(''

0

xf

不存在（换句话说，拐点可能是二阶导数

等于零的点，也可能是二阶导数不存在的点）

20、可导函数f(x)的极值点必定是驻点，但函数的驻点不一定是极值点。

21、中值定理：

(1)罗尔定理：)(xf在[a,b]上连续，(a,b)内可导，则至少存在一点，使得0)('f

(2)拉格朗日中值定理：)(xf在[a,b]上连续，(a,b)内可导，则至少存在一点，使得

)(')()()(fabafbf

(3)积分中值定理：)(xf在区间[a,b]上可积，至少存在一点，使得

)()()(fabdxxf

b

a



22、常用的等价无穷小代换：

333

2

3

1

~tan,

6

1

~sin,

2

1

~sintan

2

1

~cos1

)1ln(~)11(2~1~tan~arctan~arcsin~sin~

xxxxxxxxx

xx

xxexxxxxx







23、对数求导法：例如，xxy

，1ln'1ln'

1

lnlnxxyxy

y

xxyx解：

24、洛必达法则：适用于“

0

0

”型，“





”型，“•0”型等。当

/0)(,/0)(,

0

xgxfxx

，)('),('xgxf皆存在，且0)('xg，则

)('

)('

lim

)(

)(

lim

00xg

xf

xg

xf

xxxx

例如，

2

1

2

sin

lim

0

0

2

cos

lim

0

01sin

lim

00

2

0







xe

x

xe

x

xex

x

x

x

x

x

25、无穷大：高阶+低阶=高阶例如，



4

2

2

lim

2

321

lim

5

3

2

5

32





x

xx

x

xx

xx

26、不定积分的求法

(1)公式法

(2)第一类换元法（凑微分法）

(3)第二类换元法：哪里复杂换哪里，常用的换元：1)三角换元：22xa，可令

taxsin；22ax，可令taxtan；22ax，可令taxc2)当有理分式函

数中分母的阶较高时，常采用倒代换

t

x

1



27、分部积分法：vduuvudv，选取u的规则“反对幂指三”，剩下的作v。分部

积分出现循环形式的情况，例如：dxxxdxex3c,cos