高等数学函数

１.基本初等函数求导公式

(1)

0)(



C

(2)

1)(

xx

(3)

xxcos)(sin



(4)

xxsin)(cos



(5)

xx2c)(tan



(6)

xx2csc)(cot



(7)

xxxtanc)(c



(8)

xxxcotcsc)(csc



(9)

aaaxxln)(



(10)

(e)exx



(11)

ax

x

aln

1

)(log



(12)

x

x

1

)(ln



，

(13)

21

1

)(arcsin

x

x







(14)

21

1

)(arccos

x

x







(15)

2

1

(arctan)

1

x

x







(16)

2

1

(arccot)

1

x

x







函数的和、差、积、商的求导法则

设

)(xuu

，

)(xvv

都可导，则

（1）

vuvu











)(

（2）

uCCu







)(

（

C

是常数）

（3）

vuvuuv











)(

（4）

2v

vuvu

v

u























反函数求导法则

若函数

)(yx

在某区间

y

I

内可导、单调且

0)(



y

，则它的反函数

)(xfy

在对应

区间x

I

内也可导，且

)(

1

)(

y

xf







或

dy

dx

dx

dy1



复合函数求导法则

设

)(ufy

，而

)(xu

且

)(uf

及

)(x

都可导，则复合函数

)]([xfy

的导数为

dydydu

dxdudx



或

()()yfux



２.双曲函数与反双曲函数的导数.

双曲函数与反双曲函数都是初等函数，它们的导数都可以用前面的求导

公式和求导法则求出．可以推出下表列出的公式：

(sh)chxx



(ch)shxx





2

1

(th)

ch

x

x





2

1

(arsh)

1

x

x





2

1

(arch)

1

x

x





2

1

(arth)

1

x

x







三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则

从函数的微分表达式:

d()dyfxx





可以看出，要计算函数的微分，只要计算函数的导数，再乘以自变量的微分．因此，可得如下的

微分公式和微分运算法则．

1．基本初等函数的微分公式

由基本初等函数的导数公式，可以直接写出基本初等函数的微分公式．为了便于对照，列

表于下：

导数公式微分公式

1)(

xx

xxcos)(sin



xxsin)(cos



1d()dxxx

d(sin)cosdxxx

d(cos)sindxxx

xx2c)(tan



xx2csc)(cot



xxxtanc)(c



xxxcotcsc)(csc



aaaxxln)(



xxee



)(

ax

x

aln

1

)(log



x

x

1

)(ln



21

1

)(arcsin

x

x







21

1

)(arccos

x

x







21

1

)(arctan

x

x







2

1

(arccot)

1

x

x







2d(tan)cdxxx

2d(cot)cscdxxx

d(c)ctandxxxx

d(csc)csccotdxxxx

d()lndxxaaax

d(e)edxxx

1

d(log)d

lna

xx

xa



1

d(ln)dxx

x



2

1

d(arcsin)d

1

xx

x





2

1

d(arccos)d

1

xx

x





2

1

d(arctan)d

1

xx

x





2

1

d(arccot)d

1

xx

x





2．函数和、差、积、商的微分法则

由于函数和、差、积、商的求导法则，可推得相应的微分法则．为了便于对照，列成下表（表

中

)(),(xvvxuu

都可导）．

函数和、差、积、商的求导法则函数和、差、积、商的微分法则

vuvu











)(

uCCu







)(

vuvuuv











)(

2

)(

v

vuvu

v

u











d()dduvuv

d()dCuCu

d()dduvvuuv

2

dd

d()

uvuuv

vv





现在我们仅证明乘积的微分法则.

3.复合函数的微分法则（一阶微分形式的不变性）

一阶微分形式不变性：设

f

是可微函数，

)(ufy

，则无论

u

是自变量，或是另一个变量

x

的可微函数，都同样有

d()dyfuu





．

4．例题

例3

)12sin(xy

，求

dy

．

例4

2ln(1e)xy

，求

dy

．

例5

13ecosxyx

，求

dy

．

例6在下列等式左端的括号中填入适当的函数，使等式成立．

(1)

ddxx

;

(2)

dcosdtt

.