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第一讲直线上的相遇与追及问题
教学目的:
1、学会行程的中,速度、时间、路程三个量的关系
2、掌握相向、背向、同向等概念
3、会运用追及和相遇解决简单行程问题
基本知识点
行程三个量的关系公式:
路程=速度时间;路程时间=速度;路程速度=时间
三个概念:
相向而行:面对面而行(如图)。
同向而行:面朝的方向相同而行(如图)
背向而行:背靠背方向,方向相反而行(如图)。
相遇和追及问题
1、相遇问题
含义:两个运动的物体同时由两地出发相向而行,在途中相遇。这类应
用题叫做相遇问题。
数量关系:总路程=(甲速+乙速)相遇时间
相遇时间=总路程(甲速+乙速)
(甲速+乙速)=总路程相遇时间
2、追及问题
含义:两个运动物体在不同地点同时出发(或者在同一地点而不是同时
出发,或者在不同地点又不是同时出发)作同向运动,在后面的,行进速度要快
些,在朝花夕拾精彩片段 前面的,行进速度蒜苗炒肉的做法 较慢些,在一定时间之内,后面的追上前面的物体。这
类应用题就叫做追及问题。
数量关系:追及路程=(快速-慢速)追及时间
追及时间=追及路程(快速-慢速)
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(快速-慢速)=追及路程追及时间
3、注意点:
①在处理相遇与追及问题的时候,一定要注意公式的海木耳怎么做好吃 使用时二者发生关系那
一时刻时候所处的状态。
②在行程问题里面所用的时间都是时间段,不是时间点(非常重要)。
③无论在哪一类行程问题里面,只要是相遇,就与速度和有关,只要是追及,
就与速度差有关。
相遇例题:
例1南京到上海的水路长392千米,同时从两港各开出一艘轮船相对而
行,从南京开出的船每小时行28千米,从上海开出的船每小时行21千米,经过
几小时两船相遇?
解392(28+21)=8(小时)
答:经过8小时两船相遇。
例2小李和小刘在周长为400米的环形跑道上跑步,小李每秒钟跑5米,
小刘每秒钟跑3米,他们从同一地点同时出发,反向而跑,那么,二人从出发到
第二次相遇需多长时间?
解“第二次相遇”可以理解为二人跑了两圈。因此总路程为4002
相遇时间=(4002)(5+3)=100(秒)
答:二人从出发到第二次相遇需100秒时间。
例3甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行,甲每小时行15千米,乙每
小时行13千米,两人在距中点3千米处相遇,求两地的距离。
解“两人在距中点3千米处相遇”是正确理解本题题意的关键。从题中可知
甲骑得快,乙骑得慢,甲过了中点3千米,乙距中点3千米,就是说甲比乙多走
的路程是(32)千米,因此,
相遇时间=(32)(15-13)=3(小时)
两地距离=(15+13)3=84(千米)
答:两地距离是84千米。
追及例题:
例1好马每天走120千米,劣马每天走75千米,劣马先走12天,好马
几天能追上劣马?
解(1)劣马先走12天能走多少千米?7512=900(千米)
(2)好马几天追上劣马?900(120-75)=20(天)
列成综合算式7512(120-75)=90045=20(天)
答:好马20天能追上劣马。
例2小明和小亮在200米环形跑道上跑步,小明跑一圈用40秒,他们从同一地
点同时出发,同向而跑。小明高一化学知识点 第一次追上小亮时跑了500米,求小亮的速
度是每秒多少米。
解小明第一次追上小亮时比小亮多跑一圈,即200米,此时小亮跑了(500
-200)米,要知小亮的速度,须知追及时间,即小明跑500米所用的时间。又
知小明跑200米用40秒,则跑500米用[40(500200)]秒,所以小亮的速
度是(500-200)[40(500200)]=300100=3(米)
答:小亮的速度是每秒3米。
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例3我人民解放军追击一股逃窜的敌人,敌人在下午16点开始从甲地以
每小时10千米的速度逃跑,解放军在晚上22点接到命令,以每小时30千米的
速度开始从乙地追击。已知甲乙两地相距60千米,问解放军几个小时可以追上
敌人?
解敌人逃跑时间与解放军追击时间的时差是(22-16)小时,这段时间敌人
逃跑的路程是[10(22-6)]千米,甲乙两地相距60千米。由此推知
追及时间=[10(22-6)+60](30-10)=22020=11(小时)
答:解放军在11小时后可以追上敌人。
例4一辆客车从甲站开往乙站,每小时行48千米;一辆货车同时从乙站
开往甲站,每小时行40千米,两车在距两站中点16千米处相遇,求甲乙两站的
距离。
解这道题可以由相遇问题转化为追及问题来解决。从题中可知客车落后于货
车(162)千米,客车追上货车的时间就是前面所说的相遇时间,
这个时间为162(48-40)=4(小时)
所以两站间的距离为(48+40)4=352(千米)
列成综合算式(48+40)[162(48-40)]=884=352(千米)
答:甲乙两站的距离是352千米。
例5兄妹二人同时由家上学,哥哥每分钟走90米,妹妹每分钟走60米。
哥哥到校门口时发现忘记带课本,立即沿原路回家去取,行至离校180米处和妹
妹相遇。问他们家离学校有多远?
解要求距离,速度已知,所以关键是求出相遇时间。从题中可知,在相同闻一多先生 时
间(从出发到相遇)内哥哥比妹妹多走(1802)米,这是因为哥哥比妹妹每分
钟多走(90-60)米,那么,二人从家出走到相遇所用时间为
1802(90-60)=12(分钟)
家离学校的距离为9012-180=900(米)
答:家离学校有900米远。
例6孙亮打算上课前5分钟到学校,他以每小时4千米的速度从家步行
去学校,当他走了1千米时,发现手表慢了10分钟,因此立即跑步前进,到学
校恰好准时上课。后来算了一下,如果孙亮从家一开始就跑步,可比原来步行早
9分钟到学校。求孙亮跑步的速度。
解手表慢了10分钟,就等于晚出发10分钟,如果按原速走下去,就要迟到
(10-5)分钟,后段路程跑步恰准时到学校,说明后段路程跑比走少用了(10
-5)分钟。如果从家一开始就跑步,可比步行少9分钟,由此可知,行1千米,
跑步比步行少用[9-(10-5)]分钟。所以
步行1千米所用时间为1[9-(10-5)]=0.25(小时)=15(分钟)
跑步1千米所用时间为15-[9-(10-5)]=11(分钟)
跑步速度为每小时111/60=160/11=5.5(千米)
答:孙亮跑步速度为每小时5.5千米。
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第二讲环形跑道的相遇与追及
教学目的:
1、了解什么是环形跑道问题
2、掌握环形跑道上相遇与追及的特点
基本知识点
1、环形跑道相遇问题:
如上图,我们可以看到甲、乙两人背向而行会在圆周上一点相遇,相遇的
时候他们刚好走过一个圆周的周长,如果在进行多次相遇的时候,与第一次相遇
的情况一样,新的起点,再次相遇。
重点:因此,圆周上的相遇告诉我们,每相遇一次,他们两个人的路程和为
一个圆周的周长。相遇几次,就是几个圆周的周长。由此,也可以建立等量关系,
来进行解题
公式:一个圆周的周长=(快速+慢速)相遇时间
2、环形跑道上的追及问题
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如上赖诺普利片 图,我们可以看到甲、乙两人同向而行,快的会再一次在圆周上追上
慢的,当追上的时候,快的刚好比慢的多走一个圆周的周长,如果在进行多次追
及的时候,与第一次相遇的情况一样,新的起点,再次追及。
重点:因此,圆周上的追及告诉我们,每追及一次,快的就应该比慢的多走
一个圆周的周长。追及几次,就是几个圆周的周长。由此,也可以建立等量关系,
来进行解题
公式:一个圆周的周长=(快速-慢速)相遇时间
1.在400米的环形跑道上,A、B两点相距100米,。甲、乙两人分别从A、B
两点同时出发,按照逆时针方向跑步,甲每秒跑5米,乙每秒跑4米,每人每跑
100米,都要停10秒钟。那么,甲追上乙需要的时间是多少秒?
答案:假设没有休息那么100/(5—4)=100秒钟在100/5=20秒
100/20-1=4(次)100+4*10=140秒
2.小明在360米的环形跑道上跑一圈,已知他前半时间每秒跑5米,后半时
间每秒跑4米,为他后半路程用了多少时间?
答案:x4=(360-x)5=160(3602-160)5+1604=44分
3.林琳在450吗长的环形跑道上跑一圈,已知她前一半时间每秒跑5米,后
一半时间每秒跑4米,那么她的后一半路程跑了多少秒
答案:设总时间为X,则前一半的时间为X/2,后一半时间同样为X/2
X/2*5+X/2*4=360
X=80
总共跑了80秒
前40秒每秒跑5米,40秒后跑了200米
后40秒每秒跑4米,40秒后跑了160米
后一半的路程为360/2=180米
后一半的路程用的时间为(200-180)/5+40=44秒
4.小君在360米长的环形跑道上跑一圈。已知他前一半时间每秒跑5米,后
一半时间每秒跑4米。那么小君后一半路程用了多少秒?
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答案:设时间X秒5X=360-4X9X=360X=40后一半时间的路程=40*4=160
米后一半路程=360/2=180米后一半路程用每秒跑5米路程=180-160=20米后
一半路程用每秒跑5米时间=20/5=4秒后一半路程时间=4+40=44秒答:后一半
路程用了44秒
5.小明在420米长的环形跑道上跑了一圈,已知他前一半时间每秒跑8米,
后一半时间每秒跑6米.求他后一半路程用了多少时间?
答案:设总用时X秒。前一半时间和后一半时间都是X/2。然后前一半跑
8*(X/2)米,后一半跑6*(X/2)米,总共加起来等于420米。所以列下方程
8*(X/2)+6*(X/2)=420.解得X=60。所以后一半跑了30秒。又因为后一半为6M/S,
所以后一半跑了6*30=180M。
6.二人沿一周长400米的环形跑道均速前进,甲行一圈4分钟,乙行一圈7
分钟,他们同时同地同向出发,甲走10圈,改反向出发,每次甲追上乙或迎面
相遇时二人都要击掌。问第十五次击掌时,甲走多长时间乙走多少路程?
答案:前10圈甲跑一圈击掌一次,即10下此时已跑了5+5/7圈;后面2
人跑了2/7时击掌一次,然后2人共一圈击掌1次耗时(4+2/7)/(1/4+1/7)
=30/7*(11/28)=165/98;甲共总走了40+165/98H已走了(40+165/98)*
(400/7)M
第三讲多人相遇与追及问题
教学目的:
1、了解多人相遇与追及的解题技巧。
2、会运用一些其他应用题手段来解决问题。
基本知识点
多人相遇与追及问题,与之前我们所接触的行程问题有所不同,因为它是三
个人或者三个人以上的行程问题,这样发现多了很多关系,整体处理起来就比较
难以入手。
解决技巧:数学思想就是把复杂问题简单化,因此,我们可以把多人的看成是两
个人两个人的行程关系。
对于行程关系,我们前面已经说过了,除了有相遇与追及之外,有时还会出现,
超越与背向而行产生距离。
超越的关系:
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路程公式:(快速-慢速)超越的时间=拉开的距离
会发现,超越与追及的公式一样,因此可以把它们归为一类。
背向而行产生距离:
公式:(快速+慢速)相遇时间=两个人产生的距离
会发现,背向而行产生距离与相遇的公式一样,因此可以把它们归为一类。
例题解析
1、从甲市到乙市有一条公路,它分为三段。在第一段上,汽车速度是每小时40
千米,在第二段上,汽车速度是每小时90千米,在第三段上,汽车速度是每小
时50千米。已知第一段公路的长恰好是第三段的2倍。现有两辆汽车分别从甲、
乙两市同时出发,相向而行,1小时20分后,在第二段的1/3处(从甲到乙方
向的1/3处)相遇。问:甲、乙相距多少千米?
2、当两只小狗刚走完铁桥长的1/3时,一列火车从后面开来,一只狗向后
跑,跑到桥头B时,火车刚好到达B;另一只狗向前跑,跑到桥头A时,火车也
正好跑到A,两只小狗的速度是每秒6米,问火车的速度是多少?
3、小明沿着向上移动的自动扶梯从顶向下走到底,他走了150级,他的同
学小刚沿着自动扶梯从底向上走到顶,走了75级,如果小明行走的速度是小刚
的3倍,那么可以看到的自动抚梯的级数是多少?
4、一辆车从甲地开往乙地,如果把车速提高20%,可以比原定时间提前一
小时到达;如果以原速行驶120千米后,再将原速提高25%,则可提前40分钟
到达,求甲乙两地相距多少千米?
5、一只狗追赶一只兔子,狗跳跃6次的时间,兔只能跳跃5次,狗跳跃4
次的距离和兔跳跃7次的距离相同,兔跑了5.5千米以后狗开始在后面追,兔又
跑了多远被狗追上。
6、三种动物赛跑,狐狸的速度是兔子的4/5,兔子的速度是松鼠的2倍,
一分钟松鼠比狐狸少跑12米,问:半分钟兔子比狐狸多跑几米?
7、A、B分别以每小时160千米和20千米的速度,在长为210千米的环形
公路上同时、同地、同向出发。每当A车追上B车一次,A车减速1/3而B车增
速1/3.问:在两车速度刚好相等的时候,它们分别行驶了多少千米?
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8、A、B两地相距125千米,甲、乙两人骑自行车分别从A、B两地同时出
发,相向而行。丙骑摩托车每小时63千米。与甲同时从A出发,在甲乙二人间
穿梭(与乙相遇立即返回,与甲相遇也立即返回),若甲车速为每小时9千米,
且当丙第二次到甲处时(甲、丙同时出发的那一次为丙第0次回到甲处),甲、
乙两人相距45千米,问:当丙第四次回到甲处时,甲乙相距多少米?
第八讲多次相遇与追及问题
教学目的:
1、了解多次相遇与追及问题的特点。
2、掌握多次相遇与追及问题与全程数的关系
3、会用比例解多次相遇与追及问题
4、相遇点的定位
基本知识点
相遇问题
1、相遇次数与两个人走过全程数的关系:
第一次相遇
第二次相遇
由以上两个图可以知道,第一次相遇走的全程数为1个,第二次相遇走的全程数
为3个,以此类推,第n次相遇走的全程数为(2冢田攻 n-1)。
2、相遇点的定位:
①确定甲乙两辆车的速度比m:n
②把全程分为(m+n)份
③根据相遇次数与全程数的关系,定位相遇点
④然后求解
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追及问题
其实追及问题与相遇问题一样,只不过追及问题是从同地出发,追及问题与
全程数的关系为:相遇次数N,走过的全程数为2N.
注意点:这里的相遇,我们只考虑迎面相遇的情况。
这里的追及,我们只考虑背后追及的情况。
例题解析
本文发布于:2023-03-19 10:11:34,感谢您对本站的认可!
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