潘小梅

ｌ一２左 数学教学 ２０１１年第１期

《用直角三角板拼多边形》问题的研究

３１５０４０浙江省宁波市江东区教育局教研室潘小梅

我们知道，若干块全等的三角板一定能镶嵌

平面，那么用若干块全等的直角三角板能拼成哪

些凸多边形呢？本文中所指的直角三角板是学生

熟悉的含３０。的直角三角板和含４５。的直角三角

板，拼的原则是各块三角板之间既不重叠也不留

空隙．

我们不妨从最简单的情形开始研究：用若干

块全等的直角三角板拼三角形．

若单用若干块全等的含４５。的直角三角板，

能拼成无数个大小不同的三角形，但拼成的三角

形其内角度数只能是４５。、４５。、９０。，因此内角

度数不同的三角形只有一种；

若单用若干块全等的含３０。的直角三角板，

拼成的三角形内角度数有以下３种：

‘ （１）３０。、３０。、１２０。；

（２）３０。、６０。、９０。；

（３）６０ｏ、６０ｏ、６０ｏ．

对应的图形如图１．

（１） （２） （３）

图１

同样地，如果用更多块数的三角板，也只能

拼成与上述三角形内角度数完全相同的三角形．

因此我们约定研究的是拼成内角度数不完全相

同的多边形．

现在，我们继续探索：用若干块全等的直角

三角板拼四边形．

若单用含４５。的直角三角板，计算可得，拼成

的四边形有以下３种：

（１）４５。、４５。、１３５。、１３５。； ．

（２）４５。、９０。、９０。、１３５。；

（３）９０。、９０。、９０。、９０。

拼成的图形对应如图２．

（１） （２） （３）

图２

但是，即使拼成内角度数完全相同的四边形，

它们也未必是相似的图形，比如以上（１）、（２）两

种内角度数的图形还可以如图３这样拼． ／ ＼

／ｌ ／ ＼

图３

因此，我们进一步约定研究的目标是：用最

少的三角板块数拼出内角度数不完全相同的多

边形．

那么，还有没有其他内角度数不同的四边形

呢？事实上，用含４５。的直角三角板拼成小于平

角的角只有３种，即４５。、９０。、１３５。，这３个角都

是４５。的整数倍，也就是说拼成的四边形的内角

度数一定是欢快的流行歌曲 ４５。的整数倍．不妨设四边形的４个

内角分别是４５Ｘｌ、４５ｘ２、４５ｘ３、４５ｘ４（１≤Ｘｌ≤

２≤Ｘ３≤Ｘ４≤３，且 为整数，ｉ＝１、２、３、４）．

根据四边形的内角和度数为３６０。可知，４５ｘｌ

＋４５ｘ２＋４５ｘ３＋４５ｘ４＝３６０．化简得 １十 ２十

Ｘ３＋Ｘ４＝８（１≤Ｘｌ≤Ｘ２≤Ｘ３≤Ｘ４≤３，且 ｉ

为整数，ｉ＝１、２、３、４）．…………………（１）

方程（１）的整数解只有３组，分别为（１，１，３，

３）、（１，２，２，３）、（２，２，２，２），对应的内角度数

分别为（４５。，４５。，１３５。，１３５￣）、（４５。，９０。，９０。，

１３５￣）、（９０。，９０Ｏ，９０。，９０。），所以，用含４５。的直

角三角板只能拼成３种内角度数不同的四边形．

２０１１年第ｉ期 数学数学 １．２５

．那么，若单用含３０。的直角三角板能拼成哪

些内角度数不同的四边形呢？类似地，我们容易

分析得到，用含３０。的直角三角板能拼成的小于

平角的角有３０。、６０。、９０。、１２０。、１５０。共５

种，它们都是３０。的整数倍，因此我们可以设拼

成的四边形的内角分别是３０ｘｌ、３０ｘ２、３０ｘ３、

３０ｘ４（１≤Ｘｌ≤Ｘ２≤Ｘ３≤ ４≤５，且 为整

数，ｉ＝１、２、３、４）．根据四边形内角和为３６０。

得，３０ｘｌ＋３０ｘ２十３０ｘ３＋３０ｘ４＝３６０．化简得

１＋ ２＋ ３＋Ｘ４＝１２（１≤Ｘｌ≤Ｘ２≤

３≤ｚ４≤５，且 ｔ为整数，ｉ＝１、２、３、４）．・・・（２）

方程（２）的整数解有８组．根据它的解可确

定四边形的内角度数，再根据内角度数用最少的

块数拼ｌ拙相应的图形如下

方程的整数解 对应的４内角度数 拼成的四边形

ｒ Ｘｌ＝１， ｒ １＝３０不合适的英文 。，

１

Ｊ 。＝ｌ， Ｊ Ｚ２：３０。， １

ｚ３＝５， １ ３：１５ｏ。， ／＼／

【 ４：５． 【 ４：１５０。． Ｌ

ｆ １＝１， ｒ １＝３０。，

２

Ｊ 。：２， Ｊ Ａ２：６０。， １

ｚ３：４， １ ３：１２０。， ／ ７＼

【 ４：５． 【 ４：１５０。．

ｒ Ｘｌ １， ｒ １＝３０。，

３ Ｊ ｚ＝３， Ｊ Ａ２：９０。， 卜

。：一。， １ Ｚ３：９０。， ／ ＼

Ｌ Ｘ４＝５． 【 ４：１５０。．

ｆ Ｘｌ＝１， ｒ ｌ＝３０。，

４

Ｊ ：３， Ｊ ２：９０。， １

３：４． １ Ｚ３：１２０。， 【

４：４． 【 ４：ｌ２ｏ。．

ｆ Ｘｌ＝２， ｒ １＝６０。， ＼

５ Ｊ ２：２， Ｊ Ａ２：６０。， １

。：３， １ ３：９０。， ／ ＼

【 ４：５． 【 ４：１５０。． ＼ ／

ｒ Ｘｌ：２， ｒ １＝６０。，

６

Ｊ ｚ。：２， Ｊ ２：６０。 １

如：４， １ ３＝１２０。， 【

４：４． 【 ４：１柯庆施简历 ２０。．

ｆ ２， ｒ １＝６０。，

７

Ｊ ２＝３， Ｊ Ａ２：９０。，

１ ３：３， １ ３＝９０。， 【

。 ：４． Ｌ ４：１２０￣．

ｒ Ｘｌ＝３， ｒ １＝９０。，

８

Ｊ ｚ ＝３， Ｊ Ｚ２：９０。， １

３＝３， １ Ｚ３：９０。， 【

４：３． 【 ４：９ｏ。．

用直角三角板能拼成三角形、四边形，那么

是否能拼成任意边数的凸多边形呢？

答案显然是否定的．先看单用含４５。的直角

三角板拼多边形，因为单用含。４５。的直角三角板

拼成的小于平角的最大角是１３５。，说明外角最小

只能为４５。，而外角和为３６０。，故最多只有８个内

角，此时能拼成八边形，且八边形的每个内角的

度数都是１３５。，拼成的八边形如图４

／ ／ ＼

／ ／ ／

＼ ／ ／

图４

那么，若单用含３０￣的直角三角板能拼成的

凸多边形边数最大是多少呢？类似地，因为单用

含３０。的直角三幸福说说 角板拼成表格数字下拉递增 的小于平角的最大角

是１５０。，说明外角最小只能为３０。，而外角和为

３６０。，故最多只有１２个内角，此时能拼成十二边

形，且图形的每个内角的度数都是１５０。，拼成的

十二边形如图５

／ ／ ＼

／ ／ ／

／ ／ ／

／ ／ ／

／ ／ ／ ／ ／

／ ／ ／

／ ／ ／

／ ／ ／

＼ ／ ／

图５

事实上，我们也可以进行如下分析：

设拼成的ｎ边形的每一个内角的度数分别是

３０Ｘｌ，３０ｘ２，…，３０ｘｎ（１≤Ｘｌ英语短篇故事 ≤Ｘ２≤…≤Ｘｎ≤

５，且Ｘｌ，Ｘ２，…， 为整数），则根据Ｔｔ边形的内

角和可以得到３０ｘｌ＋３０ｘ２＋…＋３０ｘ ＝（礼一２）

（下转封底）

厘 不要妄自菲薄，更不要夜郎自大

张奠宙赵小平

本期有两篇文章涉及中国数学教育的宏观

考察．一篇是对过去的１０年的自我回顾，一篇是

有关ＰＩＳＡ国际教育测试的国外报道．

注重检测学生能力的ＰＩＳＡ测试结果广受

各国政府重视．这篇报道中特别指出，上海学

生的数学成绩６００分，大幅领先于第二位的新

加坡的５６２分，而新加坡的数学教育近十年来一

直是国际教育界的超级明星，这一点是我们颇

感欣慰．近来对基础教育“缺乏创新”、“不会思

考”、“输在起跑线上”的批评不绝于耳，以至把中

国本土没有出现诺贝尔奖获得者也怪罪于基础

教育．事实上我国的数学教学并非一无是处，我

们不必妄自菲薄，应该钢铁侠叫什么名字 确立自信，看到自己的长

处，总结一下经验，数学的双基教学、探索式教

学、变式教学、师班互动等都是无数教师倾注

的心血浇注的结果．这些中国的“长处”我们国字开头的成语 毕

竟是研究的太少了．随便问一句：“上海的好成

绩是怎么得来的？经验是什么？”我们将何言以

（上接第１—２５页）

１８０．化简得Ｘｌ＋ｘ２＋…＋ ＝６（ｎ一２）．…・・（３）

因为１≤Ｘｌ≤Ｘ２≤…≤ ≤５，且

１， ２，…，Ｘ 为整数，所以等式（３）左边的最大

值为５ｎ，则５ｎ≥来月经吃什么 ６（ｎ一２）时，解得ｎ≤１２，所以

能拼成的凸多边形最大边数为十二边形．

９６５５８Ｘ

２０１ １，・

，

００１

对？

同时，我们又决不可夜郎自大，以为基础教

育很成功了．要知道，我们的这个第一，付出了

多少时间成本？牺牲了多少学生的童年乐趣？很

多学生学习就是为了考试，很多教师教学就是为

了应试，这是不可忽略的问题．从那篇过去１０年

数学教育的回顾总结可以看到，数学教育虽然在

数量上、理念上、课程标准上有了许多重要的进

步，可是科举意识依然浓厚，应试教育仍旧大行

其道，比起１０年前，并无多少改变．某些政府机

关、民意代表、媒体报道，都不能跳出应试教育

的窠臼，甚至火上加油．这些都是我们十分突出

的缺陷，至今还走不出这个怪圈．

公平而论，过去的ｌ０年成绩不少，问题很多．

我国《中长期教育发展纲要》已经公布，未来依

然要以“改革为核心”，但是改革不能全盘地否定

传统，正如一句名言所说，不要泼脏水时把婴孩

也倒掉了．

从以上分析可知，单用若干块全等的含４５。

的直角三角板可以拼成最大边数为８的凸多边

形，单用若干块含３０。的直角三角板可以拼成最

大边数为１２的凸多边形，将得到的八边形（或十

二边形）增加或减少三角板块数可以得到边数少

于８（或少于１２）的各种内角度数不同的多边形．

定价：５．５０￣ 国内统一连续出版物号：ＣＮ３１—１０２４／Ｇ４每月１２日出版代号：４－３５７