苏州到西安

第1页，共29页

2021-2022

学年江苏省苏州工业园区西安交大苏州附中八年级

（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共

10

小题，共

20.0

分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.2022

年北京冬奥会在北京，张家口等地召开，在此之前进行了冬奥会会标征集活动，以

下是部分参选作品，其文字上方的图案是中心对称图形的是

()

A.B.C.D.

2.下列调查中，适宜采用抽样调查的是

()

A.调查某批次医用口罩的合格率B.了解某校八年级一班学生的视力情况

C.了解

100

张百元钞票中有没有假钞D.调查神舟十四号载人飞船各零部件的质量

3.下列关于特殊平行四边形的判定说法中，正确的是

()

A.四个内角相等的四边形为矩形

B.四条边都相等的四边形是正方形

C.对角线相等的四边形为矩形

D.有一条对角线所在直线恰好是对称轴的四边形为菱形

4.若关于

的一元二次方程(−1)2++2−1=0有一个解为

=0

，那么

的值是

()

A.−1B.0C.1D.1

或

−1

5.“天宫课堂”第二课

3

月

23

日在中国空间站开讲，包括六个项目：太空“冰雪”实验、液

桥演示实验、水油分离实验、太空抛物实验、空间科学设施介绍与展示、天地互动环节．若

随机选取一个项目写观后感，则恰好选到“实验”项目的概率是

()

A.

1

3

B.1

2

C.2

3

D.5

6

6.已知反比例函数

=

(≠0)

的图象经过点

(−2,8)

，则该函数的图象位于

()

A.第一、三象限B.第二、四象限C.第三、四象限D.第二、三象限

7.如图，四边形

是平行四边形，以点

为圆心，

的长为半径画弧，交

于点

；分

别以点

，

为圆心，大于

1

2

的长为半径画弧，两弧相交于点

；连结

并延长，交

于点

.

连结

，若

=8

，

=6

，则

的长为

()

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A.5B.8C.12D.15

8.2020

年是紫禁城建成

600

年暨故宫博物院成立

95

周年，在此之前有多个国家曾发行过紫

禁城元素的邮品

.

图

1

所示的摩纳哥发行的小型张中的图案，以敞开的紫禁城大门和大门内的

石狮和太和殿作为邮票和小型张的边饰，如果标记出图

1

中大门的门框并画出相关的几何图形

(

图

2)

，我们发现设计师巧妙地使用了数学元素

(

忽略误差

)

，图

2

中的四边形

与四边形

′′′′

是位似图形，点

是位似中心，点

′

是线段

的中点，那么以下结论正确的是

()

A.四边形

与四边形

′′′′

的相似比为

1

：

1

B.四边形

与四边形

′′′′

的相似比为

1

：

2

C.四边形

与四边形

′′′′

的周长比为

3

：

1

D.四边形

与四边形

′′′′

的面积比为

4

：

1

9.

《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题“今有垣高

一丈

.

倚木于垣，上与垣齐

.

引木却行一尺，其木至地

.

问木长几何？”其内容可以表述为：“有

一面墙，高

1

丈

.

将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上

.

如

果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动

1

尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上

.

问木杆长多少尺？”

(

说明：

1

丈

=10

尺

)

设木杆长

尺，依题意，下列方程正确的是

()

A.102+(−1)2=2B.(+1)2=2+102

C.2=(−1)2+12D.(+1)2=2+12

10.如图，点

是双曲线

=

3

上的动点，连结

并延长交双曲线于点

，将线段

绕

顺时

针旋转

60

得到线段

，点

在双曲线

=

上运动，则

=

()

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A.−6B.9C.

3

√

3

D.−9

二、填空题（本大题共

8

小题，共

16.0

分）

11.甲、乙两城市在比例尺为

1

：

300000

的地图上量得距离

5

，那么甲、乙两个城市的的

实际距离为

______

千米．

12.如果关于

的一元二次方程2−2−=0有实数根，那么

的取值范围是

______

．

13.在平面直角坐标系

中，点

(3,

1

)

，

(5,

2

)

在双曲线

=

3

上，则

1

2

(

填“

>

”

或“

<

”

)

．

14.某冰壶运动队的队员们要反复训练在无阻碍的情况下，将冰壶准确投掷到大本营的中心

区域，现将其平时训练的结果统计如下：

投掷次数

21000

“投掷到中心区域”的频数

6910

“投掷到中心区域”的频率

0.750.850.880.920.890.91

估计这支运动队在无阻碍情况下将冰壶“投掷到中心区域”的概率为

______

.(

结果保留小数

点后一位

)

15.大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”

(

黄金比为

√5−1

2

≈

0.618)

，如图，

为

的黄金分割点

(>)

，如果

的长度为

10

，那么较长线段

的

长度为

______

(

结果精确到

0.1)

．

16.在数学活动课上，老师带领数学小组测量大树

的高度

.

如图，数学小组发现大树离教

学楼有

5

，高

1.4

的竹竿在水平地面的影子长

1

，此时大树的影子有一部分映在地面上，

还有一部分映在教学楼的墙上，墙上的影子离

为

2

，那么这棵大树高

______

.

第4页，共29页

17.如图，在正方形

中，

=4

√

5.

、

分别为边

、

的中点，连接

、

，点

、

分别为

、

的中点，连接

，则

的长度为

______

．

18.如图，在菱形

中，

是

上一点，

是

△

内一点，

//

，

=2

，

∠=

1

2

∠

，

=3

，

=6

，则菱形

的边长为

______

．

三、计算题（本大题共

1

小题，共

8.0

分）

19.用适当的方法解下列一元二次方程：

(1)2−2−15=0；

(2)(+4)2−5(+4)=0．

四、解答题（本大题共

8

小题，共

56.0

分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20.(

本小题

5.0

分

)

教育部下发的《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》要求，初中生每天睡眠时间

应达到

9ℎ.

某初中学校综合实践小组为了解该校学生每天的睡眠时间，随机调查了部分学生，

将学生睡眠时间分为

，

，

，

四组

(

每名学生必须选择且只能选择其中的一种情况

)

：

组：

睡眠时间

<8ℎ

，

组：

8ℎ≤

睡眠时间

<9ℎ

，

组：

9ℎ≤

睡眠时间

<10ℎ

，

组：睡眠时间

≥10ℎ

．

如图

1

和图

2

是根据调查结果绘制的不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：

(1)

被调查的学生有

______

人，扇形统计图中

组对应的扇形圆心角的度数

______

；

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(2)

通过计算补全条形统计图；

(3)

请估计全校

2000

名学生中睡眠时间不足

9ℎ

的人数．

21.(

本小题

5.0

分

)

现有

、

两个不透明的袋子，各装有三个小球，

袋中的三个小球上分别标记数字

2

，

3

，

4

；

袋中的三个小球上分别标记数字

3

，

4

，

5.

这六个小球除标记的数字外，其余完全相同．

(1)

将

袋中的小球摇匀，从中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标记的数字是偶数的

概率为

______

；

(2)

分别将

、

两个袋子中的小球摇匀，然后从

、

袋中各随机摸出一个小球，请利用画树

状图或列表的方法，求摸出的这两个小球标记的数字之和为

7

的概率．

22.(

本小题

6.0

分

)

如图是由边长为

1

的正方形构成的网格，每一个小正方形的顶点叫做格点，线段

的端点在

格点上，仅用无刻度直尺

(

也不能使用直角

)

在给定的网格中画图，画图过程用虚线表示，画

图结果用实线表示，按步骤完成下列问题：

(1)

将线段

绕

点逆时针旋转

90

得到线段

，连接

；

(2)

直接写出线段

旋转到

时扫过图形的面积为

______

.(

结果保留

)

(3)

在

上取一点

，使得

：

=1

：

3

．

23.(

本小题

6.0

分

)

在

△

中，

=

，

∠=36

，

是

△

的角平分线．

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(1)

找出图中的相似三角形，并证明；

(2)

求出

的值．

24.(

本小题

8.0

分

)

如图，四边形

中，点

、

、

、

分别为

、

、

、

的中点，

(1)

求证：中点四边形

是平行四边形；

(2)

如图

2

，点

是四边形

内一点，且满足

=

，

=

，

∠=∠

，点

、

、

、

分别为

、

、

、

的中点，猜想中点四边形

的形状，并证明你的猜想．

25.(

本小题

8.0

分

)

疫情期间，“大白”成了身穿防护服的人员的代称．开学以来，我校很多老师在繁重的课务

之余承担起了核酸检测的任务，化身可敬可爱的“大白”

.

据多日检测结果调查发现一个熟能

生巧的现象，当每位大白检测人数是

20

人时，每位同学人均检测时间是

30

秒，而检测人数每

提高

10

人，人均就少耗时

1

秒

(

若每位大白的检测人数不超过

150

人，设人均少耗时

秒

)

．

(1)

补全下列表格：

检测人数

(

人

)203060…

人均检测时间

(

秒

)3028…30−

(2)

某位大白一节课

(40)

刚好同时完成了检测任务，那么他今日检测总人数为多少人？

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26.(

本小题

8.0

分

)

我们定义：如果一个矩形

周长和面积都是

矩形的

倍，那么景字取名 我们就称矩形

是矩形

的完全

倍体．

【概念辨析】

(1)

若矩形

为正方形，是否存在一个正方形

是正方形

的完全

2

倍体？

______

(

填“存在”或

“不存在”

)

．

【深入探究】

长为

3.

宽为

2

的矩形

是否存在完全

2

倍体？

小鸣和小棋分别有以下思路：

【小鸣方程流】设新矩形长和宽为

、

，则依题意

+=10.=12

，

联立

{

+=10

=12

得

2−10+12=0，再探究根的情况；

【小棋函数流】如图，也可用反比例函数

2

：

=

12

与一次函数

1

：

=−+10

来研究，作

出图象，有交点，意味着存在完全

2

倍体．

(2)

那么长为

3.

宽为

2

的矩形

是否存在完全

1

2

倍体？请利用上述其中一种思路说明原因．

(3)

如果长为

3

，宽为

2

的矩形

存在完全

倍体，请直接写出

的取值范围：

______

．

27.(

本小题

10.0

分

)

如图，已知梯形

中，

//

，

=1

，

==4

，

=5

．

(1)

求梯形

的面积

；

(2)

动点

从点

出发，以

1/

的速度，沿

→→→

方向，向点

运动：动点

从点

出

发，以

1/

的速度，沿

→→

方向，向点

运动，过点

作

于点

.

若

、

两点同

时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为

秒．问：

①

在运动过程中，是否存在这样的

，使得以

、

、

为顶点的三角形恰好是以

为底的等

腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的

的值；若不存在，请说明理由．

第8页，共29页

②

在运动过程中，是否存在这样的

，使得以

、

、

为顶点的三角形与

△

相似？若存在，

请求出所有符合条件的

的值；若不存在，请说明理由．

第9页，共29页

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：选项

A

、

、

都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转

180

后与原来的图形

重合，所以不是中心对称图形，

选项

B

能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转

180

后与原来的图形重合，所以是中心对称图

形，

故选：

．

根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转

180

，如果旋转后的图形能够与原来的

图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．

本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转

180

度后与原图重合．

2.【答案】

【解析】解：

、调查某批次医用口罩的合格率，适合采用抽样调查，故

A

符合题意；

B

、了解某校八年级一班学生的视力情况，适合采用全面调查，故

B

不符合题意；

C

、了解

100

张百元钞票中有没有假钞，适合采用全面调查，故

C

不符合题意；

D

、调查神舟十四号载人飞船各零部件的质量，适合采用全面调查，故

D

不符合题意；

故选：

．我的安全故事

根据全面调查与抽样调查的特点判断即可．

本题考查了全面调查与抽样调查，熟练掌握全面调查与抽样调查的特点是解题的关键．

3.【答案】

【解析】解：

、

∵

四个内角相等的四边形为矩形，故原命题符合题意；

B

、

∵

四条边都相等的四边形是菱形，故原命题不符合题意；

C

、对角线相等的平行四边形为矩形，故原命题不符合题意；

D

、有一条对角线所在直线恰好是对称轴的四边形不一定为菱形，

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如图，四边形

关于对角线

为对称，但四边形

不是菱形，

故原命题不符合题意；

故选：

．

根据特殊四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可得到结论．

本题考查了矩形的判定、菱形的判定以及正方形的判定，熟练掌握矩形的判定、菱形的判定以及

正方形的判定方法是解题的关键．

4.【答案】

【解析】解：

∵

关于

的一元二次方程(−1)

2++2−1=0有一个解为

=0

，

∴

把

=0

代入(−1)2++2−1=0，得2−1=0，

解得：

=1

，

而

−1≠0

，

∴=−1

．

故选：

．

根据一元二次方程的解的定义，把

=0

代入方程得到关于

的方程，解得

=1

，然后根据一

元二次方程的定义确定满足条件的

的值．

本题考查了一元二次方程的解的定义，也考查了一元二次方程的定义．

5.【答案】

【解析】解：

∵

共

6

个项目，“实验”项目有太空“冰雪”实验、液桥演示实验、水油分离实验、

太空抛物实验共

4

个，

∴

随机选取一个项目写观后感，则恰好选到“实验”项目的概率是

4

6

=

2

3

，

故选：

．

第11页，共29页

根据随机事件概率大小的求法，找准两点：

①

符合条件的情况数目；

②

全部情况的总数．

二者的比值就是其发生的概率的大小．

本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有

种可能，而且这些事件的可能性相同，

其中事件

出现

种结果，那么事件

的概率

()=

．

6.【答案】

【解析】解：

∵

反比例函数

=

(≠0)

的图象经过点

(−2,8)

，

∴=−16<0

，

∴

该函数的图象位于二、四象限；

故选：

．

根据反比例函数图象上的点

(,)

的横纵坐标的积是定值

，即

=

，求出

的值，再根据

<0

，

判断所经过象限．

本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数图象

上的点

(,)

的横纵坐标的积是定值

是解题关键．

7.【答案】

【解析】解：如图，连接

，设

交

于点

．

由作图可知：

=

，

平分

∠

，

∵

四边形

是平行四边形，

∴//

，

∴∠=∠=∠

，

∴=

，

∴=

，

∵//

，

第12页，共29页

∴

四边形

是平行四边形，

∵=

，

∴

四边形

是菱形，

∴⊥

，

∴==4

，

==3

，

在

△

中，

=

√2+2=5

，

故选：

．

首先证明四边形

是菱形，利用勾股定理求出

即可．

本题考查了平行四边形的性质，考查作图

−

复杂作图，线段的垂直平分线的性质，菱形的判定等

知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．

8.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边

互相平行或共线，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．两个位似图形必须

是相似图形；对应点的连线都经过同一爱国故事 点，对应边平行或共线．

根据位似图形的性质逐一判断即可．

【解答】

解：

∵

四边形

与四边形

′′′′

是位似图形，点

是位似中心，点

′

是线段

的中点，

∴′

：

=1

：

2

，

∴′′

：

=1

：

2

，

∴

四边形

与四边形

′′′′

的相似比为

2

：

1

，周长的比为

2

：

1

，面积比为

4

：

1

．

故选：

．

9.【答案】

【解析】解：如图，设木杆

长为

尺，则木杆底端

离墙的距离即

的长有

(−1)

尺，

在

△

中，

∵2+2=2

，

第13页，共29页

∴102+(−1)2=2

，

故选：

．

当木杆的上端与墙头平齐时，木杆与墙、地面构成直角三角形，设木杆长为

尺，则木杆底端离墙

有

(−1)

尺，根据勾股定理可列出方程．

此题考查了勾股定理的应用及由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是由实际问题

抽象出直角三角形，从而运用勾股定理解题．

10.【答案】

【解析】解：

∵

双曲线

=

3

关于原点对称，

∴

点

与点

关于原点对称．

∴=

．

连接

，

，如图所示．

∵

将线段

绕

顺时针旋转

60

得到线段

，

∴△

是等边三角形，

=

，

∴⊥

，

∠=60

，

∴tan∠=

=

√

3

，

∴=

√

3

．

过点

作

⊥

轴，垂足为

，过点

作

⊥

轴，垂足为

，

∵⊥

，

⊥

，

⊥

，

∴∠=∠

，

∠=90−∠=∠

，

∴△∽△

．

∴

=

=

．

∵=

√

3

，

∴=

√

3

，

=

√

3

．

设点

坐标为

(,)

，

∵

点

在第一象限，

∴=

，

=

．

∴=

√

3

，

=

√

3.

第14页，共29页

∵

点

在双曲线

=

3

上，

∴=3

．

∴⋅=

√

3⋅

√

3=3=9

，

设点

坐标为

(,)

，

∵

点

在第四象限，

∴=

，

=−

．

∴⋅=⋅(−)=−=9

．

∴=−9

．

∵

点

在双曲线

=

上，

∴==−9

．

故选：

．

连接

，易证

⊥

，

=

√

3.

由

∠=90

想到构造

型相似，过点

作

⊥

轴，垂足

为

，过点

作

⊥

轴，垂足为

，可证

△∽△.

从而得到

=

√

3

，

=

√

3.

设点

坐标为

(,)

，则

=3

，设点

坐标为

(,)

，从而有

⋅=−=−9

，即

==−9

．

本题考查的是反比例函数综合题，涉及到等边三角形的性质、反比例函数的性质、相似三角形的

判定与性质、点与坐标之间的关系、特殊角的三角函数值等知识，有一定的难度．由

∠=90

联想到构造

型相似是解答本题的关键．

11.【答案】

15

【解析】解：设甲、乙两个城市的实际长度是

，

根据题意得：

5

：

=1

：

300000

．

解得：

=1500000=15

千米．

故答案为：

15

．

根据图上的距离与实际距离的比就是比例尺，列出比例式求解即可．

本题主要考查了比例尺的含义，实际就是比例的问题．

12.【答案】

≥−1

【解析】解：根据题意，得=(−2)

2−41(−)≥0，

解得

≥−1

，

第15页，共29页

即

的取值范围是

≥−1

．

故答案为：

≥−1

．

利用判别式的意义得到=(−2)

2−41(−)≥0，然后解不等式即可．

本题考查了根的判别式：一元二次方程

2++=0(≠0)的根与=2−4有如下关系，

当

>0

时，方程有两个不相等的实数根；

当

=0

时，方程有两个相等的实数根；

当

<0

时，方程无实数根．

上面的结论反过来也成立．

13.【答案】

>

【解析】解：在双曲线

=

3

中，

=3>0

，

可知反比例函数在第一、三象限，

∵

点

(3,

1

)

，

(5,

2

)

，

∴

点

，

在第一象限，

∵>0

时，在每一象限内，

随着

增大而减小，

∴

1

>

2

，

故答案为：

>

．

根据反比例函数

=3>0

，可知点

，

在第一象限，根据反比例函数增减性进行比较即可．

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象和性质是解题的关键．

14.【答案】

0.9

【解析】解：在大量重复试验中，根据频率估计概率的方法可估计出将冰壶“投掷到中心区域”

的概率为

0.9

，

故答案为：

0.9

．

根据频率和概率的关系判断即可．

本题主要考查频率与概率的知识，熟练掌握根据频率估计概率的方法是解题的关键．

15.【答案】

6.2

第16页，共29页

【解析】解：

∵

为

的黄金分割点

(>)

，

=10

，

∴=√5−1

2

≈0.61810≈6.2()，

故答案为：

6.2

．

利用黄金分割的定义可计算出

的长．

此题考查了黄金分割：把线段

分成两条线段

和

(>)

，且使

是

和

的比例中项

(

即

：

=

：

)

，叫做把线段

黄金分割，点

叫做线段

的黄金分割点．

16.【答案】

9

【解析】解：过

作

⊥

于

，

则

==2()

，

==5()

，

∵

同一时刻物高和影长成正比，

∴

1

1.4

=

5

，

∴=7()

，

∴=+=7+2=9()

，

答：这棵大树高为

9

．

故答案为：

9

．

在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者

构成的两个直角三角形相似．本题中：经过树在院墙的影子的顶端作树的垂线和经过树顶的太阳

光线以及树所成三角形，与竹竿，影子光线形成的三角形相似，这样就可求出垂足射精痛 到树的顶端的

高度，再加上墙上的影高就是树高．

考查了相似三角形的应用，注意；影子平行于物体时，影子和物体的实际高度相等；影子垂直于

物体时，根据：同一时刻物高与影长成比例进行计算．

17.【答案】√

10

【解析】解：如图所示，

第17页，共29页

∵

四边形

是正方形，

∴===4

√

5

，

∠=∠=90

．

∵

、

分别为边

、

的中点，

∴==2

√

5

．

∴=

√2+2=

√

(4

√

5)2+(2

√

5)2=10．

在

△

和

△

中，

{

=

∠=∠

=

．

∴△≌△()

．

∴∠=∠.==10

．

∵∠+∠=90

．

∴∠+∠=90

．

∴∠=90

．

∴∠=90

．

设

的长为

，则

=10−

，

在

△

中，

2=2−2=20−2

．

在

△

中，

2=2−2=80−(10−)2

．

∴20−2=80−(10−)2

．

解得

=2.

即

=2

．

∴=√20−2=4

．

∵

点

、

分别为

、

的中点，

∴=

1

2

=5

，

=

1

2

=5

．

∴=−=3

，

=−=1

．

在

△

中，

=

√2+2=

√32+12=

√

10

．

故答案为：√

10

．

先通过证明

△≌

得到角相等后，证明

∠=90

，利用已知条件在

△

与

△

第18页，共29页

中求出

，

的长，进而求出

，

的长，利用勾股定理求出

的长．

本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质与勾股定理的应用，难度较大，解答本题的

关键是在

△

与

△

中借助

公共边利用勾股定理形成关于

的方程．

18.【答案】

6

√

2−3

【解析】解：如图，延长

，交

的延长线于点

，

∵

四边形

是菱形，

∴//

，

∠=

1

2

∠

，

∵//

，

∴

四边形

是平行四边形，

∴=

，

==3

，

∠=∠

，

∵∠=

1

2

∠

，

∴∠=∠

，

∴∠=∠

，

又

∵∠=∠

，

∴△∽△

，

∴

=

，

∴2=⋅，

又

∵==2

，

∴2=22

，

∴=

√

2

，

又

∵

=

，

∴=

√

2=6

√

2

，

∴=−=6

√

2−3

，

∴

菱形

的边长为

6

√

2−3

．

故答案为：

6

√

2−3

．

分别延长

，

相交于点

，得证四边形

是平行四边形，得到

=

，

=

，

∠=

∠

，证明

△∽△

，得到

：

=

：

，则

=

√

2

，可求出

，即可求解．

第19页，共29页

本题是相似三角形的综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，

菱形的性质等知识，正确掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．

19.【答案】解：(1)∵2−2−15=0，

∴(−5)(+3)=0

，

∴−5=0

或

+3=0

，

∴

1

=5

，

2

=−3

；

(2)∵(+4)2−5(+4)=0，

∴(+4)(+4−5)=0

，

∴(+4)(−1)=0

，

∴+4=0

或

−1=0

，

∴

1

=−4

，

2

=1

．

【解析】本题考查了解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．

(1)

利用因式分解法解一元二次方程即可；

(2)

利用提公因式法把方程的左边变形，进而解出方程．

20.【答案】

200162

【解析】解：

(1)

本次共调查了

9045%=200(

人

)

，

扇形统计图中

组对应的扇形圆心角的度数为

360

90

200

=162

，

故答案为：

200

，

162

；

(2)

组学生有：

200−20−90−30=60(

人

)

，

补全的条形统计图如图

2

所示：

(3)2000

20+60

200

=800(

人

)

，

第20页，共29页

即估计全校

2000

名学生中睡眠时间不足

9ℎ

的有

800

人．

(1)

根据

组的人数和所占的百分比，可以计算出本次共调查了多少名学生，再用

360

乘以样本中

组人数所占比例；

(2)

根据

(1)

中的结果可以计算出

组的人数，然后即可补全条形统计图；

(3)

根据统计图中的数据，可以计算出该校学生平均每天睡眠时间不足

9ℎ

的人数．

本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结

合的思想解答．

21.【答案】

2

3

【解析】解：

(1)

将

袋中的小球摇匀，从中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标记的数字

是偶数的概率为

2

3

，

故答案为：

2

3

；

(2)

画树状图如下：

共有

9

种等可能的结果，摸出的这两个小球标记的数字之和为

7

的结果有

3

种，

∴

摸出的这两个小球标记的数字之和为

7

的概率为

3

9

=

1

3

．

(1)

直接由概率公式求解即可；

(2)

画树状图，共有

9

种等可能的结果，摸出的这两个小球标记的数字之和为

7

的结果有

3

种，再由

概率公式求解即可．

本题考查了树状图法求概率，正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率

=

所求情况

数与总情况数之比．

22.【答案】

17

4

第21页，共29页

【解析】解：

(1)

如图，

、

为所作；

(2)

因为

=

√12+42=

√

17

，

所以线段

旋转到

时扫过图形的面积=

90(√17)

2

360

=

17

4

；

故答案为：

17

4

；

(3)

如图，点

为所作．

(1)

利用网格特点和旋转的性质画出

点的对应点

即可；

(2)

线段

旋转到

时扫过图形为扇形，则利用扇形的面积公式计算即可；

(3)

把

向左平移

1

个单位得到

，

为

的交点为

，利用平行线分线段成比例定理可判断

点

满足条件．

本题考查了作图

−

旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相

等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出

旋转后的图形．也考查了扇形面积公式和相似三角形的判定与性质．

23.【答案】

(1)△∽△

．

证明：

=

，

∠=36

，

∴∠=∠=

1

2

(180−36)=72

，

∵

是

△

的角平分线，

∴∠=∠=

1

2

∠=

1

2

72=36

，

∴∠=∠

，

∵∠=∠

，

∴△∽△

．

(2)

解：

∵∠=∠

，

∴=

，

∵∠=∠+∠=36+36=72

，

第22页，共29页

∴∠=∠

，

∴=

，

∴=

，

设

==

，

==

，

∵△∽△

，

∴

=

，

∴2=⋅(−)，

∴2=(−)，

解得

1

=√5−1

2

，

2

=

−√5−1

2

(不符合题意，舍去

)

，

∴=√5−1

2

，

∴

=

√5−1

2

=√5−1

2

．

【解析】

(1)

由

=

，

∠=36

，得

∠=∠=

1

2

(180−36)=72

，教资考试报名费 由

是

△

的

角平分线求得

∠=36

，则

∠=∠

，而

∠

是

△

和

△

的公共角，即可证明

△喝完酒可以喝咖啡吗

∽△

；

(2)

先证明

=

，

=

，则

=

，设

==

，

==

，由

△∽△

得

=

，所以

2=⋅(−)，可列方程2=(−)，解方程求得符合题意的

的值

为

√5−1

2

，即可求出

的值．

此题考查等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形内角和定理及其推论、一

元二次方程的解法等知识，证明图中的两个等腰三角形相似是解题的关键．

24.【答案】

(1)

证明：如图

1

中，连接

．

第23页，共29页

∵

点

，

分别为边

，

的中点，

∴//

，

=

1

2

，

∵

点

，

分别为边

，

的中点，

∴//

，

=

1

2

，

∴//

，

=

，

∴

中点四边形

是平行四边形；

(2)

解：四边形

是菱形，理由如下：

如图

2

，连接

、

，

∵∠=∠

，

∴∠+∠=∠+∠

，即

∠=∠

，

在

△

和

△

中，

{

=

∠=∠

=

，

∴△≌△()

，

∴=

，

∵

点

，

，

分别为边

，

，

的中点，

∴=

1

2

，

=

1

2

，

∵

四边形

是平行四边形，

∴

四边形

是菱形．

【解析】

(1)

连接

、由点

、

分别为边

、

的中点，同理知

//

、

=

1

2

，据此可

得

=

、

//

，即可得证；

(2)

连接

、

，证

△≌△

得

=

，由

=

1

2

，

=

1

2

知

=

，结合四边

形

是平行四边形即可得证．

第24页，共29页

本题主要考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质等知识，

学会添加常用辅助线构造全等三角形是解题的关键．

25.【答案】解：

(1)

设检测人数为

，人均检测时间为

(

秒

)

，

由题意得

=20+10

、

=30−

，

补全表格如下：

检测人数

(

人

)20304060…

20

+10

人均检测时间

(

秒

)30292826…30−

(2)

由题意得，

(20+10)(30−)=4060

，

解得

1

=18

，

2

=10

，

当

=18

时，检测那一股暖流 总人数为

20+1018=200(

人

)

，

∵

每位大白的检测人数不超过

150

人，

∴=18

不符合题意，舍去，

当

=10

时，检测总人数为

20+1010=120(

人

)

，

答：他今日检测总人数为

120

人．

【解析】

(1)

设检测人数为

，人均检测时间为

(

秒

)

，由题意可得出

、

与

之间的函数关系式，

即可补全表格；

(2)

根据人均检测时间

检测人数

=

总检测时间，可得关于

的一元二次方程，解之即可得出结论．

本题考查一次函数的应用，一元二次方程的应用，根据条件建立函数关系是解决本题的关键．

26.【答案】不存在

≥

24

25

【解析】解：

(1)

不存在．

因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为

2

时，则面积比必定是

4

，所以不存在．

【深入探究】

长为

3

，宽为

2

的矩形

存在完全

2

倍体矩形，

∵

长为

3

，宽为

2

，

∴

矩形

的周长为

10

，面积为

6

，

【小鸣方程流】设新矩形长和宽为

、

，则依题意

+=10.=12

，

第25页，共29页

联立

{

+=10

=12

，

整理得

2−10+12=0，

解得：

1

=5+

√

13

，

2

=5−

√

13

，

∴

新矩形的长为

5+

√

13

，宽为

5−

√

13

时，周长为

20

，面积为

12

，

∴

长为

3

，宽为

2

的矩形

存在完全

2

倍体矩形．

【小棋函数流】如图，设新矩形长和宽为

、

，则依题意

+=10.=12

，

即

=−+10

，

=

12

，

利用反比例函数

2

：

=

12

与一次函数

1

：

=−+10

来研究，作出图象，有交点，意味着存在

完全

2

倍体．

故答案为：不存在，

(2)

长为

3

，宽为

2

的矩形

的周长为

10

，面积为

6

，

【小鸣方程流】设新矩形长和宽为

、

，则依题意

+=

5

2

，

=3

，

联立得

{

+=

5

2

=3

，

整理得：2

2−5+6=0，

∵=(−5)2−426=−23<0，

∴

此方程没有实数根，即长为

3.

宽为

2

的矩形

不存在完全

1

2

倍体；

【小棋函数流】如图，设新矩形长和宽为

、

，则依题意

+=

5

2

.=3

，

即

=−+

5

2

，

=

3

，

利用反比例函数

2

：

=

3

与一次函数

1

：

=−+

5

2

来研究，作出图象，无交点，意味着不存在

完全

2

倍体．

第26页，共29页

(3)

设所求矩形的长为

，则所求矩形的宽为：

(3+2)−

，即

5−

，

由题意得：

⋅(5−)=6

，

整理得：

2−5+6=0，

=252−24，

∵

一定存在另一个矩形的周长和面积分别是已知矩形周长和面积

倍，

∴△≥0

，即：252−24≥0，

令=25

2−24，为开口向上的抛物线，

则由

=0

，可得：25

2−24=0，

解得：

1

=0

，

2

=

24

25

，

∴

当

≥0

时，

≤0

或

≥

24

25

，

∵≤0

不符合题意，

∴

的取值范围为：

≥

24

25

；

故答案为：

≥

24

25

．

(1)

根据“完全

倍体”的定义及题干示例解答即可；

(2)

运用新定义“完全

倍体”及【小鸣方程流】和【小棋函数流】的方法分别解答即可；

(3)

设所求矩形的长为

，则所求矩形的宽为：

(3+2)−

，即

5−

，根据新定义“完全

倍体”

可得：

2−5+6=0，再运用根的判别式即可求得答案．

本题考查了一元二次方程的应用，根的判别式．需要认真阅读理解新定义“矩形

是矩形

的完全

倍体”，根据题干过程模仿解题．第

(3)

题应用一元二次方程根的判别式求

的范围．

第27页，共29页

27.【答案】解：

(1)

如图

1

，

作

//

，交

于

，

∵//

，

∴

四边形

是平行四边形，

∴==3

，

==1

，

∴=−=3

，

∴2+2=2

，

∴∠=90

，

∴∠=∠=90

，

∴

梯形

=

1

2

(1+4)4=10

；

(2)①

如图

2

，

作

⊥

于

，

∵∠=∠=90

，

∴

四边形

是矩形，

∴=

，

=

，

∵//

，

∴△∽△

，

∴

=

=

，

第28页，共29页

∴

4

=

3

=

5

，

∴=

3

5

，

=

4

5

，

∴=

4

5

，

==−=4−

3

5

、

在

△

中，

=−=−

4

5

=

1

5

，

∴2=2+2=(

1

5

)2+(4−

3

5

)2

，

由

2=2

得，

(

1

5

)2+(4−

3

5

)2=(5−)2

，

∴

1

=

13−√109

2

，

2

=

13+√109

2

(

舍去

)

，

∴

当

=

13−√109

2

时，使得以

、

、

为顶点的三角形恰好是以

为底的等腰三角形；

②

如图

3

，

当

△∽△

时，

∵∠=∠=90

，

∴

=

，

∴

1

=

4

3

，

∴=

4

3

，

∴=4−

4

3

=

8

3

，

当

△∽△

时，

=

，

∴

1

=

3

4

，

第29页，共29页

∴=

3

4

，

∴=4−

3

4

=

13

4

，

综上所述：

=

8

3

或

13

4

．

【解析】

(1)

作

//

，交

于

，可证得

△

是直角三角形，进而求得梯形的面积；

(2)

只存在点

在

上，点

在

上时：

=

，作

⊥

于

，在直角三角形

中，表示

出

2

，进而根据

2=2

列出方程；

(3)

存在点

在

上，

点在

上情形：

△∽△

和

△∽△

，进而列出比例式求得结

果．

本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，等腰三角形等知识，解决问题的关键

是画出符合条件的图形，根据相似三角形的对应边成比例列出方程．