盛金公式

卡丹公式法

（卡尔达诺公式法）

特殊型一元三次方程X^3+pX+q=0(p、q∈R)

判别式=(q/2）^2+(p/3）^3

【卡丹公式】

X⑴=(Y1）^（1/3）+(Y2）^（1/3）；

X⑵=(Y1）^（1/3）+(Y2）^（1/3）^2；

标准型方程中卡尔丹公式的一个实根

X⑶=(Y1）^（1/3）^2+(Y2）^（磁感应线 1/3），

其中=（－1+i3^（1/2）)/2；

Y（1,2）=－（q/2）（（q/2）^2+(p/3）^3）^（1/2）。

标准型一元三次方程aX^3+bX^2+cX+d=0

令X=Y—b/（3a）代入上式，

可化为适合卡尔丹公式直接求解的特殊型一元三次方程Y^3+pY+q=0。

【卡丹判别法】

当=(q/2）^2+(p/3）^3>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根；

当=(q/2）^2+(p/3）^3=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根；

当=(q/2）^2+(p/3）^3<0时，方程有三个不相等的实根。

三角函数法

当=(q/2）^2+(p/3）^3<0时，方程有三个不相等的实根。很吊诡地，

这方法必须用到复数求出全是实数的根。这是发明复数的一个理由：复数

是解方程必需工具，即使方程或许只有实根。为了消除复数，必须借助三

角函数。

aX^3+bX^2+cX+d=0当<0

x1显卡黑屏 =-3a/b+2/a(b^2/9a-c/3）cos[(arccos（27a^3

（2b^3+27a^2d-9abc)/2(b^2-3ac)))/3]

x2,3==-3a/b+2/a(b^2/9a-c/3）cos[(arccos（27a^3

（2b^3+27a^2d-9abc)/2(b^2白玫瑰多肉 -3ac)))/32/3]

简易重根法

卡尔丹公式的=0时，本来方程有开立方，但却可以有简单表达式的

当p=q=0时，方程有三重根。x1=x2=x3=-3a/b

当=(q/2）^2+(p/3）^3=0时x1=x2=（9ad-bc)/2(b^2-3ac)x3=

（9a^d-4abc+b^3）/a(b^2-3ac)

盛金公式法

三次方程应用壮字开头的成语 广泛。用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公

式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。

范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的

一般式新求根公式，并建立了新判别法。

【盛金公式】

一元三次方程aX^3+bX^2+cX+d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。

重根判别怎样办社保卡 式：A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd，

总判别式：=B^2－4AC。

当A=B=0时，盛金公式①：

X⑴=X⑵=X⑶=－b/（3a)=－c/b=－3d/c。

当=B^2－4A移栽 C>0时，盛金公式②：

X⑴=（－b－Y⑴^（1/3）－Y⑵^（1/3））/（3a）；

X（2，3）=（－2b+Y⑴^（1/3）+Y⑵^（1/3））/（6a）i3^（1/2）

（Y⑴^（1/3）－Y⑵^（1/3））/（6a）；

其中Y（1，2）=Ab+3a（－B（B^2－4AC)^（1/2））/2，i^2=－1。

当=B^2－4AC=0时，盛金公式③：

X⑴=－b/a+K；X⑵=X⑶=－K/2，

其中K=B/A，（A≠0）新时代雷锋精神 。

当=B^2－4AC<0时，盛金公式④：

X⑴=（－b－2A^（1/2）cos（/3））/（3a）；

X（2，3）=（－b+A^（1/2）（cos（/3）3^（1/2）sin（/3）））

/（3a）；

其中=arccosT，T=（2Ab－3aB)/（2A^（3/2）），（A>0，－1

【盛金判别法】

①：当A=B=0时，方程有一个三重实根；

②：当=B^2－4AC>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根；

③：当=B^2－4AC=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根；

④：当=B^2－4AC<0时，方程有三个不相等的实根。

【盛金定理】

当b=0，c=0时，盛金公式①无意义；当A=0时，盛金公式③无意义；

当A≤0时，盛金公式④无意义；当T<-1或T>1时，盛金公式④无意义。

当b=0，c=0时，盛金公式①是否成立？盛金公式③与盛金公式④是否

存在A≤0的值？盛金公式④是否存在T<-1或T>1的值？盛金定理给出如

下回答：

盛金定理1：当A=B=0时，若b=0，则必定有c=d=0（此时，方程有一

个三重实根0，盛金公式①仍成立）。盛金定理2：当A=B=0时，若b≠0，

则必定有c≠0（此时，适用盛金公式①解题）。

盛金定理3：当A=B=0时，则必定有C=0（此时，适用盛金公式①解题）。

盛金定理4：当A=0时，若B≠0，则必定有>0（此时，适用盛金公

式②解题）。

盛金定理5：当A<0时，则必定有>0（此时，适用盛金公式②解题）。

盛金定理6：当=0时，若A=0，则必定有B=0（此时，适用盛金公式

①解题）。

盛金我的口袋 定理7：当=0时，若B≠0，盛金公式③一定不存在A≤0的值

（此时，适用盛金公式③解题）。

盛金定理8：当<0时，盛金公式④一定不存在A≤0的值。（此时，

适用盛金公式④飞机简笔画图片 解题）。

盛金定理9：当<0时，盛金公式④一定不存在T≤-1或T≥1的值，

即T出现的值必定是-1

显然，当A≤0时，都有相应的盛金公式解题。

注意：盛金定理逆之不一定成立。如：当>0时，不一定有A<0。

盛金定理表明：盛金公式始终保持有意义。任意实系数的一元三次方

程都可以运用盛金公式直观求解。