先从熟稔的数学着手起步。
我们从“阶乘”开始。
n! = n *(n-1)*(n-2)....3*2*1
计算“阶乘”的方法有很多,最直觉的一种解法(从n逐次递减)
n!=n⋅[(n−1)⋅(n−2)⋯3⋅2⋅1]=n⋅(n−1)!
直接用function表达为:
> function factorial(n) {... return n === 1... ? 1... : n * factorial(n-1);... }undefined> factorial(6)720
绘制函数执行的shape:
a linear recursive process for computing 6!.
接下来,我们从另外一个视角审视。从1开始,逐次乘到n:
product <-- counter * productcounter <-- counter + 1
当counter超过n时,输出product结果。
function factorial(n) { return fact_iter(1, 1, n);}function fact_iter(product, counter, max_count) { return counter > max_count ? product : fact_iter(counter * product, counter + 1, max_count);}factorial(5);# 最终的结果放在前面
同样可视化其执行过程如下:
a linear it驴唇不对马嘴erative process for computing 6!.
分析第一种递归结构,执行结构先expansion再constraction。expansion过程建立在层层的deferre-operatioin之上;而constraction过程发生于运算的实际执行中,此种类型的 deferred o我爱我的祖国演讲稿perations称之为递归a recursive process。
于此相反,第二个函数没有grow和shrink的汽车保险计算方法过程。在每一步中,都对n追踪记录,即product, counter, and max-count。该过程称之为 a linear iterative process.
二者的区别在于,interactive-ca,所有的state信息都保存在每一个过程中;而在recursive-ca中,编译器维护着hidden-information。
在tail-recursion机制之下,iterative-recursion将会执行为iteration-process。
第二种“演变模式”是“树状递归”,以fibonacci数列为例:
0,1,1,2,3,5,8,13,21,…
fibonacci数列有如下定义:
fibonacci数列
简单粗暴的将定义实现出来:
function fib(n) { return n === 0 ? 0 : n === 1 ? 1 : 南宋和北宋的区别fib(n - 1) + fib(n - 2);}fib(6);
此函数在时间线里演变呈现“树状结构”:
the tree-recursive process generated in computing (fib 5) fib(5)
然而该解决方案的运行效率极低,从图中可知,fib(1), fib(2), fib(3)重复计算。
颇为值得一提的是,fib(n)的值无限趋近于ϕn/√5。其中 ϕ为“黄金比例”:
ϕ2=ϕ+1
至此,已知函数的“发展演变模式”为树状结构。下一步,如何判断此函数动作是一部“臭棋”还是一步“好棋”呢?答案是从“时间复杂度”和“空间复杂度”两方面着手分析。
于是,我跑山鸡们看到 fib(n)函数在“时间复杂度”上,指数级增长;而另外一方面,”空间复杂度”则“线性增长”。一言以蔽之,树状递归执行的总步数,取决于总的节点数量;而所需的空间则与生成树的最大深度成正比。
作为对比,尝试用iterative的方法计算fibonacci。须用到一对数a和b,并初始化fib(1)=1 and fib(0)=0,反复应用以下转换:
a <--- a + bb <--- a
a与b的数值最终将分别对应fib(n+1) and fib(n)。
function fib(n) { return fib_iter(1, 0, n);}function fib_iter(a, b, count) { return count === 0 ? b : fib_iter(a + b, a, count - 1);}
更加符合直觉的表达方式是:
function fib(n) { return fib_iter(1, 0, n);}function fib_iter(next, current, count) { return count === 0 ? current : fib_iter(next + current, next, count - 1);}
这第二种解法就是“线型迭代”。
对比以上两种解法。tree-recursion的解法更加符合直觉,有助于在初步阶段,梳理清楚脉络;而第二种linear-recursion的解法则需要较多的观察,注意到计算过程需要三个状态变量。
本文发布于:2023-04-05 11:06:59,感谢您对本站的认可!
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