开房门

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.专业.

高二数学选修谈概率中钥匙开门问题

在高中概率这一章的学习中，钥匙开门问题是经常碰到的问题，对于这一问题，

尤其是求在钥匙放回或不放回这两种情况下第几次将门打开的概率，学生经常出

错，本文对这一问题进行归纳、对比.供大家参考。

例1某人有5把外形相同的钥匙，其中只有一把能打开房门，不幸的是他忘

了是那一把，只好随意逐把试开，假设每次试过的钥匙不再重复试开.求第3次将

房门打开的概率.

分析某人五次顺次拿出钥匙的结果相当于5把钥匙的一个排列，由于他每次

拿哪一把是任意的，所以不同的拿钥匙的结果的可能性相同，此题是等可能事件的

概率问题．

解答第三次打开房门锁相当于第三次拿出的钥匙正好是房门钥匙。把五次顺

次拿出钥匙的结果相当于5把钥匙的一个排列共有5

5

A种方法；在5把钥匙的一个

排列中的第3把钥匙正好是开房门的钥匙，其它4把不能打开房门的钥匙任意排在

第1、2、4、5的位置上.因此第3次打开房门的结果有4

4

A种.所以恰好第三次将房

门打开的概率为

4

4

5

5

1

()

5

A

PA

A



.解此题时也可以只考虑前三次的情况，将前三次顺

次拿出钥匙的结果相当于从5把钥匙中取出3把钥匙的一个排列，共有3

5

A种；第

三次打开房门即在3把钥匙的排列中第3把恰好是打开房门的钥匙，前面两个位置

是从4把不能打开房门的钥匙中取2把钥匙的一个排列，共有2

4

A种。故

2

4

3

5

1

().

5

A

PA

A



说明此题也可以运用条件概率求解.在B发生的条件下，A发生的概率

()

(自由组合定律的实质 带有月字旁的字 |)

()

PAB

PAB

PB

.故由()(|)()PABPABPB得：5把钥匙中只有1把能打开房门，

且第三次打开房门说明前两次都没有打开房门.第一次打不开的概率为

4

5

，由于不

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放回，第二次仍然打不开的概率为

3

4

，第三次打开的概率为

1

3

.所以恰好第三次将

房门打开的概率为

4311

()

5435

PA。

变1假设每次试过的钥匙又放回，求第3次将房门打开的概率。

解答每次试过的钥匙又放回，所以每次从5把钥匙中任取1把去开门是相互

独立的.第三次将房门打开说明第三次在5把钥匙中任意取一把且取到的恰好是打

开房门的钥匙，于是其概率为

1

5

。

综上，把钥匙的把数推广到n那么在放回或不放回的工会主席 条件下，假设n把钥匙中

恰好只有一把可以打开房门的钥匙，那么第k次将房门打开的概率都是

1

n

。

变2假设每次试过的钥匙又放回，求恰好第3次将房门打开的概率。

解答恰好第三次打开房门锁说明前两次都没有打开房门.又每次试过的钥匙

放回，所以每次从5把钥匙中任取1把去开门是相互独立的.恰好取到能打开房晚安小故事 门

的钥匙的概率为

1

5

，取不到的概率为

4

5

.故恰好第3次将房门怎么注册微博 打开的概率为：

44116

()

555125

PA。

说明变1和变2的区别在于“恰好〞两字.有“恰好〞，说明前面的

1(*)kkN次都没有将门打开，恰好在第k次将门打开了.也可以把钥匙把数推广

到n，恰好第k次将房门打开的概率1

11

()()k

n

PA

nn







例2如果5把钥匙中有2把可以开房门的钥匙，随意逐把试开，且每次试过

的钥匙不再重复试开.那么第3次打开房门的概率是多少？

解答第三次打开房门锁相当于第三次拿出的钥匙正好是2把房门钥匙中的

一把，或者说在5把钥匙的一个排列中第3把钥匙正好是二把能开房门的钥匙之一.

〔这里只强调第3次取的这把钥匙能开房门，而前面或后面取的钥匙是否能打开房

门不去关心〕，故

14

24

5

5

2

()

5

CA

PA

A



变1如果5把内有2把可以开房门的钥匙，且每次试过的钥匙不再重复试

开.那么恰好第3次打开房门的概率是多少？

解答恰好第3次打开房怎么增加c盘空间 门，说明前2次都没有打开房门，那么在5把钥匙

的一个排列中第3把钥匙正好是二把能开房门的钥匙之一，且另一把必须排在第4

或第5把的位置。

.

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113

223

5

5

1

()

5

CCA

PA

A



.

变2如果5把内有2把可以开房门的钥匙，且每次试过的钥匙又放回.那么第

3次打开房门的概率是多少？

解答每次试过的钥匙放回，所以每次从5把钥匙中任取1把去开门是相互独

立的.又每次恰好取到能打开房门的钥匙的概率为

2

5

，取不到的概率为

3

5

.故与例1

变1类似，第3次将房门打开的概率为

2

5

.

变3如果5把内有2把可以开房门的钥匙，且每次试过的钥匙又放回.那么恰

好第3次打开房门的概率是多少？

解答

33218

()

555125

PA.

综上，设n把形状相同的钥匙中有m把可以打开房门，每次随意任取一把试开：

〔1〕假设每次试开后不放回，那么第k次打开的概率为

11

1().

n

mn

n

n

CA

m

PA

An





或者

11

1().

k

mn

k

n

CA

m

PA

An



〔2〕假设每次试开后不放回，那么恰好第k次打开的概率为

11

().

mnm

mnknm

n

n

CAA

PA

A



或者

11

().

k

mnm

k

n

CA

PA

A



〔3〕假设每次试开后放回，那么第k次打

开的概率为().

m

PA

n

〔4〕假设每次试开后放回，那么恰好第k次打开的概率为

1()()k

nmm

PA

nn





.

评注：在解答概率问题时，题中条件稍有变化，解的方法以及结果就大不一样，

因此一定要仔细推敲，严格区分，审清题意。