外生

第二讲

有外生储蓄率的新古典增长理论（索洛—斯旺模型）

2.1引言：现代经济增长理论演化史

2.1.1“刃锋”问题及其解决的两条思路

现代经济增长理论导源于哈罗德-多马模型。哈罗德-多马模型试图把凯恩斯的静态的短

期理论动态化，以研究资本主义市场经济的长期动态过程。凯恩斯强调了投资对总需求的影

响，而哈罗德-多马模型强调了投资对一个供给能力的影响。它认为，一国的经济增长率是

储蓄率与资本-产出比之比。哈罗德-多马模型因其简洁性在发展经济学的文献中具有重要影

响力。但是，“刃锋”问题困扰着它，即实现充分就业的稳态增长犹如在刀刃上行走。按照

哈罗德-多马模型，实现充分就业的稳态增长的充要条件是：

sAn=+

其中s为储蓄电梯使用方法 率，A为资本的平均产出，n为人口增长率，为折旧率。

为了解决哈罗德-多马模型的“刃锋”问题，经济增长理论沿着两条不同道路演化，一

条是新古典的思路，另一条是新剑桥思路。

新剑桥思路接受了古典经济学的“工资铁律”思想，认为储蓄率的高低是由收入分配

水平所决定，而通过收入分配的自动调整，经济可以达到实现充分就业的稳态增长所需的充

要条件。例如，当sAn>+时，存在一定的资本闲置，因此，资本所得报酬率降低，从而

收入分配状况表现为向劳动倾斜，而根据工人的储蓄率低于资本家的储蓄率这一假设，整个

社会的储蓄率s降低，最终实现充分就业的稳态增长所需条件。当sAn<+时，经济将出

现持续上升的失业率，为此工人工资不断下降，在国民收入分配中资本所占份额不断增加，

而劳动所占份额不断下降，导致整个社会的s上升，直至sAn=+，经济将再次达到充分

就业的稳态增长所需条件。因此，新剑桥理论通过把储蓄与收入分配结合起来，解决了“刃

锋”问题。

新古典主义解决“刃锋”问题的思路与新剑桥不同，它们抛弃了资本与劳动投入比例

不变的列昂剔夫生产函数，采用了资本与劳动投入可变的新古典生产函数，从而资本的边际

产出就不再是不变的，而是可变的。当sAn>+时，由于存在资本闲置，资本报酬率降低，

导致厂商使用资本替代劳动，而随着资本投入的增加，其边际产出A降低，直到sAn=+，

达到充分就业的稳态增长时为止。反之，当sAn<+时，失业率持续上升，导致工人工资

的降低，厂商使用劳动替代资本，随着资本投入使用量的降低，资本的边际产出A持续上

升，直到sAn=+，达到充分就业的稳态增长所需条件时为止。

新剑桥与新古典两种不同的解决“刃锋”问题的思路，引发了经济思想史中著名的两

个剑桥有关资本问题的争论。

2.1.2从外生技术进步到技术进步的内生化

新古典经济增长理论认为，人均收入是由人均资本存量决定，一般而言，人均资本存

量越高，人均收入水平越高，而且，随着人均资本存量的提高，增加的资本存量所带来的收

入增量不断降低。而稳态的人均资本存量是由储蓄率、人口增长率、折旧率和技术水平所共

同决定的，因此，在这些变量一定时，稳态的人均资本存量也一定，从而长期的人均收入水

平也一定。而当储蓄率发生变化时，在短期内将提高稳态的人均资本存量，但是一旦经济达

到新的稳态资本存量，人均收入就趋于不变。因此，新古典增长能够解释一国人均收入水平

是多少，但是，没有办法解释人均收入水平的演化轨迹。而经济增长理论的任务不仅要解释

人均收入水平，而且要解释人均收入水平的增长率。正如小罗伯特卢卡斯（RobertE．Lucas,

Jr．）所言，“说到经济发展问题，我只不过是要说明和解释不同国家及其不同阶段从人均收

入水平和增长率所表现出的模式问题。”（RobertE．Lucas,Jr．：‘OntheMechanicsof

EconomicDevelopment’,JournalofMonetaryEconomics,22,1988,3-42.）为了解释人均收

入的长期增长率，新古典增长理论假设存在一个外生的技术进步率x，技术的不断进步推动

生产函数不断向外扩张，从而人均资本存量不断增长，推动人均收入不断增长。因此，新古

典经济增长理论实际上是用一个外生的技术进步率来解释人均收入的增长率，但是，它没有

解释技术进步从何而来，在它们看来，技术进步是外生的。因此，如果经济增长是一个“黑

箱”的话，新古典经济增长理论只是用技术进步“黑箱”取代了经济增长“黑箱”。正如罗

伯特巴罗和哈维尔萨拉伊马丁所言：“于是最终我们得到了这样一个增长模型，它能解

释一切，却独独不能解释长期增长，这是一种明显让人不能满意的状况。”（罗伯特巴罗和

哈维尔萨拉伊马丁：《经济增长》，中国社会科学出版社，2000年，第11页。）

用外生的技术进步率解释经济增长的理论明显不能令人满意，这导致内生经济增长的

兴起。所谓内生经济增长就是在模型之内决定长期经济增长率，而不需要借助模型之外的力

量。经济学家很早就认识到技术创新不是天上掉下来的馅饼，而是人们有目的有意识投资的

结果，也就是始自希克斯（Hicks，1932）的诱致性技术创新的思想。但是，把这种技术创

新导源于企业研发行为（R&D）的思想整合进新古典增长模型中却非常困难，这意味着将破

坏新古典增长理论的完全竞争假设。而把R&D理论和不完全竞争整合进增长框架中开始于

保罗罗默（RomerPaul,1987,1990）的工作，也包括阿洪和豪伊特（Aghion,PhilippeandPeter

Howitt，1992）、格罗斯曼和赫尔普曼（Grossman,GeneMandElhananHelpman，1991）以

及阿格莫古鲁（Acemoglu,Daron，1998，2001，2002）的工作。在这些模型中，技术进步

是有目的的R&D活动的结果，作为回报，技术创新者可以获得一定时间的垄断权。如果经

济中新的思想不存在枯竭的趋势的话，经济就可以维持持续增长。然而，由于存在与新产品

和新生产方法相关的扭曲，经济增长率和创新活动不能达到帕累托最优状态。在这一理论框

架中，长期经济增长率取决于政府的行为。因此，政府就可以通过知识产权的保护、教育政

策、法律和秩序的维护、税收政策、基础设施服务的提供、金融市场和其他市场的管制政策

等影响新思想的产生和传播，从而影响长期经济增长了。

2.1.3国家回到经济增长的中心地带

相对于外生技术进步的新古典增长理论，内生经济增长理论通过把技术进步内生化推

进了增长理论。但是，内生经济增长理论没有办法解释为什么有的国家愿意把更多的资源投

入到生产新知识的研发活动之中，而有的国家为什么不愿意？正如新制度经济学的代表人物

道格拉斯诺斯（NorthDouglas）和托马斯（ThowmasRobert）所言：“我们列出的原因（创

新、规模经济、教育、资本积累等）并不是经济增长的原因，他们乃是增长。”（道格拉斯诺

斯，罗伯特托马斯：《西方世界的兴起》，北京：华夏出版社，1999年，第6页。）而新制

度经济学认为，制度才是经济增长、国富国穷的根本原因。正如诺斯和托马斯所言：“本书

的中心论点是一目了然的，那就是有效率的经济组织是经济增长的关键；一个有效率的经济

组织在西欧的发展正是西方兴起的原因所在。有效率的组织需要在制度上做出安排和确立所

有权以便造成一种刺激，将个人的经济努力变成私人收益率接近于社会收益率的活动。”（同

上书，第5页）

如果说经济增长的根本原因在制度，一个基本的问题是，为什么在有的国家和地区，

一个坏的制度能够长期存在？也即制度又是从何而来的问题？

诺斯（1994）说，“国家的存在是经济增长的关键，然而国家又是人为经济衰退的根源；

这一悖论使国家成为经济史研究的核心，在任何关于长期变迁的分析中，国家模型都将占据

显要的一席。但长期以来的历史研究把历史学家、政治学家和经济学家提出的国家理论点缀

在表面而很少注意这一问题。”（诺斯：《经济史中的结构与变迁》，上海：上海三联书店，

上海人民出版社，1994年，第20页）“理解制度结构的两个主要基石是国家理论和产权理

论。”“因为是国家界定了产权结构，因而国家理论是根本性的。最终是国家要对造成经济增

长、停滞和衰退的产权结构的效率负责。因而国家理论必须对造成无效率产权的政治-经济

单位的内在倾向作出解释，而且要说明历史中国家的不稳定性。不幸的是，在解释经济史中

的长期制度变迁时，这一重要的基石却被人们忽略了。”（同上书，第17页。）制度是国富国

穷的根本原因，而国家又是制度供给的最重要主体。国家在经济发展过程中可能扮演三种角

色：无形之手、扶持之手和攫取之手。

“无形之手”来自于斯密的“看不见的手”思想，它认为，在这只看不见的手的引导

下，追求自利个人的自利行为最终实现了整个社会福利的最大。因此，市场这只看不见的手

运行良好，不需要政府的干预。政府仅仅需要执行一些市场经济赖以运行的基本职能，如提

供法律、秩序和国防。

“扶持之手”来自于二战之后兴起的政府大规模干预经济的思想。根据“扶持之手”

思想，不受约束的自由市场会导致多重市场失灵，既包括垄断、外部性、公共产品和信息不

对称等微观市场失灵，也包括大规模失业、经济衰退、通货膨胀等宏观市场失灵。为了矫正

这些市场失灵，人们提出了各种微观规制政策和宏观调控政策。

“掠夺之手”是与“扶持之手”和“无形之手”不同的一种政治哲学。它认为政府行

为是由政治过程决定的，而政治过程是由政治企业家的行为决定。政治企业家既不是好人，

也不是坏人，而是一个普普通通的一般人，用经济学的话说，就是一个理性的经济人，追求

自身的最大满足。“独裁者运用他们的权力来维护自己的地位，将资源配置给自己的政治支

持者，打击政敌，中饱私囊，以牺牲公共福利为代价。民主政治中的政治家常常抱有更多的

公利动机，部分原因在于他们需要再次当选，但是，通过民主方式选举的政治家一般也不会

追求社会福利的最大化。”（安德烈施莱弗和罗伯特维什尼编著：《掠夺之手——政府病

及其治疗》，北京：中信出版社。2004年，第4页。）

“无形之手”基本没有像样的政府理论，而“扶持之手”和“掠夺之手”虽然都对政

府改革抱有积极态度，但是，二者对政府的看法却绝然相反。“扶持之手”以政府的目标是

社会福利最大化看待政府，而在“掠夺之手”看来，无论是专制政府还是民主政府，其所追

求的目标都与社会福利最大化截然不同，除了社会福利最大化与政治企业家自身的目标激励

相容。

从“掠夺之手”模型就可以较好地解释为什么一个坏制度能够在一个国家长期存在，

这种坏制度的长期存在实际上是这个国家当政者的最优选择。自1993年第一任民选总统被

刺杀之后，非洲的布隆迪一直处于内战之中。经济没有效率，以市场为基础的活动彻底崩溃。

人均预期寿命由1992年54岁降低到2000年的41岁，从1980年以来家庭的最终消费支出

降低了35%。然而，军队的精英们却从内战的混乱中获益颇丰。因此，军队领导人持续颠

覆将导致军队改革的和平进程。（CostasAzariadisaandJohnStachurski:‘Poverty

Traps?’，inPhilippeAghionandStevenDurlauf,eds.‘TheHandbookofEconomic

Growth’.）

2.2哈罗德-多马模型与“刃锋”问题

2.2.1哈罗德-多马模型

哈罗德-多马模型假设：（1）劳动力以外生的速率n增长；（2）生产函数为固定投入比

例的列昂惕夫生产函数，即K/L不变；（3）资本产出比K/Y

不变。

假设存在一个两部门经济，则其国民收入核算恒等式意味着：

Y

t

=C

t

+S

t

国民经济处于均衡状态的充分必要条件是：

C

t

=I

t

则上式可以写成：

Y

t

=C

t

+I

t

哈罗德-多马模型认为，国民收入的增长是与投资在国民收入中的比重成比例的，因此，资

本存量的净增加是国民收入增长的必要条件，而资本存量的微分方程是：

K

t+1

=（1-）K

t

+I

t

假设不变的资本产出比为v=Y/K=Y/K，人们把收入的s部分用于储蓄，且储蓄自动转化

为投资，则上式可以改写为：

vY

t+1

=（1-）Y

t

+sY

t

上式可以写成：

Y

t+1

-Y

t

=（s/v-）Y

t

（Y

t+1

-Y

t

）/Y

t

=s/v-

即：G

t

=s/v-

如果假设=0，则：

G

t

=s/v

这即我们通常所见哈罗德-多马模型的形式。

2.2.1“刃锋”问题

哈罗德-多马模型假设生产函数具有如下形式：

Y=Min（AK,BL）

则其人均形式道貌岸然造句 可以写成：

y=Min（Ak,B）

如下图所示：

图2.1人均意义上的里昂惕夫生产函数

为此，人均资本增长率函数具有如下形式：

()().(,)/(

k

sMinAkBknkksfkkn

=−≡=⋅−+)+

很明显，这是一个分段函数，即：

();

();k

sAnkBA

sBknkBA

⎧

−+≤

⎪

⎪

=

⎨

⎪

−+>

⎪

⎩

从上式可知，人均资本存量增长率的行为取决于s的行为，下面分三种情况讨论：

（1）s足够高，以至于，此时人均资本存量增长率由图2.2右图描述。人均

资本存量收敛于k

sAn>+

*，k*>B/A，此时，存在资本的剩余。

（2）s比较低，以至于，此时人均资本存量增长率由图2.2左图描述。人均

资本存量收敛于0，此时，人均资本存量不断降低，以至于失业人口不断增加。

sAn<+

（3）仅仅当时，人均资本存量收敛于ksAn=+*=B/A，此时既不存在资本剩余，也

不存在持续上升的失业。但是，在哈罗德-多马模型中，s、A、n和都是外生变量，要使这

四个变量正好满足这个等式几乎不可能，因此均衡增长犹如在刀刃上行走，是为“刃锋”。

图2.2哈罗德—多马模型

2.3索洛-斯旺模型

2.3.1模型结构与假设

首先，居民户（或家庭）拥有经济中的所有投入和资产，包括在企业中的所有权，并

选择其收入中用于消费和储蓄的比例。每个家庭决定要生多少孩子，是否加入劳动力市场以

及工作多少时间。

其次，企业雇用诸于劳动和资本之类的投入，而且利用这些投入来生产卖给家庭或其

他企业的产品。企业拥有持续演进的技术，使得它们可以把投入转化为产出。

再次，企业向家庭或其他企业出售产品以及家庭向企业出售投入，这就构成了市场。

需求和供给的数量决定了投入与所生产出的产品的相对价格。

为了简化，我们采取一个排除市场和企业的简化框架，可以设想一个类似于鲁滨逊式

家庭——既是一个消费单位又是一个生产单位。

第一，假设仅有两种投入，劳动和资本，从而生产函数具有如下形式：

()()(),,YtFKtLtt⎡

⎢

⎣⎦

=⎤

⎥（2.1）

生产函数对时间的依赖反映了技术进步。t

第二，假设一个单部门生产技术，其中产出是一种可被消费()Ct，或投资()It以创造

新的物质资本单位()Kt的同质产品。

第三，假定经济是封闭的，在一个封闭经济中，产出等于收入，投资等与储蓄额。

第四，储蓄率是一不变的外生常数，。().ss=

第五，资本以常率折旧。0>

由此，在一个时点上物质资本存量的净增加等于总投资减去折旧：

(),,KIKsFKLtK=−=−

（2.2）

第六，劳动力L由于人口增长而持续变化，其参与率改变，标准工人的工作时间也在

转变。但是，为了简化，教师节讲话稿 我们假设人口一不变的、外生的速率增长0LLn=≥

，而且每

个工人的劳动强度给定。如果我们把0时的人数标准化为1，且把每个人工作强度也标准化

为1，那么在t时的人口和劳动力就等于：

()ntteL=（2.3）

因此，如果()tL由（2.3）给定且缺乏技术进步，则（2.2）式就决定了资本和产出的

时间路径。

2．3．2新古典生产函数

如果忽略技术进步，则生产函数可以写成如下形式：

(,YFKL=)（2.4）

如果它满足以下三个性质，则称为新古典生产函数。

第一，对所有和0K>0L>，().F呈现出对每一种投入的正且递减的边际产品：

2

2

0,0

FF

K

K

><

∂∂

∂

∂

2

2

0,0

FF

L

L

>

∂∂

∂

∂

<（2.5a）

第二，().F呈现出不变规模报酬：

()(,,)KLFKLF=，对所有的。（2.5b）0>

第三，稻田条件（Inada,1963）：

()()

00

limlim

KLKL

FF

→→

==∞

=()()0limlim

KLKL

FF

→∞→∞

=（2.5c）

不变规模报酬意味着产出可以被写成集约形式：

()yfk=（2.6）

从而可以证明要素投入的边际产品为：

()YKfk∂∂=′

()()fkkfkYL

⎡⎤

⎢⎥

⎣⎦

=−⋅′∂∂（2.7）

稻田条件意味着和()

0

lim

k

fk

→

⎡⎤

⎢⎥

⎣⎦

′

=∞()0lim

k

fk

→∞

⎡⎤

⎢⎥

⎣⎦

′

=。

可以证明，如果生产函数是新古典生产函数，每种投入对生产都是不可缺少的。

柯布—道格拉斯生产函数是新古典生产函数的最好例子。

1YAKL−=

k

(2.8)

yAk=(2.9)

2．3．3资本存量的基本动态方程

索洛—斯旺模型中的基本微分方程：

()()knksf−+⋅=⋅

（2.10）

注：资本存量的持续变化有（2.2）给出，如果两边同时除以，则我们得到：L

()KLsfkk=⋅−

利用

()/dKL

KLnk

dt

k=−≡

图2.3索洛—斯旺模型

2．3．4稳态

稳态定义：一种其中各种数量都以不变速率增长的状况。索洛—斯旺模型的稳态为

，对应于图2.3中曲线0k=

()ksf⋅和(的交点，相应的稳态值为。代

数上，满足条件：

)n+⋅k

k*k

*k

()()*knsfk=+⋅*⋅（2.11）

既然在稳态中，k是不变的，则和也分别固定在y

c()**fky=和

()()**s1fkc=−⋅。因此，在新古典模型中，人均数量、c和在稳态中都不增加。

人均数量固定意味着变量Y、C和

yk

K的水平在稳态中以人口增长率n的速率增长。

以生产函数的移动来表示的技术水平的变化、储蓄率的变化、人口增长率及折旧率的

变化都对稳态中的各种人均水平产生影响。但是，值得注意的是：储蓄率、人口增长率及折

旧率的改变并不影响人均产出、资本和消费的稳态增长率，它们全都为0。由于这个原因，

目前所涉及的索洛—斯旺模型并没有解释长期经济增长的决定。

2．3．5资本积累的黄金律和动态无效率

对于一个给定的生产函数和及的给定值，对储蓄率的每个值而言只有唯一一个ns

稳态值。以*0k>()*ks来表示这种关系，我们有()*0dksds>。人均消费的稳态

水平为()(*1cs)*fks⎛⎞

⎟

⎜

=

⎟

⎜

⎝⎠

−⋅。由（1.11）式可知()()**knsfk=+⋅⋅，因此我

们可以把的表达式写作：*c

()()()()***csfksn⎛⎞

⎟

⎜

=−

⎟

⎜

⎝⎠

+⋅ks（2.12）

由此，可以求出对应于最大人均消费的，即：*cs

()*

0

dcs

ds

=

()*

*0

dk

fkn

ds

⎡⎤

⎛⎞

⎢⎥

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟⎢⎥

⎜

⎝⎠

⎢⎥

⎣⎦

−+⋅=

′

如果我们以

gold

k来表示对应于的最大值的值，那么决定*c*k

gold

k的条件是：

()gold

fkn=+

′（2.13）

相应的储蓄率可以被表示为

gold

s，与之相联系的稳态人均消费水平是

。()()goldgoldgold

fknkc⋅=−+

式（2.13）中的条件被称作资本积累的黄金律（参见费尔普斯[1966]）。这个名字来源

于《圣经》中的行为的黄金律：“己所不欲，勿施与人”。经济学意义上的黄金律结果可以

被理解为：“如果我们对每一当前和未来世代的成员提供相同数量的消费——也就是说我们

给予未来世代的并不比给予我们自己的要少——则人均消费的最大数量即为

gold

c。”

图2.4描述了黄金律的运作。一个问题是一些储蓄率是否优于另一些。虽然目前我们无

法确定最佳储蓄率（这需要储蓄率的内生化），但是在目前的框架中我们可以证明一直超过

gold

s的储蓄率是无效率的，因为通过降低储蓄率，我们可以在所有时点上获得更高数量的

人均消费。

一个过度储蓄的经济被称为动态无效率的，因为其消费路径在所有时点都位于另一条

可行路径之下。

图2.4资本积累的黄金律

图2.5黄金律与动态无效率

2．3．6转移动态

索洛—斯旺模型中的长期增长完全被外生因素所决定。因此，有关长期的主要实质性

结论都是消极的，譬如稳态增长独立于储蓄率和生产函数水平。但模型确实也有一些有关转

移动态的更为有趣的含义。这一转移显示出一个经济的人均收入是如何收敛于其自身的稳态

值和其他经济的人均收入的。

把（2.10）式的两边同除以意味着k的增长率由：k

()()

k

kksfkkn≡=⋅−+

（2.14）

给定。注意，在所有时点上，一个变量水平的增长率等于其人均增长率加上，例如：n

K

k

n=+

注：

()

()/

k

dKLdt

KLnKL

KLKL

K

n

K

kk

K

n

−⋅

=

=−=

≡=

−

由于()fkk对的导数为负（k

()

()()2

dfkk

fkkfkk

dk

⎡⎤

⎣⎦

⎡⎤

′

=−−⋅

⎣⎦，方括号中的

式子等于劳动的边际产品，它为正。），所以（2.14）式的第一项是一负斜率的曲线。它

在时渐进于无穷大，而随着趋于无穷大它接近于0（注意到

0k=

k()00

0

limsfkk

k

⎡⎤

⋅=

⎣⎦

→

。我

们应用罗必塔法则并根据稻田条件得到：()()

00

limlim

kk

sfkksfk

→→

⎡⎤

⎡⎤

⋅==

⎢⎥

⎣⎦

∞

⎣⎦

⋅′。同理

得到：()()0limlim

kk

sfkksfk

→∞→∞

⎡⎤

⎡⎤

⋅=

⎢⎥

⎣⎦

⎣⎦

⋅′=）。

第二项则是一条水平线。这条曲线与直线之间的垂直距离等于人均资本的增长

率，其交点对应于稳态。由于且

n+

0n+>

()sfkk⋅

从无穷大单调下降到0，这条曲线

和直线交且仅交一次。因此，稳态资本/劳动比率存在且唯一。*0k>

图2.6索洛—斯旺模型的动态

通过上述分析，我们知道：对于任何初始值()0k>0，经济都将收敛于其唯一的稳态，

即。*0k>

我们还可以研究转移路径中产出的行为，人均产出增长率由：

()()()()

y

k

yyfkkfkkfkfk⎡⎤

⎢⎥

⎣⎦

′′

≡=⋅=⋅⋅

（2.15）

给定。最右端方括号中的式子通常被称为资本份额，也就是资本的租金收入占总收入中的份

额。

而（2.15）式表明和之间的关系依赖于资本份额的行为。而在柯布—道格拉斯

生产函数中，资本份额是一常数，从而是的部分。因此，的行为是对

的模仿。

y

k

y

k

y

k

更一般地，我们可以把（2学做手工 .14）式中的代入（2.15）式得到：

k

()()()

y

sfknShk′

=⋅−+⋅

（2.16）

其中，

()()()Shkkfkfk

′

≡⋅

资本份额。如果我们对微分且移项，则我们得到：k

()

()

()()

()

()1

yk

kfknfk

kS

fkfk

hk

⎡⎤

′′′

⋅+⋅

⎢⎥

⎡⎤

∂∂=⋅−⋅−

⎣⎦

⎢⎥

⎢⎥

⎣⎦

由于()0Shk<1<，等式右边的后一项为负。如果，则等式右边的第一项非正，

从而

0

k

≥

0

y

k∂∂<

。于是在即的区域中，随着人均资本的上升（因而随

着上升），必然下降。反之，如果，则符号不确定。然而，如果经济接近稳

态，那么的数量将很小，从而即使，

0

k

≥*kk≤

k

y

y

0

k

<

k

*kk>

0

y

k∂∂<

也一定成立。

在假定了一个不变的储蓄率的索洛—斯旺模型中，人均消费水平由

()1cs=−⋅y

给

定。因此，该模型中的

yc

=

适用于一切试点。消费也呈现出与产出相同的动态。

2．3．7政策试验

图2.7储蓄率增加的影响

在索洛—斯旺模型中，这些种类的政策变化也对经济增长率有着暂时的但不久远的影

响。

2．3．8绝对与条件收敛

（2.14）式意味着对的导数为负：

k

k

()()

0

k

sfkfkk

k

k

⎡⎤

′

⋅−

⎣⎦

∂∂=<

其他情况相同，的值越小，的值越大。于是一个重要问题油然而生：这一结果是不是

意味着有更低的人均资本的经济趋于在人均项目上更快地增长？换言之，是否存在各经济之

间的收敛？

k

k

绝对收敛：如果不以经济的任何其他特征为条件，在人均量上穷国趋于比富国增长更

快的假说，被称为绝对收敛。

图2.8无条件收敛图解

图2.9跨国GDP趋同：114个国家初始的人均GDP水平与增长率

图2.10增长率的条件收敛

条件收敛：通过对国家之间参数（如储蓄率、人口增长率等）的差异进行控制，会使

得最初的穷国增长更快。

图2.11OECD国家之间的GDP趋同：

18个OECD国家初始的人均GDP与长期增长率

图2.12美国各州之间的趋同

结论：实证研究否认了绝对收敛，但是支持条件收敛。

图2.13条件趋同

详见：

Baumol,W.J.(1986).“ProductivityGrowth,Convergence,andWelfare:WhattheLongrun

DataShow,”AER76,1072-1085;

DeLong,B.(1988).“ProductivityGrowth,ConvergenceandWelfare:Comment,”AER

78,1138-1154;

Barro,R.(1991).“EconomicGrowthinaCross-SectionofCountries,”QJE106,407-444.

2.3.9技术进步

熊彼特、创新与经济发展：

发明的分类：

发明会使得生产者能用此相对少的资本投入或相对少的劳动投入来生产相同数量的产

出，这两种情况分别被称作节约资本或节约劳动的技术进步。并没有相对更多地节省任一种

投入的发明被称作中性或无偏的。

中性技术进步的定义依赖于资本节约和劳动节约的精确含义。它的三种流行的定义分

别出自希克斯（1932）[TheTheoryofWages,London,Macmillan]、哈罗德（1942）[《动态经

济学》，商务印书馆]和索洛（1969）[InvestmentandTechnicalChange]。

希克斯称一个技术创新是中性的（希克斯中性），如果对于一个给定的资本/劳动比率

其边际产品的比率保持不变，如图2.14上的A与C点表示。

用MP

K

(0)和MP

L

(0)分别代表技术进步前资本和劳动的边际产量，MP

K

(1)和MP

L

(1)分别

为技术进步后资本和劳动的边际产量。则有：

（1）如果MP

K

(1)/MP

L

(1)=MP

K

(0)/MP

L

(0)，则技术进步并不改变国民收入分配的比例，

根据定义，该技术为希克斯中性；

（2）如果MP

K

(1)/MP

L

(1)>MP

K

(0)/MP

L

(0)，则康莲英 技术进步提高了r/w比例，即技术进步使

国民收入分配有利于资本要素，即相对于资本而言，劳动比以前更加充裕，因而该技术进步

被称为节约劳动型的；

（3）如果MP

K

(1)/MP

L

(1)

K

(0)/MP

L

(0)，则技术进步降低了r/w比例，即技术进步使

国民收入分配有利于劳动要素，即相对于劳动而言，资本比以前更加充裕，因而该技术进步

被称为节约资本型的。

这一性质对应于等产量曲线的重新编号，以至于希克斯中性生产函数可被写作：

()()(,,,YFKLtTtFKL==⋅)

（2.17）

其中是一个技术状态指数，且()Tt()0Tt≥

。

哈罗德把一个创新定义为中性（哈罗德中性），如果对于一个给定的资本/产出比率相

对投入份额

K

KFLF⋅⋅

L

保持不变，如图2.14上的A与D点表示。

如果资本的边际产量MP

K

在技术进步前后保持不变，则称该技术进步为哈罗德中性技

术进步；如果MP

K

在技术进步之后增加了，则称该技术进步为节约劳动型技术进步；如果

MP

K

在技术进步之后减少了，则称该技术进步为节约资本型技术进步；

罗宾逊（1938）和夏朝历史简介 宇泽（1961）证明这个定义意味着生产函数具有如下形式：

()(),YFKLAt=⋅

（2.18）

其中()At是一个技术指数，且()0At≥

。这种形式被称为劳动增进型技术进步，因为它和

劳动存量的增加所起作用一样提高了产出。

索洛把一个创新定义为中性（索洛中性），如果对于一个给定的劳动/产出比率相对投

入份额

LK

LFKF⋅⋅

保持不变，如图2.14上的A与B点表示。如果MP

L

在技术进步前后

保持不变，则称该技术进步为索洛中性技术进步。

可以证明这一定义意味着如下的生产函数形式：

()(),YFKBtL=⋅

（2.19）

其中()Bt是一技术指数，且()0Bt≥

。这种形式的生产函数被称为资本增进型，因为技术

进步所导致的产量增加与资本存量增加的作用是一样。

图2.14技术进步的类型

技术创新的路径：

对技术创新路径方面的努力是循着两条线索发展的：一条关注要素的相对稀缺性，另

一条关注市场需求。前者是希克斯—速水—拉坦—宾斯旺格（Hicks-Hayami-

Ruttan-Binswanger）假说。它假定，一种要素相对价格的提高，会诱使能节约该要素的技术

类型的创新。该假说的核心如下：如果没有市场扭曲，要素相对价格将反映要素相对稀缺性

的水平与变化，农民会被诱使去寻找能节约日益稀缺的要素的技术。因此，从社会的角度看，

研究机构在决定其技术创新方向时，应该将要素稀缺性考虑进去。速水和拉坦（1985）在《农

业发展的国际分析》一书中，利用日本和美国农业技术演进的历史证实了这种理论。第二种

方法是施莫克勒—格里克斯(Schmookler-Griliches)假说，它假定在其他情况不变时，对一种

商品的新技术的可得性，是对该商品的市场需求的函数。发明一种新技术的相对利益，取决

于适于该技术的商品的价格与市场规模。因此，最优化要求一个科研机构将资源更多地分配

到开发适用于具有较高价格或较大市场的商品的新技术。

技术进步为劳动增进型的必要性：才能实现稳态增长。

有劳动增进型技术进步的索洛—斯旺模型：

我们现在假定生产函数中包括了劳动增进型技术进步，如同（2.18）式一样，而且技术

项()At以不变的速率x增长。资本存量变化的条件为：

(),KsFKLAtK

⎡⎤

=⋅⋅−

⎣⎦

如果我们把上面等式两边同除以，则我们可以导出随时间变化的一个表达式：L

k

()(),ksFkAtnk

⎡⎤

=⋅−+⋅

⎣⎦

（2.20）

上式与（2.10）式的唯一区别在于人均产出现在要依赖技术水平()At。

把（2.20）式两边同时除以，以计算出增长率：k

()(,

k

sFkAtkn

⎡⎤

=⋅−+

⎣⎦

)（2.21）

与（2.14）一样，等于两项之差。两式唯一的区别是现在对于给定的k，资本的平均产品

k

(),FkAtk

⎡⎤

⎣⎦由于()At以速率x增长而持续增长。反映在图2.6中就是负斜率的曲线

().sFk⋅持续右移，因此对应于这条曲线与之间交点的水平也持续右移。我们现

在来计算稳态中的k的增长率。

n+k

根据定义，稳态增长率是不变的。既然和都是常数，（2.21）式意味着资本的

平均产品

*

k

,sn

(),FkAtk

⎡⎤

⎣⎦在稳态中也是不变的。由于规模报酬不变，平均产品的表达式亦等

于()1,FAtk

⎡

⎣

⎤

⎦，因而只有当和k()At以同一速度增长，即

*

k

x=时，它才能是不变的。

人均产出为：

()(),1,yFkAtkFAtk

⎡⎤⎡

==⋅

⎣⎦⎣

⎤

⎦

既然和k()At在稳态中以速度x增长，y的稳态增长率就等于x。此外由于，

的稳态增长率也等于

()1cs=−⋅y

cx。

为了便于分析有技术进步模型的转移动态，我们从在稳态中保持不变的变量角度重写

这个系统。

既然和k()At在稳态中以同一速度增长，我们只用考虑其比率

()()

kkAtKLAt

⎡

≡=⋅

⎣

⎤

⎦。变量()

LAtL⋅≡常被称为有效劳动数量——劳动的物质数量

乘以其效率L()At。（有效劳动的术语在这里是合适的，因为经济运作的效果仿佛其劳动投

入是一般。）那么变量就是每单位有效劳动的资本数量。

L

k

每单位有效劳动的产出数量()

yYLAt

⎡⎤

≡⋅

⎣⎦由下式给定

()

()

,1

yFk

fk

=

≡

（2.22）

因此，我们同样可以写出集约型式的生产函数。，则同理我们可以推导出的动态方程：

k

()

(

k

sfk

xn

k

⋅

=−++)（2.23）

除了有“^”号外，（2.23）式与（2.14）式的唯一区别是等式右边的最后一项包括了参数x。

项现在是对xn++

kKL≡的有效折旧率。如果储蓄率为0，则部分由于以速度的

折旧，部分由于以速度

K

Lxn+增长，将下降。

k

既然的稳态增长率为0，稳态值满足条件：

k*

k

()

()

*

*

sfk

xnk

⋅

=++⋅

（2.24）

图2.15有技术进步的索洛—斯旺模型

在有技术进步的索洛—斯旺模型中，稳态时人均变量以外生技术进步率x增长。而水

平变量相应在稳态中以xn+增长，即人口增长率和技术进步增长率之和。

2.4索洛-斯旺模型的实证涵义：Mankiw-Romer-Weil模型

随着20世纪80年代中期新增长理论的兴起，人们对索洛-斯旺模型的质疑也越来越多，

人们认为，索洛-斯旺的新古典经济增长理论难以解释国家间巨大的差异，或者说索洛-斯旺

模型的预测结论与国际实事不符。有鉴于此，Mankiw-Romer-Weil撰写了“AContributionto

theEmpiricsofEconomicGrowth”一文，对这种质疑做出了回应。他们认为，索洛-斯旺的

新古典增长模型仍然是目前对国际经济增长实事的最好理解框架。

2.4.1标准的教科书版本的索洛-斯旺模型

一、模型

设生产函数为具有劳动增进型技术进步的科布-道格拉斯生产函数，则

1(),0

tttt

YKAL−=<1<

t

其中L和A分别以n和g的速率增长，它们初期分别为L

0

和A

0

，则

00

;ntgt

tt

LLeAAe==

如果定义AL为有效劳动投入，如前则k=K/AL为单位有效劳动的资本存量，同理

y=Y/AL则为单位有效劳动的产出水平。从而单位有效劳动的资本存量的微分方程如下：

()

tt

kskngk

=−++

稳态时的人均资本存量为：

[]11

*()ksng−=++

那么，稳态时人均产出由下式表示：

[]1/()YLAsng−=++

两边取自然对数，则上式

0

ln(/)lnlnln()

11

YLAgtsng

=++−++

−−

由于一般情况下资本在国民收入中的份额在1/3左右，因此，索洛-斯旺模型预测了

储蓄或者投资率和人口增长率对人均收入的影响，其中前者对人均国民收入产生正面影响，

而后者产生负面影响，且预测了影响程度，其中其在为0.5，而后者为-0.5。那么，现实证

伪了索洛-斯旺模型吗？

二、实证结果

从表1结果看，Mankiw-Romer-Weil证明国际间经济增长的现实证实了索洛-斯旺模型

的预测。但是，这个模型也不是完美的，因为，按照国际间经济增长的现实数据预测的结果

意味着=0.59，而这明显与一般在1/3左右不符。

2.4.2有人力资本的索洛-斯旺模型

一、模型

1(),01,0

ttttt

YKHAL−−=<<1<<

其中H表示人力资本，其他同前，为此，人均产出除了取决于物质资本积累外，还取决于人

力资本的积累，假设人们分别把s

k

和s

h

部分的收入用于物质资本和人力资本的积累，那么物

质资本和人力资本存量的微分方程分别如下：

()

tktt

kskhngk

=−++

t

t

()

thtt

hskhngh

=−++

稳态时，和，根据此可以解出稳态时的k和h，即0

t

k

=0

t

h

=

11

*1()

kh

kssng

−−

−⎡⎤

=++

⎢⎥

⎣⎦

11

*1()

kh

hssng

−−

−⎡⎤

=++

⎢⎥

⎣⎦

因此，人均产出方程为

0

ln(/)lnlnlnln()

111kh

YLAgtssng

+

=+++−++

−−−−−−

同上，物质资本在国民收入中的份额在1/3左右，但是，人力资本在国民收入中所得

份额更加难以确定。在美国，最低工资（相当于没有人力资本情况下的工资水平）相当于制

造行业平均工资的30%-50%，因此，可以认为人力资本的回报大概占工资收入的50%-70%。

故大概在1/3左右。那么，有人力资本的索洛-斯旺模型预测了物质资本投资率、人力资

本投资率和人口增长率对人均收入的影响方向和大小，那么，有人力资本的索洛-斯旺模型

对现实拟合的更好吗？

二、实证结果

表2报告了预测结果，很明显，它更好地拟合了现实数据。

2.4.3趋同存在吗？

一、绝对趋同被证伪

二、条件趋同

1、储蓄和人口增长对趋同的影响（仅仅考察物质资本的积累）

2、储蓄和人口增长对趋同的影响（包括人力资本和物质资本情况）

结论：索洛-斯旺模型仍然是我们理解世界经济增长现实的最好框架。