实信号

1

第一章信号波形与信号空间

北京邮电大学信息与通信工程学院

无线通信系统与网络实验室（WCSN）

罗涛

tao_luo@

62281645

2

解析信号与Hilbert变换

正交信号空间

正交矢量空间

正交信号空间

Gram-Schmidt正交化过程

信号波形的矢量表示

脉冲振幅调制信号波形

二维信号波形

多维信号波形

第一章信号波形与信号空间

3

解析信号(1)

频带信号：信号的频谱集中在某一频率f

c

附近(带通信号)

()()stSf⇔

()2()()

()()()

ZfSfuf

ztstjst

=

=+

正频率信号

2

c

fW

c

f

()Sf

c

fW−+

f

c

fW−−

c

fW+

c

fW−

c

f

f

c

fW+

c

fW−

()Zf

f

W

W−

()

L

Sf()()

Lc

SfZff=+

2()()c

jft

L

stzte−=

s(t)的复包络

窄带信号：

-1

-1-1

()[()]

[()]*[2()]

()*[()]

()()

ztZf

Sfuf

j

stt

t

stjst

=

=

=+

=+

F

FF

4

Hilbert变换(1)

定义：若f(t)为实函数，

11()

()[()]()

-

f

ftHftftd

tt

+∞

−∞

=∗=∫

1

11()

()[()]()

-

f

ftHftftd

tt

+∞

−

−∞

==−∗=−∫

()ft

()ft1

t

()ft

()ft1

t

−

5

Hilbert变换(2)

希尔伯特滤波器(理想宽带相移网络)

()

1

ht

t

=

,0

()sgn()

,0

jf

Hfjf

jf

−>

⎧

⇔=−=

⎨

+<

⎩

0

()cos2,ftft=例.

0

()cos2

2

ftft

⎛⎞

=−

⎜⎟

⎝⎠

0

sin2ft=

()f

f

2

2

−

6

{[()]}()HHftft=−

22

()()

ftdtftdt∞∞

−∞−∞

=∫∫

()()0ftftdt∞

−∞

=∫

性质

重变换：

等能量：

正交性：

奇偶性：

()()ftft⇒∼∼偶函数奇函数

()()ftft⇒∼∼奇函数偶函数

Hilbert变换(3)

2

7

Hilbert变换(4)

常用变换

()

()ftft

00

cos2sin2ftft

00

sin2cos2ftft−

()()

00

cos2sin2mtftmtft

()()

00

sin2cos2mtftmtft−

()[]

0

-,,.mtWWWf<注：为基带信号，频率范围为且

8

实信号f(t)的解析信号定义为

()()()zt

ftjft=+

2)()(),()()ftFfztZf⇔⇔若，则有

2(),0

()

0,0

Fff

Zf

f

>

⎧

=

⎨

<

⎩

[][]

1

1)()Re()()*()

2

ftztztzt==+

()

0,0

3)*

2(),0

f

zt

Fff

>

⎧

⎡⎤

=

⎨

⎣⎦

<

⎩

F

判断准则

()2

0

()2jftztFfedf

∞=∫

2()()Ffuf=

解析信号(2)

9

4)解析信号z(t)的能量为其实信号f(t)能量的2倍

()()

()()12

12

0

5)

0

ztzt

ztzt

∗

∗

⎧

∗=

⎪

⎨

∗=

⎪

⎩

()6),ft已知实函数求其解析信号的方法

()()

ftft→

()()ftFf→

()()()ztftjft→=+

()2

0

()2jftztFfedf

∞→=∫

时域：

频域：

0

()cos2ftft=

00

()cos2sin2ztftjft→=+

0

()()cos2ftmtft=()0

2()jftz鲜蘑菇汤 tmte→=

0

2jfte=

()

0

.mtWf<注：为基带信号，最高频率分量

解析信号(3)

10

频带信号与带通系统(1)

频带信号：信号的频谱集中在某一频率f

c

附近(带通信号)

()()ftFf⇔

()2()()

()()()

ZfFfuf

ztftjft

=

=+

正频率信号

2

c

fW

c

f

()Ff

c

fW−+

f

c

fW−−

c

fW+

c

fW−

c

f

f

c

fW+

c

fW−

()Zf

f

W

W−

()

L

Ff()()

Lc

FfZff=+

2()()c

jft

L

ftzte−=

f(t)的复包络

窄带信号：

11

频带信号与带通系统(2)

频带信号的表示方法

()()()

,(思想方面个人总结 )()()

Lcs

ftftjftztftjft=+=+令又，则有

()()cos2()sin2

ccsc

ftftftftft=−

()()(),jt

L

ftate=若令

()()cos[2()]

c

ftatftt=+

2()Re()c

jft

L

ftfte⎡⎤

=

⎣⎦

表示方法1

表示方法2

表示方法3

同相分量正交分量

包络相位

()()

L

ftft包含了中除载波频率之外的所有信息

f(t)的等效

基带信号

[]()Re()ftzt=

12

频带信号与带通系统(3)

带通系统：系统的通频带位于某一频率f

c

附近

2

c

fW

()()htHf⇔

()()()

()2()()

zthtjht

Z

fHfuf

=+

=

()()()

Lcc

HfHffuff=++

2

1

()()

2c

jft

L

htzte−=

h(t)的等效低通特性

c

f

()Hf

c

fW−+

f

c

fW−−

c

fW+

c

fW−

c

f

f

c

fW+

c

fW−

()Zf

f

W

W−

()

L

Hf

窄带系统：

3

13

频带信号与带通系统(4)

频带信号通过带通系统

2()Re()c

jft

L

xtxte⎡⎤

=

⎣⎦

()2()2Rec

jft

L

hthte⎡⎤

=

⎣⎦

结论：在处理频带信号激励带通系统时，可以由

等价的低通分析代替，即由激励单位冲激响

应为的低通系统，求得其输出响应，

再乘以求其实部，即为带通系统的响应。

()

L

xt

()

L

ht()

L

yt

2

c

jfte

()

L

xt

()

L

yt

()

L

ht2()Re()c

jft

L

ytyte⎡⎤

=

⎣⎦

()xt

()yt

()ht

14

频带信号与带通系统(5)

()()0

00

cos2,0

()cos2,1,().

0,

fttT

xtmtfthtfTyt

<<

⎧

==

⎨

⎩

例.已知，且求

其他

()

0

(1)()cos2xtmtft=解：

()()()0

2

00

()cos2sin2jft

x

ztmtftjmtftmte=+=

()()0

2()jft

L

xtztemt−==

0

1

(2)()cos2

2

t

htrectft

T

⎛⎞

=−

⎜⎟

⎝⎠

(3)()()()

LLL

ytxtht=∗

0

2()Re()jft

L

ytyte⎡⎤

=

⎣⎦

0

2

00

11

()cos2sin2

22

jft

h

tt

ztrectftjftrecte

TT

⎛⎞⎛⎞

=−+=−

⎡⎤

⎜⎟⎜⎟

⎣⎦

⎝⎠⎝⎠

111

(),0

222L

t

htrecttT

T

⎛⎞

=−=<<

⎜⎟

⎝⎠

0

1

f

T

T

()ht

()

1

2

t

tT

md

−

=∫

()

0

1

cos2

2

t

tT

mdft

−

⎡⎤

=

⎢⎥

⎣⎦

∫

15

解析信号与Hilbert变换

正交信号空间

正交矢量空间

正交信号空间

Gram-Schmidt正交化过程

信号波形的矢量表示

脉冲振幅调制信号波形

二维信号波形

多维信号波形

第一章信号波形与信号空间

16

函数

函数表达的是一种“联系”或“映射”,即通过一定的规则(运算)

把变量域的元素映射为函数域的元素。

tx

运算规则f

变量域

t

s函数域

x

s

这个体系称为一个函数

如果，则集合St中的每一个元素t都可以在集合Sx中

利用规则f构成一个元素x：x＝f(t)

如果Sx中的元素与凤凰花 St中的元素是一一对应的，则x＝f(t)称为t的变

换，可使用规则f-1由St向Sx进行逆映射。

如果St中的每一个元素都是另一个集合中元素的函数，则这个函数体系

就称为泛函。泛函通常都是以积分形式出现的。

,

tx

tSxS∈∈

ts(t)S(w)

s(t)F

()()jtSstedt∞

−

−∞

=∫

17

度量空间metricspace

集合中的每一个元素都有共同性质P(共性)衡

量它们之间的差别(个性)的一种办法是把每

一个元素通过一种规则映射到实数域，然后

用两个元素在同一实数域中的差异来衡量同

一集合中两个元素的不同。按函数定义，这

种在实数域中的差别就构哈喽kitty 成一个对应的泛

函，这一泛函称为此两元素间的距离

(distance)。

18

度量空间metricspace

可通过以下映射来定义它们间的距离

如果是平面上的点，

12

,ssS∈

()

111

sPx→()

222

sPx→

y

x

2

x

1

x

2

y

1

y

d

2

p

1

p

1221

(,)dssxx=−

1

P

2

P

()()22

122121

(,)dssxxyy=−+−

2

s

1

s

1

x

2

x

映射规则f

0

1

P

2

P

S

实数域R

1

P

2

,P

R∈

12

(,)dss

4

19

度量空间metricspace

一般化推广，如果，是n维空间中的点，即

在集合中引入距离概念后，任意两元素之间都有差

别，各元素相当于取得了某种几何特征。于是，(F是

映射域)所形成的体系构成一个抽象(abstract)空间，称

为度量空间或距离空间

1

P

2

P

1112

(,,,)

n

sP→

2212

(,,,)

n

sP→

()2

12

1

(,)

n

ii

i

dss

=

=−∑

{},,SdF

20

度量空间metricspace

距离是可定义的，对一定的集合并不一定是唯一的。

凡是满足以下条件的实数都可以定义为距离：

①距离是非负的：，当且仅当时取等号；

②对称性：；

③三角形不等式：，一定有：

定义在[a,b]上的时间函数x(t)和y(t)，常用的距离定义

12

(,)0dss≥12

ss≡

1221

(,)(,)dssdss=

123

,,sssS∈

311223

(,)(,)(,)dssdssdss≤+

()(){}

()

1

1/2

2

1

,,max

,

n

iiii

in

i

n

ii

i

dxydxy

dxy

∀∈

=

=

=−=−

⎡⎤

=−

⎢⎥

⎣⎦

∑

∑

21

度量空间metricspace

长度为n的实数序列，

当只取0或1时，称为x和y之间

的Hamming(汉明)距离,称为序列

及间的汉明距离。

nR

{}

{}123

123

,,,

,,,

n

n

x

y

=

=

(),

ii

R∈实数

()(){}

()

1

1/2

2

1

,,max

,

n

iiii

in

i

n

ii

i

dxydxy

dxy

∀∈

=

=

=−=−

⎡⎤

=−

⎢⎥

⎣⎦

∑

∑

,

ii

()[]

1

,()

n

ii

i

dxy

=

=⊕∑

()

min

min,

kk

ddxy={}

k

x

{}

k

y

22

收敛性convergence

收敛是集合中的元素可以排列(有序集合)时的一个重

要性质。

S中有n个元素Xn是可以排序的(n不一定是S中的全

体

)

，若

Xn

构成的有序集合

{

，

,n

为正整数

}

，

如果在S中存在一个，使对任何，总

存在一个正整数

,

当时一定有：

则有序集合(S或S中的一个子集)是收敛的，记为

收敛的有序序列称为Cauchy(柯西)序列。

n

x

n

xS∈

00

()xxS∈0>

0

n

0

nn>()

0

,

n

dxx<

{}

n

x

0

lim

n

n

xx

→∞

=

23

收敛性convergence

例：是由所有实函数集合构成的度量空间

S

中的序列：

是定义在

(a,b

为正实数

)

的连续函数族

(){}n

xt

()

(1)

,

0,

n

bnantba

ata

ban

xt

ba

atb

n

+−−−

⎧

≤≤+

⎪

−

=

⎨

−

⎪

+<≤

⎩

(){}n

xt[],ab

1

a

b

t

()

n

xt

1

()xt

2

()xt

3

()xt

()()(),b

ijij

a

dxxxtxtdt=−∫

()

000

,1;0

n

d

xxtaxelx⎯⎯⎯→===

按距离

24

线性空间

在度量空间中，如果能引入如下的线性运算，则构成一

个线性度量空间，简称线性空间或欧几里德空间

(f是运算规则)(S是F上的线性空间)

①加法规则：

z交换律：

z结合律：

z存在唯一0的元素，使

z存在负元素：

②数乘规则：(数域)

z分配律：

z结合律：

z对每一个，有

③自闭(clod)性质：S中的元素之间，经过有限次的

线性运算形成的新元素一定也在S中。

S∈X,Y,Z

X+Y=Y+X=Z

S∈X+(Y+Z)=(X+Y)+Z=V

X+0=X

X+(-X)=0

{}fFdS,,,

()klkl+=+XXX()kkk=+X+YXY

()()()klkllk==XXX

S∈X

⋅⋅1X=X,0X=0

Flk∈,

5

25

线性空间

线性空间的一个重要特征是存在基(Ba)矢量。空间中的

每一个元素

(

矢量

)

都是由同一组

n

个线性独立的基矢量所

构成。假定是线性空间S上李清照名词 的一组基矢量，

如果，则有由

n

个线性独立的基矢

量构成的线性空间称为n维线性空间。线性空间中的元素

称为矢量，因为它们可以在各个基矢量方向分解()

由基矢量与构成2D信号空间

由基函数构成的无穷维线性空间(带宽受

限于的能量信号的全体

)——

取样定理

时间实函数(波形)可看作线性空间中的矢量，并进行运算

ij

a

()

12

,,,

iiiin

aaa=X……

0

cost

0

sint

sin()

()

H

H

tnT

tnT

∞

⎧⎫

−

⎨⎬

−

⎩⎭

H

()()

()

()

sin

,H

n

HH

tnT

stsnTT

tnT

+∞

=−∞

⎡⎤

−

⎣⎦

=≤

−

∑

{},

12,n

V,VV

i

S∈X

1

n

iijj

j

a

=

=∑XV

26

赋范线性空间(normedlinearspace)

距离是对度量空间中两个元素相对差别的一种衡

量，可以通过以下度量(范数)衡量元素的“绝对”

大小。如果能按以下规律把赋距离的线性空间S

中的每一个元素(矢量)X，都在实数域上映射(对

应)一个泛函(一个实数||X||)，则此实数为矢量X

的范数(norm)或模

||X||≥0，当且仅当X=0时取等号

X,Y∈S，||X+Y||≤||X||+||Y||

||aX||=|a|||X||，a∈R

能够定义范数的线性空间称为赋范线性空间

27

范数(模)是一个实数，它是对线性空间中元素(矢

量)大小的一种衡量(代表矢量的大小)，是2D空间

中矢量长度概念的推广。

Rn中的模：

定义在[a,b]上的实函数x(t)组成的线性空间：

∴是x(t)的能量。

赋范线性空间(normedlinearspace)

()1,2

,,,n

n

Rxxx∈=XX

1/2

2

1

n

i

i

x

=

+∑X

()1/2

2

b

a

xtdt

⎡⎤

+

⎣⎦

∫X

2E=X

28

推论：

(对原点的距离)

(按距离定义：)

定义在[a,b]上平方可积(勒贝格可积)的L’besque实

函(能量信号)的全体构成L2[a,b]空间。

＝有限值(为L’besque积分)

赋范线性空间(normedlinearspace)

(),,,Sd∈=−XYXYXY

(),0d=XX

()()(){}1/2

2,b

a

dxyxtytdt=−∫

()2

b

a

xtdt∫b

a

∫

29

如能在线性空间{S,d,F,f}中引入如下的乘法运

算，就称此线性空间为内积空间。设V是实数域

F(R)上的线性空间，若对V中任意两个元素X,Y都

有唯一的满足以下条件的实数与之对应，则称此

实数为矢量X,Y的内积，记为。

对称：

分配：

非负：，当且仅当时取等号

完备的内积空间称为希氏(Hilbert)空间。

内积空间(innerproduct)

=X,YY,X

,abab+=+XYZX,ZY,Z

0≥X,X

0=X

30

内积空间(innerproduct)

常遇到的希氏空间有：

空间：

空间L2[a,b]：x(t),y(t)是定义在[a,b]上的L平方

可积函数，即(有限值)

nR()1,2

,,

n

xxx=X()1,2

,,

n

yyy=Y

,

ii

xyR∈

1

n

iii

i

axy

=

∑X,Y

()2

b

a

xtdtE=∫()()b

a

xtytdt∫X,Y

6

31

内积空间(innerproduct)

随机矢量空间：X,Y是由0均值，有限方差的随机

变量构成的希氏空间矢量，则

(互相关函数)

：X的方差(0自相关)

：X,Y间的均方差(MSE)

“信号空间”就是由信号(实波形、码序列、多电平

脉冲序列等)构成的希氏空间(或线性空间)

[]E=X,YXY

2

2E

⎡⎤

=

⎣⎦

XX

()()2

2

2dE

⎡⎤

==

⎣⎦

X,YX-YX-Y

32

内积空间(innerproduct)

可以在实数域R上定义距离、模

可以进行线性运算和内积运算、模运算

可以讨论它们的收敛性

可以用统一的方法分析和研究不同的信号(如把编码和调制

统一优化)

d

S⎯⎯⎯→⎯⎯⎯⎯→⎯⎯⎯→

→⎯⎯⎯⎯→⎯⎯⎯→

X

X,Y

距离线性运算范数

内积收敛

信号集合度量空间线性空间

赋范线性空间内积空间希氏空间

()()

,

d

Sdf

⎧⎫

⎪⎪

⎨⎬

⎪⎪

⎩⎭

实数域R

一定性质

,,

这一体系称为一个上的抽象空间(信号空间)

信号集合，度量(距离)，运算域，运算规则

F

F

F

33

内积空间(innerproduct)

nR()2LT

{}1

2

2

ii

i

xy−∑()(){}1/2

2

b

a

xtytdt−∫

(){}1

2

2E

⎡⎤

⎣⎦

X-Y

X

1

2

2

i

i

x∑(){}1/2

2

b

a

xtdt∫{}1

2

2E

⎡⎤

⎣⎦

X

X,Y

iii

i

axy∑

()()b

a

xtytdt∫

[]EXY

空间

空间

随机矢量空间

欧氏距离d

范数(模)

内积

常用信号空间中的运算

34

正交矢量空间

若N个相互正交的归一化矢量组形成

一个完备的坐标系统，那么任意一个矢量V可表示

为在

N

个坐标轴上的分矢量的几何和：

12N

(e,e,...,e)

i

1

Ve

N

i

i

v

=

=∑

ij

0

ee

1

ij

ij

≠

⎧

⋅=

⎨

=

⎩

i

Ve

i

v=⋅

12

V[,,...,]

N

vvv=

其中e

i

为单位矢量，且有

~V在e

i

上的投影

这个归一化正交矢量组构成归一化正交

矢量空间.

12N

(e,e,...,e)

35

解析信号与Hilbert变换

正交信号空间

正交矢量空间

正交信号空间

Gram-Schmidt正交化过程

信号波形的矢量表示

脉冲振幅调制信号波形

二维信号波形

多维信号波形

第一章信号波形与信号空间

36

信号空间的概念

采用多维矢量表示M进制信号波形，简化调制信号的产生

及解调结构；误码性能计算容易。

信号集合：具有性质P的信号x(t)的全体构成一个信号集合

所有持续时间受限于T的信号集合

所有带宽受限于W的信号集合

如果对性质P的限制是足够明确的，就可以对集合进行一

定的运算(如U,n,Inf,Sup等)

这就是测不准关系。

{:}SxP=

(){:()0,||}

D

STxxttT=≡∀>

(){:()()0,||}

B

SWxxtffW=↔≡∀>

()(){0}{:()0,}

DB

STSWxxtt==≡∀∩

7

37

正交信号空间

设信号s(t)是确定的实信号，具有有限能量,

假设有一正交归一化函数集{

n

(t),n=1,2,…,N}:

2()

s

Estdt∞

−∞

=∫

0

()()

1nm

mn

ttdt

mn

∞

−∞

≠

⎧

=

⎨

=

⎩

∫

1

()(),

N

nn

n

stst

=

=⋅∑可用{

n

(t)}的线性组合近似表示信号:s

n

~系数

求最佳近似：

()()()etstst=−

2()

e

Eetdt∞

−∞

=∫2

[()()]ststdt∞

−∞

=−∫2

1

()()

N

kk

k

ststdt∞

−∞

=

⎡⎤

=−

⎢⎥

⎣⎦

∑

∫

0e

n

E

s

∂

=

∂1

()()()0,1,2,...,

N

kkn

k

ststtdtnN∞

−∞

=

⎡⎤

−⋅==

⎢⎥

⎣⎦

∑

∫

()(),1,2,...,

nn

ssttdtnN∞

−∞

=⋅=∫38

正交信号空间

当E

emin

=0时，

2

2

min

11

()2()()()

NN

ekkkk

kk

Estdtststdtstdt∞∞∞

−∞−∞−∞

==

⎡⎤⎡⎤

∴=−+

⎢⎥⎢⎥

⎣⎦⎣⎦

∑∑

∫∫∫

2

11

2

NN

skkk

kk

Esss

==

=−⋅+∑∑2

1

N

sk

k

Es

=

=−∑

2

1

N

sk

k

Es

=

=∑2()stdt∞

−∞

=∫

如果对每个能量有限信号进行正交展开时均能满足E

emin

=

0，则称正交函数集{f

n

(t)}是完备的。

1

()()

N

kk

k

stst

=

=∑此时有

12

s[,,...,]

N

sss=~N维信号空间中的一个点

39

{

n

(t),n=1,2,…,N}描述M个能量有限的信号波形{s

m

(t),

m=1,…,M}

()()

1

,1,...,

N

mmnn

n

ststmM

=

==∑

()(),1,2,,

mnmn

ssttdtnN∞

−∞

==∫其中

()

m12

s,,...,

mmmN

sss=

()22

1

N

mmmn

n

Estdts∞

−∞

=

==∑

∫且有

()

m

st∴

2s

m

=~矢量模的平方

~s

m

(t)在归一化正交基函数

n

(t)上的投影

~N维信号空间中的一个点

正交信号空间

40

正交信号空间

与误码率有关的两个参量

两个信号波形或两个信号矢量之间的互相关系数

1

()()

mkmk

mk

ststdt

EE

∞

−∞

=∫

ss

mk

mk

EE

⋅

=

()

()

kk

mm

Est

Est

∼

∼

的能量

的能量

1

wheress

N

mkmnkn

n

ss

=

⋅=∑

表征两个信号之间的相似性

∈[-1,+1]

~内积

ss

ss

mk

mk

⋅

=

⋅

41

正交信号空间

两信号波形或两信号矢量之间的距离(欧氏距离)

{}1/2

2()()

kmmk

dststdt∞

−∞

=−

⎡⎤

⎣⎦∫

()1/2

2

mkmkkm

EEEE=+−

ss

mk

=−2()

mnkn

n

ss=−∑

,

km

EEE==若

2(1)

kmkm

dE=−~也用来测量两信号之间的相似性

42

正交信号空间

M个能量有限的信号波形

N维信号空间中的M个点映射

2

s

12

ss−

1

s

信号星座：N维信号空间中的M个点的集

合，可用几何图形表示——星座图

某点矢量长度的平方：信号的能量

两点之间的距离：欧氏距离

距离的平方：两信号波形之差的能量

8

43

Gram-Schmidt正交化过程

假设通信信道中有M个信号波形s

m

(t)用于信息传输，据此

可构造一个由N≤M个标准正交波形构成的集合

()

()

()1

2

111

1

,

st

tEstdt

E

∞

−∞

==∫■

()()()

22211

dtstct=−其中

~s

1

(t)的能量

()

()

()2

2

222

2

,

dt

tEdtdt

E

∞

−∞

==∫■

()()

2121

csttdt∞

−∞

=∫~s

2

(t)在

1

(t)上的投影

。。。。。。

44

Gram-Schmidt正交化过程

N维信号空间的一组基：

()()()1

1

k

kkkii

i

dtstct

−

=

=−∑其中

()

()

()2,k

kkk

k

dt

tEdtdt

E

∞

−∞

==∫■

()(),1,2,,1

kiki

csttdtik∞

−∞

==−∫

(){},1,...

n

NtnN=由个标准正交波形构成的集合。

若M个信号波形线性无关，则N=M.

0

()()

1nm

mn

ttdt

mn

∞

−∞

≠

⎧

=

⎨

=

⎩

∫

45

正交信号空间

例.对下图所示四波形集进行Gram-Schmidt正交化

()()

111

2,==■

()()

21222

0,2,===■

()()()

332

=+

3132

0,2,cc==−■

()()()()

4413

20dtsttt=−−=

414243

2,0,1,ccc===■

∴N=3.

()()()

332

2dtstt=+

46

正交信号空间

()1

s2,0,0=()2

s0,2,0=

()3

s0,2,1=−()4

s2,0,1=

47

正交信号空间

(){},1,...

n

tnN=标准正交函数集不唯一.

()

1

s1,1,0=

()

2

s1,1,0=−

()

3

s1,1,1=−

()

4

s1,1,1=

标准正交函数集的变化不改变信号空间的维数、信号矢量

的长度及任意两个矢量的内积.48

解析信号与Hilbert变换

正交信号空间

正交矢量空间

正交信号空间

Gram-Schmidt正交化过程

信号波形的矢量表示

脉冲振幅调制信号波形

二维信号波形

多维信号波形

第一章信号波形与信号空间

9

49

脉冲振幅调制：基带

基带信号

()(),1,...,,0

mmT

stAgtmMtT==≤≤

2PAM信号

4PAM信号

50

脉冲振幅调制：基带

两个信号点的欧氏距离

()(),1,...,

mmT

stAgtmM==

()()()2

0

1

,T

TgT

g

tgtEgtdt

E

==∫定义

()()

mm

stst=

,1,2,,

mgm

sEAmM==…其中

()2

2

mnmngmn

dssEAA=−=−

~一维信号

基带信号的几何表示

51

脉冲振幅调制：基带

基带信号的几何表示

信号能量

22

mmgm

EsEA==

等概信号的平均能量

2

11

1MM

g

avmm

mm

E

EEA

MM

==

==∑∑

()21

m

AmM=−−⎯⎯⎯⎯⎯⎯→()213

avg

EEM=−

M每增加一倍，所需信号能量约增加4倍(6dB)

52

脉冲振幅调制：带通

带通信号

()()cos2,1,...,

mmTc

utAgtftmM==

()()()

2

m

mTcTc

A

UfGffGff

⎡⎤

=++−

⎣⎦

BW=

2BW=

53

脉冲振幅调制：带通

()()2222cos2

mmmTc

EutdtAgtftdt∞∞

−∞−∞

==∫∫

2

2

m

g

A

E=()()22

22cos4

22

mm

TTc

AA

gtdtgtftdt∞∞

−∞−∞

=+∫∫

(),0

0,

g

T

E

tT

gt

T

⎧

⎪

≤≤

=

⎨

⎪

⎩

若

其他

振幅移位键控(ASK)信号

54

脉冲振幅调制：带通

()()cos2,1,...,

mmTc

utAgtftmM==

()()

2

cos2

Tc

g

tgtft

E

=定义

()()

mm

stst=

,1,2,,

2

g

mm

E

sAmM==…其中

带通信号的几何表示

2

2

2

m

mmg

A

EsE==

10

55

解析信号与Hilbert变换

正交信号空间

正交矢量空间

正交信号空间

Gram-Schmidt正交化过程

信号波形的矢量表示

脉冲振幅调制信号波形

二维信号波形

多维信号波形

第一章信号波形与信号空间

56

二维基带信号

等能量正交信号

()()

12

0

0Tststdt=∫()()22

12

00

TTstdtstdtE==∫∫且

()()()()22222

1212

0000

''TTTTEstdtstdtstdtstdtAT=====∫∫∫∫

57

二维基带信号

()()11112

s,2,2ssATAT==

()()22122

s,2,2ssATAT==−

()()11112

s',,0ssAT==

()()22122

s',0,ssAT==

几何表示

2T

2T

58

二维基带信号

()()11112

s',,0ssAT==

()()22122

s',0,ssAT==

()1

s2,2ATAT=

()2

s2,2ATAT=−

信号矢量图

22

2

121212

s-ss'-s'22dATE====

59

二维基带信号

M=4的等能量双正交信号星座

双正交信号集：四信号两两正交

M=8的等能量信号星座

60

二维基带信号

M=8的非等能量信号星座

11

61

二维带通信号—载波相位调制

(演奏音乐英语 )()

2

cos2,0,...,1,0

mTc

m

utgtftmMtT

M

⎛⎞

=+=−≤≤

⎜⎟

⎝⎠

()

2

,0s

T

E

gttT

T

=≤≤若

()

2

2

cos2s

mc

E

m

utft

TM

⎛⎞

=+

⎜⎟

⎝⎠

~移相键控(PSK)

例.4PSK(QPSK)

()2,

2

g

sm

E

Eutdtm∞

−∞

⎡⎤

==∀

⎢⎥

⎣⎦

∫注：

62

()()

()()

1

2

2

cos2

2

sin2

Tc

g

Tc

g

tgtft

E

tgtft

E

=

=−

二维带通信号—载波相位调制

一个相位已调信号可以看成两路振幅分别为g

T

(t)A

mc

和

g

T

(t)A

ms

的正交PAM信号

()()

2

cos2

mTc

m

utgtft

M

⎛⎞

=+

⎜⎟

⎝⎠

()()cos2cos2sin2sin2

TcTc

gtmMftgtmMft=−

A

mc

A

ms()()cos2sin2

TmccTmsc

gtAftgtAft=−

()m

scos2,sin2

ss

EmMEmM=

63

二维带通信号—载波相位调制

信号星座

格雷编码：相邻信号点只有一个二进制位不同

欧氏距离：

最小欧氏距离：

()2

2

s-s21cos

mnmns

mn

dE

M

⎛⎞

−

==−

⎜⎟

⎜⎟

⎝⎠

min

2

21cos

s

dE

M

⎛⎞

=−

⎜⎟

⎝⎠

64

二维带通信号—正交振幅调制

()()

12

cos2,1,,,1,,

mTcn

AgtftmMnM=+==……

()()()cos2sin2,1,2,,

mmcTcmsTc

utAgtftAgtftmM=+=…

()()

()()

1

2

2

cos2

2

sin2

Tc

g

Tc

g

tgtft

E

tgtft

E

=

=−

()m

s2,2

gmcgms

EAEA=

~数字振幅和数字

相位联合调制

(PAM-PSK)

mc

A

ms

A

65

二维带通信号—正交振幅调制

2

i

1

1

s

M

av

i

E

M

=

=∑平均能量：

2s-s

mnmn

d=

66

解析信号与Hilbert变换

正交信号空间

正交矢量空间

正交信号空间

Gram-Schmidt正交虎皮鸡爪的制作 化过程

信号波形的矢量表示

脉冲振幅调制信号波形

二维信号波形

多维信号波形

第一章信号波形与信号空间

12

67

基带

正交

信号

波形

M=4

脉位调制

(PPM)

正交信号波形

68

M进制脉位调制信号

()()()()1,1,,,1

mT

stAgtmTMmMmTMtmTM=−−=−≤≤…

()()()()

1

1,1

1,,

mT

s

tgtmTMmTMtmTM

E

mM

=−−−≤≤

=…

定义

()2,

sm

Estdtm∞

−∞

⎡⎤

=∀

⎢⎥

⎣⎦

∫注：

()1

s,0,0,,0

s

E=…

()2

s0,,0,,0

s

E=…

()s0,0,,0,

Ms

E=…

ss0,,

mn

mn•=∀

2s-s2,,

mnmns

dEmn==∀

~正交

~等距

正交信号波形

69

带通正交信号

时域正交：非重叠PPM

频域正交：移频键控

()()cos2,1,...,,0

mmc

utstftmMtT==≤≤

()()()()2

00

cos2TT

mnmnc

ututdtststftdt=∫∫

0=()()()()

00

11

cos4

22

TT

mnmnc

ststdtststftdt=+∫∫

正交信号波形

70

移频键控(FSK)

二进制

()

11

2

cos2,0

b

b

b

E

utfttT

T

=≤≤

()

22

2

cos2,0

b

b

b

E

ut

fttT

T

=≤≤

()()

2

cos22,0,1,,s

mc

E

utftmfttTmM

T

=+≤≤=…

M进制

()()

0

1T

mnmn

s

ututdt

E

=∫

()()

0

2

1

cos22cos22T

s

cc

s

E

ftmftftnftdt

ET

=++∫

~相关系数

()()

00

11

cos2cos42TT

c

mnftdtftmnftdt

TT

⎡⎤

=−+++

⎣⎦∫∫

()

()

sin2

2

mnfT

mnfT

−

=

−

正交信号波形

71

()1

s,0,0,,0

s

E=…

()2

s0,,0,,0

s

E=…

()s0,0,,0,

Ms

E=…

,0.

2mn

k

f

T

==■

0.715

,0.217

mn

f

T

==−■

()()2cos2,1,,

mc

tTfmftmM=+=…定义

2,,

mns

dEmn=∀

M进制正交移频键控

正交信号波形

72

双正交信号波形

M双正交信号集：M/2个正交信号及其负信号构造而成

带宽减半

()1

s,0,0,,0

s

E=…

()2

s0,,0,,0

s

E=…

()2

s0,0,,0,

Ms

E=…

()21

s,0,0,,0

Ms

E

+

=−…

()22

s0,,0,,0

Ms

E

+

=−…

()s0,0,,0,

Ms

E=−…

例PPM信号

13

73

单纯信号波形

单纯信号波形：从M个正交信号波形中减去M个正交信号

的均值所得

()()()

1

1

',1,...,

M

mmk

k

stststmM

M

=

=−=∑

()2

0

''T

sm

Estdt

⎡⎤

=

⎣⎦∫

1

1

1

1

1

s

s

E

M

M

E

M

−

==−

−

⎛⎞

−

⎜⎟

⎝⎠

1

1

s

E

M

⎛⎞

=−

⎜⎟

⎝⎠

信号能量：小于正交信号集

归一化互相关系数<0

信号点间的距离：

()()

0

1

''T

mns

ststdtE

M

=−∫

()()

0

''

'

T

mn

mn

s

ststdt

E

=

∫

2,,

mns

dEmn=∀74

单纯信号波形

75

二进制编码的信号波形

()

m12

c,,,,1,2,,

mmmN

cccmM==……

()1;

mjT

cgt=∼()0,

mjT

cgt=−∼

()

m12

s,,,,1,2,,

mmmN

sssmM==……

ms

sEN=

[]

1

c1,1,1,1,0=

[]

2

c1,1,0,0,1=

[]

3

c1,0,1,0,1=

[]

4

c0,1,0,1,0=

0

T

t

N

≤≤

76

二进制编码的信号波形

2N

N

−

=相邻信号点之间：■

min

2

s

dEN=■

()

m12

c,,,

mmmN

ccc=…~2N种可能状态，M≤2N

等能量

77

下一章内容

AWGN信道中的数字传输