关于C++中二分法详解

更新时间:2023-04-04 21:37:59 阅读：评论：0

一、整数二分

单调性与二分的关系：有单调性一定可以二分，用二分不一定是单调性。二分的本质不是单调性而是边界点（找符合条件的最小的数或者最大的数）整数二分是求红色范围的右端点或者绿色范围的左端点

1.整数二分模板

bool check(int x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质// 区间[l, r]被划分成[l, mid]和[mid + 1, r]时使用：int barch_1(int l, int r){    while (l < r)    {        int mid = l + r >> 1;        if (check(mid)) r = mid;    // check()判断mid是否满足性质        el l = mid + 1;    }    return l;}// 区间[l, r]被划分成[l, mid - 1]和[mid, r]时使用：int barch_2(int l, int r){    while (l < r)    {        int mid = l + r + 1 >> 1;        if (check(mid)) l = mid;        el r = mid - 1;    }    return l;}

【模板1】

1、求红色边界点

注： + 1原因：
/ 是向下取整，当l与r只相差1的时候，即 l = r – 1，最终的结果mid = l（即结果不变还是l）,补上1之后 mid = r，再次循环之后l = r 即[r , r]，最终结束循环。如果不补1将会出现死循环。

【模板2】

求绿色边界点

2.求解二分问题的思路

每次先划分区间，写一个mid，后面再考虑是否补上加1操作然后想一个check()函数，康康是否满足性质，根据check()函数的值取判断怎么划分(mid在哪一边)，到底是是l = mid，还是r = mid，第一种补上1即可。（关键是找性质，判断是否满足性质然后判断mid在左边还是右边）

3.练习

(1).数的范围

给定一个按照升序排列的长度为 nn 的整数数组，以及 qq 个查询。
对于每个查询，返回一个元素 kk 的起始位置和终止位置（位置从 00 开始计数）。
如果数组中不存在该元素，则返回 -1 -1。
输入格式
第一行包含整数 n 和 q，表示数组长度和询问个数。
第二行包含 nn 个整数（均在 1∼10000 范围内），表示完整数组。
接下来 q行，每行包含一个整数 k，表示一个询问元素。
输出格式
共 q 行，每行包含两个整数，表示所求元素的起始位置和终止位置。
如果数组中不存在该元素，则返回 -1 -1。
数据范围
1≤n≤100000
1≤q≤10000
1≤k≤10000
输入样例：
6 31 2 2 3 3 4345
输出样例：
3 45 5-1 -1

思路：

【参考代码】

#include<iostream>using namespace std;const int n = 100000+10;int q[n];int main(){    int n, m;    cin>> n >> m;        for(int i = 0; i < n; i++) cin>>q[i];    while(m--)    {      int x;      cin>> x;      // 寻找起始位置      int l = 0, r = n - 1;      while(l < r)      {          int mid =(l + r)/2;          if(q[mid] >= x) r = mid;          el l = mid + 1;      }      if(q[l] != x) cout<<"-1 -1"<<endl;      el{          cout<<l<<" ";          // 寻找终点位置          int l = 0, r = n - 1;          while(l<r)          {              int mid = (l + r + 1)/2;              if(q[mid] <= x) l = mid;              el r = mid - 1;          }                    cout<< l 快乐靠自己<< endl;      }           }    return 0;}

(2).0到n-1中缺失的数字

(二分) o(logn)
这道题目给定的是递增数组，假设数组中第一个缺失的数是 x，那么数组中的数如下所示；

从中可以看出，数组左边蓝色部分都满足nums[i] == i，数组右边橙色部分都不满足nums[i] == i，因此我们可以二分出分界点 x 的值。

另外要注意特殊情况：当所有数都满足nums[i] == i时，表示缺失的是 n。

时间复杂度分析
二分中的迭代只会执行 o(logn) 次，因此时间复杂度是o(logn)。

class solution {public:    int getmissingnumber(vector<int>& nums) {        if(nums.size() == 0) return 0;        int l = 0, r = nums.size() - 1;        while(l < r)        {            int mid = (l + r)/2;            if(nums[mid] != mid) r = mid; //在红色半边(满足条件)            el l = mid + 1;        }                //缺的是n这个数        if(nums[r] == r) r++;                return r;            }};

二、浮点数二分

1.浮点数二分模板

浮点数二分算法模板 —— 模板题 acwing 790. 数的三次方根bool check(double x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质（包含了计算和条件）double barch_3(dou社会学专业ble l, double r){    const double eps = 1e-6;   // eps 表示精度，取决于题目对精度的要求(一般比题目要求的大2)    while (r - l > eps)    {        double mid = (l + r) / 2;        if (check(mid)) r = mid;        el l = mid;    }    return l;}

注：与整数二分的最大区别是，el那里的条件l = mid不进行+1或者-1，浮点数没有整除（/ 下取整）这种问题，不需要处理边界。

2.练习

(1).数的三次方跟

给定一个浮点数 n，求它的三次方根。
输入格式
共一行，包含一个浮点数 n。
输出格式
共一行，包含一个浮点数，表示问题的解。
注意，结果保留 6 位小数。
数据范围
−10000≤n≤10000
输入样例：
1000.00
输出样例：
10.000000

#incl医校ude<iostream>using namespace std;int main(){       double n;    cin>>n;        double l = -10000, r = 10000;     // eps 表示精度，取决于题目对精度的要求(保险1e-8)    const double eps = 1e-8;      while(r - l > eps)    {        double mid = (l + r) / 2;        if(mid * mid * mid >= n) r = mid;        el l = mid;    }         printf("%.6lf\n", l);    return 0;    }

(2).一元三次方程求解

提示：记方程f(x)=0，若存在2个数x1和x2，且f(x1)*f(x2)<0，则在(x1,x2)之间一定有一个根。

#include<iostream>#include<cstdio>using namespace std;double a, b, c, d;// 全局变量方便在cal中使用const double eps = 1e-6;// 定义精度//计算一元三次方程double cal(double x){    return a*x*x*x + b*x*x + c*x + d;}int main(){    cin>>a>>b>>c>>d;        //枚举根    for(int i = -100; i <= 100; i++)    {        //根与根之差的绝对值 ≥1        double l = double(i), r = double(i + 1);// 细节:要将l,r转为double        if(cal(l) == 0) printf("%.2lf ", l); //若f(x) = 0，根即为x                 //f(山居秋瞑x1)×f(x2) < 0 根在（x1,x2）之间—— 浮点二分        el if(cal(l) * cal(r) < 0)        {            while(r - l > eps)            {                //x1 < x，f(x1)×f(x2)<0，则在(x1, x2)之间一定有一个根                double mid = (l + r)/2;                // check()条件                if(cal(l) * cal(mid) <= 0) r = mid;                el l = mid;            }                        printf("%.2lf ", l);        }    }}

【参考代码】

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;double check(double x){    return 7*x*x*x*x + 5*x*x*x + 11*x + 6;} double erfen(double y){    double l=0.0, r=99.0, mid;    while(r - l > 1e-6){        mid = (l + r)/2;        if(check(mid) > y) r = mid;        el l = mid;    }    return mid;}int main(){    double y;    while(~scanf("%lf", &y)){        if(y < 6 || y > 677269824)            puts("none");        el        printf("%.4f\n", erfen(y));    }    return 0;}