谈中学数学中的对称美
【摘要】简尺寸怎么测量 要论述中学数学阶段,数学中的对称美的体现和应
用。教学中不仅要引导学生在数学形式上去欣赏关注,更重要的是
要让学生自觉的运用对称思想去解决某些具体问题,体验对称思想
在数学发现和寻求解题突破中的作用。
【关键词】数(式)中几何图形中数学定理中解题中
对称的含义比较广泛,从上海婚假几天 狭义上说,是指通常意义上的几何对
称和代数对称;在广义上讲,还包括对偶、匀称、均衡、平衡、不
变性、和谐统一等方面的内容。从这样的角度认识对称,才能领悟
数学的美——它是高度严谨和合理而达到的和谐,那是一种令人神
怡的内在和谐——这种合理与和谐,是作为数学科学的广义对称。
在中学数学教学内容中,体现了丰富的形与数的形象对称与抽
象对称。中学数学解题方法中也渗透了对称的思想。对称性是数学
美的最重要的特征。在教学中,如果能提高学生的数学审美能力,
必能进一步激发他们学习数学的兴趣,变苦学为乐学,达到事半功
倍的效果。下面简要谈一谈对称性在中学数学中的体现和应用。
1.数(式)中体现出的对称美
数(式)中体现出的对称美,主要体现在数(式)的结构上。
例如下列公式中,a+b=b+a,ab=ba,a2-b2=(a+b)(a-b),
(ab)2=a22ab+b2,a3+b3=(a+b)(a
2-ab+b2)a与b的位置都具有对称关系,它们在公式中的地
位是一样的,公式显得对称而美观。如果学生能领悟到这点,则有
助于他们记忆和运用公式,降低学习难度。再比如轮换对称式a
3+b3+c3-3abc中,a、b、c是对称的,并不是说它们各占30%,
也是指它们的地位是平等的,但如果改为a3-b3+c3-3abc,
a、b、c就不再对称,但a和c仍是对称的,这些需要我们仔细体
会才能领悟。
2.几何图形中的对称美
中学数学中学习的两个图形关于某一条直线成轴对称以及轴对
称图形、中心对称图形等,是数学对称美的一种极富特色的表现形
式。这些图形匀称美观,所以在日常生活中用途非常广泛。中外许
多著名的建筑物,如北京中国美术馆、广州中山纪念堂、克里姆林
宫、吉隆坡石油双塔、巴黎圣母院、印度泰姬陵等,都是建筑师根
据数学上轴对称图形的特点设计出来的。通过向学生介绍这些中外
著名的对称建筑,使学生拉近生活与数学的距离,让学生感受数学
中的美在生活中的指导作用,从而激发他们学习数学的热情。
3.对称在中学数学定理中有充分体现
从广义的角度来说,中学数学中许多定理都蕴藏了对称的思想。
比如三角形内角平分线性质定理与三角形外角平分线性质定理及
其证明就是这样:
三角形内角平分线性质定理:三角形内角平分线内分对边所得
两条线段和这个角的两边对应成比例。这个性质定理的证明用符号
语言可译为:如图1,abc中,ad平分∠bac,求证:dbdc=abac
图1
事实上,在图1中过点d作de∥ac交ab于e,可得dbdc=beea,
易证ed=ea,beed=baac,于是得到bddc=abac
三角形外角平分线性质定理:三角形一个外角的平分线如果与
对边的延长线相交,那么该交点外分对边所得两条线段和这个角的
两边对应成比例。这个性质定理的证明用符号语言可译为:如图2,
∠eac为△abc的外角,ad′平分∠eac交bc延长线于d′,求证:
d′bd′c=abac
图2
分析:如图1中,如果称d为bc的内分点的话,从广义对称
的角度,则可称图2中的d′为bc的外分点。从对称的思想来看,
同一顶点a处的内、外角平分线地位平等,因此得出的结论也应相
同。事实上,与三角形内角平分线性质定理的证法完全一样,在图
2中过点d′引ac的平行线即可得证。
从上可看到,由“内”到“外”对称地思考问题,给我们带来
的意外惊喜和发现。
4.对称思想也是关于牛的歇后语 我们解题时探索思路,发现解法的一个源泉
在中学数学习题中,有很大一部分题目是从对称性的角度提出
来的,如等式两边成分相同,式中已知元素的地位等同等等。善于
发现已知条件的对称性,由此获得解题思路,并迅速做出工整、正
确的解答,是中学数学习题解答中经常使用且行之有效的方法。
例1:分解因式a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b)
解:该题给出的多项式对a、b、c循环对称。若将a替换为b,
则式子为0,故式拓展的近义词
子有因式(a-b)。同理,式子也有因式(b-c)和(c-a),因此
可设
a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b)=k(a+b+c)(a-b)
(b-c)(c-a),
k为待定系数,易算得k=-1
∴a3(b-c)+b3(c-a)+c3(东北锅包肉的做法 a-b)=-(a+b+c)(a-b)
(b-c)(c-a)
例2:如图3,ah是锐角△abc的高,ab+bh=hc。求证:∠b=2
∠c。
证明:作线段ab关于ah会计就业 的对称线段ab′,得ab=ab′,
等腰△abb′中,ah⊥bb′,∴bh=b′h
∵ab+bh=hc,∴ab=b′c
∴∠c=∠b′ac
又∵∠ab′b=∠b,且∠ab′b=∠c+∠b′ac
∴∠ab′b=2∠c,即∠b=2∠c。
纵观数学的发展中,由于对对称美的要求与实际需要相结合,
从而引出了新的概念和新的理论。如,从正数到负数、从整数到分
数、从有理数到无理数、从实数到虚数等一系列数域的扩充,都与
对称美的追求密切相关。加减互为逆运算,乘除互为逆运算,微分
与积分互为逆运算,种种逆运算的建立,也都与对称美相联系。至
于从广义的角度来说,定理与逆定理,平面与空间等,都隐涵了数
学中的对称思想。
总之,对称美在中学数学中有多种表现形式,教学中不仅要引
导学生在数学形式上去欣赏关注,更重要的是要让学生自觉的运用
对称思想去解决某些具体问题,并由此体会它在数学发现和寻求解
题突破中的威力,激发他们学习数学的热情,真正提高他们的数学
素养。
本文发布于:2023-03-25 08:37:07,感谢您对本站的认可!
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