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谈中学数学中的对称美

【摘要】简尺寸怎么测量 要论述中学数学阶段，数学中的对称美的体现和应

用。教学中不仅要引导学生在数学形式上去欣赏关注，更重要的是

要让学生自觉的运用对称思想去解决某些具体问题，体验对称思想

在数学发现和寻求解题突破中的作用。

【关键词】数（式）中几何图形中数学定理中解题中

对称的含义比较广泛，从上海婚假几天 狭义上说，是指通常意义上的几何对

称和代数对称；在广义上讲，还包括对偶、匀称、均衡、平衡、不

变性、和谐统一等方面的内容。从这样的角度认识对称，才能领悟

数学的美——它是高度严谨和合理而达到的和谐，那是一种令人神

怡的内在和谐——这种合理与和谐，是作为数学科学的广义对称。

在中学数学教学内容中，体现了丰富的形与数的形象对称与抽

象对称。中学数学解题方法中也渗透了对称的思想。对称性是数学

美的最重要的特征。在教学中，如果能提高学生的数学审美能力，

必能进一步激发他们学习数学的兴趣，变苦学为乐学，达到事半功

倍的效果。下面简要谈一谈对称性在中学数学中的体现和应用。

1.数（式）中体现出的对称美

数（式）中体现出的对称美，主要体现在数（式）的结构上。

例如下列公式中，a+b=b+a，ab=ba，a2-b2=（a+b）（a-b），

（ab）2=a22ab+b2，a3+b3=（a+b）（a

2-ab+b2）a与b的位置都具有对称关系，它们在公式中的地

位是一样的，公式显得对称而美观。如果学生能领悟到这点，则有

助于他们记忆和运用公式，降低学习难度。再比如轮换对称式a

3+b3+c3-3abc中，a、b、c是对称的，并不是说它们各占30%，

也是指它们的地位是平等的，但如果改为a3-b3+c3-3abc，

a、b、c就不再对称，但a和c仍是对称的，这些需要我们仔细体

会才能领悟。

2.几何图形中的对称美

中学数学中学习的两个图形关于某一条直线成轴对称以及轴对

称图形、中心对称图形等，是数学对称美的一种极富特色的表现形

式。这些图形匀称美观，所以在日常生活中用途非常广泛。中外许

多著名的建筑物，如北京中国美术馆、广州中山纪念堂、克里姆林

宫、吉隆坡石油双塔、巴黎圣母院、印度泰姬陵等，都是建筑师根

据数学上轴对称图形的特点设计出来的。通过向学生介绍这些中外

著名的对称建筑，使学生拉近生活与数学的距离，让学生感受数学

中的美在生活中的指导作用，从而激发他们学习数学的热情。

3.对称在中学数学定理中有充分体现

从广义的角度来说，中学数学中许多定理都蕴藏了对称的思想。

比如三角形内角平分线性质定理与三角形外角平分线性质定理及

其证明就是这样：

三角形内角平分线性质定理：三角形内角平分线内分对边所得

两条线段和这个角的两边对应成比例。这个性质定理的证明用符号

语言可译为：如图1，abc中，ad平分∠bac，求证：dbdc=abac

图1

事实上，在图1中过点d作de∥ac交ab于e，可得dbdc=beea，

易证ed=ea，beed=baac，于是得到bddc=abac

三角形外角平分线性质定理：三角形一个外角的平分线如果与

对边的延长线相交，那么该交点外分对边所得两条线段和这个角的

两边对应成比例。这个性质定理的证明用符号语言可译为：如图2，

∠eac为△abc的外角，ad′平分∠eac交bc延长线于d′，求证：

d′bd′c=abac

图2

分析：如图1中，如果称d为bc的内分点的话，从广义对称

的角度，则可称图2中的d′为bc的外分点。从对称的思想来看，

同一顶点a处的内、外角平分线地位平等，因此得出的结论也应相

同。事实上，与三角形内角平分线性质定理的证法完全一样，在图

2中过点d′引ac的平行线即可得证。

从上可看到，由“内”到“外”对称地思考问题，给我们带来

的意外惊喜和发现。

4.对称思想也是关于牛的歇后语 我们解题时探索思路，发现解法的一个源泉

在中学数学习题中，有很大一部分题目是从对称性的角度提出

来的，如等式两边成分相同，式中已知元素的地位等同等等。善于

发现已知条件的对称性，由此获得解题思路，并迅速做出工整、正

确的解答，是中学数学习题解答中经常使用且行之有效的方法。

例1：分解因式a3（b-c）+b3（c-a）+c3（a-b）

解：该题给出的多项式对a、b、c循环对称。若将a替换为b，

则式子为0，故式拓展的近义词

子有因式（a-b）。同理，式子也有因式（b-c）和（c-a），因此

可设

a3（b-c）+b3（c-a）+c3（a-b）=k（a+b+c）（a-b）

（b-c）（c-a），

k为待定系数，易算得k=-1

∴a3（b-c）+b3（c-a）+c3（东北锅包肉的做法 a-b）=-（a+b+c）（a-b）

（b-c）（c-a）

例2：如图3，ah是锐角△abc的高，ab+bh=hc。求证：∠b=2

∠c。

证明：作线段ab关于ah会计就业 的对称线段ab′，得ab=ab′，

等腰△abb′中，ah⊥bb′，∴bh=b′h

∵ab+bh=hc，∴ab=b′c

∴∠c=∠b′ac

又∵∠ab′b=∠b，且∠ab′b=∠c+∠b′ac

∴∠ab′b=2∠c，即∠b=2∠c。

纵观数学的发展中，由于对对称美的要求与实际需要相结合，

从而引出了新的概念和新的理论。如，从正数到负数、从整数到分

数、从有理数到无理数、从实数到虚数等一系列数域的扩充，都与

对称美的追求密切相关。加减互为逆运算，乘除互为逆运算，微分

与积分互为逆运算，种种逆运算的建立，也都与对称美相联系。至

于从广义的角度来说，定理与逆定理，平面与空间等，都隐涵了数

学中的对称思想。

总之，对称美在中学数学中有多种表现形式，教学中不仅要引

导学生在数学形式上去欣赏关注，更重要的是要让学生自觉的运用

对称思想去解决某些具体问题，并由此体会它在数学发现和寻求解

题突破中的威力，激发他们学习数学的热情，真正提高他们的数学

素养。