ac130

江苏省盐城市二〇二〇年初中毕业与升学考试

数学试题

注意事项：

1

．本次考试时间为

120

分钟，卷面总分为

150

分，考试形式为闭卷．

2

．本试卷共

6

页，在检查是否有漏印、重印或错印后再开始答题．

3

．所有试题必须作答在答题卡上规定的区域内，注意题号必须对应，否则不给分．

4

．答题前，务必将姓名、准考证号用

0.5

毫米黑色签字笔填写在试卷及答题卡上．

一、选择题：本大题共

8

个小题，每小题

3

分，共

24

分．在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的．

1.2020

的相反数是（）

A.2020B.

﹣

2020C.

1

2020

D.

1

2020



【答案】

B

【解析】

【分析】

直接利用相反数的定义得出答案．

【详解】解：

2020

的相反数是：﹣

2020

．

故选：

B

．

【点睛】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．

2.

下列图形中，属于中心对称图形的是：（）

A.B.

C.D.

【答案】

B

【解析】

【分析】

根据中心对称图形的概念即图形旋转

180

后与原图重合即可求解．

【详解】解：解：

A

、不是中心对称图形，故此选项错误；

B

、是中心对称图形，故此选项正确；

C

、不是中心对称图形，故此选项错误；

D

、不是中心身体记忆 对称图形，故此选项错误，

故选：

B

．

【点睛】本题主要考查了中心对称图形的概念，中心对称图形关键是要寻找对称中心，图形旋转

180

后与

原图重合．

3.

下列运算正确的是：（）

A.22aaB.32辨析题的答题格式 6aaaC.32aaaD.3

2526aa

【答案】

C

【解析】

【分析】

根据整式的加减与幂的运算法则即可判断．

【详解】

A.2aaa，故错误；

B.325aaa，故错误；

C.32aaa，正确；

D.3

2628aa，故错误；

故选

C

．

【点睛】此题主要考查整式与幂的运算，解题的关键是熟知其运算法则．

4.

实数

,ab

在数轴上表示的位置如图所示，则（）

A.0aB.

ab



【答案】

C

【解析】

【分析】

根据数轴的特点即可求解．

【详解】由图可得0ab，

ba

故选

C

．

【点睛】此题主要考查数轴的特点，解题的关键是熟知数轴的性质．

5.

如图是由4个小正方体组合成的几何体，该几何体的俯视图是：（）

A.B.

C.D.

【答案】

A

【解析】

【分析】

俯视图是指从上面往下面看得到的图形，根据此定义即可求解．

【详解】解：由题意知，该几何体从上往下看时，能看到三个并排放着的小正方体的上面，故其俯视图如

选项

A

所示，

故选：

A

．

【点睛】本题考查了几何体的三视图，主视图是指从前面往后面看所得到的图形，俯视图是指从上面往下

面看得到的图形，左视图是指从左边往右边看得到的图形．

6.2019

年

7

月盐城黄海湿地中遗成功，它的面积约为400000万平方米，将数据400000用科学记数法表示

应为：（）

A.60.410B.9410C.44010D.5410

【答案】

D

【解析】

【分析】

科学记数法的表示形式为

a10n的形式，其中

1≤|a|

＜

10

，

n

为整数．确定

n

的值时，要看把原数变成

a

时，

小数点移动了多少位，

n

的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于

1

时，

n

是正数；当原

数的绝对值小于

1

时，

n

是负数．

【详解】解：由题意可知，将400000用科学记数法表示为：5400000410，

故选：

D

．

【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为

a10n的形式，其中

1≤|a|

＜

10

，

n

为整

数，表示时关键要正确确定

a

的值以及

n

的值．

7.

把19这9个数填入33方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构

成了一个

“

九宫格

”

．它源于我国古代的

“

洛書

”

（图①），是世界上最早的

“

幻方

”

．图②是仅可以看到部分

数值的

“

九宫格

”

，则其中

x

的值为：（）

A.1B.3C.4D.6

【答案】

A

【解析】

【分析】

根据题意求出

“

九宫格

”

中的

y

，再求出

x

即可求解．

【详解】如图，依题意可得

2+5+8=2+7+y

解得

y=6

∴8+x+6=2+5+8

解得

x=1

故选

A

．

【点睛】此题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意得到方程求解．

8.

如图，在菱形ABCD中，对角线ACBD、相交于点

,OH

为BC中点，

6,8ACBD

．则线段OH的

长为：（）

A.

12

5

B.

5

2

C.3D.5

【答案】

B

【解析】

【分析】

因为菱形的对角线互相垂直且平分，从而有ACBD，3AOOC，4BOOD，又因为

H

为

BC

中点，借助直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可作答．

【详解】解：

∵

四边形

ABCD

是菱形

∴ACBD，3AOOC，4BOOD

∴△BOC

是直角三角形

∴222BOOCBC

∴BC=5

∵H

为

BC

中点

∴

15

22

OHBC

故最后答案为

5

2

．

【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，其中知道菱形的

性质，对角线互相垂直且平分是解题的关键．

二、填空题（每题

3

分，满分

24

分，将答案填在答题纸上）

9.

如图，直线

,ab

被直线

c

所截，//,160ab．那么2_______________________

．

【答案】60

【解析】

【分析】

根据平行线的性质即可求解．

【详解】

∵//,160ab

∴2160

故答案为：

60

．

【点睛】此题主要考查平行线的性质，解题的关键是熟知两直线平行，内错角相等．

10.

一组数据

1,4,7,4,2

的平均数为

________________________

．

【答案】2

【解析】

【分析】

根据平均数的定义，将这组数据分别相加，再除以这组数据的个数，即可得到这组数据的平均数．

【详解】由题意知，数据

1,4,7,4,2

的平均数为：

1

(14742)2

5

x

．

故答案为：

2

．

【点睛】本题考查平均数，按照平均数的定义进行求解即可．平均数反映一组数据的平均水平，它能代表

一组数据的集中趋势．

11.

因式分解：22xy____

．

【答案】

()()xyxy

；

【解析】

试题分析：直接利用平方差公式分解：

x2－

y2＝

(x

＋

y)(x

－

y)

．

故答案为

(x

＋

y)(x

－

y)

．

12.

分式方程

1

0

x

x



的解为

x

_______________________

．

【答案】1

【解析】

【分析】

方程两边同时乘

x

化成整式方程，进而求出

x

的值，最后再检验即可．

【详解】解：方程两边同时乘

x

得：

10x，

解得：1x，

检验，当1x时分母不为

0

，

故原分式方程的解为1x．

故答案为：

1

．

【点睛】本题考查分式方程的解法，先方程两边同时乘以最简公分母化成整式方程，然后求解，最后要记

得检验．

13.

一个不透明的袋中装有

3

个黑球和

2

个白球，这些球除颜色外都相同，从这个袋中任意摸出一个球为白

球的概率是

______.

【答案】

2

5

.

【解析】

【分析】

根据概率的求法，找准两点：

①

全部的情况数；

②

符合条件的情况数；二者的比值就是其发生的概率．

【详解】解：根据题意可得：不透明的袋子里共有将

5

个球，其中

2

个白球，

∴

任意摸出一个球为白球的概率是：

2

5

，

故答案为

2

5

.

【点睛】本题考查了概率公式：随机事件

A

的概率

P

（

A

）

=

事件

A

可能出现的结果数除以所有可能出现的

结果数．

14.

如图，在

O

中，点A在BC上，

100,BOC

则BAC_______________________

【答案】130

【解析】

【分析】

画出BC的圆周角BDC∠交

O

于点D，构造出

O

的内接四边形；根据圆周角定理求出BDC∠的度数，

再根据圆内接四边形的性质，即可得出

BAC

的度数．

【详解】如图，画出BC的圆周角BDC∠交

O

于点D，则四边形ABDC为

O

的内接四边形，

∵

圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半，

∴

11

10050

22

BDCBOC

，

∵

四边形ABDC为

O

的内接四边形，

∴180BDCBAC，

∴BACBDC．

故答案为：130．

【点睛】本题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质．圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心

角的度数的一半；圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，熟练掌握此定理及性质是解本题关键．

15.

如图，

//,BCDE

且

,4,10BCDEADBCABDE

，则

AE

AC

的值为

_________________

．

【答案】2

【解析】

【分析】

设

AB=a

，根据

//,BCDE

得到

△ABC∽△ADE

，得到对应线段成比例即可求出

AB,

再根据相似比的定义即

可求解．

【详解】

∵

//,BCDE

∴△ABC∽△ADE

，

∴

ABBC

ADDE



设

AB=a,

则

DE=10-a

故

4

410

a

a





解得

a

1

=2,a

2

=8

∵BCDE

∴AB=2

，

故

2

ADAE

ACAB



故答案为：

2

．

【点睛】此题主要考查相似三角形的性质与判定，解题的关键是熟知得到对应线段成比例．

16.

如图，已知点5,2,54()(),81ABC，，

，直线lx轴，垂足为点

0(),Mm，

其中

5

2

m

，若

ABC



与ABC

关于直线l对称，且

ABC



有两个顶点在函数

(0)

k

yk

x

的图像上，则k的值为：

_______________________

．

【答案】6或4

【解析】

【分析】

因为

ABC



与ABC关于直线

l

对称，且直线lx轴，从而有互为对称点纵坐标相同，横坐标之和为

2m

，利用等量关系计算出

m

的值，又由于

ABC



有两个顶点在函数(0)

k

yk

x

，从而进行分情况讨论

是哪两个点在函数上，求出

k

的值．

【详解】解：

∵

ABC



与ABC关于直线

l

对称，直线lx轴，垂足为点

()0Mm，

，

5

2

m

∴'(25,2)Am，'(25,4)Bm，'(28,1)Cm

∵

ABC



有两个顶点在函数

(0)

k

yk

x



（

1

）设'(25,2)Am，'(25,4)Bm在直线(0)

k

yk

x

上，

代入有

(25)2(25)4mm

，

5

2

m

不符合

5

2

m

故不成立；

（

2

）设'(25,2)Am，'(28,1)Cm在直线(0)

k

yk

x

上，

有

(25)2(28)1mm

，1m，'(3,2)A，'(6,1)C，代入方程后

k=-6

；

（

3

）设'(25,4)Bm，'(28,1)Cm直线(0)

k

yk

x

上，

有

(25)4(28)1mm

，2m，'(1,4)B，'(4,1)C，代入方程后有

k=-4

；

综上所述，

k=-6

或

k=-4

；

故答案为：

-6

或

-4

．

【点睛】本题考查轴对称图形的坐标关系以及反比例函数解析式，其中明确轴对称图形纵坐标相等，横坐

标之和为对称轴横坐标的

2

倍是解题的关键．

三、解答题（本大题共

11

小题，共

102

分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17.

计算：

0

3

2

24

3

．

【答案】

7

【解析】

【分析】

根据乘方，二次根式和零指数幂的运算法则化简，然后再计算即可．

【详解】解：原式821

7．

【点睛】本题主要考查了乘方，二次根式和零指数幂的运算法则，熟练掌握运算法则是解题的关键．

18.

解不等式组：

21

1

3

4532

x

xx

















．

【答案】27x

【解析】

【分析】

分别求出不等式组中两不等式的解集，表示在数轴上，找出两解集的公共部分，即可得到原不等式组的解

集．

【详解】解：由题意知：

21

1

3

4532

x

xx

















①

②

解不等式①：去分母得：213x，

移项得：24x，

系数化为

1

得：2x，

解不等式②，得7x，

在数轴上表示不等式①、②的解集如图：



不等式组的解集为27x．

【点睛】此题考查了一元一次不等式组的解法，以及在数轴上表示不等式组的解集，其中不等式组的解集

取法为：同大取大，同小取小，大大小小无解，大小小大取中间．

19.

先化简，再求值：

2

3

1

93

m

mm











，其中2m．

【答案】

1

3m

，

1

【解析】

【分析】

根据分式的加减乘除运算法则进行运算即可化简，最后将2m代入求解即可．

【详解】解：原式

2

33

933

mm

mmm













293

mm

mm







3

33

mm

mmm







1

3m





当2m时代入，

原式

1

1

23





．

故答案为：

1

．

【点睛】本题考查分式的加减乘除运算法则及化简求值，先乘除，再加减，有括号先算括号内的，熟练掌

握运算法则及运算顺序是解决此类题的关键．

20.

如图，在ABC中，

3

90,tan,

3

CAABC的平分线BD交AC于点.3DCD．求AB的

长？

【答案】

6

【解析】

【分析】

由

3

3

tanA求出

∠A=30

，进而得出

∠ABC=60

，由

BD

是

∠ABC

的平分线得出

∠CBD=30

，进而求出

BC

的长，最后用

sin∠A

即可求出

AB

的长．

【详解】解：在RtABC中，

3

90,

3

CtanA

30,60,AABC

BD是ABC的平分线，

30,CBDABD

又3,CD

3

30

CD

BC

tan

，

在RtABC中，

90,30CA

，

6

30

BC

AB

sin





．

故答案为：6．

【点睛】本题考查了用三角函数解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义及特殊角的三角函数是解决此类

题的关键．

21.

如图，点O是正方形，ABCD的中心．

（

1

）用直尺和圆规在正方形内部作一点E（异于点O），使得

;EBEC

（保留作图痕迹，不写作法）

（

2

）连接

,EBECEO、、

求证：BEOCEO．

【答案】（

1

）见解析；（

2

）见解析

【解析】

【分析】

（

1

）作

BC

的垂直平分线即可求解；

（

2

）根据题意证明EBOECO即可求解．

【详解】1

如图所示，点E即为所求．

2

连接OBOC、

由1

得：EBEC

O是正方形ABCD中心，

,OBOC



在EBO△和ECO中，

EBEC

EOEO

OBOC

















,EBOECOSSS

BEOCEO．

【点睛】此题主要考查正方形的性质与证明，解题的关键是熟知正方形的性质、垂直平分线的作图及全等

三角形的判定与性质．

22.

在某次疫情发生后，根据疾控部门发布的统计数据，绘制出如下统计图：图①为A地区累计确诊人数

的条形统计图，图②为

B

地区新增确诊人数的折线统计图．

（

1

）根据图①中的数据，A地区星期三累计确诊人数为，新增确诊人数为；

（

2

）已知A地区星期一新增确诊人数为14人，在图②中画出表示A地区新增确诊人数的折线统计图．

（

3

）你对这两个地区的疫情做怎样的分析，推断？

【答案】（

1

）

41,13

；（

2

）见解析；（

3

）见解析（答案不唯一）

【解析】

【分析】

（

1

）根据图

①

的条形统计图即可求解；

（

2

）根据图①中的数据即可画出折线统计图；

（

3

）根据折线统计图，言之有理即可．

【详解】（

1

）A地区星期三累计确诊人数为

41

；新增确诊人数为

41-28=13

，

故答案为：

41

；

13

；

2

如图所示：

3A

地区累计确诊人数可能会持续增加，

B

地区新增人数有减少趋势，疫情控制情况较好（答案不唯一）．

【点睛】此题主要考查统计图的应用，解题的关键是根据题意作出折线统计图．

23.

生活在数字时代的我们，很多场合用二维码（如图①）来表示不同的信息，类似地，可通过在矩形网格

中，对每一个小方格涂加色或不涂色所得的图形来表示不同的信息，例如：网格中只有一个小方格，如图②，

通过涂器色或不涂色可表示两个不同的信息．

（

1

）用树状图或列表格的方法，求图③可表示不同信息的总个数：（图中标号

1,2

表示两个不同位置的小

方格，下同）

（

2

）图④为22的网格图．它可表示不同信息的总个数为；

（

3

）某校需要给每位师生制作一张

“

校园出入证

”

，准备在证件的右下角采用

nn

的网格图来表示各人身份

信息，若该校师生共492人，则

n

的最小值为；

【答案】（

1

）见解析；（

2

）

16

；（

3

）

3

【解析】

【分析】

（

1

）根据题意画出树状图即可求解；

（

2

）根据题意画出树状图即可求解；

（

3

）根据（

1

）（

2

）得到规律即可求出

n

的值．

【详解】1

解：画树状图如图所示：



图③的网格可以表示不同信息的总数个数有4个．

（

2

）画树状图如图所示：



图

④22

的网格葡萄干的做法 图可以表示不同信息的总数个数有

16=24个，

故答案为：

16

．

（

3

）依题意可得

33

网格图表示不同信息的总数个数有

29=512

＞492，

故则

n

的最小值为

3

，

故答案为：

3

．

【点睛】此题主要考查画树状图与找规律，解题的关键是根据题意画出树状图．

24.

如图，

O

是ABC的外接圆，AB是

O

的直径，DCAB．

（

1

）求证：CD是

O

的切线；

（

2

）若DEAB，垂足为

,EDE

交AC与点；求证：DCF是等腰三角形．

【答案】（

1

）见解析；（

2

）见解析

【解析】

【分析】

(1)

连接

OC

，由

AB

是圆

O

的直径得到

∠BCA=90

，进一步得到

∠A+∠B=90

，再根据已知条件

DCAB，且

∠A=∠ACO

即可证明

∠OCD=90

进而求解；

(2)

证明90ADCA，再由

DE⊥AB

，得到

∠A+∠AFE=90

，进而得到

∠DCA=∠AFE=∠DFC

，得

到

DC=DF

，进而得到

△DFC

为等腰三角形．

【详解】解：

(1)

证明：连接OC，

,OCOA

,OCAA

AB

为圆O的直径，

90,BCA

90,AB

又

,DCAB

90,OCADCAOCD

,OCCD

又点C在圆O上，

CD是

O

的切线．

(2)90,OCADCA

,OCAA

90,ADCA

,DEAB

90,AEFA

,DCAEFA

又

,EFADFC

,DCADFC

DCF是等腰三角形．

【点睛】本题考查了圆的切线的判定定理，圆周角定理，等腰三角形的性质和判定等，熟练掌握性质或定

理是解决此类题的关键．

25.

若二次函数2yaxbxc的图像与

x

轴有两个交点

1212

,0,,00MxNxxx

，且经过点

0,2,A

过点A的直线l与

x

轴交于点

,C

与该函数的图像交于点

B

（异于点A）．满足

ACN△

是等腰直角

三角形，记AMN的面积为

1

,SBMN

的面积为

2

S

，且

21

5

2

SS．

（

1

）抛物线的开口方向（填

“

上

”

或

“

下

”

）；

（

2

）求直线l相应的函数表达式；

（

3

）求该二次函数的表达式．

【答案】（

1

）上；（

2

）

2yx

；（

3

）2252yxx

【解析】

【分析】

(1)

由抛物线经过点

M

、

N

、

A

点即可确定开口向上；

(2)

根据

ACN△

是等腰直角三角形分三种情况讨论，只能是90CAN，此时

45,2ACNANCAOCONO

，由此算出

C

点坐标，进而求解；

(3)

过

B

点作

BH⊥x

轴，由

21

5

2

SS得到

5

2

OABH，由

OA

的长求出

BH

的长，再将

B

点纵坐标代入直

线

l

中求出

B

点坐标，最后将

A

、

B

、

N

三点坐标代入二次函数解析式中求解即可．

【详解】解：

(1)∵

抛物线经过点

M

、

N

、

A

，且

M

、

N

点在

x

轴正半轴上，

A

点在

y

轴正半轴上，

∴

抛物线开口向上，

故答案为：上．

(2)①

若90ACN，

则C与O重合，直线l与二次函数图像交于A点

∵

直线与该函数的图像交于点

B

（异于点A）

∴

不合符题意，舍去；

②

若90ANC，则C在

x

轴下方，

∵

点C在

x

轴上，

∴

不合符题意，舍去；

③

若90CAN

则

45,2ACNANCAOCONO

20(),2,0CN，

设直线

:lykxb

将,(02,0),2AC

代入：

2

02

b

kb











，解得

1

2

k

b













直线

:2lyx

．

故答案喉咙痛吃什么药好 为：

2yx

．

(3)

过

B

点作BHx轴，垂足为H，

1

1

=

2



AMN

SSMNOA

，

2

1

=

2



BMN

SSMNBH

，

又

21

5

2

SS，

5

2

OABH，

又2OA，

5BH，

即

B

点纵坐标为5，

又

(2)

中直线

l

经过

B

点，

将

5y

代入

2yx

中，得3x，

3,5B

，

将ABN、、三点坐标代入2yaxbxc中，得

2

4220

9325

















c

ab

ab

，

解得

2

5

2

















a

b

c

，



抛物线解析式2252yxx．

故答案为：2252yxx．

【点睛】本题考查了二次函数解析式的求法，二次函数和一次函数的交点坐标，等腰直角三角形分类讨论

的思想，熟练掌握二次函数的图形及性质是解决此类题的关键．

26.

木门常常需要雕刻美丽的图案．

（

1

）图

①

为某矩形木门示意图，其中AB长为200厘米，AD长为100厘米，阴影部分是边长为30厘米

的正方形雕刻模具，刻刀的位置在模具的中心点P处，在雕刻时始终保持模具的一边紧贴木门的一边，所

刻图案如虚线所示，求图案的周长；

（

2

）如图②，对于1

中的木门，当模具换成边长为303厘米的等边三角形时，刻刀的位置仍在模具的

中心点P处，雕刻时也始终保持模具的一边紧贴本门的一边，使模具进行滑动雕刻．但当模具的一个顶点

与木门的一个顶点重合时，需将模具绕着重合点进行旋转雕刻，直到模具的另一边与木门的另一边重合．再

滑动模具进行雕刻，如此雕刻一周，请在图②中画出雕刻所得图案的草图，并求其周长．

【答案】（

1

）480cm；（

2

）雕刻所得图案的草图见解析，图案的周长为600120320cm

【解析】

【分析】

（

1

）过点

P

作

,PECD

求出

PE

，进而求得该图案的长和宽，利用长方形的周长公式即可解答；

（

2

）如图，过

P

作

PQ⊥CD

于

Q

，连接

PG,

先利用等边三角形的性质求出

PQ

、

PG

及

∠PGE

，当移动到点P'

时，求得旋转角和点

P

旋转的路径长，用同样的方法继续移动，即可画出图案的草图，再结合图形可求得

所得图案的周长．

【详解】1

如图，过点P作

,PECD

垂足为E

P是边长为30cm的正方形模具的中心，

15,PEcm

同理：AB



与AB之间的距离为

15,cm

''AD与AD之间的距离为

15,cm

'BC

与BC之间的距离为

15,cm

''''2001515170,ABCDcm

''''100151570,BCADcm



''

170702480

ABCD

Ccm





四边形

．

答：图案的周长为480cm．

2巴西龟可以吃吗

如图，连接

,PEPFPG、、

过点P作

PQCD

，垂足为

Q

P是边长为30cm的等边三角形模具的中心，

,30PEPGPFPGF

,PQGF

153,GQQFcm

3015,PQCQtancm

30

30

CQ

PGcm

cos





．

当三角形EFG向上平移至点G与点D重合时，

由题意可得：'EFG



绕点D顺时针旋转30,

使得''EG与AD边重合

'DP绕点D顺时针旋转30至

",DP

3030

5

180pp

lcm









．

同理可得其余三个角均为弧长为5cm的圆弧，

图中的虚线即为所画的草图，

∴3030

24

180

C





600120320cm

．

答：雕刻所得图案的草图的周长为600120320cm

．

【点睛】本题考查了图形的平移与旋转、等边三角形的性质、解含

30

角的直角三角形、图形的周长等知识，

解答的关键是熟练掌握图形平移和旋转过程中的变化特征，结合基本图形的性质进行推理、探究、发现和

计算．

27.

以下虚线框中为一个合作学习小组在一次数学实验中的过程记录，请阅读后完成虚线框下方的问题

1~4．

（

1

）在RtABC中，90,22CAB，在探究三边关系时，通过画图，度量和计算，收集到，组数

据如下表：（单位：厘米）

AC

2.82.72.62.3

2

1.50.4

BC

0.40.81.21.6

2

2.42.8

ACBC3.23.53.83.9

4

3.93.2

（

2

）根据学习函数的经验，选取上表中BC和ACBC的数据进行分析；

①设

BCxACBCy,

，以

(,)xy

为坐标，在图①所示的坐标系中描出对应的点；

②连线；

观察思考

（

3

）结合表中的数据以及所面的图像，猜想．当

x

时，

y

最大；

（

4

）进一步

C

猜想：若RtMBC中，90C，斜边

(2ABaa

为常数，0a），则BC

时，ACBC最大．

推理证明

（

5

）对（

4

）中的猜想进行证明．

问题

1

．在图①中完善2

的描点过程，并依次连线；

问题

2

．补全观察思考中的两个猜想：3_______4_______

问题

3

．证明上述5

中的猜想：

问题

4

．图②中折线BEFGA是一个感光元件的截面设计草图，其中点

,AB

间的距离是4厘米，

1AGBE厘米，90,EFG平行光线从AB区域射入，60,BNE线段FMFN、为

感光区城，当EF的长度为多少时，感光区域长度之和最大，并求出最大值．

【答案】问题

1

：见解析；问题

2

：

2

，2a；问题

3

：见解析；问题

4

：当221EF时，感光区域长

度之和FMFN最大为

43

422

3

cm

【解析】

【分析】

问题

1

：根据（

1

）中的表格数据，描点连线，作出图形即可；

问题

2

：根据（

1

）中的表格数据，可以得知当

x

2

时，

y

最大；设

,BCxACBCy

，则224ACax

，

可得224yxax

，有2222240xxyya，可得出22ya；

问题

3

：可用两种方法证明，方法一：（判别式法）设

,BCxACBCy

，则224ACax

，可得

224yxax

，有2222240xxyya，可得出22ya；方法二：（基本不等式），设

,,BCmACnACBCy

，得2224mna

，可得222mnmn，根据当

mn

时，等式成立有

22mna，可得出

22ya；

问题

4

：方法一：延长AM交EF于点C，过点A作AHEF于点H，垂足为H，过点

B

作BKGF交

于点K，垂足为K，BK交AH于点

Q

，由题可知：在BNE中，60,90,1BNEEBE，得

3

3

NE

，根据90,1,30GAGAMG，有

AG

tanAMG

GM

，得3GM，易证四边形AGFH

为矩形，四边形BKFE为矩形，根据

FNFMEFFGENGM

可得

43

2

3

FNFMBQAQ

，

由问题

3

可知，当22BQAQ时，

AQBQ

最大，则有22BQAQ时，FMFN最大为

43

422

3

cm

；方法二：

延长EBGA、相交于点H同法一求得：

3

3,

3

GMNE，根据四边形GFEH为矩形，有

13MFEHGM粉凤凰 b

，

3

1

3

FNEFNEa，得到

43

2

3

MFFNab

，由问题

3

可

知，当22ab时，ab最大

则可得22ab时FMFN最大为

43

422

3

cm

．

【详解】问题

1

：图

问题

2

：

32

；

42a

问题

3

：

法一：（判别式法）

证明：设

,BCxACBCy

在RtABC中，222290,4,CACABBCax

224yxax

224yxax

222224,yxyxax

2222240,xxyya

关于

x

的元二次方程有实根，

2222444240,bacyxa

228,ya

00,ya,

22,ya

当

y

取最大值22a时，

2224240xaxa

2

220xa

12

2xxa



当2BCa时，

y

有最大值．

法二：（基本不等式）

设

,,BCmACnACBCy

在RtABC中，

90,C

2224mna

20,mn

222mnmn．

当

mn

时，等式成立

242,amn

22mna．

222ymnmnmn

242amn，

22,mna

22,ya



当2BCACa时，

y

有最大值．

问题

4

：

法一：延长AM交EF于点

,C

过点A作AHEF于点

,H

垂足为

,H

过点

B

作BKGF交于点

,K

垂足为

,K

BK交AH于点

,Q

由题可知：在BNE中，60,90,1BNEEBE

BE

tanBNE

NE



即

1

3

NE



3

3

NE

//,AMBN

60,C

又90,GFE

30,CMF

30,AMG

90,1,30GAGAMG

，



在RtAGM中，

AG

tanAMG

GM

，

即

31

3GM



3,GM

90,90,GGFHAHF



四边形AGFH为矩形

,AHFG

90,=90GFHEBHF，



四边形BKFE为矩形，

,BKFE

FNFMEFFGENGM

3

3

3

BKAH

43

3

BQAQQHQK

43

2

3

BQAQ



在

RtABQ△

中，4AB．

由问题

3

可知，当22BQAQ时，

AQBQ

最大

22BQAQ时，FMFN最大为

43

422

3

cm

即当221EF时，感光区域长度之和FMFN最大为

43

422

3

cm

法二：

延长EBGA、相交于点

,H

同法一求得：

3

3,

3

GMNE

设

,AHaBHb

四边形GFEH为矩形，

,,GFEHEFGH

13MFEHGMb．

3

1

3

FNEFNEa

43

2

3

MFFNab

2216,ab

由问题

3

可知，当22ab时，ab最大

22ab时FMFN最大为

43

422

3

cm

即当221EF时，感光区域长度之和FMFN最大

43

422

3

cm

．

【点睛】本题考查了一元二次方程，二次函数，不等式，解直角三角形，三角函数，矩形的性质等知识点，

熟悉相关性质是解题的关键．

多送一套2019年北京卷，不喜欢可以删除

2019年北京市中考数学试卷

一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．

1．4月24日是中国航天日，1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一

号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点439000米．将439000

用科学记数法表示应为

（A）

60.43910

（B）

64.3910

（C）

54.3910

（D）

343910

2．下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是

（A）（B）（C）（D）

3．正十边形的外角和为

（A）

180

（B）

360

（C）

720

（D）

1440

4．在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，2，将点A向右平移1个单位长度，得到点

C．若CO=BO，则a的值为

（A）

3

（B）

2

（C）

1

（D）

1

5．已知锐角∠AOB如图，

（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作

，交射线OB于点D，连接CD；

（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点

N

M

D

OB

C

P

Q

A

33

M，N；

（3）连接OM，MN．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是

（A）∠COM=∠COD（B）若OM=MN，则∠AOB=20

（C）MN∥CD（D）MN=3CD

6．如果

1mn

，那么代数式

22

2

21mn

mn

mmnm













的值为

（A）

3

（B）

1

（C）1（D）3

7．用三个不等式

ab

，

0ab

，

11

ab



中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组

成一个命题，组成真命题的个数为

（A）0（B）1（C）2（D）3

8．某校共有200名学生，为了解本学期学生参加公益劳动的情况，收集了他们参加公益劳动时间（单

位：小时）等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分．

010t≤＜1020t≤＜2030t≤＜3040t≤＜40t≥

性

别

男73125304

女82926328

学

段

初中25364411

高中

21.8

27.0

25.5

24.5

人均参加公益劳动时间/小时

高中生

初中生女生男生

学生类别

5

10

15

20

25

30

0

下面有四个推断：

人数

时间

学生类别

34

①这200名学生参加公益劳动时间的平均数一定在24.5-25.5之间

②这200名学生参加公益劳动时间的中位数在20-30之间

③这200名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在20-30之间

④这200名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在20-30之间

所有合理推断的序号是

（A）①③（B）②④

（C）①②③（D）①②③④

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9．若分式

1x

x



的值为0，则

x

的值为

______

.

10．如图，已知

ABC

，通过测量、计算得

ABC

的面积约为

______

cm2.（结果保留一位小数）

11．在如图所示的几何体中，其三视图中有矩形的是

______

.（写出所有正确答案的序号）

第10题图

C

B

A

第11题图

③圆锥

②圆柱①长方体

第12题图

P

BA

12．如图所示的网格是正方形网格，则

PABPBA＋

＝

__________

（点A，B，P是网格线交点）.

13．在平面直角坐标系

xOy

中，点

A

ab，00ab，

在双曲线

1

k

y

x



上．点

A

关于

x

轴的

对称点

B

在双曲线

2

k

y

x



上，则12

kk

的值为

______

.

14．把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3

所示的正方形，则图1中菱形的面积为

______

．

35

图3

图2

图1

1

5

15．小天想要计算一组数据92，90，94，86，99，85的方差

2

0

s

．在计算平均数的过程中，将这组数据

中的每一个数都减去90，得到一组新数据2，0，4，



4，9，



5．记这组新数据的方差为

2

1

s

，则

2

1

s______

2

0

s

.

(填“



”，“



”或“



”)

16．在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点（不与端点重合）．

对于任意矩形ABCD，下面四个结论中，

①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；

②存在无数个四边形MNPQ是矩形；

③存在无数个四边形MNPQ是菱形；

④至少存在一个四边形MNPQ是正方形．

所有正确结论的序号是

______

．

三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-24题，每小题6分，第25题5分，第26题

6分，第27-28题，每小题7分）

解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．

17．计算：

0

1

1

34260

4

sin（）

.

18．解不等式组：

4(1)2,

7

.

3

xx

x

x

















19．关于x的方程

22210xxm

有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．

20．如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BE=DF，连接EF．

（1）求证：AC⊥EF；

（2）延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O，

F

E

B

A

D

C

36

若BD=4，tanG=

1

2

，求AO的长．

21．国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数．对国家创新指数得分排名前40

的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：

a．国家创新指数得分的频数分布直方图（数据分成7组：

30≤x＜40，40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）；

14030

12

9

8

6

2

1

频数（国家个数）

国家创新指数得分

b．国家创新指数得分在60≤x＜70这一组的是：

61.762.463.665.966.468.569.169.369.5

c．40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图：

C

B

A

l2

l1

11

10

9

8

7

65

4

32

1

0

100

90

80

70

60

50

40

30

人均国内生产总值/万元

国家创新指数得分

d．中国的国家创新指数得分为69.5.

（以上数据来源于《国家创新指数报告（2018）》）

根据以上信息，回答下列问题：

（1）中国的国家创新指数得分排名世界第

______

；

37

（2）在40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图中，包括中国在内的少数几个

国家所对应的点位于虚线1

l

的上方．请在图中用“”圈出代表中国的点；

（3）在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为

______

万美元；（结果

保留一位小数）

（4）下列推断合理的是

______

．

①相比于点A，B所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快建设创新型

国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；

②相比于点B，C所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建成小

康社会”的奋斗目标，进一步提高人均国内生产总值．

22．在平面内，给定不在同一直线上的点A，B，C，如图所示．点O到点A，B，C的距离均等于a

（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G，

ABC

的平分线交图形G于点D，连接AD，

CD．

（1）求证：AD=CD；

（2）过点D作DE



BA，垂足为E，作DF



BC，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连接CM．若

AD=CM，求直线DE与图形G的公共点个数．

C

B

A

23．小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下：

①将诗词分成4组，第i组有i

x

首，i=1，2，3，4；

②对于第i组诗词，第i天背诵第一遍，第（

1i

）天背诵第二遍，第（

3i

）天背诵第三遍，三遍

后完成背诵，其它天无需背诵，

i

1，2，3，4；

第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天

第1组

1

x

1

x

1

x

38

第2组

2

x

2

x

2

x

第3组

第4组

4

x

4

x

4

x

③每天最多背诵14首，最少背诵4首．

解答下列问题：

（1）填入3

x

补全上表；

（2）若1

4x

，2

3x

，3

4x

，则4

x

的所有可能取值为

_________

；

（3）7天后，小云背诵的诗词最多为

______

首．

24．如图，P是与弦AB所围成的图形的外部的一定点，C是上一动点，连接PC交弦AB于

点D．

A

B

C

D

P

小腾根据学习函数的经验，对线段PC，PD，AD的长度之间的关系进行了探究．

下面是小腾的探究过程，请补充完整：

（1）对于点C在上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC，PD，AD的长度的几组值，如下

表：

位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8

PC/cm3.443.303.072.702.252.252.642.83

PD/cm3.442.692.001.360.961.132.002.83

39

AD/cm0.000.781.542.303.014.005.116.00

在PC，PD，AD的长度这三个量中，确定

______

的长度是自变量，

______

的长度和

______

的

长度都是这个自变量的函数；

（2）在同一平面直角坐标系

xOy

中，画出（1）中所确定的函数的图象；

x/cm

y/cm

1

2

3

4

5

6

654321

O

（3）结合函数图象，解决问题：当PC=2PD时，AD的长度约为

______

cm．

25.在平面直角坐标系

xOy

中，直线l：

10ykxk

与直线

xk

，直线

yk

分别交于点A，

B，直线

xk

与直线

yk

交于点

C

．

（1）求直线

l

与

y

轴的交点坐标；

（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段

ABBCCA，，

围成的区域（不含边界）为

W

．

①当

2k

时，结合函数图象，求区域

W

内的整点个数；

②若区域

W

内没有整点，直接写出

k

的取值范围．

40

26．在平面直角坐标系

xOy

中，抛物线

2

1

yaxbx

a

与

y

轴交于点A，将点A向右平移2个单

位长度，得到点B，点B在抛物线上．

（1）求点B的坐标（用含

a

的式子表示）；

（2）求抛物线的对称轴；

（3）已知点

11

(,)

2

P

a

，

(2,2)Q

．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求

a

的取

值范围．

27．已知

30AOB

，H为射线OA上一定点，

31OH

，P为射线OB上一点，M为线段

OH上一动点，连接PM，满足

OMP

为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转

150

，得到

线段PN，连接ON．

（1）依题意补全图1；

（2）求证：

OMPOPN

；

（3）点M关于点H的对称点为Q，连接QP．写出一个OP的值，使得对于任意的点M总有ON=QP，

并证明．

备用图

图1

B

A

O

H

H

O

A

B

28．在△ABC中，

D

，

E

分别是

ABC

两边的中点，如果上的所有点都在△ABC的内部或边上，

则称为△ABC的中内弧．例如，下图中是△ABC的一条中内弧．

41

（1）如图，在Rt△ABC中，

22ABACDE，，

分别是

ABAC，

的中点．画出△ABC的最

长的中内弧，并直接写出此时的长；

（2）在平面直角坐标系中，已知点

0,20,04,00ABCtt，，

，在△ABC中，

DE，

分

别是

ABAC，

的中点．

①若

1

2

t

，求△ABC的中内弧所在圆的圆心

P

的纵坐标的取值范围；

②若在△ABC中存在一条中内弧，使得所在圆的圆心

P

在△ABC的内部或边上，直接写出

t的取值范围．

42

2019年北京市中考数学答案

参考答案与试题解析

一.选择题.

题号12345678

答案CCBADDDC

二.填空题.

9.110.测量可知11.①②12.45

13.014.1215.=

16.①②③

三.解答题.

17．

【答案】

23+3

18．

【答案】

2x

19.

【答案】m=1，此方程的根为12

1xx

20.

【答案】

（1）证明：∵四边形ABCD为菱形

∴AB=AD，AC平分∠BAD

∵BE=DF

∴

ABBEADDF

∴AE=AF

∴△AEF是等腰三角形

∵AC平分∠BAD

∴AC⊥EF

（2）AO=1.

21.

43

【答案】

（1）17

（2）

（3）2.7

（4）①②

22.

【答案】

（1）

∵BD平分

ABC

∴

ABDCBD

∴AD=CD

（2）直线DE与图形G的公共点个数为1.

23．

【答案】

（1）如下图

第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天

第1组

第2组

第3组

3

x

3

x

3

x

第4组

（2）4，5，6

（3）23

24．

44

【答案】

（1）AD，PC，PD；

（2）

（3）2.29或者3.98

25.

【答案】

（1）

0,1

（2）①6个

②

10k

或

2k

26.

【答案】

（1）a55主板

1

(2,)B

a

；

（2）直线

1x

；

（3）

1

a≤

２

．

27.

【答案】

（1）见图

45

（2）

在△OPM中，

=180150OMPPOMOPMOPM

150OPNMPNOPMOPM

OMPOPN

（3）OP=2.

28.

【答案】

（1）如图：

1801

180180

nr

l





（2）

①

1

P

y

或

1

2P

y

；

②

02t

B

C

D

E

A