当且仅当

高三数学基本不等式试题

1.若则的最小值为_________.

【答案】1

【解析】由得，

所以（当且仅当即时，等号成立）

所以答案应填1.

【考点】1、对数的运算性质；2、基本不等式.

2.已知直线过点，则的最小值为_________.

【答案】4

【解析】由已知，即等号成立当且仅当“”时成立，故答案

为.

【考点】直线方程，基本不等式的应用.

3.已知命题使得；命题.则下列命题为真命题的是（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】时，，当且仅当时取，故命题是假命题。显然命题是

真命题。所以为真命题。故B正确。

【考点】1基本不等式；2命题。

4.已知,且,成等比数列,则xy()

A．有最大值e

B．有最大值

C．有最小值e

D．有最小值

【答案】C

【解析】解:因为，所以

又,成等比数列，所以

（当且仅当即时等号成立）

所以，故选C．

【考点】1、基本不等式的应用；2、对数函数的性质．

5.设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，则当取得最小值时，x+2y﹣z的最大值为（）

A．0

B．幻城插曲

C．2

D．

【答案】C

【解析】∵x2﹣3xy+4y2﹣z=0，

∴z=x2﹣3xy+4y2，又x，y，z为正实数，

∴=+﹣3≥2﹣3=1（当且仅当x=2y时取“=”），

即x=2y（y＞0），

∴x+2y﹣z=2y+2y﹣（x2﹣3xy+4y2）

=4y﹣2y2

=﹣2（y﹣1）2+2≤2．

∴x+2y﹣z的最大值为2．

故选C．

6.已知正实数满足，则的最小值为．

【答案】8

【解析】因为，所以方法一：

，；方法二（消元）：，

【考点】不等式在求解最值上的应用．

7.已知关于x的不等式在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为()

A．1

B．

C．2

D．

【答案】B

【解析】

由题意可知4＋2a≥7，得，即实数a的最小值为，故选B.

8.若x≥0，y≥0且，那么2x+3y2的最小值为（）

A．2

B．

C．

D．0

【答案】B

【解析】由得得，，

所以，

因为，所以当时，

有最小值，选B.

9.、，“”是“”成立的()

A．充要条件B．充分非必要条件

C．必要非充分条件D．非充分非必要条件

【答案】A

【解析】这是基本不等式的一种形式，当且仅当a=b时取等号.

【考点】1.基本不等式；2.充要条件.

10.设a，b＞0，且ab＝1，不等式≤恒成立，则的取值范围是________．

【答案】[1，＋∞)

【解析】因为ab＝1，所以＝＝1，所以≥1.

11.已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞)．

(1)当a＝4时，求函数f(x)的最小值；

(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围．

【答案】（1）6（2）

【解析】(1)由a嫦娥的图片 ＝4，∴f(x)＝＝x＋＋2≥6，当x＝2时，取得等号．即当x＝2时，

f(x)

min

＝6.

(2)x∈[1，＋∞)，>0恒成立，即x∈[1，＋∞)，x2＋2x＋a>0恒成立．

等价于a>－x2－2x，当x∈[1，＋∞)时恒成立，

令g(x)＝－x2－2x，x∈[1，＋∞)，

∴a>g(x)

max

＝－1－21＝－3，即a>－3.∴a的取值范围是.

12.设常数a>0，若9x＋≥a＋1对一切正实数x成立，则a的取值范围为________．

【答案】

【解析】9x＋≥2＝6a，所以6a≥a＋1，即a≥

13.设a+b=2,b>0,则+的最小值为.

【答案】

【解析】由a+b=2,b>0.

则+=+=++,

由a≠0,若a>0,

则原式=++≥+2=.

当且仅当b=2a=时,等号成立.

若a<0,

则原式=---≥-+2=.

当且仅当b=-2a即a=-2,b=4时等号成立.

综上得当a=-2,b=4时,+取最小值.

14.若点P(a,b)在直线x+y=2上,且在第一象限内,则ab+的最小值为()

A．2B．3C．4

D．2

【答案】A

【解析】由题意得a+b=2(a>0,b>0),

由2=a+b≥2,

得0

y=t+在(0,1]上为减函数,

故当t=1时,y

min

=2.

15.若函数f(x)=x+(x>2)在x=a处取最小值,则a等于()

A．1+

B．1+

C．3D．4

【答案】C

【解析】当x>2时,x-2>0,

f(x)=x-2++2≥2+2=4,

当且仅当x-2=(x>2),即x=3时取等号,

即当f(x)取得最小值时,x=3,即a=3.故选C.

16.若a>0,b>0,且a+b=1,则ab+的最小值为()

A．2B．4

C．

D．2

【答案】C

【解析】由已知利用基本不等式得ab的取值范围而后换元利用函数的单调性求解.

由a+b=1,a>0,b>0得

2≤a+b=1,∴≤,∴ab≤.

令ab=t,则0

则ab+=t+,结合函数的图象可知t+在(0,]上单调递减,故当t=时,t+有最小值为+4=.

17.设a>0,b>0,若lga和lgb的等差中项是0,则+的最小值是.

【答案】2

【解析】由已知得lga+lgb=0,即ab=1,于是+==a+b≥2=2,当且仅当a=b=1时取等号,故+

的最小值是2.

18.若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是()

A．a＋b≥2

B．＞

C．≥2

D．a2＋b2＞2ab

【答案】C

【解析】因为ab＞0，所以＞0，＞0，即＋≥2＝2(当且仅当a＝b时等号成立)，所

以选C.

19.若直线ax－by＋1＝0平分圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的周长，则ab的取值范围是()

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】依题意知直线ax－by＋1＝0过圆C的圆心(－1，2)，即a＋2b＝1，由1＝a＋2b≥2

，ab≤，故选B.

20.利民工厂某产品的年产量在100吨至300吨之间ps复制图层 ，年生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之

间的关系可近似地表示为y＝－30x＋4000，则每吨的成本最低时的年产量为________．

【答案】200

【解析】由于每吨的成本与产量之间的函数关系式为g(x)＝＝＋－30(100≤x≤300)，由

基本不等式得g(x)＝＋－30≥2－30＝10，当且仅当＝时取得等号，此

时x＝200.

21.若点在直线上，其中则的最小值为.

【答案】

【解析】∵点在直线上，∴，∵

，当且仅当，即时

取等号，∴的最小值为．

【考点】基本不等式．

22.已知不等式的解集为，点在直线上，其中，则

的最小值为（）

A．

B．8C．9D．12

【答案】C

【解析】由题意可知，代入直线，即，所以

，故选C.

【考点】基本不等式求最值

23.在平面直角坐标系中，若不等式组（为常数）所表示的平面区域的面积等于2，

则的值为.

【答案】3

【解析】不等式组所围成的区域如图所示，∵其面积为2，∴，∴C的坐标为

，代入，得．

【考点】线性规划、基本不等式．

24.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为，得2分的概率为，不得分的概率为，

，已知他投篮一次得分的期望是2，则的最小值为（）

A．

B．C．D．

【答案】D

【解析】法一、由题设得.

所以,时取等号.

法二、由柯西不等式得：时取等号.

【考点】1、随机变量的期望；2、重要不等式；3、柯西不等式.

25.设为实常数,是定义在R上的奇函数,当时,,若对一切

成立,则的取值范围为________.

【答案】

【解析】设，则，所以，当时，，要使

对一切成立，当时，成立；当时，

，成立，综上可知.

【考点】函数奇偶性、基本不等式.

26.已知都是正实数，函数的图像过点（0,1），则的最小值是.

【答案】

【解析】由题意知，，故，当且仅当，时

等号成立.

【考点】基本不等式.

27.已知，，则当时，取最大值，最大值为.

【答案】

【解析】设,则当且仅

当即取等号,

【考点】换元法,均值不等式应用.

28.若，则的最小值为．

【答案】4

【解析】，，，当即

时等号成立，所以的最小值为4.

【考点】基本不等式的应用.

29.已知函数，对于满足的任意实数，给出下列结论：

①；②；③；

④，其中正确结论的序号是.

【答案】④

【解析】①.因为函数是上的增函数,所以所以

①不正确.

②.为上的减函数，即为上的

减函数，而时，为增函数，

或者取代入得,显然所以

②不正确.

③.,即说明函数是上

的增函数,而在区间上,所以③不正确.

④.,又,

所以,即.

【考点】对数运算,对数函数的单调性判断,导数运算及应用,均值不等式.

30.下列结论正确的是()

①“”是“对任意的正数，均有”的充分非必要条件

②随机变量服从正态分布，则

③线性回归直线至少经过样本点中的一个

④若10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,设其

平均数为,中位数为,众数为，则有

A．③④B．①②C．①③④D．①④

【答案】D

【解析】对①当时，由于，∴，当且仅当，即成立；若

，当也成立，则“”是“对任意的正数，均有”的充分非必要条件.

对②，由随机变量服从正态分布，则，故②错误.

对③，线性回归直线的样本点的坐标只有一个，即，故③错误.

对④，数据15,17,14,10,15,17,17,16,14,12中，

平均数，

中位数，众数，∴，故④正确.

所以下列结论正确的是①④，选D.

【考点】均值不等式，正态分布及方差，线性回归方程的样本点的坐标.

31.已知实数a,b满足文章美文 a2+b2="1,"则的取值范围是.

【答案】

【解析】由得，，

又=，故答案为。

【考点】均值定理的应用，二次函数的图象和性质。

点评：中档题，综合应用均值定理及二次函数的性质，确定取值范围。应用均值定理，要注意“一

正，二定，三相等”，缺一不可。

32.设、满足约束条件，若目标函数的最大值为，则

的最小值为.

【答案】

【解析】根据题意，由于、满足约束条件，围成了封闭的三角形区域，并且当目

标函数平移到点（2,4）的最大值为，.故可知

2，故答案为2.

【考点】线性规划的运用

点评：主要是考查了线性规划的最优解的运用，属于基础题。

33.若（）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】故.

【考点】本题主要考查基本不等式的应用及指数不等式的解法，属于简单题.

34.对于实数和，定义运算:,若对任意，不等式都成立，

则实数的取值范围是

A．B．

C．D．

【答案】C

【解析】由新定义，即，，亦即，

在时恒成立，而，

故实数的取值范围是，选C。

【考点】均值定理的应用，新定义问题。

点评：中档题，新定义问题，关键是理解其意义，转化得到具体不等式恒成立十面埋伏琵琶 ，利用均值定理，

研究函数的最值，进一步求解。

35.若且，则下列不等式恒成立的是

A．B．

C．

D．

【答案】D

【解析】,A错；C错

，B错；

【考点】均值不等式

点评：本题主要用到的不等式关系有，

36.已知，且函数在处有极值，则的最大值等于（）

A．B．3C．6D．9

【答案】D

【解析】求出导函数，利用函数在极值点处的导数值为0得到a，b满足的条件，利用基本不等

式求出ab的最大值。解：由题意，求导函数f′（x）=12x2-2ax-2b，∵在x=1处有极值，

∴a+b=6，∵a＞0，b＞0，∴ab≤（）2=9，当且仅当a=b=3时取等号，所以ab的最大值等

于9，故答案为D

【考点】基本不等式

点评：本题考查函数在极值点处的导数值为0、考查利用基本不等式求最值，需注意：一正、二

定、三相等．

37.已知，且，则的最小值是.

【答案】

【解析】根据题意可知，已知，且，则，然后根据

结合导数的思想求解最小值为，故答案为。

【考点】均值不等式的运用。

点评：解决的关键是将所求的表达式化为一个函数，运用函数的思想，或者是不等式的思想求解

得到最值，属于基础题。

38.设点，，若直线与线段（包括端点）有公共点，则的最小值为

（）

A．B．C．

D．1

【答案】C

【解析】根据题意可知，要使得直线与线段（包括端点）有公共点，而直线AB：y=-

2x+1,联立方程组则分别令x=0,y=0,得到截距，那么对应的截距的范围是

，且结合不等式组可知的取值范围是表示的为区域内点到原点距离平方的最小值为，故选

C.

【考点】本试题考查了直线与线段的相交问题。

点评：解决该试题的关键是根据相交来说明a,b的范围，进而得到a,b的不等式组，结合规划是

知识来分析得到，区域内点到原点距离平方的最小值问题。

39.已知M是△ABC内的一点（不含边界），且="2",∠BAC=30，若△MBC，

△MCA和△MAB的面积分别为x，y，z，记f(x,y，z)＝，则f（x,y,z）的最小值是＿＿

【答案】36

【解析】="2"=AB•AC•cos30，∴AB•AC=4，AB•AC•sin30=1=x+y+z，∴f

（x，y，z）==（）（x+y+z）

=1+4+9+≥14+4+6+12=36

【考点】本题考查了向量的应用，以及三角形的面积公式，同时考查了均值不等式的应用

点评：求解向量与三角的综合应用问题，要能够将向量实数化，常常涉及数量积运算，具体问题

中要再很大成大程度上发挥向量的“数”的特征.本题显然涉及考查均值不等式，要能够构造均值不

等式应用的条件“积为定值”，同时注意取等条件的验证

40.已知正实数、满足，则的最小值等于．

【答案】9

【解析】因为，所以

，即的最小值等于9.

【考点】本小题主要考查基本不等式的应用，考查学生转化问题的能力.

点评：解决本小题的关键在于将已知条件转化，进而用“1”的整体代换.

41.在“家电下乡”活动中，某厂要将台洗衣机运往邻近的乡镇，现有辆甲型货车和辆乙型货

车可供使用．每辆甲型货车运输费用元，可装洗衣机台；每辆乙型货车运输费用元，可

装洗衣机台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为（）

A．元B．元C．元D．元

【答案】C

【解析】解：设需使用甲型货车x辆，乙型货车y辆，运输费用z元，根据题意，

得线性约束条件20x+10y≥100,0≤x≤4,0≤y≤8求线性目标函数z=400x+300y的最小值．

解得当x=4,y=2时，z

min

=2200．故选C

42.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为，得2分的概率为，不得分的概率为（、、

），已知他投篮一次得分的数学期望为2（不计其它得分情况），则的最大值为.

【答案】

【解析】解：因为3a+2b+0c=0,可知3a+2b=2,则利用均值不等式可知

ab=

43.已知＋＝1,(x＞0,y＞0)，则x＋y的最小值为()

A．12B．14C．16D．18

【答案】D

【解析】,

当且仅当x=4,y=16时，x＋y取得最小值18

44.已知，且，，则的值等于（）

A．8B．2

C．

D．4

【答案】B

【解析】解：因为，且，，则的值等于2，

选B

45.若直线通过点，则（）

A．B．

C．D．

【答案】D

【解析】依题意可得，点在单位圆上，所以直线与单位圆有交点，则圆心即原点到直

线的距离，即，故选D

46.（本题满分12分）

已知函数。

（1）若不等式的解集为，求实数的值；

（2）在（1）的条件下，若存在实数使成立，求实数m的取值范围。

【答案】解：（1）由

（2）由（1）知

【解析】略

47.已知，且，则的最小值为（）

A．24B．25C．26D．27

【答案】B

【解析】，且，

。当且仅当

时，等号成立。故选B

48.若实数满足,则的最大值是________

【答案】

【解析】略

49.若直线（，）被圆截得的弦长为4，则的最

小值为

【答案】

【解析】略

50.若实数满足则的最小值是（）

A．0B．1

C．

D．9

【答案】B

【解析】【考点】简单线性规划的应用．

分析：本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件

画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最大值．

解答：解：约束条件

对应的平面区域如图示：

由图可知当x=0，y=0时，目标函数Z有最小值，

Z=1

故选B

点评：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找番茄冬瓜汤 出约束条件和目标函数是关键，

可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并

就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的

最优解．

51.设变量满足则的最大值和最小值分别为

A．１，－１B．２，－２C．１，－２D．２，－１

【答案】（4）B【命题意图】本题考查线性规划问题.属容易题.

【解析】略

52.围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其它

三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的

维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x(单位：米)，修建此矩形

场地围墙的总费用为y(单位：元)．

(1)将y表示为x的函数；

(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．

【答案】(1)如图，设矩形的另一边长为am

则y＝45x＋180(x－2)＋1802a＝225x＋360a－360

由已知xa＝360，得a＝，

∴y＝225x＋－360(x＞2)．

(2)∵x＞2，∴225x＋≥2＝10900.

∴y＝225x＋－360≥10440.当且仅当225x＝时，等号成立．即当x＝24m时，修建围墙的总费

用最小，最小总费用是10440元．

【解析】略

53.不等式+-+对恒成立，则实数a的范围是.

【答案】

【解析】略

54.已知实数的最大值为.

【答案】

【解析】略

55.．定义在[-2，2]上的偶函数在[0，2]上的图象如图所示，则不等式+的解集

为．

【答案】

【解析】本题考查了函数的图象、性质及不等式的解法，注重分类讨论思想的应用．当x∈[0，2]

时，，不等什么叫选调生 式变为，，解得，当x∈[0，2]时，，不

等式变为，解得，∴．

56.已知，若恒成立，则实数的取值范围是．

【答案】.

【解析】因为，所以由基本不等式知，，当且仅当即

等号成立.问题恒成立转化为，即，由一元二次

不等式解法知，.

【考点】一元二次不等式及其解法；均值不等式的应用.

57.设正实数x、y、z满足，则当取得最大值时，的最大值为.

【答案】1

【解析】由得，故，因为，所以

，，此时，即，，故

．

【考点】1、基本不等式；2、二次函数的最值.

58.若x＋2y＝4，则2x＋4y的最小值是（）

A．4B．8

C．2D．4

【答案】B．

【解析】由，当且仅当时，即等号成立，故选B．

【考点】基本不等式.

59.下列函数中，最小值为4的是________．

①y＝x＋；

②y＝sinx＋（0

③y＝4ex＋e－x；

④y＝log

3

x＋log

x

3（0

【答案】③.

【解析】①y＝x＋无最小值；②y＝sinx＋，当且仅当即等号成立，

但这是不可能的；③y＝4ex＋e－x当且仅当即时等号成立；④当0

log

3

x＋log

x

3<0无最小值．

【考点】基本不等式

60.已知x>0，y>0，且，则的最小值为____________.

【答案】12

【解析】由题=，当且仅当即

时取等号，由，即当且仅当时取等号

【考点】基本不等式