1
等差数列的性质及其应用
【学习目标】
课程标准学科素养
1.能根据等差数列的定义推出等差数列的性质
2.能运用等差数列的性质解决有关问题
1、数学抽象
2、数学运算
【自主学习】
一．等差数列的性质
(1)通项公式的推广：*,)(Nmndmnaa
mn
(2)若{a
n
}为等差数列，且m＋n＝p＋q(m,n,p,q∈N*)，则
qpnm
aaaa；
特别地，若knm2,则.
(3)等差数列的项的对称性.
在有穷等差数列中,与首、末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和,
即a
1
+a
n
=a
2
+=a
3
+=……
【思考】
(1)等差数列的性质“若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则a
m
+a
n
=a
p
+a
q
”反过来成立吗?
(2)对于任意等差数列{a
n
},a
1
+a
3
+a
4
=a
2
+a
6
是否成立?
二.由等差数列衍生的新数列
若{a
n
},{b
n
}分别是公差为
',dd
的等差数列,则有
数列名称
{a
2n
},{a
2n-1
}公差为的等差数列
mnk
a
)1(
公差为的等差数列(k,m∈N*)
{c+a
n
}公差为的等差数列(c为任意常数)
{ca
n
}公差为的等差数列(c为任意常数)
{a
n
+a
n+k
}
公差个人描述 为的等差数列)(*Nk
{pa
n
+qb
n
}公差为'的等差数列(p,q为常数)
2
【小试牛刀】
1.在等差数列{a
n
}中,若a
2
=1,a
6
=-1,则a
4
=()
A.-1B.1C.0D.-
1
2
2.在等差数列{a
n
}中,若a
2
+a
8
=10,则(a
4
+a
6
)2-2a
5
=()
A.100B.90C.95D.20
3.已知数列{a
n
}是等差数列,若a
1
+a
7
=-8,a
2
=2,则数列{a
n
}的公差d=.
4.已知数列{a
n
}为等差数列,若a
1
+a
2
+a
3
=3,a
7
+a
8
+a
9
=9,则a
4
+a
5
+a
6
=.
【经典例题】
题型一等差数列性质的应用
例
1
(1)等差数列
n
a
中，已知
147
39aaa
，
369
27aaa
，求
28
aa
（）
A
．
11
B
．
22
C
．
33
D
．
44
(2)在等差数列{a
n
}中,若a
2
与a
4
是方程x2-4x+3=0的两根,则
a
1
+a
2
+a
3
+a
4
+a
5
=.
【跟踪训练】1(1)已知等差数列{a
n
}的公差为d(d≠0),且a
3
+a
6
+a
10
+a
13
=32,若
a
m
=8,则m=.
(2)如果等差数列{log
2
a
n
}满足log
2
a
1
+log
2
a
2
+…+log
2
a
10
=10,那么
101
aa.
题型二等差数列中对称设项法的应用
例2已知三个数组成等差数列,首、末两项之积为中间项的5倍,后两项的和为
第一项的8倍,求这三个数.
【跟踪训练】2已知四个数组成递增的等差数列,中间两数的和为2,首、末两项
的积为-8,求这四个数.
3
题型三等差数列的应用
例3：课本P16例3：某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在
使用过程中老化，其价值会逐年减少.经验表明，每经过一年其价值就会减少
0dd万元.已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的奇开头的成语 价值将低于购
进价值的5%，设备将报废.请确定
d
的取值范围.
【当堂达标】
1.在等差数列{a
n
}中,若a
4
=2,a
8
=14,则a
15
=()
A.32B.-32C.35D.-35
2.在等差数列{a
n
}中,若a
4
+a
5
=15,a
7
=12,则a
2
=()
A.3B.-3C.
3
2
D.-
3
2
3.数列{a
n
}满足
97566421
log,93aaaaaaaa
nn
则且的值是（）
A.-2
2
1
.BC.2D.
2
1
4.我国古代有一道数学问题:今有金锤,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤,中间三尺重
几何?意思是:现有一根金锤,长5尺,头部1尺,质量为4斤,尾部1尺,质量为2斤,且从头到尾,
每一尺的质量构成等差数列(注:尺、斤为我国古代计量单位,1米=3尺,1千克=2斤),则中间三
尺的质量一共为()
A.6斤B.7斤C.8斤D.9斤
4
5.在等差数列{a
n
}中,若a
1
,a
1021
为方程x2-10x+16=0的两根,则
a
2
+a
511
+a
1020
=.
6.设公差为-2的等差数列{a汽车冷知识
n
},如果a
1
+a
4
+a
7
+…+a
97
=50,那么
a
3
+a
6
+a
9
+…+a
99
=.
7.已知数列{a
n
}是等差数列,且公差为.d
(1)若的值；求
656015
.20,8aaa
(2)若.,52,34
525432
daaaaaa求公差
8.(拔高题)已知等差数火腿焖饭 列{a
n
}的首项a
1
=2，公差8d，在{a
n
}中每相你是我心爱的姑娘 邻两项之间
都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{b
n
}.
(1)求数列{b
n
}的通项公式.
(2)
29
b是不是数列{a
n
}的项？若是，它是{a
n
}的第几项？若不是，说明理由.
5
【参考答案】
【小试牛刀】
1、解析:因为2a
4
=a
2
+a
6
=1-1=0,所以a
4
=0.
2、解析:因为数列{a
n
}为等差数列,所以a
2
+a
8
=a
4
+a
6
=2a
5
=10,所以(a
4
+a
6
)2-2a
5
=102-10=90.
3、解析:由等差数列的性质,知2a
4
=a
1
+a
7
=-8,所以春天诗歌 a
4
=-4.又因为a
4
=a
2
+2d,a
2
=2,所以d=-3.
4家庭的意义 、解析:因为数列{a
n
}为等差数列,所以a
1
+a
2
+a
3
,a
4
+a
5
+a
6
,a
7
+a
8
+a
9
是等差数列,所以a
4
+a
5
+a
6
是a
1
+a
2
+a
3
与a
7
+a
8
+a
9
的等差中项,根据题中条件可得a
4
+a
5
+a
6
=6.
【经典例题】
【例
1
】（
1
）【答案】
B
【分析】
根据
147
39aaa
，
369
27aaa
，利用等差数列的性质求得
4
a
和
6
a
的值，然后由
2846
aaaa
求解.
【详解】
∈
等差数列
n
a
中
147
39aaa
，
369
27aaa
，
∈
1474
339a安全生产月手抄报 aaa
，
3696
327aaaa
，
∈
4
13a
，
6
9a
，
∈
2846
22aaaa
，故选：
B.
（2）解析:因为a
2
与a
4
是方程x2-4x+3=0的两根,所以a
2
+a
4
=4=a
1
+a
5
=2a
3
,所以
a
1
+a
2
+a
3
+a
4
+a
5
=10.
【跟踪训练】1（1）解析:因为a
3
+a
6
+a
10
+a
13
=4a
8
=32,所以a
8
=8,所以m=8.
(2)解析:因为{log
2
a
n
}为等差数列,所以log
2
a
1
+log
2
a
2
+…+log
2
a
10
=5(log
2
a
1
+log
2
a
10
).
因为log
2
a
1
+log
2
a
2
+…+log
2
a
10
=10,所以log
2
a
1
+log
2
a
10
=2,
所以log
2
(a
1
a
10
)=2,所以a
1
a
10
=22=4.
6
【跟踪训练】2解:设这四个数分别为a-3d,a-d,a+d,a+3d.
依题意,得2a=2,且(a-3d)(a+3d)=-8,
即a=1,a2-9d2=-8,
所以d2=1,所以d=1或d=-1.又因为四个数组成递增的等差数列,所以d>0,所以d=1,
故所求的四个数分别为-2,0,2,4.
【当堂达标】
1、解析:由a
8
-a
4
=14-2=4d,得d=3,
所以a
15
=a
8
+(15-8)d=14+73=35.
2、解析:由数列的性质,得a
4
+a
5
=a
2
+a
7
,所以a
2
=15-12=3.
3、C
4、解析:原问题等价于等差数列中,已知a1=4,a5=2,求a2+a3+a4的值.
由等差数列的性质,可知a2+a4=a1+a5=6,a3=
+
=3,所以a2+a3+a4=9,即中间三尺
的质量一共为9斤.
答案:D
5、解析:因为a
1
,a
1021
为方程x2-10x+16=0的两根,所以a
1
+a
1021
=10.
由等差数列的性质,得a
2
+a
1020
=a
1
+a
1021
=10,2a
511
=10,即a
511
=5,所以a
2
+a
511
+a
1020
=15.
6、
a
3
+a
6
+a
9
+…+a
99
=(a
1
+2d)+(a
4
+2d)+(a
7
+2d)+…+(a
97
+2d)=(a
1
+a
4
+…+a
97
)+2d33=50+2(-2)3
3=-82.
7
本文发布于:2023-03-22 05:32:46，感谢您对本站的认可！
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