烟台大学教务处

第27卷第3期高师理科学刊Vol.27No.3

2007年5月JournalofScienceofTeachers′CollegeandUniversityMay2007

文章编号：1007-9831（2007）03-0027-03

异方差的检验比较和修正

陈晖1,2，杨乃军3

（1.山东大学数学与系统科学学院，山东济南250100；2.烟台职业学院软件工程学院，山东烟台264001；

3.烟台大学教务处，山东烟台264001）

摘要：异方差是计量经济工作中线性回归模型经常遇到的问题，异方差的存在对线性回归分析有

很强的破坏作用．通过对异方差产生的原因和后果进行分析，利用异方差的戈德菲尔特-夸特检

验、拉格朗日乘数（LM）检验、怀特检验方法，判断线性回归模型异方差的存在性．通过加权最

小二乘法或可行广义最小二乘法进行修正，建立能够真正反映经济规律的经济模型，实现对经济

的正确指导作用．

关键词：异方差；戈德菲尔特-夸特检验；拉格朗日乘数（LM）检验；最小二乘法

中图分类号：F222.1文献标识码：A

1异方差产生的原因

在计量经济学中，建立线性回归模型时需要做一些假设，从而保证所分析的变量关系符合线性回归分

析的基本规定性，明确分析对象，保证回归分析的有效性．其中之一要求随机误差项同方差，即2)var(σε=

i

不随i变化，保证扰动因素对被解释变量的影响是简单的、随机的，不构成主要的影响因素．当这条假设

不满足，也就是线性回归模型误差项2)var(

ii

σε=随i的变化而变化，这时候就产生了异方差，此时称线性

回归模型存在异方差或异方差性．如果对应线性回归模型误差项随着

i

X或i的增大而增大，称为“递增异

方差”，反之称为“递减异方差”，有时也有先增后减或者先减后增的其他复杂类型的异方差[1-2]．

模型中异方差产生的原因，根据来源可以归纳为以下几方面原因：（1）模型中省略相关的解释变量；

（2）误差随时间变化而变化；（3）模型设定不合理带来异方差；（4）分组数据误差带来异方差．

2异方差的后果

计量经济模型一旦出现异方差，就会破坏模型假设的基本条件，如果仍然采用普通最小二乘法的估计

方法，则会产生如下的不良后果：

（1）参数估计量失效：因为在有效性证明中利用了同方差的条件，因此所求的OLS参数估计值虽然

仍具有无偏性，但不再是有效的；

（2）变量的显著性检验失效：因为在变量的显著性检验中，构造的t统计量包含有随机误差项的方差

2

u

σ，如果出现异方差，则t检验就失去意义；

（3）模型预测失效：这是因为在预测值的置信区间中包含有随机误差项的方差2

u

σ，导致预测值的置

信区间加大，降低了预测的精度，使预测失效[3]．

３异方差的检验方法

收稿日期：2006-12-18

作者简介：陈晖（1970-），女，山东青岛人，讲师，在读研究生，从事金融数学研究．E-mail：ch_yt@

28高师理科学刊第27卷

异方差的存在使得建立的经济模型不能很好的分析和预测经济现象，解释内在的经济规律，因此必须

对线性回归模型误差项的异方差加以重视和处理，如何发现和准确判断异方差，并正确识别异方差的类型

成为解决和排除异方差的前提条件．通常可以利用图示法[4]作被解释变量Y与解释变量X的散点图或者残

差平方序列2e与解释变量X的散点图对随机扰动项u的异方差作近似的直观判断．

但此方法不能对随机扰动项u的异方差作精确判断，给修正或排除异方差带来了困难，希望能够有更

有效的方法判断异方差的存在性和函数形式，从而能够修正异方差．下列检验将能够检验异方差的存在性，

并能够得出异方差的函数形式，为使用加权最小二乘法修正异方差做前期准备．

戈德菲尔特-夸特检验：简称C-Q检验[5]，适用大样本，并且随机扰动项u的方差随着某个解释变量的

增大而呈现单调变化，递增异方差和递减异方差类型可用此类检验方法．对于复杂形态的异方差则无法检

验，同时，其局限性在于样本容量必须较大，c的选取必须适当（c为样本中去掉的c个中间样本观测值），

c太小会影响2个子样本异方差的显著性检验，c太大会影响2个子样本的样本容量．而且此检验仍然没

有给出异方差的具体模式，无法解释方差是如何随随机变量或样本序数而变化的．

拉格朗日乘数（LM）检验：近些年比较流行的检验方法．因为检验统计值的计算比较简单，有很多备

择方法可以选择．假设模型为：

ttkkttt

xxxyµββββ+++++="

33221

，其误差方差为2

i

σ．对误差方差

作简化假设，则以下3种备择假设涵盖了现有文献中讨论过的大多数情况：

tPPttt

ZZZαααασ++++="

33221

2（1）

tPPttt

ZZZαααασ++++="

33221

（2）

tPPttt

ZZZαααασ++++="

33221

2)ln(（3）

（3）式等价于

)exp(

33221

2

tPPttt

ZZZαααασ++++="（4）

式中，p为未知系数的数量；Z为值已知的变量（Z的部分或全部可能是模型中的X）．这些方程称为误

差方程的辅助方程．（1）式是布劳殊−培甘检验，戈里瑟检验使用（2）式，哈维−戈费雷检验使用（3）式．（4）

式也称为积性异方差，因为误差方差被指定为若干项的乘积[6]．容易看出，同方差的零假设条件是：

0

321

=====

P

αααα"．检验时，首先对线性回归模型应用OLS方法，求得残差序列

t

µˆ

，根据不同的

检验方法，分别让2ˆ

t

µ，|

ˆ

|

t

µ，)

ˆ

ln(2

t

µ对Z作辅助回归，Z包含常量项，计算检验统计值2nRLM=，其中

n为观察值的数量，2R为辅助回归中未矫正的2R．在同方差零假设条件下，统计值服从自由度为1−p的

)(2

1

αχ

−p

卡方分布，α为显著水平．如果)(2

1

αχ

−

>

p

LM，则可断定异方差的存在．

怀特检验：此检验实际上也是大样本下的LM检验．基本思想是考虑异方差与自变量X有联系，构建

残差平方序列2ˆ

t

µ与所有解释变量及其平方项、交叉项的函数回归关系，求得辅助回归中未矫正的2R，通

过2nR是否服从自由度为k的卡方分布，判断异方差的存在，并确立异方差的函数形式．

４异方差的修正

异方差的存在，造成了一系列严重的后果，因此当线性回归模型存在异方差，应及时消除异方差，基

本思想就是变异方差为同方差，或者减少异方差的程度．在异方差一致的情况下，普遍使用的是加权最小

二乘法，其原理是对原模型加权，使之变成一个新的不存在异方差的模型，然后采用普通最小二乘法估计

新模型的参数，由此可以得到原模型的所有参数估计．在异方差未知的情况下，可以使用可行广义最小二

乘法，拉格朗日乘数（LM）检验方法先求出误差方差的估计值，然后再使用加权最小二乘法，得到原模型

的所有参数估计．

５实证分析

在这个实证中，建立被解释变量为人均家庭交通和通讯支出（cum），解释变量为可支配收入（in）

的回归方程，样本数30，模型假设为

iii

incumµβα+×+=，使用1998年中国各地区城镇居民平均每人全

年家庭可支配收入、交通和通讯支出数据[7-8]，使用Eviews4.0进行OLS估计，得到以下信息结果：

第3期陈晖等：异方差的检验比较和修正29

inmcu×+−=058.092.56

ˆ

，各参数显著性检验值分别为t=-1.57，8.96，51741.02=R，60317.80=F.

图1给出了该回归线的散点图，从图像上看，随着可支配

收入的增加，交通和通讯支出的变动幅度变大，考虑异方差的

可能性．利用拉格朗日乘数（LM）检验中的布劳殊−培甘检验，

令2ˆ

t

usqµ=，对常数项和可支配收入作辅助回归，得到如下回

归方程：inusq×+−=56.263.43311，=2R34.0，检验统计值

2.10=LM，其中30=n，而自由度为1的显著水平为0.005的

卡方值为7.88，LM居于卡方分布的右侧区域，所以拒绝同方

差的假设，断定该模型存在异方差．使用残差序列的绝对值的

倒数序列|

ˆ

|/1

ti

wµ=作权数，作加权最小二乘法

iiiiii

inwwcumwµβα+××+×=×

利用OLS方法得到估计结果

inRcum×+−=056.099.46||/，12=R，57.2=DW

从而修正后的线性回归方程是：inmcu×+−=056.099.46

ˆ

，得

到其残差序列折线图（见图2）．其中杜宾DW检验无一阶自相关．

６结束语

由于异方差违背了线性回归模型的基本假设，对以最小二乘估

计为核心的线性回归分析的作用和价值产生严重影响，因此消除模

型中的异方差是计量经济工作中的必不可少的环节．很显然，认识

和掌握异方差的检验和修正能确保对模型的正确拟合，能够真实地

反映经济现象，能精确地预测经济发展，从而确保对经济的正确指

导．

参考文献：

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Heteroscedasticityexaminationcomparisonandrevision

CHENHui1,2，YANGNai-jun3

（ofMathematicsandSystemScience，ShandongUniversity，Jinan250100，China；ofSoftwareEngineering，YantaiVocationalCollege，

Yantai264001，China；ofDean，YantaiUniversity，Yantai264001，China）

Abstract：Heteroscedasticityisoneofthequestionswhichwemeetinmeasuringthemodeloflinearregression

analysisfrequently．Heteroscedasticityexistencehastheverystrongdestructiveeffecttothelinearregression

analysis．Analyzedthereasonandtheconquence．ThroughGoldfeld-quandttest，Lagrangemultipliertest，the

white’stest，judgeheteroscedasticityexistence．Carryontherevisionthroughweightedleastsquaresmethodor

feasiblegeneralizedleastsquaresmethod．Thustablishescantrulyreflecttheeconomiclawandrealizestothe

economicalcorrectinstructionfunction．

Keywords：heteroscedasticity；Goldfeld-quandttest；Lagrangemultipliertest；leastsquares

n

图２经过加权最小二乘法修正

异方差后的残差序列图

μi

c

u

/

元

700

600

500

400

300

200

100

20001000

in/元

图1可支配收入（in）与交通和通讯

支出（cum）线性回归散点图