旅行背包

旅⾏商问题+背包问题--经典问题

问题描述：

旅⾏商问题（TravelingSalesmanProblemt的意思 ,TSP）是旅⾏商要到若⼲个城市旅⾏，各城市之间的费⽤是已知的，为了节省费⽤，旅⾏

商决定从所在城市出发，到每个城市旅⾏⼀次后返回初始城市，问他应选择什么样的路线才能使所⾛的总费⽤最短？此问题可描述如

下：设G=(V,E)是⼀个具有边成本cij的有向图，cij的定义如下，对于所有的i和j，cij>0,若不属于E，则cij=∞。令|V|=n，并假设

n>1。G的⼀条周游路线是包含V中每个结点的⼀个有向环，周游路线的成本是此路线上所有边的成本和。

旅⾏商问题（TravelingSalemanProblem，TSP）⼜译为旅⾏推销员问题、货郎担问题，简称为TSP问题，是最基本的路线问题，该

问题是在寻求单⼀旅⾏者由起点出发，通过所有给定的需求点之毛笔字字体 后，最后再回到原点的最⼩路径成本。最早的旅⾏商问题的数学规划

是由Dantzig（1959）等⼈提出。

TSP问题在物流中的描述是对应⼀个物流配送公司，欲将n个客户的订货沿最短路线全部送到。如何确定最短路线。

TSP问题最简单的求解⽅法是枚举法。它的解是多维的、多局部极值的、趋于⽆穷⼤的复杂解的空间，搜索空间是n个点的所有排列的

集合，⼤⼩为（n-1）。可以形象地把解空间看成是⼀个⽆穷⼤的丘陵地带，各⼭峰或⼭⾕的⾼度即是问题的极值。求解TSP，则是在

此不能穷尽的丘陵地带中攀登以达到⼭顶或⾕底的过程。

问题分析

旅⾏商问题要从图G的所有周游路线中求取最⼩成本的周游路线，⽽从初始点出发的周游路线⼀共有(n-1)!条，即等于除初始结点外的

n-1个结点的排列数，因此旅⾏商问题是⼀个排列问题。排列问题⽐⼦集合的选择问题通常要难于求解得多，这是因为n个物体有n!种

排列。通过枚举(n-1)!条周游路线，从中找出⼀条具有最⼩成本的周游路线的算法，其计算时间显然为O(n!)。

旅⾏商问题的解法

旅⾏推销员的问题，我们称之为巡⾏（Tour），此种问题属于NP-Complete的问题，所以旅⾏商问题⼤多集中在启发式解法。

Bodin（1983）等⼈将旅⾏推销员问题的启发式解法分成三种：

1、途程建构法（TourConstructionProcedures）

从距离矩阵中产⽣⼀个近似最佳解的途径，有以下⼏种解法：

1）最近邻点法（NearestNeighborProcedure）：⼀开始以寻找离保险种类 场站最近的需求点为起始路线的第⼀个顾客，此后寻找离最后加⼊

路线的顾客最近的需求点，直到最后。

2）节省法（ClarkandWrightSaving）：以服务每⼀个节点为起始解，根据三⾓不等式两边之和⼤于第三边之性质，其起始状况为每

服务⼀个顾客后便回场站，⽽后计算路线间合并节省量，将节省量以降序排序⽽依次合并路线，直到最后。

3）插⼊法（Inrtionprocedures）：如最近插⼊法、最省插⼊法、随意插⼊法、最远插⼊法、最⼤⾓度插⼊法等。

2、途程改善法（TourImprovementProcedure）

先给定⼀个可⾏途程，然后进⾏改善，⼀直到不能改善为⽌。有以下⼏种解法：

1）K-Opt(2/3Opt)：把尚未加⼊路径的K条节线暂时取代⽬前路径中K条节线，并计算其成本（或距离），如果成本降低（距离减

少），则取代之，直到⽆法改善为⽌，K通常为2或3。

2）Or-Opt：在相同路径上相邻的需求点，将之和本⾝或其它路径交换且仍保持路径⽅向性，并计算其成本（或距离），如果成本降低

（距离减少），则取代之，直到⽆法改善为⽌。

3、合成启发法（CompositeProcedure）

先由途程建构法产⽣起始途程，然后再使⽤关于读书的诗句 途程改善法去寻求最佳解，⼜称为两段解法（twophamethod）。有以下⼏种解法：

1）起始解求解+2-Opt：以途程建构法建⽴⼀个起始的解，再⽤2-Opt的⽅式改善途程，直到不能改善为⽌小孩吐奶怎么办 。

2）起始解求解+3-Opt：以途程建构法建⽴⼀个起始的解，再⽤3-Opt的⽅式改善途程，直到不能改善为⽌。

背包问题

背包问题(Knapsackproblem)是⼀种组合优化的NP完全问题。问题可以描述为：给定⼀组物品，每种物品都有⾃⼰的重量和价格，在

限定的总重量内，我们如何选择，才能使得物品的总价格最⾼。问题的名称来源于如何选择最合适的物品放置于给定背包中。

也可以将背包问题描述为决定性问题，即在总重量不超过W的前提下，总价值是否能达到V？

题⽬

有N件物品和⼀个容量为V的背包。第i件物品的费⽤是c，价值是w。求解将哪些物品装⼊背包可使这些物品的费⽤总和不超过背包容

量，且价值总和最⼤。

基本思路

这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有⼀件，可以选择放或不放。

⽤⼦问题定义状态：即f[v进击的巨人大结局详解 ]表⽰前i件物品恰放⼊⼀个容量为v的背包可以获得的最⼤价值。则其状态转移⽅程便是：f[v]=max{f[v],f[v-

c]+w}。

这个⽅程⾮常重要，基本上所有跟背包相关的问题的⽅程都是由它衍⽣出来的。所以有必要将它详细解释⼀下：“将前i件物品放⼊容量

为v的背包中”这个⼦问题，若只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为⼀个只牵扯前i-1件物品的问题。如果不放第i件

物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放⼊容量为v的背包中”；如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放⼊剩下的容量为v-c

的背包中”，此时能获得的最⼤价值就是f[v-c]再加上通过放⼊第i件物品获得的价值w。