解角

三角函数解各类问题的十种方

法

Lt

D

2

三角函数解各类问题的十种方法

１凑角法

一些求值问题通过观察角之间的关系，并充分利

用角之间的关系，往往是凑出特殊角，可以实现

顺利解答．

例１求tan204sin20的值．

２降幂法

一些涉及高次三角式的求值问题，往往借助

及22sincos1，或降幂公式22

1cos21cos2

sin,cos

22









等借助降幂策略解答．

例２假设2coscos1，求26sinsin的值．

涉及非单角形式的三角函数问题，有时也需要考

虑降幂进而化为一个角的三角函数形式解答，遇

到“高次〞问题就特别注意联想“降幂法〞解答．

３配对法根据一些三角式的特征，适当进

行配对，有时可以实现问题的顺利解答．

例３(0,)

2

x



，且222coscos2cos31xxx，求x的值．

评注三角函数中的正弦函数与余弦函数是一

对互余函数，有很多对称的结论，如22sincos1

等，因此在解决一些三角求值，求证等问题时，

可以构造对偶式，实施配对策略，尝试进行巧妙

3

解答．

４换元法

很多给值求值问题都是给的单角的某一三

角函数值，但有时会出现给出复合角的三角函数

值求值的问题，此时，利用换元法可以将问题转

化为熟悉的单角的三角函数值求值问题．例４

求sin75cos453cos15（）（）-（）的值．

５方程法有时可以根据构造所求量的方程解

答．

例５假设33cossin1xx，试求sinx的值．

评注将转化为关于sinx的方程是解题的关

键．方程的思想方法是解答诸多三角函数问题的

根本大法，如求三角函数的解析式等问题．一般

地，假设题目中有n个需要确定的未知数，那么

只要构造n个方程解答即可．

６讨论法

涉及含有参数或正负情形的三角问题，往往

需要借助讨论法进行解答．

例６ABC中，54

sin,cos

135

AB，求cosC．

评注分类讨论是将问题化整为零，进而化

难为易的重要思想方法，一般含有绝对值的三角

4

函数问题，涉及未确定象限的角的问题等，都要

首先考虑“讨论〞！

７平方法

分析和所求，有时借助“取平方〞的方法可

以实现顺利解题

例７sinsinsin0，coscoscos0，求

cos()的值．

评注学习数学要掌握一些根本的操作技能，而

“取〞就是其中的重要一种，除了“取平方〞外，

常见的还有“取对数〞，“取倒数〞等操作，需

要注意体会．此题就是借助平方关系实现整体消

元后解答的．

８猜测法

有时根据数据的特征进行必要的猜测，能更

好的解决求值问题．

例８13

sincos

2





，且为第二象限角，那

么sin．

评注实际上，将13

sincos

2





与22sincos1

联立所得二元二次方程组只有两组解，即

13

sin,cos

22





或13

cos,sin

22





，企业总产值 依题意只可取前

5

者．学习数学，要培养对数据的敏感性，能鸭肉粥 根据

数据特征进行积极联想，进而适当猜测，能有效

提高解题速度，而且猜测是一种重要的推理形

式，并不是“胡猜乱想〞，要紧扣和所求进行．

９图象法

有时候，借助图象才能更好的解决对应的三

角函数问题．

例９函数()sin1(1)fxAxA的图象与直线yA

在x轴右侧的与x轴距离最近的

相邻三个交点的横坐标成等比

数列，求实数A的值．

１０比例法

借助比例的性质，有时可以实现快速解答三

角函数问题．

例１０求证2(cossin)cossin

1sincos1sin1cos











．=

三角函数解各类问题答案

例1.解析原式

sin202sin40sin202sin(6020)

cos20cos20







sin202(sin60cos20cos60sin20)

3

cos20







．

O

x

D

C

B

yA

y

2

x





6

例2.解析由2coscos1，得15

cos

2





，

15

cos

2





〔舍去〕．由2coscos1，又可得

22cos1cossin，

那么263sinsincoscos，又由2coscos1，得

2cos1cos，故

322coscoscos(1cos)cos(2cos)2coscos3cos1，

代值可得26

355

sinsin

2





．

例3．解析设222coscos2cos3mxxx，令

222sinsin2sin3nxxx，那么3mn，cos2cos4cos6mnxxx，

其中，2cos62cos31xx，

cos2cos4cos(3)cos(3)2coscos3xxxxxxxx，

2cos3(coscos3)1mnxxx，又

coscos3cos(2)cos(2)2coscos2xxxxxxxx，故

4coscos2cos31mnxxx，故可解得

1

coscos2cos3(22)0(1)

4

xxxmm元怀墓志 ．那么cos0x，或cos20x，

或cos30x，又(0,)

2

x



，那么

6

x



或

4

x



．

例4.解析令15，那么原式

sin(60)cos(30)3cos

(sincos60cossin60)(coscos30sinsin30)3cos0

7

．

例5.解析令cossinxxt，那么2

1

cossin(1)

2

xxt，

[2,2]t．由，有

2

22

1

(cossin)(cossincossin)(1)1

2

t

xxxxxxt



，即

3232(1)(2)0tttt，得1t，或2t〔舍去〕．即

cossin1xx，又22sincos1xx，整理可得2sinsin0xx，解

得sin0x或sin1x．

例6.解析由5

sin

13

A，得12

cos

13

A．当12

cos

13

A

时，因为,AB是ABC的内角，需要满足0AB，

有0AB，而余弦函数在区间(0,)是减函数，

得coscos()cosABB，但124

coscos

135

AB，故此情形

不合题意．

可以蜂王浆的功效与作用及食用方法 验证12

cos

13

A符合题意，故

33

coscos()sinsincoscos

65

CABABAB

例7．解析有sinsinsin，coscoscos，

两式两边平方后对应相加，可得

2222(sinsin2sinsin)(coscos2coscos)

22(sin)(cos)1，即1

cos()

2

．

例8．解析由sin0,cos0及

8

2222

13

sincos1,()()1

22

，可得1

sin

2

．

例9.解析如右图，设三个交点的坐标为

(,)BbA，(,)CcA，(,)DdA，由三角函数图象的对称性，

那么有2

2

bc



，3

23

2

cd



，有bc，3dc晚清历史 ，

又222()(3)34cbdcccc，解得3

4

c



．故函扩张性财政政策 数图

象经过3

(,)

4

A

，代入可得22A．

例10.解析假设cos0〔或sin0〕，因为

sin1(cos1),或，故sin1，或cos1，验证可知等

式成立．

假设cos0，那么由2cos(1sin)(1sin)，

2sin(1cos)(1cos)及比例性质acac

bdbd







，可得

cos1sin1sincos

1sincos1sincos











．

sin1cos1sincos

1cossin1sincos











，代入等式左边可知

所证成立．