稳定流

6-1

第六章一元不稳定流

不稳定流：凡是流动参数（压力、速度、密度等）随时间变化的流动。

本章主要内容：

z一元不稳定流动基本方程

z水击现象及水击压力计算

z变水头泄流及排空计算

第一节一元不稳定流动基本方程

一、连续性方程

假设：过水断面A，密度ρ随A变化。即：A=A(s,t),ρ=ρ(s,t)。控制体如图：

依据：质量守恒，即在dt时间内，流出与流入控制体的质量差应等于同一时段内该体积的

质量变化（减小值），即mm

′

Δ=Δ

1、dt时间内流入控制体质量：AVdtρ

2、dt时间内流出控制体质量：dsAVdt

s

AVdt)(ρρ

∂

∂

+

流出与流入之差：dsAVdt

s

m)(ρ

∂

∂

=Δ(1)

3、dt时间前，控制体内流体质量为Adsρ

4、dt时间后，控制体内流体的质量为：dtAds

t

Ads)(ρρ

∂

∂

+

dt时间段内，控制体内质量的减少值为：

dtAds

t

dtAds

t

AdsAdsm

)(

)(

ρ

ρρρ

∂

∂

−=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

∂

∂

+−=

′

Δ

(2)

则：dtAds

t

dsAVdt

s

)()(ρρ

∂

∂

−=

∂

∂

则：0)()(=

∂

∂

+

∂

∂

A

t

AV

s

ρρ(3)

z公式说明：

(1)、若0=

∂

∂

t

，即稳定流，则0)(=

∂

∂

AV

s

ρ，则

constAV=ρ(4)

(2)、若c=ρ，(3)式变成

6-2

0)(=

∂

∂

+

∂

∂

t

A

AV

s

(5)

(3)、若c=ρ，A=A(s)，则0=

∂

∂

t

A

，则(5)式成

VA=C(t)(6)

二、运动方程：

1、不稳定流的运动微分方程

管路如图：在中心轴取微圆柱体，长ds，面积dA，重dG，与水平夹角θ、直径d

a)根据：maF=∑

b)受力分析：s

r

方向：

(1)重力：

s

Z

dsdAdsdAdGdGs

∂

∂

⋅⋅−=⋅⋅⋅=⋅=γθγθsinsin(1)

(2)压力：dsdA

s

p

dAds

s

p

ppdAP

s∂

∂

−=

∂

∂

+−=)((2)

(3)切力：dsd⋅⋅−πτ(3)

(4)加速度：

s

u

u

t

u

t

s

s

u

t

u

dt

du

a

∂

∂

⋅+

∂

∂

=

∂

∂

⋅

∂

∂

+

∂

∂

==(4)

把(1)～(4)式代入maF=∑，得：

)(

s

u

u

t

u

dsdAdsddAds

s

p

s

Z

dsdA

∂

∂

⋅+

∂

∂

⋅=⋅⋅−⋅

∂

∂

−

∂

∂

⋅⋅−ρπτγ

等式两边同除以dGdsdA=⋅⋅γ，可得：

0

4

)(

11

=+

∂

∂

⋅+

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

ds

u

u

t

u

gs

p

s

Z

γ

τ

γ

(5)

——————微分方程式。

2、一元不稳定流总流的运动方程

忽略管路断面上流速分布的不均匀性，以断面平均流速V取代u，τ

0

取代τ，D取代d，

可得：

0

4

)(

11

0=+

∂

∂

⋅+

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

Ds

V

V

t

V

gs

p

s

Z

γ

τ

γ

(6)

其中，p为总流断面上的平均压强，τ

0

为管壁切应力

z公式说明：

1、(6)式物理意义：作用在总流上的重力、压力、惯性力、阻力相平衡。

6-3

2、

Dγ

τ

0

4

含义：∵

D

Dds

dsD

Ads

dsD

γ

τ

πγ

πτ

γ

πτ

0

2

00

4

4

1

1

=

⋅⋅

⋅⋅

=

⋅⋅

⋅⋅⋅

，分子表阻力在单位距离上

的功，分母表示体重量，则含义为：单位重量液体在单位距离上的能量损失（或阻力做功）

∴

s

h

D

w

∂

∂

=

γ

τ

0

4

(7)

3、公式适用条件：一元不稳定总流。

三、不可压流体、一元不稳定流的能量方程：

由总流的运动方程

0

4

)(

11

0=+

∂

∂

⋅+

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

Ds

V

V

t

V

gs

p

s

Z

γ

τ

γ

∴

t

V

gDs

V

V

gs

p

s

Z

∂

∂

−−=

∂

∂

⋅+

∂

∂

+

∂

∂1

4

11

0

γ

τ

γ

(8)

∴

t

V

gs

h

g

Vp

Z

s

w

∂

∂

−

∂

∂

−=++

∂

∂1

)

2

(

2

γ

(9)

对于不可压流体，c=γ，(9)式两边同乘以ds，并由1到2积分可得：

∫

∂

∂

++++=++2

1

2

22

2

2

11

1

1

22

ds

t

V

g

h

g

Vp

Z

g

Vp

Z

wγγ

————————能量方程(10)

z说明：

1、ds

t

V

g

h

i∫

∂

∂

=2

1

1

——惯性水头，其意义是由于当地加速度而引起的惯性力在1－1～2

－2断面的距离上单位重量液体所做的功。

证明：∫∫∫⋅=⋅=⋅

∂

∂

⋅=⋅=

∂

∂

⋅⋅⋅2

1

2

1

2

1

1

SFdsmads

t

V

AdshdGds

t

V

g

dsA

i

ργ

2、公式(10)还可以写成

iw

hh

g

Vp

Z

g

Vp

Z++++=++

22

2

22

2

2

11

1γγ

(11)

3、一元不稳定流与稳定流能量方程区别：

在于一元不稳定流的能量方程中增加了由于当地加速度引起的惯性水头损失h

i

，当

6-4

,0,0>>

∂

∂

i

h

t

V

惯性力向后起阻力作用；当,0,0,<

∂

∂

i

h

t

V

惯性力向前，起动力作用。

4、对于等径管：V=V(t)，与s无关，d→∂

dt

d

gA

L

dt

dV

g

L

ds

dt

dV

g

ds

t

V

g

h

i

θ

===

∂

∂

=∫∫2

1

2

1

11

(12)

例题：

活塞式往复泵输液管线就是不稳定流动的例子。现以泵的吸入段为例，利用能量方程讨

论泵的压头

γ

0

p

已知参数见图

吸液过程：靠

γ

ba

pp−

━→使液流上流━→克服阻力、位差、惯性水头损失。

设吸入段长L，面积A，泵缸长x，面积Ab，吸入段高H吸

0－0、1－1列方程：

dt

dQ

gA

x

gA

L

dt

dQ

gA

x

dt

dQ

gA

L

hhh

hh

g

Vp

H

p

b

i

i

i

iw

ba

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

+=++=

++++=++

＝

泵缸内

吸入段

吸2

00

2

0

γγ

则：⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

++++−=

dt

dQ

gA

x

gA

L

h

g

V

H

pp

b

w

ab

2

2

0

吸γγ

（13）

其中，)(xf

dt

dQ

=与活塞运动规律有关。例如：

柱塞泵：)cos1(α−=rx

6-5

所以，αωcos2r

dt

dx

V==

αωcos2r

dt

dV

a==(14)

说明：由（13）式，p

b

应保持一定，真空泵才能工作，但其值又不能太小，若小于液体饱和

蒸气压，液体将沸腾、汽化。即泵正常工作时p

b

>p汽。当H吸一定时，必须靠减少惯性水头

来实现。方法：减少L；扩大A、A

b

；降低ω。

6-6

第二节水击现象

日常生活中，快速开关阀门、停泵或突然断电

一、水击的产生

1、水击现象（水锤）

在有压管路内，由于流速急剧变化，引起管内压强突然变化，并在整个管长范围传播的

现象，称水击。

当急剧升降的压力波波阵面通过管路时，产生一种声音，犹如冲击钻工作时产生的声音

或用锤子敲击管路时发出的噪音，称之谓水击，亦称水锤。

2、水击压力：突然变化的压力称为水击压力（管路中出现水击现象时所增加或降低的压力

值pΔ）

3、发生水击现象的物理原因：

（1）外因：管路中流速突然变化

（2）内因：液体具有惯性和压缩性。

惯性：企图维持液体原来的运动状态

压缩性：改变体积，缓和流体流动

4、说明：

（1）考虑液体的压缩性和管壁的弹性

（2）水击中的液流参数随时间和位置变化，水击现象为不稳定流动。

（3）水击压力以压力波的形式在管内传播。

二、压力波的传播过程

如图表示具有固定液面的油罐、水库或水塔，沿长度为l，直径为d的等直径管路流向

大气中，管路出口装有控制阀门。现以图为例，说明压力波传递过程。