一元二次方程教案

《一元二次方程的解法》教案

一、教学目标

（一）知识教学点：认识形如x2＝a（a≥0）或（ax+b）2＝c（a≠0，c≥0，

a，b，c为常数）类型的方程，并会用直接开平方法解．

（二）能力训练点：培养学生准确而简洁的计算能力及抽象概括能力．

（三）德育渗透点：通过两边同时开平方，将2次方程转化为一次方程，向

学生渗透数学新知识的学习往往由未知（新知识）向已知（旧知识）转化，这是

研究数学问题常用的方法，化未知为已知．

二、教学重点、难点和疑点

1．教学重点：用直接开平方法解一元二次方程．

2．教学难点：认清具有（ax＋b）2＝c（a≠0，c≥0，a，b，c为常数）这

样结构特点的一元二次方程适用于直接开平方法．

3．教学疑点：一元二次方程可能有两个不相等的实数解，也可能有两个相

等的实数解，也可能无实数解．如：（ax＋b）2=c（a≠0，a，b，c常数），当

c＞0时，有两个不等的实数解，c＝0时，有两个相等的实数解，c＜0时无实数

解．

三、教学步骤

（一）明确目标

在初二代数“数的开方”这一章中，学习了平方根和开平方运算．“如果

x2=a（a≠0），那么x就叫做a的平方根．”“求一个数平方根的运算叫做开平

方运算”．正确理解这个概念，在本节课我们就可得到最简单的一元二次方程

x2＝a的解法，在此基础上，就可以解符合形如（ax＋b）扰乱公共秩序罪 2=c（a，b，c常数，a

≠0，c≥0）结构特点的一元二次方程，从而达到本节课的目的．

（二）整体感知

通过本节课的学习，使学生充分认识到：数学的新知识是建立在旧知识的基

础上，化未知为已知是研究数学问题的一种方法，本节课引进的直接开平方法是

建立在初二代数中平方根及开平方运算的基础上，可以说平方根的概念对初二代

数和初三代数起到了承上启下的作用．而直接开平方法又为一元二次方程的其他

解法打下坚实的基础，此法可以说起到一个抛砖引玉的作用．学生通过本节课的

学习应深刻领会数学以旧引新的思维方法，在已学知识的基础上开发学生的创新

意识．

（三）重点、难点的学习及目标完成过程

1．复习提问

（1）什么叫整式方程？举两例，一元一次方程及一元二次方程的异同？

（2）平方根的概念及开平方运算？

2．引例：解方程x2-4=0．

解：移项，荣字开头的成语 得x2＝4．

两边开平方，得x＝2．

∴x

1

＝2，x

2

＝-2．

分析x2＝4，一个数x的平方等于4，这个数x叫做4的平方根（或二次

方根）；据平方根的性质，一个正数有两个平方根，它们互为相反数；所以这个

数x为2．求一个数平方根的运算叫做开平方．由此引出上例解一元二次方程

的方法叫做直接开平方法．使学生体会到直接开平方法的实质是求一个数平方根

的运算．

练习：教材P．8中1（1）（2）（3）（6）．学生在练习、板演过程中充

分体会直接开平方法的步骤以及蕴含着关于平方根的一些概念．

3．例1解方程9x2-16＝0．

解：移项，得：9x2=16，

此例题是在引例的基础上将二次项系数由1变为9，由此增加将二次项系数

变为1的步骤．此题解法教师板书，学生回答，再次强化解题

负根．

练习：教材P．8中1（4）（5）（7）（8）．

例2解方程（x＋3）2＝2．

分析：把x＋3看成一个整体y．

例2把引例中的x变为x+3，反之就应把例2中的x+3看成一个整体，

两边同时开平方，将二次方程转化为两个一次方程，便求得方程的两个解．可

以说：利用平方根的概念，闷闷不乐的反义词 通过两边开平方，达到降次的目的，化未知为已知，

体现一种转化的思想．

练习：教材P．8中2，此组练习更重要的是体会方程的左边不是未知数的

平方，而是含有未知数的代数式的平方，而右边是个非负实数，采用直接开平方

法便可以求解．

例3解方程（2-x）2-81＝0．

解法（一）

移项，得：（2-x）2＝81．

两边开平方，得：2-x=9

∴2-x＝9或2-x＝-9．

∴x

1

=-7，x

2

＝11．

解法（二）

∴（2-x）2＝（x-2）2，

∴原方程可变形，得（x-2）2=81．

两边开平方，得x-2＝9．

∴x-2＝9或x-2＝-9．

∴x

1

＝11，x

2

＝-7．

比较两种方法，方法（二）较简单，不易出错．在解方程的过程中，要注意

方程的结构特点，进行灵活适当的变换，择其简捷的方法，达到又快又准地求出

方程解的目的．

练习：解下列方程：

（1）（1暖和的反义词 -x）2-18＝0；（2）（2-x）2＝4；

在实数范围内解一元二如何跳远 次方程，要求出满足这个方程的所有实数根，提醒学

生注意不要丢掉负根，例x2＋36＝0，由于适合这个方程的实数x不存在，因为

负数没有平方根，所以原方程无实数根．-x2＝0，适合这个方程的根有两个，都

是零．由此渗透方程根的存在情况．以上在教师恰当语言的引导下，由学生得出

结论，培养学生善于思考的习惯和探索问题的精神．

那么具有怎样结构特点的一元二次方程用直接开平方法来解比较简单呢？

启发引祝绪丹身高 导学生，抽象概括出方程的结构：（ax＋b）2＝c（a，b，c为常数，a≠0，

c≥0），即方程的一边是含有未知数的一次式的平方，另一边是非负实数．

（四）总结、扩展

引导学生进行本节课的小节．

1．如果一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，另一边是一个

非负常数，便可用直接开平方法来解．如（ax＋b）2＝c（a，b，c为常数，a≠0，

c≥0）．

2．平方根的概念为直接开平方法的引入奠定了基础，同时直接开平方法也

为其它一元二次方程的解法起了一个抛砖引玉的作用．两边开平方实际上是实现

方程由2次转化为一次，实现了由未知向已知的转化．由高次向低次的转化，是

高次方程解法的一种根本途径．

3．一元二次方程可能有两个不同的实数解，也可能有两个相同的实数解，

也可能无实数解．

四、布置作业

1．教材P．17中A1（5）（6）（7）（8）；2．（1）（2）（3）（4）．

P．18中B1、2（学有余力的学生做）．

五、板书设计

12．2一元二次方程的解法（一）

引例：解方程x2-4＝0例1解方程9x2-16=0

解：…………

……例2解方程（x＋3）2＝2

此种解一元二次方程的方法

称为直接开平方法

形如（ax＋b）2＝c（a，b，

c为常数，a≠0，c≥0）可用

直接开平方法

练习：略

六、作业参考答案

教材P．17A1

教材P．17A2

教材P．18B1

教材P．18B2