基本问题

(完整版)鸡兔同笼问题五种基本公式和例题讲解

鸡兔同笼问题五种基本公式和例题讲解

【鸡兔问题公式】

(1）已知总头数和总脚数，求鸡、兔各多少：

（总脚数—每只鸡的脚数总头数）（每只兔的脚数-每只鸡的脚数）=兔数；

总头数-兔数=鸡数。

或者是（每只兔脚数总头数—总脚数）（每只兔脚数—每只鸡脚数）=鸡数；

总头数—鸡数=兔数.

例如，“有鸡、兔共36只,它们共有脚100只,鸡、兔各是多少只?”

解一(100—236）（4—2）=14（只)………兔;

36-14=22（只)……………………………鸡。

解二(436—100)(4-2）=22（只)………鸡；

36-22=14（只）…………………………兔。

（答略）

(2)已知总头数和鸡兔脚数的差数，当鸡的总脚数比兔的总脚数多时，可用公

式

（每只鸡脚数总头数—脚数之差)（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=兔数；

总头数-兔数=鸡数

或（每只兔脚数总头数+鸡兔脚数之差）（每只鸡的脚数+每只免的脚数）

=鸡数;

总头数—鸡数=兔数.（例略）

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（3）已知总数与鸡兔脚数的差数，当兔的总脚数比鸡的总脚数多时，可用公

式。

(每只鸡的脚数总头数+鸡兔脚数之差）（每只鸡的脚数+每只兔的脚数)=

兔数;

总头数-兔数=鸡数。

或（每只兔的脚数总头数—鸡兔脚数之差)（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）

=鸡数；

总头数—鸡数=兔数。(例略）

(4）得失问题（鸡兔问题的推广题)的解法,可以用下面的公式：

（1只合格品得分数产品总数-实得总分数）（每只合格品得分数+每只不

合格品扣分数)=不合格品数。或者是总产品数-（每只不合格品扣分数总产品数+

实得总分数）（每只合格品得分数+每只不合格品扣分数）=不合格品数.

例如,“灯泡厂生产灯泡的工人，按得分的多少给工资。每生产一个合格品记4

分，每生产一个不合格品不仅不记分，还要扣除15分。某工人生产了1000只灯泡，

共得3525分，问其中有多少个灯泡不合格?”

解一(41000—3525）（4+15）

=47519=25（个）

解二1000-（151000+3525)（4+15)

＝1000-1852519

=1000-975=25（个）(答略）

（“得失问题”也称“运玻璃器皿问题”，运到完好无损者每只给运费元,

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破损者不仅不给运费，还需要赔成本元……。它的解法显然可套用上述公式.）

（5)鸡兔互换问题（已知总脚数及鸡兔互换后总脚数，求鸡兔各多少的问题)，

可用下面的公式：

〔（两次总脚数之和)（每只鸡兔脚数和)+（两次总脚数之差）（每只鸡兔

脚数之差）〕2=鸡数；

〔(两次总脚数之和）（每只鸡兔脚数之和）—（两次总脚数之差）（每

只鸡兔脚数之差）〕2=兔数。

例如，“有一些鸡和兔，共有脚44只，若将鸡数与兔数互换，则共有脚52只.鸡

兔各是多少只？”

解〔（52+44)（4+2）+（52-44）（4—2）〕2

=202=10（只)……………………………鸡

〔（52+44）（4+2)—（52—44）(4—2）〕2

=122=6（只）…………………………兔（答略）

鸡兔同笼

目录1总述2假设法3方程法一元一次方程二元一次方程

4抬腿法5列表法6详解7详细解法

基本问题特殊算法习题

8鸡兔同笼公式

1总述

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鸡兔同笼是中国古代的数学名题之一。大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了

这个有趣的问题。书中是这样叙述的：“今有雉兔同笼,上有三十五头，下有九十四

足,问雉兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面

数，有35个头,从下面数，有94只脚.问笼中各有几只鸡和兔？

算这个有个最简单的算法。

（总脚数—总头数鸡的脚数)（兔的脚数-鸡的脚数）=兔的只数

(94－352）2=12(兔子数）总头数（35）－兔子数（12）=鸡数(23）

解释:让兔子和鸡同时抬起两只脚，这样笼子里的脚就减少了头数2只，由于鸡只

有2只脚，所以笼子里只剩下兔子的两只脚，再除以2就是兔子数。虽然现实中没

人鸡兔同笼.

2假设法

假设全是鸡：235=70（只）

鸡脚比总脚数少：94－70=24（只)

兔：24（4-2)=12（只)

鸡：35－12=23（只)

假设法（通俗）

假设鸡和兔子都抬起一只脚，笼中站立的脚：

94-35=59（只）

然后再抬起一只脚，这时候鸡两只脚都抬起来就摔倒了，只剩下用两只脚站立的兔

子,站立脚：59—35=24(只）兔：242=12（只）鸡:35—12=23（只）

3方程法

一元一次方程

解：设兔有x只，则鸡有（35-x）只.

4x+2（35—x）=94

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4x+70—2x=94

2x=94-70

2x=24

x=242

x=12

35—12=23（只)

或解:设鸡有x只，则兔有（35-x)只。

2x+4(35-x）=94

2x+140-4x=94

2x=46

x=23

35-23=12（只）

答：兔子有12只，鸡有23只。

注：通常设方程时,选择腿的只数多的动物，会在套用到其他类似鸡兔同笼的问题

上,好算一些。

二元一次方程

解：设鸡有x只，兔有y只。

x+y=35

2x+4y=94

（x+y=35)2=2x+2y=70

（2x+2y=70）—(2x+4y=94)=(2y=24）

y=12

把y=12代入（x+y=35)

x+12=35

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x=35-12（只）

x=23（只）.

答：兔子有12只,鸡有23只

4抬腿法法一

假如让鸡抬起一只脚,兔子抬起2只脚，还有94除以2=47只脚。笼子里的兔就比

鸡的头数多1,这时，脚与头的总数之差47-35=12，就是兔子的只数.

法二

假如鸡与兔子都抬起两只脚，还剩下94－352=24只脚，这时鸡是屁股坐在地

上，地上只有兔子的脚，而且每只兔子有两只脚在地上，所以有242=12只兔子，

就有35－12=23只鸡

5列表法

腿数

鸡（只数)

兔（只数)

6详解

中国古代《孙子算经》共三卷，成书大约在公元5世纪。这本书浅显易懂，有许多

有趣的算术题，比如“鸡兔同笼”问题:

今有雉兔同笼,上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？

题目中给出雉兔共有35只，如果把兔子的两只前脚用绳子捆起来，看作是一只脚，

两只后脚也用绳子捆起来，看作是一只脚，那么，兔子就成了2只脚，即把兔子都

先当作两只脚的鸡.鸡兔总的脚数是352=70（只），比题中所说的94只要少94

—70=24（只)。

现在,我们松开一只兔子脚上的绳子，总的脚数就会增加2只,即70+2=72（只），再

松开一只兔子脚上的绳子，总的脚数又增加2，2，2，2……,一直继续下去，直至

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增加24，因此兔子数：242=12（只），从而鸡有35—12=23(只）。

我们来总结一下这道题的解题思路：如果先假设它们全是鸡，于是根据鸡兔的

总数就可以算出在假设下共有几只脚，把这样得到的脚数与题中给出的脚数相比较,

看看差多少，每差2只脚就说明有1只兔，将所差的脚数除以2,就可以算出共有多

少只兔。概括起来，解鸡兔同笼题的基本关系式是：兔数=（实际脚数-每只鸡脚数

鸡兔总数）（每只兔子脚数-每只鸡脚数）。类似地,也可以假设全是兔子。

我们也可以采用列方程的办法:设兔子的数量为x，鸡的数量为y

那么：x+y=35那么4x+2y=94这个算方程解出后得出：兔子有12只，鸡有23只.

7详细解法

基本问题

"鸡兔同笼"是一类有名的中国古算题。最早出现在《孙子算经》中.许多小学

算术应用题都可以转化成这类问题，或者用解它的典型解法-—"假设法”来求解。

因此很有必要学会它的解法和思路。

例1有若干只鸡和兔子，它们共有88个头,244只脚，鸡和兔各有多少只

解：我们设想,每只鸡都是"金鸡独立”，一只脚站着;而每只兔子都用两条后腿，像

人一样用两只脚站着。现在,地面上出现脚的总数的一半，也就是

2442=122（只）。

在122这个数里，鸡的头数算了一次,兔子的头数相当于算了两次.因此从122减去

总头数88，剩奇妙故事 下的就是兔子头数

122—88=34（只），

有34只兔子。当然鸡就有54只.

答：有兔子34只,鸡54只。

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上面的计算，可以归结为下面算式：

总脚数2-总头数=兔子数.总头数-兔子数=鸡数

特殊算法

上面的解法是《孙子算经》中记载的。做一次除法和一次减法，马上能求出兔子数，

多简单！能够这样算，主要利用了兔和鸡的脚数分别是4和2，4又是2的2倍。

可是,当其他问题转化成这类问题时，”脚数"就不一定是4和2，上面的计算方法就

行不通。因此，我们对这类问题给出一种一般解法.

还说例1。

如果设想88只都是兔子，那么就有488只脚，比244只脚多了

884-244=108（只）.

每只鸡比兔子少（4—2)只脚，所以共有鸡

(884—244）（4-2）=54（只）.

说明我们设想的88只"兔子"中,有54只不是兔子。而是鸡.因此可以列出公式

鸡数=(兔脚数总头数—总脚数）（兔脚数—鸡脚数）。

当然，我们也可以设想88只都是"鸡”，那么共有脚288=176（只）,比244只脚

少了

244—176=68（只）.

每只鸡比每只兔子少(4-2)只脚，

682=34（只）.

说明设想中的”鸡”,有34只是兔子，也可以列出公式

兔数=（总脚数—鸡脚数总头数)（兔脚数—鸡脚数）.

上面两个公式不必都用，用其中一个算出兔数或鸡数，再用总头数去减,就知道另

一个数。

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假设全是鸡，或者全是兔，通常用这样的思路求解，有人称为”假设法”。

现在,拿一个具体问题来试试上面的公式。

例2红铅笔每支0.19元，蓝铅笔每支0.11元，两种铅笔共买了16支，花了2。

80元。问红，蓝铅笔各买几支?

解：以"分"作为钱的单位。我们设想，一种”鸡”有11只脚，一种”兔子"有19

只脚，它们共有16个头，280只脚。

现在已经把买铅笔问题，转化成”鸡兔同笼"问题了.利用上面算兔数公式，就有

蓝笔数=(1916-280)(19-11)

=248

=3（支）.

红笔数=16-3=13（支）.

答：买了13支红铅笔和3支蓝铅笔。

对于这类问题的计算，常常可以利用已知脚数的特殊性。例2中的”脚数"19与11

之和是30。我们也可以设想16只中，8只是"兔子”,8只是”鸡”，根据这一设想,

脚数是

8（11+19）暑期见闻 =240（支）。

比280少40.

40(19—11）=5（支）。

就知道设想中的8只”鸡”应少5只,也就是”鸡"（蓝铅笔）数是3.

308比1916或1116要容易计算些。利用已知数的特殊性，靠心算来完成计

算。

实际上,可以任意设想一个方便的兔数或鸡数。例如，设想16只中,”兔数”为10,”

鸡数"为6，就有脚数

1910+116=256.

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比280少24。

24(19—11)=3,

就知道设想6只"鸡",要少3只。

要使设想的数,能给计算带来方便，常常取决于你的心算本领.

下面再举四个稍有难度的例子。

例3一份稿件，甲单独打字需6小时完成.乙单独打字需10小时完成,现在甲单独

打若干小时后，因有事由乙接着打完，共用了7小时.甲打字用了多少小时？

解:我们把这份稿件平均分成30份(30是6和10的最小公倍数），甲每小时打30

6=5（份）,乙每小时打3010=3(份）。

现在把甲打字的时间看成"兔"头数,乙打字的时间看成"鸡"头数,总头数是7."兔”

的脚数是5，”鸡"的脚数是3,总脚数是30，就把问题转化成”鸡兔同笼”问题了。

根据前面的公式

”兔”数=（30—37)（5—3）

=4。5，

"鸡”数=7—4.5

=2。5,

也就是甲打字用了4.5小时，乙打字用了2.5小时.

答：甲打字用了4小时30分.

例4今年是1998年，父母年龄(整数）和是78岁，兄弟的年龄和是17岁。四年后

（2002年）父的年龄是弟的年龄的4倍，母的年龄是兄的年龄的3倍.那么当父的

年龄是兄的年龄的3倍时，是公元哪一年？

解：4年后,两人年龄和都要加8.此时兄弟年龄之和是17+8=25，父母年龄之和是

78+8=86。我们可以把兄的年龄看作"鸡”头数，弟的年龄看作”兔”头数。25是”

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总声字成语 头数”.86是"总脚数”。根据公式,兄的年龄是

(254—86）(4-3)=14（岁）.

1998年，兄年龄是

14—4=10（岁）.

父年龄是

（25—14）4-4=40（岁）.

因此，当父的年龄是兄的年龄的3倍时，兄的年龄是

(40-10)（3-1）=15(岁）。

这是2003年。

答：公元2003年时，父年龄是兄年龄的3倍.

例5蜘蛛有8条腿,蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀。现在这三

种小虫共18只，有118条腿和20对翅膀.每种小虫各几只？

解:因为蜻蜓和蝉都有6条腿，所以从腿的数目来考虑，可以把小虫分成”8条腿”

与"6条腿”两种。利用公式就可以算出8条腿的

蜘蛛数=(118-618）（8—6）

=5(只）。

因此就知道6条腿的小虫共

18-5=13（只）.

也就是蜻蜓和蝉共有13只，它们共有20对翅膀。再利用一次公式

蝉数=(132-20)（2—1）=6(只）。

因此蜻蜓数是13-6=7（只）。

答：有5只蜘蛛,7只蜻蜓,6只蝉。

例6某次数学考试考五道题，全班52人参加，共做对181道题，已知每人至少做

对1道题，做对1道的有7人，5道全对的有6人，做对2道和3道的人数一样多，

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那么做对4道的人数有多少人？

解：对2道，3道，4道题的人共有

52-7-6=39（人）.

他们共做对

181-17—56=144（道）.

由于对2道和3道题的人数一样多，我们就可以把他们看作是对2.5道题的人（(2+3）

2=2.5）.这样

兔脚数=4,鸡脚数=2.5，

总脚数=144，总头数=39。

对4道题的有

(144-2。539)（4—2。5)=31（人).

答：做对4道题的有31人。

以例1为例有若干只鸡和兔子，它们共有88个头,244只脚,鸡和兔各有多少只？

以简单的X方程计算的话,我们一般用设大数为X，那么也就是设兔为X,那么鸡的

只数就是总数减去鸡的只数，即（88-X）只。

解:设兔为X只。则鸡为(88-X）只。

4X+2(88—X）=244

上列的方程解释为：兔子的脚数加上鸡的脚数，就是共有的脚数。4X就是兔子的脚

数，2（88-X）就是鸡的脚数.

4X+288-2X=244

2X+176=244

2X+176—176=244-176

2X=68

2X2=682

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X=34

即兔子为34只，总数是88只,则鸡：88-34=54只。

答：兔子有34只，鸡有54只.

习题一

1．龟鹤共有100个头，350只脚.龟,鹤各多少只?

2．学校有象棋，跳棋共26副,恰好可供120个学生同时进行活动。象棋2人下一

副棋，跳棋6人下一副.象棋和跳棋各有几副？

3．一些2分和5分的硬币，共值2.99元，其中2分硬币个数是5分硬币个数的4

倍，问5分硬币有多少个?

4．某人领得工资240元,有2元，5元,10元三种人民币，共50张，其中2元与5

元的张数一样多。那么2元，5元，10元各有多少张?

5．一件工程,甲单独做12天完成,乙单独做18天完成，现在甲做了若干天后,再由

乙接着单独做完余下的部分，这样前后共用了16天.甲先做了多少天？

6．摩托车赛全程长281千米，全程被划分成若干个阶段，每一阶段中，有的是由

一段上坡路（3千米)，一段平路（4千米）,一段下坡路(2千米）和一段平路（4

千米）组成的；有的是由一段上坡路（3千米）,一段下坡路(2千米）和一段平路

(4千米）组成的.已知摩托车跑完全程后，共跑了25段上坡路。全程中包含这两种

阶段各几段？

7．用1元钱买4分,8分，1角的邮票共15张,问最多可以买1角的邮票多少张？

二、"两数之差"的问题

鸡兔同笼中的总头数是”两数之和",如果把条件换成”两数之差”,又应该怎样去

解呢

例7买一些4分和8分的邮票，共花6元8角。已知8分的邮票比4分的邮票多

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40张，那么两种邮票各买了多少张?

解一：如果拿出40张8分的邮票，余下的邮票中8分与4分的张数就一样多。

(680—840)（8+4）=30（张），

这就知道，余下的邮票中，8分和4分的各有30张.

因此8分邮票有

40+30=70（张）。

答：买了8分的邮票70张，4分的邮票30张.

也可以用任意假设一个数的办法。

解二：譬如，假设有20张4分，根据条件”8分比4分多40张”,那么应有60张

8分.以”分”作为计算单位，此时邮票总值是

420+860=560。

比680少，因此还要增加邮票。为了保持"差”是40,每增加1张4分,就要增加1

张8分，每种要增加的张数是

(680—420-860)(4+8)=10（张）.

因此4分有20+10=30（张），8分有60+10=70(张）.

例8一项工程，如果全是晴天,15天可以完成.倘若下雨，雨天比晴天多3天,

工程要多少天才能完成

解：类似于例3，我们设工程的全部工作量是150份，晴天每天完成10份，雨天每

天完成8份.用上一例题解一的方法，晴天有

（150—83)（10+8）=7（天).

雨天是7+3=10天，总共

7+10=17（天）.

答：这项工程17天完成.

请注意，如果把”雨天比晴天多3天”去掉，而换成已知工程是17天完成，由此

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又回到上一节的问题.差是3，与和是17，知道其一,就能推算出另一个。这说明了

例7，例8与上一节基本问题之间的关系。

总脚数是"两数之和”，如果把条件换成"两数之差"，又应该怎样去解呢

例9鸡与兔共100只，鸡的脚数比兔的脚数少28.问鸡与兔各几只？

解一:假如再补上28只鸡脚,也就是再有鸡282=14(只），鸡与兔脚数就相等，兔

的脚是鸡的脚42=2（倍），于是鸡的只数是兔的只数的2倍。兔的只数是

(100+282）(2+1）=38(只）。

鸡是100-38=62（只)。

答：鸡62只，兔38只。

当然也可以去掉兔284=7（只）。兔的只数是

(100-284)(2+1）+7蒜蓉蒸白菜 =38（只）。

也可以用任意假设一个数的办法.

解二:假大学部门工作总结 设有50只鸡，就有兔100-50=50（只)。此时脚数之差是

450—250=100，

比28多了72。就说明假设的兔数多了(鸡数少了)。为了保持总数是100,一只兔换

成一只鸡，少了4只兔脚，多了2只鸡脚,相差为6只（千万注意,不是2）.因此要

减少的兔数是（100-28）(4+2)=12（只）。

兔只数是50—12=38(只）。

另外，还存在下面这样的问题：总头数换成”两数之差”，总脚数也换成"两数之差

"。

例10古诗中，五言绝句是四句诗，每句都是五个字;七言绝句是四句诗，每句都是

七个字。有一诗选集,其中五言绝句比七言绝句多13首，总字数却反而少了20个

字。问两种诗各多少首？

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解一：如果去掉13首五言绝句，两种诗首数就相等，此时字数相差

1354+20=280（字）.

每首字数相差74—54=8（字).

因此,七言绝句有280（28—20）=35（首）.

五言绝句有35+13=48(首）.

答：五言绝句48首，七言绝句35首。

解二：假设五言绝句是23首,那么根据相差13首，七言绝句是10首.字数分别是

2023=460（字），2810=280（字），五言绝句的字数，反而多了

460-280=180（字）。与题目中”少20字”相差180+20=200（字）.

说明假设诗的首数少了。为了保持相差13首,增加一首五言绝句，也要增一首七言

绝句,而字数相差增加8。因此五言绝句的首数要比假设增加2008=25（首）。五

言绝句有23+25=48（首).

七言绝句有10+25=35(首）.

在写出"鸡兔同笼"公式的时候，我们假设都是兔,或者都是鸡,对于例7,例9和例

10三个问题,当然也可以这样假设。现在来具体做一下,把列出的计算式子与”鸡兔

同笼”公式对照一下，就会发现非常有趣的事。

例7，假设都是8分邮票,4分邮票张数是

(680-840)(8+4）=30（张)。

例9,假设都是兔，鸡的只数是

（1004-28)（4+2)=62（只）。

10，假设都是五言绝句，七言绝句的首数是

(2013+20)(28—20)=35（首）.

首先，请读者先弄明白上面三个算式的由来,然后与”鸡兔同笼"公式比较，这三个

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算式只是有一处"-"成了”+"。其奥妙何在呢

当你进入初中,有了负数的概念,并会列二元一次方程组,就会明白，从数学上说，

这一讲前两节列举的所有例子都是同一件事。

例11有一辆货车运输2000只玻璃瓶，运费按到达时完好的瓶子数目计算，每只2

角,如有破损，破损瓶子不给运费,还要每只赔偿1元.结果得到运费379.6元,问这

次搬运中玻璃瓶破损了几只？

解：如果没有破损，运费应是400元.但破损一只要减少1+0。2=1。2（元）.因此

破损只数是（400—379。6）(1+0。2)=17（只）。

答：这次搬运中破损了17只玻璃瓶。

请你想一想，这是"鸡兔同笼"同一类型的问题吗

例12有两次自然测验，第一次24道题，答对1题得5分,答错（包含不答)1题倒

扣1分;第二次15道题，答对1题8分，答错或不答1题倒扣2分，小明两次测验

共答对30道题，但第一次测验得分比第二次测验得分多10分，问小明两次测验各

得多少分？

解一：如果小明第一次测验24题全对，得524=120（分）。那么第二次只做对

30-24=6（题）得分是86-2(15—6）=30(分）。

两次相差120—30=90（分)。

比题目中条件相差10分,多了80分。说明假设的第一次答对题数多了，要减少。

第一次答对减少一题,少得5+1=6(分），而第二次答对增加一题不但不倒扣2分，还

可得8分，因此增加8+2=10分。两者两差数就可减少6+10=16（分）.

（90-10）（6+10)=5（题）.

因此第一次答对题数要比假设（全对）减少5题,也就是第一次答对19题，第二次

答对30—19=11（题).

(完整版)鸡兔同笼问题五种基本公式和例题讲解

第一次得分519—1(24-19）=90.

第二次得分811—2(15-11）=80。

答：第一次得90分，第二次得80分。

解二：答对30题，也就是两次共答错

24+15—30=9（题).

第一次答错一题,要从满分中扣去5+1=6（分）,第二次答错一题，要从满分中扣去

8+2=10（分）.答错题互换一下,两次得分要相差6+10=16（分）。

如果答错9题都是第一次，要从满分中扣去69.但两次满分都是120分。比题目

中条件”第一次得分多10分",要少了69+10.因此,第二次答错题数是

（69+10）(6+10)=4（题）

第一次答错9-4=5(题）.

第一次得分5(24—5）-15=90(分）。

第二次得分8（15—4）—24=80(分）.

习题二

1．买语文书30本，数学书24本共花83.4元。每本语文书比每本数学书贵0.44

元。每本语文书和数学书的价格各是多少？

2．甲茶叶每千克132元，乙茶叶每千克96元，共买这两种茶叶12千克。甲茶叶

所花的钱比乙茶叶所花钱少354元。问每种茶叶各买多少千克？

3．一辆卡车运矿石，晴天每天可运16次，雨天每天只能运11次。一连运了若干

天，有晴天，也有雨天。其中雨天比晴天多3天,但运的次数却比晴天运的次数少

27次.问一连运了多少天？

4．某次数学测验共20道题，做对一题得5分,做错一题倒扣1分，不做得0分。

小华得了76分。问小华做对了几道题？

(完整版)鸡兔同笼问题五种基本公式和例题讲解

5．甲，乙二人射击，若命中，甲得4分，乙得5分；若不中，甲失2分，乙失3

分。每人各射10发，共命中14发。结算分数时，甲比乙多10分.问甲,乙各中几

发?

6．甲,乙两地相距12千米。小张从甲地到乙地，在停留半小时后,又从乙地返回甲

地，小王从乙地到甲地，在甲地停留40分钟后，又从甲地返回乙地。已知两人同

时分别从甲,乙两地出发，经过4小时后，他们在返回的途中相遇。如果小张速度

比小王速度每小时多走1.5千米，求两人的速度.?

三、从"三”到"二"

”鸡”和”兔"是两种东西，实际上还有三种或者更多种东西的类似问题.在第一节

例5和例6就都有三种东西。从这两个例子的解法，也可以看出，要把”三种”转

化成”二种"来考虑。这一节要通过一些例题，告诉大家两类转化的方法.

例13学校组织新年游艺晚会,用于奖品的铅笔,圆珠笔和钢笔共232支,共花了300

元。其中铅笔数量是圆珠笔的4倍。已知铅笔每支0。60元，圆珠笔每支2。7元，

钢笔每支6.3元。问三种笔各有多少支

解：从条件”铅笔数量是圆珠笔的4倍",这两种笔可并成一种笔,四支铅笔和一支

圆珠笔成一组，这一组的笔，每支价格算作

（0.604+2。7）5=1。02（元）。

(完整版)鸡兔同笼问题五种基本公式和例题讲解

现在转化成价格为1.02和6。3两种笔.用"鸡兔同笼"公式可算出,钢笔支数是

（300—1。02232)（6.3—1.02)=12（支).

铅笔和圆珠笔共

232-12=220(支）。

其中圆珠笔

220（4+1）=44(支）.

铅笔

220—44=176（支）.

答：其中钢笔12支，圆珠笔44支，铅笔176支。

例14商店出售大，中，小气球，大球每个3元，中球每个1.5元,小球每个1元.

张老师用120元共买了55个球，其中买中球的钱与买小球的钱恰好一样多。问每

种球各买几个

解：因为总钱数是整数，大,小球的价钱也都是整数，所以买中球的钱数是整数，

而且还是3的整数倍.我们设想买中球，小球钱中各出3元。就可买2个中球，3个

(完整版)鸡兔同笼问题五种基本公式和例题讲解

小球。因此,可以把这两种球看作一种,每个价钱是

（1。52+13）(2+3）=1。2(元）。

从公式可算出,大球个数是

(120-1。255）(3-1.2）=30（个）。

买中,小球钱数各是

(120-303）2=15（元）。

可买10个中球,15个小球.

答：买大球30个，中球10个，小球15个。

例13是从两种东西的个数之间倍数关系，例14是从两种东西的总钱数之间相等关

系（倍数关系也可用类似方法），把两种东西合井成一种考虑，实质上都是求两种

东西的平均价，就把”三”转化成”二"了。

例15是为例16作准备.

例15某人去时上坡速度为每小时走3千米,回来时下坡速度为每小时走6千米，求

他的平均速度是多少

(完整版)鸡兔同笼问题五种基本公式和例题讲解

解：去和回来走的距离一样多。这是我们考虑问题的前提。

平均速度=所行距离所用时间

去时走1千米，要用20分钟；回来时走1千米,要用10分钟。来回共走2千米，

用了30分钟，即半小时，平均速度是每小时走4千米.

千万注意，平均速度不是两个速度的平均值：每小时走（6+3）2=4。5千米。

例16从甲地至乙地全长45千米，有上坡路,平路，下坡路。李强上坡速度是每小

时3千米，平路上速度是每小时5千米，下坡速度是每小时6千米.从甲地到乙地，

李强行走了10小时；从乙地到甲地，李强行走了11小时.问从甲地到乙地,各种路

段分别是多少千米

解：把来回路程452=90(千米）算作全程。去时上坡,回来是下坡；去时下坡回来

时上坡.把上坡和下坡合并成”一种"路程，根据例15,平均速度是每小时4千米。

现在形成一个非常简单的"鸡兔同笼”问题。头数10+11=21，总脚数90,鸡，兔脚

数分别是4和5。因此平路所用时间是（90—421）（5-4）=6（小时)。

单程平路行走时间是62=3(小时）。

从甲地至乙地，上坡和下坡用了10-3=7(小时）行走路程是：

45—53=30（千米）。

又是一个"鸡兔同笼"问题。从甲地至乙地,上坡行走的时间是：

（67-30）（6-3)=4（小时）。

行走路程是34=12（千米）.

下坡行走的时间是7-4=3（小时）.行走路程是63=18（千米）.

答：从甲地至乙地，上坡12千米,平路15千米,下坡18千米.

做两次"鸡兔同笼"的解法，也可以叫”两重鸡兔同笼问题".例16是非常典型的例

(完整版)鸡兔同笼问题五种基本公式和例题讲解

题。

例17某种考试已举行了24次，共出了42恨的英文 6题。每次出的题数，有25题，或者16

题，或者20题。那么,其中考25题的有多少次

解：如果每次都考16题,1624=384，比426少42道题.

每次考25道题,就要多25-16=9(道）.

每次考20道题，就要多20—16=4(道）。

就有

9考25题的次数+4考20题的次数=42.

请注意，4和42都是偶数，9考25题次数也必须是偶数，因此,考25题的次数是

偶数,由96=54比42大，考25题的次数,只能是0,2，4这三个数。由于42不能

被4整除,0和4都不合适.只能是考25题有2次（考20题有6次）.

答：其中考25题有2次。

例18有50位同学前往参观，乘电车前往每人1。2元，乘小巴前往每人4元，乘

地下铁路前往每人6元。这些同学共用了车费110元，问其中乘小巴的同学有多少

位

解：由于总钱数110元是整数，小巴和地铁票也都是整数，因此乘电车前往的人数

一定是5的整数倍。

如果有30人乘电车，

110-1.230=74(元)。

还余下50—30=20（人)都乘小巴钱也不够。说明假设的乘电车人数少了。

如果有40人乘电车

110—1。240=62(元）.

还余下50—40=10（人）都乘地下铁路前往，钱还有多（62〉610）。说明假设的

乘电车人数又多了。30至40之间,只有35是5的整数倍.

(完整版)鸡兔同笼问题五种基本公式和例题讲解

现在又可以转化成”鸡兔同笼"了：

总头数50-35=15，

总脚数110—1。235=68.

因此，乘小巴前往的人数是

（615—68)(6-4）=11。

答：乘小巴前往的同学有11位。

在“三”转化为”二”时,例13，例1监察建议 4，例16是一种类型.利用题目中数量比例关

系,把两种东西合并组成一种。例17，例18是另一种类型。充分利用所求个数是整

数，以及总量的限制，其中某一个数只能是几个数值。对几个数值逐一考虑是否符

合题目的条件.确定了一个个数，也就变成”二"的问题了。在小学算术的范围内，

学习这两种类型已足够了.更复杂的问题,只能借助中学的三元一次方程组等代数

方法去求解。

习题三

1．有100枚硬币，把其中2分硬币全换成等值的5分硬币，硬币总数变成79个,

然后又把其中的1分硬币换成等值的5分硬币,硬币总数变成63个。求原有2分及

5分硬币共值多少钱？

2．”京剧公演"共出售750张票得22200元。甲票每张60元，乙票每张30元，丙

票每张18元。其中丙票张数是乙票张数的2倍。问其中甲票有多少张？

3．小明参加数学竞赛,共做20题得67分.已知做一题得5分，不答得2分，做错

一题倒扣3分。又知道他做错的题和没答的题一样多。问小明共做对几题?

4．1分，2分和5分硬币共100枚,价值2元，如果其中2分硬币的价值比1分硬

币的价值多13分.问三种硬币各多少枚？

注：此题没有学过分数运算的同学可以不做。

5．甲地与乙地相距24千米。某人从甲地到乙地往返行走.上坡速度每小时4千米，

(完整版)鸡兔同笼问题五种基本公式和例题讲解

走平路速度每小时5千米，下坡速度每小时6千米。去时行走了4小时50分，回

来时用了5小时。问从甲地到乙地,上坡，平路，下坡各多少千米？

6．某学校有12间宿舍，住着80个学生。宿舍的大小有三种：大的住8个学生，

不大不小的住7个学生,小的住5人.其中不大不小的宿舍最多，问这样的宿舍有几

间？

测验题

1．松鼠妈妈采松籽，晴天每天可以采20个，雨天每天只能采12个。它一连几天

采了112个松籽,平均每天采14个.问这几天当中有几天有雨？

2．有一水池，只打开甲水龙头要24分钟注满水池，只打开乙水龙头要36分钟才

注满水池.现在先打开甲水龙头几分钟，然后关掉甲，打开乙水龙头把水池注满.已

知乙水龙头比甲水龙头多开26分钟.问注满水池总共用了多少分钟?

3．某工程甲队独做50天可以完成，乙队独做75天可以完成。现在两队合做,但是

中途乙队因另有任务调离了若干天。从开工后40天才把这项工程做完。问乙队中

途离开了多少天？

4．小华从家到学校，步行一段路后就跑步。他步行速度是每分钟600，跑步速度是

每分钟140米。虽然步行时间比跑步时间多4分钟，但步行的距离却比跑步的距离

少400米。问从家到学校多远?

(完整版)鸡兔同笼问题五种基本公式和例题讲解

5．有16位教授，有人带1个研究生，有人带2个研究生,也有人带3个研究生.他

们共带了27位研究生。其中带1个研究生的教授人数与带2，3个研究生的教授人

数一样多.问带2个研究生的教授有几人？

6．某商场为招揽顾客举办购物抽奖.奖金有三种:一等奖1000元，二等奖250元,

三等奖50元。共有100人中奖，奖金总额为9500元。问二等奖有多少名？

7．有一堆硬币，面值为1分,2分，5分三种，其中1分硬币个数是2分硬币个数

的11倍.已知这堆硬币面值总和是1元，问5分的硬币有多少个？

四、答案

习题一

1．龟75只，鹤25只。

2．象棋9副，跳棋17副。

3．2分硬币92个，5分硬币23个。

应将总钱数2。99元分成24+5=13（份），其中2分钱数占24=8(份），5分钱数

占5份。

4．2元与5元各20张，10元有10张.

(完整版)鸡兔同笼问题五种基本公式和例题讲解

2元与5元的张数之和是

（1050-240）[10-(2+5)2］=40（张）.

5．甲先做了4天。

提示：把这件工程设为36份，甲每天做3份，乙每天做2份。

6．第一种路段有14段，第二种路段有11段.

第一种路段全长13千米，第二种路段全长9千米，全赛程281千米，共25段，是

标准的"鸡兔同笼”.

7．最多可买1角邮票6张.

假设都买4分邮票，共用415=60（分），就多余100-60=40(分）.买一张1角邮

票，可以认为4分换1角，要多6分。406=6……4,最多买6张.最后多余4分，

加在一张4分邮票上，恰好买一张8分邮票.

习题二

1．语文书1.74元,数学书1。30元。

(完整版)鸡兔同笼问题五种基本公式和例题讲解

设想语文书每本便宜0.44元，因此数学书的单价是

（83.4-0。4430）（30+24）。

2．买甲茶3.5千克，乙茶8.5千克。

甲茶数=（9612-354）（132+96）=3.5（千克）

3．一连运了27天。

晴天数=(113+27）(16—11)=12（天)

4．小华做对了16题.

76分比满分100分少24分。做错一题少6分，不做少5分。24分只能是64。

5．甲中8发，乙中6发。

假设甲中10发,乙就中14-10=4（发）.甲得410=40（分），乙得54-36=2(分).

比题目条件"甲比乙多10分”相差(40—2）-10=28（分），甲少中1发，少4+2=6

（分），乙可增5+3=8（分）。

28（6+8）=2。

(完整版)鸡兔同笼问题五种基本公式和例题讲解

甲中10—2=8(发）。

习题三

1．295分

解：每2。5个2分可换1个5分，即每换1个5分，个数就减少1.5个。已知减

少了100-79=21个，所以换成的5分的个数=211.5=14个。也就是说,是用514=70

分钱换成了5分,所以2分币是702=35个.同理，每5个1分可换1个5分，即

每换1个5分，个数就减少4个.已知减少了79—63=16个，所以换成的5分的个

数=164=4个。也就是说，用54=20分换成了5分,所以1分币是201=20个。

原有2分及5分硬币共价值：352+455=295分.

8鸡兔同笼公式

公式1：（兔的脚数总只数－总脚数)（兔的脚数－鸡的脚数）=鸡的只数

总只数－鸡的只数=兔的只数

公式2：（总脚数－鸡的脚数总只数）(兔的脚数－鸡的脚数）=兔的只数

总只数－兔的只数=鸡的只数

公式3：总脚数2—总头数=兔的只数

(完整版)鸡兔同笼问题五种基本公式和例题讲解

总只数—兔的只数=鸡的只数

公式4：鸡的只数=（4鸡兔总只数-鸡兔总脚数）2兔的只数=鸡兔总只数-鸡的

只数

公式5：兔总只数=（鸡兔总脚数—2鸡兔总只数）2鸡的只数=鸡兔总只数—兔

总只数

公式6：（头数x4-实际脚数）2=鸡

公式7：4+2（总数－x)=总脚数（x=兔，总数－x=鸡数，用于方程）

公式8：鸡的只数:兔子的只数=兔子的脚数—（总脚数总只数）：(总脚数总只

数）-鸡的脚数