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要深入理解“反函数”的概念，毫无疑问，前提是先理解“函数”的概念。

功能

要知道，英语中“函数”的对应词是function，通常缩写为f，所谓的“函数”其实就是某种规则，在这种规则下，每一个有意义的(允许的)输入都会转化为唯一确定的输出。

一组所有有意义的(允许的)输入值是一个函数的定义域。常规转换后的所有输出值的集合就是函数的值域。

对于函数的定义，需要理解的要点是:

1)函数是特定的处理规则；

2)每个输入经过处理后都能产生唯一的输出；

3)两个不同的输入可以对应于相同的输出。

我们通常用图像来理解函数。有一种方法叫“垂直测试”，可以直观简单的判断一个图像是不是函数。例如，下图不是一个函数。

垂直检查它是否是函数P1。

垂直于x轴的虚线表示对于相同的x值，产生两个完全不同衡水学校的输出值。

反函数

从命名中也可以看出，反函数并不是一个单独的存在，而是一个相对于“函数”的概念。对于某个函数舅舅和外甥女的关系红黑带F，可以用下面的映射来表示:

P2函数映射定义

在上面的例子中，定义集合A的所有三个输入在被函数F变换之后，对应于具有两个元素的值范围集合B。

对于这样的函数关系，可以看作是一种正向转换。如果把集合B的元素作为输入，是否存在函数关系G？G转换后，输出只是一个？也就是说，对于B的每个元素，对a中确定的唯一元素进行反向转换。

从上图来看，这样的转换是可以的，但是P2的函数f反过来转换就会有问题。B中的一个元素，转换成A后，对应两个不同的元素，不符合函数的定义。所以，至少，上面P1的函数f没有逆变换。

什么样的函数可以有反向函数转换？不难知道，只要元素A和B之间的转换满足一一对应。这样我们就可以定义，对于一对一的函数关系F，有一个函数G定义在F的值域B上，以B为输入，输出正好是F的定义域A，这就是反函数的定义。

P3反函数关系

重要提示

关于函数和反函数的定义，重点是:

1)反函数的前提是一一映射；

2)一对F和G是反函数，F的定义域是G的定义域，F的定义域是G的定义域；

3)f(g放假安排2019(x)) = x，g(f(x))=x，经过逆变换回到自身。

4)如果知道其中一个函数图像是互为反函数的，可水的循环过程以简单地变换得到同一个坐标系中的另一个函数图像。你知道怎么做吗？