三角形三

三角形的性质

1.三角形的任何两边的和一定大于第三边，由此亦可证明得三角形的任意两边的差一定小于第三边。

2.三角形内角和等于180度

3.等腰三角形的顶角平分线，底边的中线，底边的高重合，即三线合一。

4.直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方--勾股定理。直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。

5.三角形共有六心：三角形的内心、外心、重心、垂心、欧拉线内心：三条角平分线的交点，也是三角形

内切圆的圆心。性质：到三边距离相等。外心：三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。性质：到三

个顶点距离相等。重心：三条中线的交点。性质：三条中线的三等分点，梦见坐船 到顶点距离为到对边中点距离的2

倍。垂心：三条高所在直线的交点。性质：此点分每条高线的两部分乘积旁心：三角形任意两角的外角平分

线和第三个角的内角平分线的交点性质：到三边的距离相等。界心：经过三角形一顶点的把三角形周长分成

1：1的直线与三角形一边的交点。性质：三角形共有3个界心，三个界心分别与其对应的三角形顶点相连而

成的三条直线交于一点。欧拉线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直

线就叫三角形的欧拉线。

6.三角形的外角（三角形内角的一边与其另一边的延长线所组成的角）等于与其不相邻的内角之和。

7.一个三角形最少有2个锐角。

8.三角形的角平分线:三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三

角形的角平分线

9.等腰三角形中，等腰三角形顶角的平分线平分底边并垂直于底边。

10.勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a,b,c有下面关系那么a??+b??=c??那么这个三角形就一定是直角

三角形。三角形的边角之间的关系（1）三角形三内角和等于180；（2）三角形的一个外角等于和它不相邻的

两个内角之和；（3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；（4）三角形两边之和大于第三边，

两边之差小于第三边；（5）在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边.（6）三角形中的四条特殊的线段：

角平分线，中线，高，中位线.（7）三角形的角平分线的交点叫做三角形的内心，它是三角形内切圆的圆心，

它到各边的距离相等.（8）三角形的外接圆圆心，即外心，是三角形三边的垂直平分线的交点，它到三个顶

点的距离相等.（9）三角形的三条中线的交点叫三角形的重心，它到每个顶点的距离等于它到对边中点的距

离的2倍。（10）三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。（11）三角形的中位线平行于第三边且等于第三

边的1/2。注意：①三角形的内心、重心都在三角形的内部

.②钝角三角形垂心、外心在三角形外部。

③直角三角形垂心、外心在三角形的边上。（直角三角形的垂心为直角顶点，外心为斜边中点。）④锐角三

角形垂心、外心在三角形内部。特殊三角形

1.相似三角形（1）形状相同但大小分歧的两个三角形叫做相似三角形（2）相似三角形性高中物理公式大全 质相似三角形对

应边成比例，对应角相等相似三角形对应边的比叫做相似比相围魏救赵 似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相

似比的平方相似三角形对应线段（角平分线、中线、高）相等（3）相似三角形的判定【1】三边对应成比例

则这两个三角形相似【2】两边对应成比例及其夹角相等，则两三角形相似【3】两角对应相等则两三角形相

似

2.全等三角形（1）能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.（2）全等三角形的性质。全等三角形对应

角（边）相等。全等三角形的对应线段（角平分线、中线、高）相等、周长相等、面积相等。（3）全等三角

形的判定

①SAS②ASA③AAS④SSS⑤HL(RT三角形)

3.等腰三角形等腰三角形的性质：（1）两底角相等；（2）顶角的角平分线、底边上的中线和底边上的高互

相重合；等腰三角形的判定：（1）等角对等边；（2）两底角相等；

4.等边三角形等边三角形的性质：（1）顶角的角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合；（2）等边

三角形的各角都相等，而且都等于60。等边三角形的判定：（1）三个角都相等的三角形是等边三角形；（2）

有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形.三角形的面积公式

(1)S△=1/2*ah（a是三角形的底，h是底所对应的高）

(2)S△=1/2*ac*sinB＝1/2*bc*sinA＝1/2怎样自制奶油 *ab*sinC（三个角为∠A∠B∠C，对边分别为a,b,c，拜见三角函数）

(3)S△=√〔s*（s-a）*（s-b）*（s-c）〕【s=1/2(a+b+c)】

(4)S△=abc/（4R）【R是外接圆半径】

(5)S△=1/2*(a+b+c)*r【r是内切圆半径】

(6)|ab1|

S△=1/2*|cd1|

|ef1|【|ab1|

|cd1|为三阶行列式,此三角形ABC在平面直角坐标系内A(a,b),B(c,d),C(e,f),这里ABC

|ef1|选区取最好按逆时针顺序从右上角开始取，因为这样取得出的结果一般都为正值，如果不按这个规

则取，可能会得到负值，但没关系，只要取绝对值就可以了，不会影响三角形面积的大小！】生活中的三角形

物品雨伞、帽子、彩旗、灯罩、风帆、小亭子、雪山、楼顶、切成三角形的西瓜、火炬冰淇淋、热带鱼的边

沿线、蝴蝶翅膀、火箭、竹笋、浮图、金字塔、三角内裤、机器上用的三角铁、某些路标、长江三角洲、斜

拉桥等。三角形全等的条件注意:只有三个角相等无法推出两个三角形全等（1）三边对应相等的两个三角形

相等，简写为“SSS”。（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“ASA”。（3）两角和其中一角

的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“AAS”。（4）两边和它们的夹角对应相小小智慧树小星星 等的两个三角形全等，简写

成“SAS”。（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“HL”。全等三角形的性质全等三角

形的对应角相等，对应边也相等。三角形中的线段中线：顶点与对边中点的连线，平分三角形。高：顶点到

对边垂足的连线。角平分线：顶点到两边距离相等的点所构成的直线。中位线：任意两边中点的连线。三角

形相关定理重心定理三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍．上述交点

叫做三角形的重心.外心定理三角形的三边的垂直平分线交于一点．这点叫做三角形的外心.垂心定理三角形的

三条高交于一点．这点叫做三角形的垂心.内心定理三角形的三内角平分线交于一点．这点叫做三角形的内心.

旁心定理三角形一内角平分线和另外两顶点龙眼英语 处的外角平分线交于一点．这点叫做三角形的旁心．三角形有三

个旁心．三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心．它们都是三角形的重要相关点．中位

线定理三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．三边关系定理三角形任意两边之和大于第三边，

任意两边之差小于第三边．勾股定理在Rt三角形ABC中，A≤90度，则

ABAB+ACAC=BCBCA〉90度，则

ABAB+ACAC>BCBC梅涅劳斯定理梅涅劳斯（Menelaus）定理是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。它指

出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1。

证明：过点A作AG‖BC交DF的延长线于G,则AF/FB=AG/BD,BD/DC=BD/DC,CE/EA=DC/AG。三式相乘得：

AF/FBBD/DCCE/EA=AG/BDBD/DCDC/AG=1它的逆定理也成立：若有三点F、D、E分别在的边AB、BC、CA

或其延长线上，且满足(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1，则F、D、E三点共线。利用这个逆定理，可以判断三点共

线。塞瓦定理设O是△ABC内任意一点，

AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则BD/DC*CE/EA*AF/FB=1证法简介（Ⅰ）本题可利用梅涅劳斯定理

证明：∵△ADC被直线BOE所截，∴CB/BD*DO/OA*AE/EC=1①而由△ABD被直线COF所截，∴

BC/CD*DO/OA*AF/BF=1②

②①:即得：BD/DC*CE/EA*AF/FB=1（Ⅱ）也可以利用面积关系证明

∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC③同理

CE/EA=S△BOC/S△AOB④AF/FB=S△AOC/S△BOC⑤

③④⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点:设三边AB、BC、AC的

垂足分别为D、E、F，根据塞瓦定理逆定理，因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA）

/[(CD*ctgB）]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/

[(AE*ctgB)]=1，所以三条高CD、AE、BF交于一点。