欧式

欧式空间的定义

欧几里德空间编辑欧式空间一般指欧几里德空间

欧氏空间是一个特别的度量空间，它使得我们能够对其的拓扑性质，在包含了

欧氏几何和非欧几何的流形的定义上发挥了作用。

简介编辑

约在公元前300年，古希腊数学家欧几里得建立了角和空间中距离之间联系的

法则，现称为欧几里得几何。欧几里得首先开发了处理平面上二维物体的“平面几

何”，他接着分析三维物体的“立体几何”，所有欧几里得的公理已被编排到叫做

二维或三维欧几里得空间的抽象数学空间中。

这些数学空间可以被扩展来应用于任何有限维度，而这种空间叫做 n 维欧几里

得空间(甚至简称  n维空间)或有限维实内积空间。

这些数学空间还可被扩展到任意维的情形，称为实内积空间(不一定完备)，希

尔伯特空间在高等代数教科书中也被称为欧几里得空间。为了开发更高维的欧几里

得空间，空间的性质必须严密地表达并被扩展到任意维度。尽管这样做的结果导致

数学非常抽象，但却捕获了我们熟悉的欧几里得空间的根本本质，即平面性。还另

存在其他种类的空间，例如球面则非欧几里得空间，相对论所描述的四维时空在重

力出现的时候也不是欧几里得空间。

有一种方法论把欧几里得平面看作满足可依据距离和角表达的特定联系的点所

成的集合。其一是平移，它意味着移动这个平面就使得所有点都以相同方向移动相

同距离。其二是关于在这个平面中固定点的旋转，其中在平面上的所有点关于这个

固定点旋转相同的角度。欧几里得几何的一个基本原则是，如果通过一序列的平移

和旋转可以把一个图形变换成另一个图形，平面的两个图形(也就是子集)应被认为

是等价的(全等)。(宅斗文推荐 参见欧几里得群)。

欧几里得空间的最后问题是它在技术上不是向量空间，而是向量空间作用于其

上仿射空间。直觉上，区别在于对于原点应当位于这个空间的什么地方没有标准选

择，因为它可以到处移动。这种技术本文中很大程度上被忽略了。

欧几里德空间(EuclideanSpace)，简称为欧氏空间(也可以称为平直空间)，

在数学中是对欧几里德所研究的2维和3维空间的一般化。这个一般化把欧几里德

对于距离、以及相关的概念长度和角度，转换成任意数维的坐标系。这是有限维、

实和内积空间的“标准”例子。欧氏空间是一个特别的度量空间，它使得我们能

够对其的拓扑性质，例如紧性加以调查。内积空间是对欧氏空间的一般化。内积空

间和度量空间都在泛函分析中得到了探讨。

欧几里德空间在对包含了欧氏几何和非欧几何的流形的定义上发挥了作用。一

个定义距离函数的数学动机是为了定义空间中围绕点的开球。这一基本的概念正当

化了在欧氏空间和其他流形之间的微分。微分几何把微分，会同导入机动性手法，

局部欧氏空间，探讨了非欧氏流形的许多性质。

当一个线性空间定义了内积运算之后它就成为了欧几里德空间。欧几里德空间

是无穷大的。

严格定义编辑

定义

设V是实数域R上的线性空间(或称为向量空间)，若V上定义着正定对称双线

性型g(g称为内积)，则V称为(对于g的)内积空间或欧几里德空间(有时仅当V是

有限维时，才称为欧几里德空间)。具体来说，g是V上的二元实值函数，满足如

下关系:

(1)g(x,y)=g(y,x);

(2)g(x+y,z)=g(x,z)+g(y,z);

(3)g(kx,y)=kg(x,y);

(4)g(x,x)>=0，而且g(x,x)=0当且仅当x=0时成立。

这里x,y,z是V中任意向量，k是任意实数。

(即定义了内积的实线性空间V为实内积空间或欧几里得空间,简称欧式空间)

例子

1.(经典欧几里德空间E^n)在n维实向量空间R^n中定义内积

(x,y)=x_1y_1+...+x_ny_n，则R^n为欧几里德空间。(事实上，任意一个n维

欧几里德空间V等距同构于E^n。)

2.设V是[0,1]区间上连续实函数全体，则V是R上线性空间，对于如下内积

是欧几里德空间:(f,g)定义为fg在[0,1]区间上的积分值。

欧几里德介绍编辑

亚历山大里亚的欧几里德(希腊文:，约公元前330年—前

275年)，古希腊川崎病病因 数学家，被称为“几何之父”。他活跃于托勒密一世(公元前323

年,前283年)时期的亚历山大里亚，他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基

础，提出五大公设，发展欧几里德几何，被广泛的认为是历史上最成功的教科书。

欧几里得也写了一些关于透视、圆锥曲线、球面几何学及数论的龙眼苗 作品。

欧几里德生于雅典，当时雅典就是古希腊文明的中心。浓郁的文化气氛深深地

感染了欧几里得，当他还是个十几岁的少年时，就迫不及待地想进入“柏拉图学

园”学习。

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•【优美语句】生活如海，宽容作舟，泛舟于海，方知海之宽阔;生活如山，

宽容为径，循径登山，方知山之高大;生活如歌，宽容是曲，和曲而歌，方知歌之

动听。顶0收藏0

•【优美语句】母爱就是一幅山水画，洗去铅华雕饰，留下清新自然;母爱就

象一首深情的歌，婉转悠扬，轻吟浅唱;母爱就是一阵和煦的风，吹去朔雪纷飞，

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•【优美语句】努力奋斗，天空依旧美丽，梦想仍然纯真，放飞自我，勇敢

地飞翔于梦想的天空，相信自己一定做得更好。

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•【优美语句】品味生活，完善人性。存在就是机会，思考才能提高。人需

要不断打碎自己，更应该重新组装自己。

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•【优美语句】母爱是一缕阳光，让你的心灵即使在寒冷的冬天也能感到温

暖如春;母爱是一泓清泉，让你的情感即使蒙上岁月的风尘依然纯洁明净。

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•【优美语句】母爱是温暖心灵的太阳;母爱是滋润心灵的雨露;母爱是灌溉

心灵的沃土;母爱是美化心灵的彩虹。

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•【优美语句】一轮金色的光圈印在海面，夕阳将最后的辉煌撒向了大海，

海平面波光潋滟，金光闪闪，夕阳下的海水让最后一丝蓝也带着感动。温和的海水

轻轻地拍打着我的脚踝，我张开双臂拥抱最温馨的时刻„„我爱大海宽广的胸怀，无

论多大的风浪，她都可以揽入怀中;无论多少风雨，都无法将她击垮;无论多少河

流，她都可以容纳;我愿做一只填海的燕，填平她的波涛翻滚，填平她的汹涌愤

怒，只留下平静、柔和的海面。