Java实现黄金分割法的示例代码

1、概述

黄金分割法是一种区间收缩方法。

所谓区间收缩方法，指的是将含有最优解的区间逐步缩小，直至区间长度为零的方法。比如，为求函数f(x)在区间[a,b]上的最小值点，可在该区间中任取两点x1、x2,通过比较函数f(x)在这两点的函数值或者导数值等，来决定去掉一部分区间[a,x1​]或者[x2​,b],从而使搜索区间长度变小，如此迭代，直至区间收缩为一点为止，或区间长度小于某给定的精度为止。

对于区间[a,b]上的单峰函数f(x)，可以在其中任意选取两点x1​、x2​，通过比较这两点的函数值，就可以将搜索区间缩小。比如说，如果f(x1​)<f(x2​)，则选取[a1​,b1​]=[a,x2​]，如果f(x1​)> f(x2​)，则选取[a1​,b1​]=[x1​,b]，如果f(x1​)=f(x2)，则选取[a1​,b1​]=[x1​,x2​]，这样就得到f(x)的更小的搜索区间[a1​,b1​]，然后根据这一方法再进行划分,得到一系列搜索区间满足

于是对事先给定的某个精度ε,当

时，可以将f(x)的最小值点近似地取为

单峰函数与搜索区间的定义如下：

如何选取x1和x2才能使得算法的效率更高？

这里思念家乡的古诗100首推导过程不在详细讨论，直接给出满足对称取点、等比收缩和单点计算三个原则的分点。

或者

2、黄金分割法

算法描述如下：

这个算法非常理想，整个迭代过程中。除最初计算分点时使用过一次乘法外，后边的分点全部都由加减法完成，并且每次迭代只需计算一个分点的函数值。但是，在实际应用中，该方法存在一定的缺陷。这种缺陷主要来源于无理数(-1+√5)/2的取值。这里我们只取了小数点后三位数。因而有一定误差，所以在瞧这两家子迭代过程中，经过多次累计，误差就会很大，从而导致最终选取的两点并不一定是我们所期望的那两点，事实上，常常发生x2小于x1的情形。

为避免这种情况的出现，我们也可以通过将无理数(-1+√5)/2小数点后面的位数提高来避免算法的这一缺陷。不过这样做的效果未必很好。因为我们不知道在算法中到底要经过多少次迭代，当迭代次数很大时，这种做法依然是不能奏效的。因此，我们在程序中每次计算分点时不得不根据算法原理，使用一次乘法，即第二个分点不用加减法产生，而直接用乘法计算得出。由此即可避免累计误差所带来的缺陷。我们仍假设f(x)是区间[a，b]上的单峰函数。修改后的黄金分割法的计算框图如下图所示。

3、修改后的黄金分割算法

修改后的黄金分割算法如下：

4、编程实现修改后的黄金分割算法

用黄金分割法求函数 f(x)=x³-12x-11在区间[0,海蓝宝的作用10]上的最小值点，取ε=0.01。

import java.math.bigdecimal;/** * 黄金分割法测试 */public class goldencut {    public static final bigdecimal c=new bigdecimal("0.01");    public static  bigdecimal end=null;    /**     *x^3-12x-11     * @param x 输入参数x     * @return x^3-12x-11     */    public static bigdecimal computefx(bigdecimal x){        return x.pow(3).subtract(new bigdecimal("12").multiply(x)).subtract(new bigdecimal("11"))                .tscale(10,bigdecimal.round_half_even);    }    /**     * a+0.382*(b-a)     * @param a     * @param b     * @return a+0.382*(b-a)     */    public static bigdecimal compute382(bigdecimal a,bigdecimal b){        return a.add(new bigdecimal("0.382").multiply(b.subtract(a)))                .tscale(10,bigdecimal.round_half_even);    }    /**     * a+0.618(b-a)     * @param a     * @param b     * @return     */    public static bigdecimal compute618(bigdecimal a,bigdecimal b){        return a.add(new国学感悟 bigdecimal("0.618").multiply(b.subtract(a)))                    .tscale(10,bigdecimal.round_half_even);    }    /**     * a+b-x1     * @param a     * @param b     * @param x1     * @return     */    public static bigdecimal subtractabx1(bigdecimal a,bigdecimal b,bigdecimal x1){        return a.add(b).subtract(x1)                .tscale(10,bigdecimal.round_half_even);    }    //判断是否满足精度 b-a<c？    public static boolean ok(bigdecimal a,bigdecimal b){        return b.subtract(a).compareto(c) < 0;    }    //输出最优解    public static bigdecimal success(bigdecimal a, bigdecimal b){        return (a.add(b)).divide(new bigdecimal("2"))                .tscale(10,bigdecimal.round_half_even);    }    //修改后的黄金分割法    public static void goldentest1(bigdecimal a,bigdecimal b){        system.out.println("初始化");        bigdecimal x1=compute382(a,b);        bigdecimal x2=subtractabx1(a,b,x1);        bigdecimal f1=computefx(x1);        bigdecimal f2=computefx(x2);        system.out.println("x1="+x1);        system.out.println("x2="+x2);        system.out.println("f1="+f1);        system.out.println("f2="+f2);        system.out.println("迭代区间如下:");        int count=0;    //迭代次数        while(!ok(a,b)){//只要不满足精度就一直迭代            system.out.println("["+a+"\t,\t"+b+"]");            count++;    //迭代次数+1            if(f1.compareto(f2)==1){//f1>f2                a=x1;                if(ok(a,b)){     //精度判断                    end = success(a, b);                    break;                }el{                    f1=f2;  环保公益项目                  x1=x2;                    x2=compute618(a,b);                    f2=computefx(x2);                }            }el{                b=x2;                if(ok(a,b)){                    end = success(a, b);                    break;                }el{                    f2=f1;                    x2=x1;                    x1=compute382(a,b);                    f1=computefx(x1);                }            }        }        system.out.println("迭代结束,迭代次数"+count);    }    public static void main(string[] args) {        bigdecimal a=new bigdecimal("0");        bigdecimal b=new bigdecimal("10");        goldentest1(a,b);        system.out.println("最优解为x*="+end);        system.out.println("f(x*)="+computefx(end));    }}

由运行结果可以看到，迭代次数15次，最优解为x*=2.0009942948,f(x*)=-26.9999940673。迭代区间如下：

可以证明，黄金分割法是线性收敛的。

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