余下部分

【解析版】2020—2021学年北京十三中七年级下期中

数学试卷

一、选择题（本题共30分，每小题3分）以下每个小题中，只有一个选项是符合题意的.

1．已知a＜b，则下列四个不等式中，不正确的是（）

A．a﹣2＜b﹣2B．﹣2a＜﹣2bC．2a＜2bD．a+2＜b+2

2．在下列各数：0.51525354…、0、0.、3、、6.101001、3、中，无理数的个数

是（）

A．1B．2C．3D．4

3．利用数轴确定不等式组的解集，正确的是（）

A．B．C．

D．

4．如图所示的图案分别是大众、奥迪、奔腾、三菱汽车的车标，其中，能够看作由“差不多

图案”通过平移得到的是（）

A．B．C．D．

5．如图，AB∥CD∥EF，AF∥CG，则图中与∠A（不包括∠A）相等的角有（）

A．5个B．4个C．3个D．2个

6．下列说法正确的是（）

A．同位角相等

B．在同一平面内，假如a⊥b，b⊥c，则a⊥c

C．相等的角是对顶角

D．在同一平面内，假如a∥b，b∥c，则a∥c

7．如图，把一块含有45角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．假如∠1=20，那

么∠2的度数是（）

A．30B．25C．20D．15

8．如图，AB∥CD，且∠BAP=60﹣，∠APC=45+，∠PCD=30﹣，则=（）

A．10B．15C．20D．30

9．若不等式组的解集是x＞3，则m的取值范畴是（）

A．m≤3B．m＞3C．m＜3D．m=3

10．关于x的不等式组只有5个整数解，则a的取值范畴是（）

A．3＜a＜B．3≤a＜C．3＜a≤D．3≤a≤

二、细心填一填（本题共20分，每小题2分）

11．如图，直线a，b被直线c所截．若a∥b，∠1=30，则∠2=．

12．比较大小：﹣2﹣3（填“＜”或“=”或“＞”）

13．的平方根是．

14．关于x的不等式2x﹣a≤﹣3的解集如图所示，则a的值是．

15．若一个多边形的每一个外角都等于40，则那个多边形的边数是．

16．若不等式组的解集是．

17．如图，已知，AB∥CD，B是∠AOC的角平分线OE的反向延长线与直线AB的交点，

若∠A+∠C=90，∠ABE=15，则∠C=．

18．幼儿园把新购进的一批玩具分给小朋友，若每人3件，那么还剩余59件；若每人5件，

那么最后一个小朋友能分到玩具，但不足4件，共有小朋友人，这批玩具共有

件．

19．如图，把一个三角形纸片ABC顶角向内折叠3次之后，3个顶点不重合，那么图中

∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数和是．

20．如图，对面积为1的△ABC逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB、BC、CA

至点A

1

、B

1

、C

1

，使得A

1

B=2AB，B

1

C=2BC，C

1

A=2CA，顺次连接A

1

、B

1

、C

1

，得到△A

1

B

1

C

1

，

记其面积为S

1

；第二次操作，分别延长A

1

B

1

、B

1

C

1

、C

1

A

1

至点A

2

、B

2

、C

2

，使得A

2

B

1

=2A

1

B

1

，

B

2

C

1

=2B

1

C

1

，C

2

A

1

=2C

1

A

1

，顺次连接A

2

、B

2

、C

2

，得到△A

2

B

2

C

2

，记其面积为S

2

；按此

规律连续下去，可得到△A

n

B

n

C

n

，记其面积为S

n

．则S

1

=，S

n

=．

三．运算题：（每题5分，共25分）

21．运算：+．

22．解不等式：﹣1．

23．解不等式组把解集在数轴上表示，并求不等式组的整数解．

24．完成下面的证明：

已知：如图，AB∥CD∥GH，EG平分∠BEF，FG平分∠EFD，求证：∠EGF=90．

证明：∵HG∥AB，HG∥CD（已知）；

∴∠1=∠3

∴∠2=∠4．

∵AB∥CD（已知）；

∴∠BEF+=180．

又∵EG平分∠BEF，FG平分∠EFD（已知）

∴∠1=∠

∠2=∠．

∴∠1+∠2=（+）．

∴∠1+∠2=90；

∴∠3+∠4=90，即∠EGF=90．

25．如图所示，在△ABC中，∠B=∠C，∠BAD=40，同时∠ADE=∠AED，求∠CDE的

度数．

四．解答题：（每题6分，共18分）

26．为了更好治理流溪河水质，爱护环境，市治污公司决定购买10台污水处理设备．现有

A，B两种型号的设备，其中每台的价格，月处理污水量如表：

A型B型

价格（万元/台）ab

处理污水量（吨/月）240200

经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台

B型设备少6万元．

（1）求a，b的值．

（2）经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过105万元，你认为该公司有哪几

种购买方案．

（3）在（2）问的条件下，若每月要求处理流溪河两岸的污水量不低于2040吨，为了节约

资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案．

27．已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AC为对角线，点E在BC边上，点F在

AB边上，且∠1=∠2．

（1）求证：EF∥AC；

（2）若CA平分∠BCD，∠B=50，∠D=120，求∠BFE的度数．

28．已知关于x，y的方程组的解是非负数，求整数m的值．

五、解答题（本题共7分，第29题3分，第30题4分）

29．阅读材料：学习了无理数后，某数学爱好小组开展了一次探究活动：估算的近似值．

小明的方法：

∵＜＜，设=3+k（0＜k＜1），

∴（）2=（3+k）2

，

∴13=9+6k+k2

，

∴13≈9+6k，解得k≈，

∴≈3+≈3.67．

（上述方法中使用了完全平方公式：（a+b）

2=a2+2ab+b2

，下面可参考使用）问题：

（1）请你依照小明的方法，估算≈（结果保留两位小数）；

（2）请结合上述具体实例，概括出估算的公式：已知非负整数a、b、m，若a＜＜a+1，

且m=a

2+b，则≈（用含a、b的代数式表示）．

30．如图，已知直线l

1

∥l

2

，且l

3

和l

1

，l

2

分别交于A、B两点，l

4

与l

1

，l

2

分别交于C、D

两点，点P在直线AB上，且在l

4

的右侧．

（1）如图，试猜想：∠1，∠2，∠CPD之间的关系；

（2）假如点P在A、B两点之间运动时，∠1，∠2，∠CPD之间的关系是否发生变化？（只

说结论，不要求证明）

（3）假如点P在A、B两点的外侧运动时，试探究∠1，∠2，∠CPD之间的关系．

（点P和A、B不重合），并加以证明．

六．附加题（1题7分，2题6分，3题7分，共20分）说明：本附加题共20分，请实验

班和一般班有能力的同学在完成好100分试卷的前提下，完成以下题目．

31．如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB

1

折叠，点B落在A

1

处．剪掉重叠部分；

将余下部分沿∠B

1

A

1

C的平分线A

1

B

2

折叠，点B

1

落在A

2

处．剪掉重叠部分；…；将余下

部分沿∠B

n

A

n

C的平分线A

n

B

n+1

折叠，点B

n

与点C重合，不管折叠多少次，只要最后一

次恰好重合，∠BAC是△ABC的好角．

小丽展现了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形．情形一：如图2，沿等腰三角形ABC

顶角∠BAC的平分线AB

1

折叠，点B与点C重合；情形二：如图3，沿∠BAC的平分线

AB

1

折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿∠B

1

A

1

C的平分线A

1

B

2

折叠，现在点B

1

与点C

重合．

（1）情形二中，∠B与∠C的等量关系．

（2）若通过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C的等量关系．

（3）假如一个三角形的最小角是4，直截了当写出三角形另外两个角的度数，使该三角形

的三个角均是此三角形的好角．

答：．

32．我们把由“四舍五入”法对非负有理数x精2019感动中国十大人物 确到个位的值记为＜x＞．如：＜0＞=＜0.48

＞=0，＜0.64＞=＜1.493＞=1，＜2＞=2，＜2.5＞=＜3.12＞=3，…

解决下列问题：

（1）填空：①若＜x＞=6，则x的取值范畴是；

②若＜x＞=，则x的值是；

（2）若m为正整数，试说明：＜x+m＞=＜x＞+m恒成立．

33．在Rt△ABC中，∠ACB=90，∠ABC=45，点E在线段BC上，射线ED⊥AB于点D．

（1）如图1，点F在线段DE上，过F作MN∥BC，M分别交AB、AC于点M、N，点G

在线段AF上，且∠GFN=∠GNF，∠GDF=∠GFD．

①试判定DG与NG有如何样的位置关系？直截了当写出你的结论；

②求证：∠1=∠2；

（2）如图2，点F在线段ED的延长线上，过F作FN∥BC，M分别交AB、AC于点M、

N，点G在线段AF上，且∠GFN=∠GNF，∠GDF=∠GFD．试探究DG与NG的位置关系，

并说明理由．

2020-2020学年北京十三中七年级（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本题共30分，每小题3分）以下每个小题中，只有一个选项是符合题意的.

1．已知a＜b，则下列四个不等式中，不正确的是（）

A．a﹣2＜b﹣2B．﹣2a＜﹣2bC．2a＜2bD．a+2＜b+2

考点：不等式的性质．

专题：运算题．

分析：依照不等式两边加上（或减去）同一个数，不等号方向不变可对A、D进行判定；

依照不等式两边乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变对B进行判定；依照不等式

两边乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变对C进行判定．

解答：解：A、若a＜b，则a﹣2＜b﹣2，故A选项正确；

B、若a＜b，则﹣2a＞﹣2b，故B选项错误；

C、若a＜b，则2a＜2b，故C选项正确；

D、若a＜b，则a+2＜b+2，故D选项正确．

故选：B．

点评：本题考查了不等式的性质：不等式两边加上（或减去）同一个数，不等号方向不变；

不等式两边乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变；不等式两边乘以（或除以）同一

个负数，不等号方向改变．

2．在下列各数：0.51525354…、0、0.、3、、6.101001、3、中，无理数的个数

是（）

A．1B．2C．3D．4

考点：无理数．

分析：无限不循环小数为无理数，由此可得出无理数的个数．

解答：解：在下列各数：0.51525354…、0、0.、3、、6.101001、3、中，无理

数是在下列各数：0.51525354…、3、，

故选C

点评：此题要紧考查了无理数的定义，其中初中范畴内学习的无理数有：，2等；开方

开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有如此规律的数．

3．利用数轴确定不等式组的解集，正确的是（）

A．B．C．

D．

考点：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．

分析：先解不等式组，求出不等式组的解集，即可解答．

解答：解：

解得：，

∴不等式组的解集为：﹣1≤x＜2．

故选：B．

点评：本题考查了在数轴上表示不等式的解集，解决本题的关键是解不等式组．

4．如图所示的图案分别是大众、奥迪、奔腾、三菱汽车的车标，其中，能够看作由“差不多

图案”通过平移得到的是（）

A．B．C．D．

考点：利用平移设计图案．

分析：依照平移不改变图形的形状和大小，将题中所示的图案通过平移后能够得到的图案

是B．

解答：解：观看图形可知，图案B能够看作由“差不多图案”通过平移得到．

故选：B．

点评：本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大

小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转，而误选A、C、D．

5．如图，AB∥CD∥EF，AF∥CG，则图中与∠A（不包括∠A）相等的角有（）

A．5个B．4个C．3个D．2个

考点：平行线的性质．

分析：由平行线的性质，可知与∠A相等的角有∠ADC、∠AFE、∠EGC、∠GCD．

解答：解：∵AB∥CD，∴∠A=∠ADC；

∵AB∥EF，∴∠A=∠AFE；

∵AF∥CG，∴∠EGC=∠AFE=∠A；

∵CD∥EF，∴∠EGC=∠DCG=∠A；

因此与∠A相等的角有∠ADC、∠AFE、∠EGC、∠GCD四个，故选B．

点评：本题考查了平行线的性质，找到叉车英文 相等关系的角是解题的关键．

6．下列说法正确的是（）

A．同位角相等

B．在同一平面内，假如a下雨天的句子 ⊥b，b⊥c，则a⊥c

C．相等的角是对顶角

D．在同一平面内，假如a∥b，b∥c，则a∥c

考点：平行公理及推论；对顶角、邻补角；平行线的判定．

分析：依照平行线的性质和判定以及对顶角的定义进行判定．

解答：解：A、只有在两直线平行这一前提下，同位角才相等，故A选项错误；

B、在同一平面内，假如a⊥b，b⊥c，则a∥c，故B选项错误；

C、相等的角不一定是对顶角，因为对顶角还有位置限制，故C选项错误；

D、由平行公理的推论知，故D选项正确．

故选：D．

点评：本题考查了平行线的性质、判定，对顶角的性质，注意对顶角一定相等，但相等的

角不一定是对顶角．

7．如图，把一块含有45角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．假如∠1=20，那

么∠2的度数是（）

A．30B．25C．20D．15

考点：平行线的性质．

分析：本题要紧利用两直线平行，同位角相等作答．

解答：解：依照题意可知，两直线平行，同位角相等，

∴∠1=∠3，

∵∠3+∠2=45，

∴∠1+∠2=45

∵∠1=20，

∴∠2=25．

故选：B．

点评：本题要紧考查了两直线平行，内错角相等的性质，需要注意隐含条件，直尺的对边

平行，等腰直角三角板的锐角是45的利用．

8．如图，AB∥CD，且∠BAP=60﹣，∠APC=45+，∠PCD=30﹣，则=（）

A．10B．15C．20D．30

考点：平行线的性质．

专题：运算题．

分析：过点P作一条直线平行于AB，依照两直线平行内错角相等得：

∠APC=∠BAP+∠PCD，得到关于的方程，解即可．

解答：解：过点P作PM∥AB，

∴AB∥PM∥CD，

∴∠BAP=∠APM，∠DCP=∠MPC，

∴∠APC=∠APM+∠CPM=∠BAP+∠DCP，

∴45+=（60﹣）+（30﹣），

解得=15．

故选B．

点评：注意此类题要常作的辅助线，充分运用平行线的性质探求角之间的关系．

9．若不等式组的解集是x＞3，则m的取值范畴是（）

A．m≤3B．m＞3C．m＜3D．m=3

考点：解一元一次不等式组．

专题：运算题．

分析：先解不等式组，然然后依照不等式的解集，得出m的取值范畴即可．

解答：解：，

解①得，x＞3；

解②得，x＞m，

∵不等式组的解集是x＞3，

则m≤3．

故选A．

点评：本题考查了解一元一次不等式组，依照的法则是：大大取大，小小取小，大小小大

中间找，大大小小找不到．

10．关于x的不等式组只有5个整数解，则a的取值范畴是（）

A．3＜a＜B．3≤a＜C．3＜a≤D．3≤a≤

考点：一元一次不等式组的整数解．

分析：先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后依照整数解的个数确定a的取值范

畴即可．

解答：解：，

解不等式①得，x＜2，

解不等式②得，x≥3﹣2a，

因此，不等式组的解集是3﹣2a≤x＜2，

∵不等式组有5个整数解，

∴整数解为1、0、﹣1、﹣2、﹣3，

∴﹣4＜3﹣2a≤﹣3，

解得3≤a＜．

故选B．

点评：本题要紧考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法确实是用口诀求解．求

不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．

二、细心填一填（本题共20分，每小题2分）

11．如图，直线a，b被直线c所截．若a∥b，∠1=30，则∠2=150．

考点：平行线的性质．

分析：先依照邻补角的定义求出∠3，再利用两直线平行，同位角相等解答即可．

解答：解：∵∠1=30，

∴∠3=180﹣∠1=180﹣30=150，

∵a∥b，

∴∠2=∠3=150．

故答案为：150．

点评：本题考查了平行线的性质，邻补角的定义，熟记性质是解题的关键．

12．比较大小：﹣2＞﹣3（填“＜”或“=”或“＞”）

考点：实数大小比较；绝对值；二次根式的性质与化简．

专题：运算题．

分析：依照根式的性质把根号外得因式移到根号内，依照绝对值的大小判定即可．

解答：解：2==，3=，

∵＜，

∴﹣2＞﹣3，

故答案为：＞．

点评：本题考查了对绝对值，根式的性质，实数的大小比较等知识点的明白得和应用，关

键是明白如何比较两负数和根式的大小．

13．的平方根是2．

考点：算术平方根；平方根．

专题：运算题．

分析：先就算术平方根的定义求出的值，然后依照平方根的概念求解．

解答：解：∵8

2=64，

∴64的算术平方根是8，

又∵（2）

2=8，

∴8的平方根是2．

点评：本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平

方根是0；负数没有平方根．

14．关于x的不等式2x﹣a≤﹣3的解集如图所示，则a的值是1．

考点：在数轴上表示不等式的解集．

分析：第一用a表示出不等式的解集，然后解出a．

解答：解：∵2x﹣a≤﹣3，

∴x，

∵x≤﹣1，

∴a=1．

故答案为：1．

点评：不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“＞”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向

右画折线，“＜”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线．

15．若一个多边形的每一个外角都等于40，则那个多边形的边数是9．

考点：多边形内角与外角．

分析：依照任何多边形的外角和差不多上360度，利用360除以外角的度数就能够求出外

角和中外角的个数，即多边形的边数．

解答：解：36040=9，即那个多边形的边数是9．

点评：依照外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题

目，需要熟练把握．

16．若不等式组的解集是﹣≤x＜．

考点：解一元一次不等式组．

分析：分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．

解答：解：，由①得，x≥﹣，由②得，x＜，故不等式组得解集为：﹣

≤x＜．

故答案为：﹣≤x＜．

点评：本题考查的是解一元一次不等式组，熟知同大取大；同小取小；大小小大中间找；

大大小小找不到的原则是解答此题的关键．

17．如图，已知，AB∥CD，B是∠AOC的角平分线OE的反向延长线与直线AB的交点，

若∠A+∠C=90，∠ABE=15，则∠C=60．

考点：平行线的性质．

分析：延长AO交CD于M，依照平行线的性质得出∠A=∠AMC，求出

∠AOC=∠C+∠AMC=90，依照角平分线定义求出∠AOE=45，依照三角形外角性质求出

∠A即可．

解答：解：

延长AO交CD于M，

∵AB∥CD，

∴∠A=∠AMC，

∵∠A+∠C=90，

∴∠C+∠AMC=90，

∴∠AOC=∠C+∠AMC=90，

∵OE平分∠AOC，

∴∠AOE=90=45，

∵∠ABE=15，

∴∠A=∠AOE﹣∠ABE=30，

∴∠C=90﹣30=60，

故答案为：60

点评评教评语 ：本题考查了平行线的性质，三角形外角性质的应用，解此题的关键是求出∠AOE和

∠A的度数，题目比较好，难度适中．

18．幼儿园把新购进的一批玩具分给小朋友，若每人3件，那么还剩余59件；若每人5件，

那么最后一个小朋友能分到玩具，但不足4件，共有小朋友31人，这批玩具共有152

件．

考点：一元一次不等式组的应用．

分析：本题可设共有x个小朋友，则玩具有3x+59个，令其＜5（x﹣1）+4，令其≥5（x﹣

1）+1，化解不等式组得出x的取值范畴，则x即为其中的最小的整数．

解答：解：设共有x个小朋友，则玩具有3x+59个．

∵最后一个鸡蛋怎么做好吃 小朋友不足4件，

∴3x+59＜5（x﹣1）+4，

∵最后一个小朋友最少1件，

∴3x+59≥5（x﹣1）+1，

联立得，

解得30＜x≤31.5．

∵x取正整数31，

∴玩具数为3x+59=152．

故答案为：31，152．

点评：本题考查的是一元一次不等式的运用，要注意解不等式时不等号两边同时除以一个

负数，不等式方向要改变．

19．如图，把一个三角形纸片ABC顶角向内折叠3次之后，3个顶点不重合，那么图中

∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数和是360．

考点：三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）．

分析：由折叠可知∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=∠B+∠B'+∠C+∠C'+∠A+∠A'，又知

∠B=∠B'，∠C=∠C'，∠A=∠A'，故能求出∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数和．

解答：解：由题意知，

∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=∠B+∠B'+∠C+∠C'+∠A+∠A'，

∵∠B=∠B'，∠C=∠C'，∠A=∠A'，

∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=2（∠B+∠C+∠A）=360，

故答案为：360．

点评：本题考查的是三角形内角和定理，图形的折叠与拼接，同时考查了三角形、四边形

等几何差不多知识．

20．如图，对面积为1的△ABC逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB、BC、CA

至点A

1

、B

1

、C

1

，使得A

1

B=2AB，B

1

C=2BC，C

1

A=2CA，顺次连接A

1

、B

1

、C

1

，得到△A

1

B

1

C

1

，

记其面积为S

1

；第二次操作，分别延长A

1

B

1

、B

1

C

1

、C

1

A

1

至点A

2

、B

2

、C

2

，使得A

2

B

1

=2A

1

B

1

，

B

2

C

1

=2B

1

C

1

，C

2

A

1

=2C

1

A

1

，顺次连接A

2

、B

2

、C

2

，得到△A

2

B

2

C

2

，记其面积为S

2

；按此

规律连续下去，可得到△A

n

B

n

C

n

，记其面积为S

n

．则S

1

=19，S

n

=19n

．

考点：三角形的面积．

专题：规律型．

分析：第一依照题意，求得S

△ABC1=

2S

△ABC

，同理求得S

△A1B1C1

=19S

△ABC

，则可求得面

积S

1

的值；依照题意发觉规律：S

n

=19nS

0

即可求得答案．

解答：解：连BC

1

，

∵C

1

A=2CA，

∴S

△ABC1=

2S

△ABC

，

同理：S

△A1BC1

=2S

△ABC1

=4S

△ABC

，

∴S

△A1AC1

=6S

△ABC

，

同理：S

△A1BB1

=S

△CB1C1

=6S

△ABC

，

∴S

△A1B1C1

=19S

△ABC

，

即S

1

=19S

0

，

∵S

0

=S

△ABC

=1，

∴S

1

=19；

同理：S

2

=19S

1

=192S

0

，S

3

=193S

0

，

∴S

n

=19nS

0

=19n

．

故答案是：19；19

n

．

点评：此题考查了三角形面积之间的关系．注意找到规律：S

n

=19nS

0

是解此题的关键．

三．运算题：（每题5慎重近义词 分，共25分）

21．运算：+．

考点：实数的运算．

专题：运算题．

分析：原式第一项利用算术平方根定义运算，第二项利用立方根定义运算，第三项利用绝

对值的代数意义化简，最后一项利用二次根式的性质化简，运算即可得到结果．

解答：解：原式=7﹣3+﹣1+

=3+．

点评：此题考查了实数的运算，熟练把握运算法则是解本题的关键．

22．解不等式：﹣1．

考点：解一元一次不等式．

分析：先去分母，再去括号，移项、合并同类项，把x的系数化为1即可．

解答：解：去分母得，3（3x﹣2）≥5（2x+1）﹣15，

去括号得，9x﹣6≥10x+5﹣15，

移项得，9x﹣10x≥5﹣15+6，

合并同类项得，﹣x≥﹣4，

把x的系数化为1得，x＜4．

点评：本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的差不多步骤是解答此题

的关键．

23．解不等式组把解集在数轴上表示，并求不等式组的整数解．

考点：解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集；一元一次不等式组的整数解．

分析：先分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集并在数轴上表示出来即可．

解答：解：，

解不等式①，得x＜2．

解不等式②，得x≥﹣1．

在数轴上表示不等式①，②的解集，

那个不等式组的解集是：﹣1≤x＜2．

因此不等式组的整数解为：﹣1、0、1

点评：本题考查的是在数轴上表示一元一次不等式组的解集及解一元一次不等式组，熟知

实心圆点与空心圆点的区别是解答此题的关键．

24．完成下面的证明：

已知：如图，AB∥CD∥GH，EG平分∠BEF，FG平分∠EFD，求证：∠EGF=90．

证明：∵HG∥AB，HG∥CD（已知）；

∴∠1=∠3

∴∠2=∠4两直线平行，内错角相等．

∵AB∥CD（已知）；

∴∠BEF+∠EFD=180两直线平行，同旁内角互补．

又∵EG平分∠BEF，FG平分∠EFD（已知）

∴∠1=∠角平分线的定义

∠2=∠EFD．

∴∠1+∠2=（∠BEF+∠EFD）．

∴∠1+∠2=90；

∴∠3+∠4=90，即∠EGF=90．

考点：平行线的性质．

专题：推理填空题．

分析：此题第一由平行线的性质得出∠1=∠3，∠2=∠4，∠BEF+∠EFD=180，再由EG

平分∠BEF，FG平分∠EFD得出∠1+∠2=90，然后通过等量代换证出∠EGF=90．

解答：证明：∵HG∥AB（已知），

∴∠1=∠3，

又∵HG∥CD（已知），

∴∠2=∠4（两直线平行，内错角相等），

∵AB∥CD（已知），

∴∠BEF+∠EFD=180（两直线平行，同旁内角互补），

又∵EG平分∠BEF（已知），

∴∠1=∠BEF（角平分线的定义），

又∵FG平分∠EFD（已知），

∴∠2=∠EFD（角平分线的定义），

∴∠1+∠2=（∠BEF+∠EFD），

∴∠1+∠2=90，

∴∠3+∠4=90（等量代换）

即∠EGF=90．

故答案为：两直线平行，内错角相等，∠EFD，两直线平行，同旁内角互补，角平分线的定

义，EFD，∠BEF．

点评：本题考查了平行线的性质及角平分线的定义，找到相应关系的角是解决问题的关键．

25．如图所示，在△ABC中，∠B=∠C，∠BAD=40，同时∠ADE=∠AED，求∠CDE的

度数．

考点：三角形的外角性质；三角形内角和定理．

分析：在那个地点第一能够设∠DAE=x，然后依照三角形的内角和是180以及等腰三角形

的性质用x分别表示∠C和∠AED，再依照三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和

进行求解．

解答：解：设∠DAE=x，则∠BAC=40+x．

∵∠B=∠C，∴2∠C=180﹣∠BAC

∴∠C=90﹣∠BAC=90﹣（40英语朗诵诗歌 +x）

同理∠AED=90﹣∠DAE=90﹣x

∴∠CDE=∠AED﹣∠C=（90﹣x）﹣[90﹣（40+x）]=20．

点评：那个地点注意利用未知数抵消的方法解出了正确答案．

四．解答题：（每题6分，共18分）

26．为了更好治理流溪河水质，爱护环境，市治污公司决定购买10台污水处理设备．现有

A，B两种型号的设备，其中每台的价格，月处理污水量如表：

A型B型

价格（万元/台）ab

处理污水量（吨/月）240200

经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台

B型设备少6万元．

（1）求a，b的值．

（2）经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过105万元，你认为该公司有哪几

种购买方案．

（3）在（2）问的条件下，若每月要求处理流溪河两岸的污水量不低于2040吨，为了节约

资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案．

考点：一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．

专题：应用题．

分析：（1）依照“购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比

购买3台B型设备少6万元”即可列出方程组，继而进行求解；

（2）可设购买污水处理设备A型设备x台，B型设备（10﹣x）台，则有12x+10（10﹣x）

≤105，解之确定x的值，即可确定方案；

（3）因为每月要求处理流溪河两岸的污水量不低于2040吨，因此有240x+200（10﹣x）≥2040，

解之即可由x的值确定方案，然后进行比较，作出选择．

解答：解：（1）依照题意得：，

∴；

（2）设购买污水处理设备A型设备x台，B型设备（10﹣x）台，

则：12x+10（10﹣x）≤105，

∴x≤2.5，

∵x取非负整数，

∴x=0，1，2，

∴有三种购买方案：

①A型设备0台，B型设备10台；

②A型设备1台，B型设备9台；

③A型设备2台，B型设备8台．

（3）由题意：240x+200（10﹣x）≥2040，

∴x≥1，

又∵x≤2.5，x取非负整数，

∴x为1，2．

当x=1时，购买资金为：121+109=102（万元），

当x=2时，购买资金为：122+108=104（万元），

∴为了节约资金，应选购A型设备1台，B型设备9台．

点评：本题考查一元一次不等式及二元一次方程组的应用，解决本题的关键是读明白题意，

找到符合题意的不等关系式及所求量的等量关系，同时要注意分类讨论思想的运用．

27．已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AC为对角线，点E在BC边上，点F在

AB边上，且∠1=∠2．

（1）求证：EF∥AC；

（2）若CA平分∠BCD，∠B=50，∠D=120，求∠BFE的度数．

考点：平行线的判定与性质．

分析：（1）由平行线的性质易得∠2=∠ACB，等量代换得∠1=∠ACB，利用平行线的判

定得出结论；

（2）由平行线的性质易得∠BCD=60，由角平分线的性质可得∠ACB，易得∠1，利用三角

形的内角和定理得结论．

解答：解：（1）∵AD∥BC，

∴∠2=∠ACB，

又∵∠1=∠2，

∴∠1=∠ACB，

∴EF∥AC；

（2）∵AD∥BC，

∴∠D+∠BCD=180，

∵∠D=120，

∴∠BCD=60，

∵CA平分∠BCD，

∴∠ACB==30，

∵EF∥AC，

∴∠1=∠ACB=30，

在△FBE中，∠B+∠1+∠BFE=180，

∵∠B=50，

∴∠BFE=100．

点评：本题要紧考查了平行线的性质及判定定理，综合运用平行线的性质和判定定理是解

答此题的关键．

28．已知关于x，y的方程组的解是非负数，求整数m的值．

考点：一元一次不等式组的整数解；解二元一次方程组．

专题：运算题．

分析：此题考查了解方程组与解不等式组，依照题意能够先求出方程组的解（解中含有字

母m），然后依照x≥0，y≥0，组成关于m的不等式组，解不等式组即可求解．

解答：解：解方程组可得

因为x≥0，y≥0，因此

解得

因此≤m≤，

因为m为整数，故m=7，8，9，10．

点评：此题考查了学生的综合应用能力，解题的关键是把字母m看做一个常数来解，还要

注意题意．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间

找，大大小小解不了．

五、解答题（本题共7分，第29题3分，第30题4分）

29．阅读材料：学习了无理数后，某数学爱好小组开展了一次探究活动：估算的近似值．

小明的方法：

∵＜＜，设=3+k（0＜k＜1），

∴（）2=（3+k）2

，

∴13=9+6k+k2

，

∴13≈9+6k，解得k≈，

∴≈3+≈3.67．

（上述方法中使用了完全平方公式：（a+b）

2=a2+2ab+b2

，下面可参考使用）问题：

（1）请你依照小明的方法，估算≈6.08（结果保留两位小数）；

（2）请结合上述具体实例，概括出估算的公式：已知非负整数a、b、m，若a＜＜a+1，

且m=a

2+b，则≈a+（用含a、b的代数式表示）．

考点：估算无理数的大小．

专题：阅读型．

分析：（1）仿惯例题直截了当得出（）

2=（6+k）2

，进而求出即可；

（2）利用（1）中所求，进而得出一样规律求出即可．

解答：解：（1）∵＜＜，设=6+k（0＜k＜1），

∴（）2=（6+k）2

，

∴37=36+12k+k2

，

∴37≈36+法老ht 12k，

解得k≈，

∴≈6+≈6.08．

故答案为：6.08；

（2）若a＜＜a+1，且m=a

2+b，

则≈a+．

故答案为：．

点评：此题要紧考查了估量无理数，利用已知得出运算规律是解题关键．

30．如图，已知直线l

1

∥l

2

，且l

3

和l

1

，l

2

分别交于A、B两点，l

4

与l

1

，l

2

分别交于C、D

两点，点P在直线AB上，且在l

4

的右侧．

（1）如图，试猜想：∠1，∠2，∠CPD之间的关系；

（2）假如点P在A、B两点之间运动时，∠1，∠2，∠CPD之间的关系是否发生变化？（只

说结论，不要求证明）

（3）假如点P在A、B两点的外侧运动时，试探究∠1，∠2，∠CPD之间的关系．

（点P和A、B不重合），并加以证明．

考点：平行线的性质．

分析：（1）依照图形作出猜想即可；

（2）作PE∥AC，如图1，由于l

1

∥l

2

，则PE∥BD，依照平行线的性质得∠1=∠EPC，

∠2=∠EPD，因此∠1+∠2=∠3；

（3）分当P点在A的外侧与当P点在B的外侧两种情形进行分类讨论即可．

解答：解：（1）猜想：∠CPD=∠1+∠2；

（2）∠1，∠2，∠CPD之间的关系不发生变化

仍是：∠CPD=∠1+∠2；

作PE∥AC，如图1，

∵l

1

∥l

2

，

∴PE∥BD，

∴∠1=∠EPC，∠2=∠EPD，

∴∠1+∠2=∠3，即∠CPD=∠1+∠2；

（3）当P点在A的外侧时，如图a，过P作PF∥l

1

，交l

4

于F，

∴∠1=∠FPC．

∵l

1

∥l

4

，

∴PF∥l

2

，

∴∠2=∠FPD

∵∠CPD=∠FPD﹣∠FPC

∴∠CPD=∠2﹣∠1．

当P点在B的外侧时，如图b，过P作PG∥l

2

，交l

4

于G，

∴∠2=∠GPD

∵l

1

∥l

2

，

∴PG∥l

1

，

∴∠1=∠CPG

∵∠CPD=∠CPG﹣∠GPD

∴∠CPD=∠1﹣∠2．

点评：本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；

两直线平行，内错角相等．

六．附加题（1题7分，2题6分，3题7分，共20分）说明：本附加题共20分，请实验

班和一般班有能力的同学在完成好100分试卷的前提下，完成以下题目．

31．如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB

1

折叠，点B落在A

1

处．剪掉重叠部分；

将余下部分沿∠B

1

A

1

C的平分线A

1

B

2

折叠，点B

1

落在A

2

处．剪掉重叠部分；…；将余下

部分沿∠B

n

A

n

C的平分线A

n

B

n+1

折叠，点B

n

与点C重合，不管折叠多少次，只要最后一

次恰好重合，∠BAC是△ABC的好角．

小丽展现了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形．情形一：如图2，沿等腰三角形ABC

顶角∠BAC的平分线AB

1

折叠，点B与点C重合；情形二：如图3，沿∠BAC的平分线

AB

1

折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿∠B

1

A

1

C的平分线A

1

B

2

折叠，现在点B

1

与点C

重合．

（1）情形二中，∠B与∠C的等量关系∠B=2∠C．

（2）若通过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C的等量关系∠B=n∠C．

（3）假如一个三角形的最小角是4，直截了当写出三角形另外两个角的度数，使该三角形

的三个角均是此三角形的好角．

答：4、172；8、168；16、160；44、132；88、88．

考点：翻折变换（折叠问题）．

分析：（1）在小丽展现的情形二中，如图3，依照三角形的外角定理、折叠的性质推知

∠B=2∠C；

（2）依照折叠的性质、依照三角形的外角定理知∠A

1

A

2

B

2

=∠C+∠A

2

B

2

C=2∠C；依照四

边形的外角定理知∠BAC+2∠B﹣2C=180①，依照三角形ABC的内角和定理知

∠BAC+∠B+∠C=180②，由①②能够求得∠B=3∠C；利用数学归纳法，依照小丽展现

的三种情形得出结论：∠B=n∠C；

（3）利用（2）的结论知∠B=n∠C，∠BAC是△ABC的好角，∠C=n∠A，∠ABC是△ABC

的好角，∠A=n∠B，∠BCA是△ABC的好角；然后三角形内角和定理能够求得另外两个

角的度数能够是4、172；8、168；16、160；44、132；88、88．

解答：解：（1）∠B=2∠C；

理由如下：

∵沿∠BAC的平分线AB

1

折叠，

∴∠B=∠AA

1

B

1

；

又∵将余下部分沿∠B

1

A

1

C的平分线A

1

B

2

折叠，现在点B

1

与点C重合，

∴∠A

1

B

1

C=∠C；

∵∠AA

1

B

1

=∠C+∠A

1

B

1

C（外角定理），

∴∠B=2∠C，

故答案为：∠B=2∠C；

（2）如图所示，

在△ABC中，沿∠BAC的平分线AB

1

折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B

1

A

1

C的平分

线A

1

B

2

折叠，剪掉重复部分，将余下部分沿∠B

2

A

2

C的平分线A

2

B

3

折叠，点B

2

与点C重

合，则∠BAC是△ABC的好角．

证明如下：∵依照折叠的性质知，∠B=∠AA

1

B

1

，∠C=∠A

2

B

2

C，∠A

1

B

1

C=∠A

1

A

2

B

2

，

∴依照三角形的外角定理知，∠A

1

A

2

B

2

=∠C+∠A

2

B

2

C=2∠C；

∵依照四边形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA

1

B

1

﹣∠A

1

B

1

C=∠BAC+2∠B﹣

2∠C=180，

依照三角形ABC的内角和定理知，∠BAC+∠B+∠C=180，

∴∠B=3∠C；

由小丽展现的情形一知，当∠B=∠C时，∠BAC是△ABC的好角；

由小丽展现的情形二知，当∠B=2∠C时，∠BAC是△ABC的好角；

由小丽展现的情形三知，当∠B=3∠C时，∠BAC是△ABC的好角；

故若通过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量

关系为∠B=n∠C；

故答案为：∠B=n∠C；

（3）由（2）知设∠A=4，∵∠C是好角，∴∠B=4n；

∵∠A是好角，∴∠C=m∠B=4mn，其中m、n为正整数得4+4n+4mn=180

∴假如一个三角形的最小角是4，三角形另外两个角的度数是4、172；8、168；16、160；

44、132；88、88．

故答案为：4、172；8、168；16、160；44、132；88、88．

点评：本题考查了翻折变换（折叠问题）．解答此题时，充分利用了三角形内角和定理、三

角形外角定理以及折叠的性质．难度较大．

32．我们把由“四舍五入”法对非负有理数x精确到个位的值记为＜x＞．如：＜0＞=＜0.48

＞=0，＜0.64＞=＜1.493＞=1，＜2＞=2，＜2.5＞=＜3.12＞=3，…

解决下列问题：

（1）填空：①若＜x＞=6，则x的取值范畴是5.5≤x＜6.5；

②若＜x＞=，则x的值是0，，；

（2）若m为正整数，试说明：＜x+m＞=＜x＞+m恒成立．

考点：近似数和有效数字．

分析：（1）依照取近似值的方法确定x的取值范畴即可，反过来也可确定未知数的值；

（2）分0≤a＜时和≤a＜1时两种情形分类讨论即可．

解答：解：（1）①5.5≤x＜6.5

②0，，

（2）说明：设x=n+a，其中n为x的整数部分（n为非负整数），a为x的小数部分（0≤a

＜1）

分两种情形：

（Ⅰ）当0≤a＜时，有＜x＞=n

∵x+m=（n+m）+a，

这时（n+m）为（x+m）的整数部分，a为（x+m）的小数部分，

∴＜x+m＞=n+m

又＜x＞+m=n+m

∴＜x+m＞=＜x＞+m．

（Ⅱ）当≤a＜1时，有＜x＞=n+1

∵x+m=（n+m）+a

这时（n+m）为（x+m）的整数部分，a为（x+m）的小数部分，

∴＜x+m＞=n+m+1

又＜x＞+m=n+1+m=n+m+1

∴＜x+m＞=＜x＞+m．

综上所述：＜x+m＞=＜x＞+m．

点评：本题考查了近似数与有效数字的知识，在确定取值范畴时候，学生专门容易出错，

应引起重视．

33．在Rt△ABC中，∠ACB=90，∠ABC=45，点E在线段BC上，射线ED⊥AB于点D．

（1）如图1，点F在线段DE上，过F作MN∥BC，M分别交AB、AC于点M、N，点G

在线段AF上，且∠GFN=∠GNF，∠GDF=∠GFD．

①试判定DG与NG有如何样的位置关系？直截了当写出你的结论；

②求证：∠1=∠2；

（2）如图2，点F在线段ED的延长线上，过F作FN∥BC，M分别交AB、AC于点M、

N，点G在线段AF上，且∠GFN=∠GNF，∠GDF=∠GFD．试探究DG与NG的位置关系，

并说明理由．

考点：三角形内角和定理；垂线；平行线的性质；三角形的外角性质．

分析：（1）①先由MN∥BC得出∠ANM=∠ACB=90，即：∠GNF+∠2=90．在Rt△AFN

中，∠GFN+∠1=90，依照∠GFN=∠GNF可得出∠1=∠2，同理可得∠DAG=∠ADG，故

∠2+∠ADG=∠BAC=45，再由D⊥AB可知∠ADF=90，故可得出∠GDF+∠GNM的度数，

再由平行线的性质求出∠DFN的度数，依照四边形内角和定理即可得出结论；

②同①可得出结论；

（2）由FN∥BC得出∠GNF+∠2=90．在Rt△AFN中，由∠GFN+∠FAN=90得出

∠FAN=∠2，再依照ED⊥AB于D得出∠GDF+∠1=90．在Rt△AFD中，∠GFD+∠3=90

可得出∠1=∠3．同理∠FGD=∠1+∠3=2∠3．∠FGN=∠FAN+∠2=2∠FAN，∠NGD=∠FGN

﹣∠FGD=2∠BAC．在Rt△ABC中，依照三角形内角和定理即可得出结论．

解答：解：（1）①∵MN∥BC，

∴∠ANM=∠ACB=90，即：∠GNF+∠2=90．

在Rt△AFN中，∠GFN+∠1=90，

∵∠GFN=∠GNF

∴∠1=∠2．

同理可得，∠DAG=∠ADG，

∴∠2+∠ADG=∠BAC=45，

∵DE⊥AB，

∴∠ADF=90，

∴∠GDF+∠GNM=180﹣45=135．

∵∠ACB=90，∠ABC=45，DE⊥AB，

∴∠BED=45，

∴∠DEC=135．

∵MN∥BC，

∴∠DFN=135，

∴∠DGN=360﹣135﹣135=90，即DG⊥NG．

②∵MN∥BC，

∴∠ANM=∠ACB=90，即：∠GNF+∠2=90．

在Rt△AFN中，∠GFN+∠1=90，

∵∠GFN=∠GNF

∴∠1=∠2．

（2）DG⊥GN．

理由如下：

∵FN∥BC，

∴∠ANF=∠ACB=90，即∠GNF+∠2=90．

在Rt△AFN中，∠GFN+∠FAN=90，

∵∠GFN=∠GNF

∴∠FAN=∠2．

又∵ED⊥AB于D，

∴∠ADF=90，即：∠GDF+∠1=90．

在Rt△AFD中，∠GFD+∠3=90，

∵∠GDF=∠GFD，

∴∠1=∠3．

在△AGD中，∠FGD=∠1+∠3=2∠3．

在△AGN中，∠FGN=∠FAN+∠2=2∠FAN

∴∠NGD=∠FGN﹣∠FGD

=2∠FAN﹣2∠3

=2（∠FAN﹣∠3）

=2∠BAC．

在Rt△ABC中，∠ABC=45，

∴∠BAC=45．

∴∠NGD=2∠BAC=90，

∴DG⊥GN．

点评：本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和定理及直角三角形的性质、三

角形外角的性质即可得出结论．