广西岑溪市

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷

注意事项：

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2电脑硬盘 B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每题4分，共48分）

1．若点

(2,3)Mb

关于原点对称点N的坐标是

(3,2)a

，则

,ab

的值为（）

A

．

1,1ab

B

．

1,1ab

C

．

1,1ab

D

．

1,1ab

2．已知⊙

O

的半径为

1,

点

P

到圆心的距离为

d

，若关于

x

的方程

x2-2x+d=0

有实数根

,

则点

P()

A

．在⊙

O

的内部

B

．在⊙

O

的外部

C

．在⊙

O

上

D

．在⊙

O

上或⊙

O

内部

3．下列运算正确的是（）

A

．2

22ababB

．325aaa

C

．632aaaD

．235abab

4．如图，

AB

为⊙

O

的直径，点

C

在⊙

O

上，若50OCA，4AB，则BC的长为（）

A

．

10

3

B

．

10

9

C

．

5

9

D

．

5

18



5．一元二次方程2250xx的根的情况为（）

A

．没有实数根

B

．只有一个实数根

C

．有两个不相等的实数根

D

．有两个相等的实数根

6．方程

x2﹣

6x+5

＝

0

的两个根之和为（）

A

．﹣

6B

．

6C

．﹣

5D

．

5

7．用配方法解方程2237xx时，方程可变形为（）

A

．

2737

24

x









B

．

2743

24

x









C

．

271

416

x









D

．

2725

416

x









8．已知一个扇形的弧长为

3

，所含的圆心角为

120

，则半径为（）

A

．

9B

．

3C

．

9

2

D

．

32

2

9．若点（

x

1，

y

1），（

x

2，

y

2），（

x

3，

y

3）都在反比例函数

3

y

x



的图象上，并且

x

1



0



x

2



x

3，则下列各式中正确的是

（）

A

．

y

1



y

2



y

3

B

．

y

3



y

2



y

1

C

．

y

2



y

3



y

1

D

．

y

1



y

3



y

2

10．已知点

P

1（

a-1,5

）和

P

2（

2

，

b-1

）关于

x

轴对称，则（

a

+

b

）2019的值为（）

A

．

0B

．﹣

1C

．

1D

．（



3

）2019

11．如图，两个同心圆

(

圆心相同半径不同的圆

)

的半径分别为

6cm

和

3cm

，大圆的弦

AB

与小圆相切，则劣弧

AB

的

长为

()

A

．

2cmB

．

4cmC

．

6cmD

．

8cm

12．已知二次函数2()0yaxbxca的图象如图所示，有下列结论

:

①0abc;

②0abc;

③420abc;

④⑤3ac0;

其中正确结论的个数是

()

A

．2B

．

3C

．4D

．

5

二、填空题（每题4分，共24分）

13．如图，在43的矩形方框内有一个不规则的区城A（图中阴影部分所示），小明同学用随机的办法求区域A的面

积．若每次在矩形内随机产生

10000

个点，并记录落在区域A内的点的个数，经过多次试验，计算出落在区域A内点

的个数的平均值为

6700

个，则区域A的面积约为

___________

．

14．如图是抛物线y

1

=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），

直线y

2

=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a+b=0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c=3有两个相等的

实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y

2

＜

y

1，

其中正确的是

________

．

15．如图，

AB

是⊙Ｏ的直径，

BC

与⊙Ｏ相切于点

B

，

AC

交⊙Ｏ于点

D

，若∠

ACB=50

，则∠

BOD=______

度．

16．已知反比例函数

8

-y

x

的图象经过点

P

（

a

＋

1

，

4

），则

a

＝

_________________

．

17．将一块弧长为

2

的半圆形铁皮围成一个圆锥的侧面（接头处忽略不计），则围成的圆锥的高为

____

．

18．如图，在直角三角形ABC中，CD是斜边AB上的高，

8,2ADBD

，则tanBCD的值为

___

.

三、解答题（共78分）

19．（8分）某校九年级（

2

）班A、B、C、D四位同学参加了校篮球队选拔

.

（

1

）若从这四人中随杋选取一人，恰好选中B参加校篮球队的概率是

______

；

（

2

）若楚霸王 从这四人中随机选取两人，请用列表或画树状图的方法求恰好选中

B

、C两位同学参加校篮球队的概率

.

20．（8分）从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，

如果分得的两个小三角形中一个为等腰虎和龙合不合 三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割

线

.

（

1

）如图

1

，在

△ABC

中，∠

A=40

，∠

B=60

，当∠

BCD=40

时，证明：

CD

为

△ABC

的完美分割线

.

（

2

）在

△ABC

中，∠

A=48

，

CD

是

△ABC

的完美分割线，且

△ACD

是以

AC

为底边的等腰三角形，求∠

ACB

的度

数

.

（

3

）如图

2

，在

△ABC

中，

AC=2

，

BC=2

，

CD

是

△ABC

的完美分割线，

△ACD

是以

CD

为底边的等腰三角形，求

CD

的长

.

21．（8分）如图，在平行四边形

ABCD

中，点

E

，

F

，

G

，

H

分别在边

AB

，

BC

，

CD

，

DA

上，

AE

＝

CG

，

AH

＝

CF

，

且

EG

平分∠

HEF

．

(1)

求证：△

AEH

≌△

CGF

．

(2)

若∠

EFG

＝

90

．求证：四边形

EFGH

是正方形．

22．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，AC为弦，且平分∠BAD，AD⊥CD，垂足为D．

(1)求证：CD是⊙O的切线；

(2)若⊙O的直径为4，AD=3，试求∠BAC的度数．

23．（10分）（

1

）问题发现：如图

1

，在

Rt

△

ABC

中，

AB

＝

AC

，

D

为

BC

边上一点（不与点

B

、

C

重合）将线段

AD

绕点

A

逆时针旋转

90

得到

AE

，连接

EC

，则线段

BD

与

CE

的数量关系是，位置关系是；

（

2

）探究证明：如图

2

，在

Rt

△

ABC

与

Rt

△

ADE

中，

AB

＝

AC

，

AD

＝

AE

，将△

ADE

绕点

A

旋转，使点

D

落在

BC

的延长线上时，连接

EC

，写出此时线段

AD

，

BD

，

CD

之间的等量关系，并证明；

（

3

）拓展延仲：如图

3

，在四边形

ABCF

中，∠

ABC

＝∠

ACB

＝∠

AFC

＝

45

．若

BF

＝

13

，

CF

＝

5

，请直接写出

AF

的长．

24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知

Rt

△

AOB

的两直角边

OA

、

OB

分别在

x

轴、

y

轴的正半轴上（

OA

＜

OB

）．且

OA

、

OB

的长分别是一元二次方程

x2﹣

14

x

+48

＝

0

的两个根，线段

AB

的垂直平分线

CD

交

AB

于点

C

，交

x

轴于点

D

，点

P

是直线

AB

上一个动点，点

Q

是直线

CD

上一个动点．

（

1

）求线段

AB

的长度：

（

2

）过动点

P

作

PF

⊥

OA

于

F

，

PE

⊥

OB

于

E

，点

P

在移动过程中，线段

EF

的长度也在改变，请求出线段

EF

的最

小值：

（

3

）在坐标平面内是否存在一点

M

，使以点

C

、

P

、

Q

、

M

为顶点的四边形是正方形，且该正方形的边长为

1

2

AB

长？

若存在，请直接写出点

M

的坐标：若不存在，请说明理由．

25．（12分）如图，

PA

，

PB

分别与⊙

O

相切于

A

，

B

点，

C

为⊙

O

上一点，∠

P=66

，求∠

C

．

26．已知二次函数

y

＝－

x2＋

bx

＋

c

（

b

，

c

为常数）的图象经过点（

2

，

3

），（

3

，

0

）．

（

1

）则

b

＝，

c

＝；

（

2

）该二次函数图象与

y

轴的交点坐标为，顶点坐标为；

（

3

）在所给坐标系中画出该二次函数的图象；

（

4

）根据图象，当－

3

＜

x

＜

2

时，

y

的取值范围是．

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）

1、

A

【分析】根据平面内关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数得出关于

a

，b的方程组，解之即可．

【详解】解：点

(2,3)Mb

，

(3,2)Na

关于原点对称，



32

32

a

b











，

解得：

1

1

a

b











．

故选：

A

．

【点睛】

此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．

2、

D

【分析】先根据条件

x2-2x+d=0

有实根得出判别式大于或等于

0

，求出

d

的范围，进而得出

d

与

r

的数量关系，即可

判断点

P

和⊙

O

的关系

..

【详解】解：∵关于

x

的方程

x2-2x+d=0

有实根，

∴根的判别式△

=

（

-2

）2-4

d

≥

0

，

解得

d

≤

1

，

∵⊙

O

的半径为

r=1,

∴

d

≤

r

∴点

P

在圆内或在圆上

.

故选：

D.

【点睛】

本题考查了点和圆的位置关系，由点到圆心的距离和半径的数量关系对点和圆的位置关系作出判断是解答此题的重要

途径，即当

d>r

时，点在圆外，当

d=r

时，点在圆上，当

d

时韩国化妆品彩妆 ，点在圆内

.

3、

B

【分析】

根据完全平方公式、同底数幂乘法、同底数幂除法、合并同类项法则逐一进行分析判断即可．

【详解】

因为2

222ababab，所以选项

A

错误；

325aaa，所以

B

选项正确；

633aaa，故选项

C

错误；

因为2a与3b不是同类项，不能合并，故选项

D

错误，

故选

B

．

【点睛】

本题考查了整张迁碑字帖高清大图 式的运算，涉及了完全平方公式、同底数幂乘除法等，贝业新兄弟 熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键．

4、

B

【分析】直接利用等腰三角形的性质得出∠

A

的度数，再利用圆周角定理得出∠

BOC

的度数，再利用弧长公式求出答

案．

【详解】解：∵∠

OCA=50

，

OA=OC

，

∴∠

A=50

，

∴∠

BOC=2

∠

A=100

，

∵

AB=4

，

∴

BO=2

，

∴BC的长为：

1002

18

1

90

0







故选

B

．

【点睛】

此题主要考查了弧长公徐誉滕的歌 式应用以及圆周角定理，正确得出∠

BOC

的度数是解题关键．

5、

A

【分析】根据根的判别式即可求出答案．

【详解】由题意可知：△

=4

﹣

4

5=

﹣

16

＜

1

．

故选：

A

．

【点睛】

本题考查了一元二次方程根的判别式，解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式．

6、

B

【分析】根据根与系数的关系得出方程的两根之和为

6

6

1



，即可得出选项．

【详解】解：方程

x2﹣

6x+5

＝

0

的两个根之和为

6

，

故选：

B

．

【点睛】

本题考查了根与系数的关系，解决问题的关键是熟练正确理解题意，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系

.

7、

D

【详解】解：∵

2x2+3=7x

，

∴2x2-7x=-3

，

∴x2-

7

2

x=-

3

2

，

∴x2-

7

2

x+

49

16

=-

3

2

+

49

16

，

∴（x-

7

4

）2=

25

16

．

故选

D

．

【点睛】

本题考查解一元二次方程

-

配方法，掌握配方法的步骤进行计算是解题关键．

8、

C

【分析】根据弧长的公式进行计算即可．

【详解】解：设半径为

r

，

∵扇形的弧长为

3

，所含的圆心角为

120

，

∴

120

180

r•

＝

3

，

∴

r

＝

9

2

，

故选：

C

．

【点睛】

此题考查的是根据弧长和圆心角求半径，掌握弧长公式是解决此题的关键．

9、

D

【分析】由题意先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在象限，再根据题意即可得出结论．

【详解】解：∵反比例函数

3

y

x



中

k

＝

3

＞

0

，

∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内，y

随

x

的增大而减小；

∵x

1＜

0

＜

x

2＜

x

3，

∴y

1＜

y

3＜

y

2，

故选：

D

．

【点睛】

本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟练掌握反比例函数图象上各点的坐标是解题的关键．

10、

B

【分析】根据关于

x

轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数的概念，求出

P

1

P

2的坐标，得出

a

，

b

的值代入（

a

+

b

）

2019求值即可

.

【详解】因为关于

x

轴对称横坐标不变，所以，

a-1=2

，得出

a=3

，又因为关于

x

轴对称纵坐标互为相反数，所以

b-1=-5

，

得出

b=-4

（

a

+

b

）2019=

（

3-4

）2019即201911.

故答案为：

B

【点睛】

本题考查关于

x

轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数的概念和有理数的幂运算原理，利用

-1

的偶次幂为

1

，

奇次幂为它本身的原理即可快速得出答案为

-1.

11、

B

【解析】首先连接

OC

，

AO

，由切线的性质，可得

OC

⊥

AB

，根据已知条件可得：

OA=2OC

，进而求出∠

AOC

的重庆的二本大学 度

数，则圆心角∠

AOB

可求，根据弧长公式即可求出劣弧

AB

的长．

【详解】解：如图，连接

OC

，

AO

，

∵大圆的一条弦

AB

与小圆相切，

∴

OC

⊥

AB

，

∵

OA=6

，

OC=3

，

∴

OA=2OC

，

∴∠

A=30

，

∴∠

AOC=60

，

∴∠

AOB=120

，

∴劣弧

AB

的长

=

1206

180



=4

，

故选

B

．

【点睛】

本题考查切线的性质，弧长公式，熟练掌握切线的性质是解题关键．

12、

B

【分析】利用特殊值法求①和③，根据图像判断出

a

、

b

和

c

的值判断②和④，再根据对称轴求出

a

和

b

的关系，再用

特殊值法判断⑤，即可得出答案

.

【详解】令

x=-1

，则

y=a-b+c

，根据图像可得，当

x=-1

时，

y

＜

0

，所以

a-b+c

＜

0

，故①错误；

由图可得，

a

＞

0

，

b

＜

0

，

c

＜

0

，所以

abc

＞

0

，

a-c

＞

0

，故②④正确；

令

x=-2

，则

y=4a-2b+c

，根据图像可得，当

x=-2

时，

y

＞

0

，所以

4a-2b+c

＞

0

，故③正确；

1

2

b

x

a



，所以

-b=2a

，∴

a-b+c=a+2a+c=3a+c

＜

0

，故⑤错误；

故答案选择

B.

【点睛】

本题考查的是二次函数，难度偏高，需要熟练掌握二次函数的图像与性质

.

二、填空题（每题4分，共24分）

13、

8

.

04

【分析】先利用古典概型的概率公式求概率，再求区域

A

的面积的估计值．

【详解】解：由题意，∵在矩形内随机产生

10000

个点，落在区域

A

内点的个数平均值为

6700

个，

∴概率

P=

6700

0.67

10000



，

∵

43

的矩形面积为

12

，

∴区域

A

的面积的估计值为：

0.6712=8.04

；

故答案为：

8.04

；

【点睛】

本题考查古典概型概率公式，考查学生的计算能力，属于中档题．

14、①③⑤

【解析】①根据拋物线的开口方向以及对称轴为

x=1,

即可得出

a

、

b

之间的关系以及

ab

的正负

,

由此得出①正确，根据

抛物线与

y

轴的交点在

y

轴正半轴上

,

可知

c

为正结合

a<0

、

b>0

即可得出②错误，将抛物线往下平移

3

个单位长度可

知抛物线与

x

轴只有一个交点从而得知③正确，根据拋物线的对称性结合抛物线的对称轴为

x=1

以及点

B

的坐标

,

即可

得出抛物线与

x

轴的另一交点坐标

,

④正确，⑤根据两函数图象的上下位置关系即可解题

.

【详解】∵抛物线的顶点坐标A（1，3），

∴对称轴为x=-

2

b

a

=1，

∴2a+b=0，①正确，

∵a0，b0,抛物线与y轴交于正半轴，

∴c0，

∴abc



0，②错误，

∵把抛物线向下平移3个单位长度得到y=

ax2+bx+c-3,此时抛物线的顶点也向下平移3个单位长度，

∴顶点坐标为（1,0），抛物线与x轴只有一个交点，即方程

ax2+bx+c=3有两个相等的实数根，③正确.

∵对称轴为x=-

2

b

a

=1，与x轴的一个交点为（4,0），根据对称性质可知与x轴的另一个交点为（-2，0），④错误，

由抛物线和直线的图像可知，当1＜x＜4时，有y

2

＜

y

1.

，⑤正确.

【点睛】

本题考查了二次函数的图像和性质，熟悉二次函数的性质是解题关键

.

15、

80

【分析】根据切线的性质得到∠

ABC=90

，根据直角三角形的性质求出∠

A

，根据圆周角定理计算即可．

【详解】解：∵

BC

是⊙

O

的切线，

∴∠

ABC=90

，

∴∠

A=90-

∠

ACB=40

，

由圆周角定理得，∠

BOD=2

∠

A=80.

【点睛】

本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．

16、－

3

【分析】直接将点

P

（

a

＋

1

，

4

）代入

8

-y

x

求出

a

即可

.

【详解】直接将点

P

（

a

＋

1

，

4

）代入

8

-y

x

,

则

8

4-

1a





，解得

a=

－

3.

【点睛】

本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数知识和计算准确性是解决本题的关键，难度较小

.

17、3

【分析】根据侧面展开图，求出圆锥的底面半径和母线长，然后利用勾股定理求得圆锥的高．

【详解】如下图，为圆锥的侧面展开图草图：

∵侧面展开图是弧长为

2

的半圆形

∴

2

=

1

2

2

l，其中l表示圆锥的母线长

解得：2l

圆锥侧面展开图的弧长对应圆锥底面圆的周长

∴

2=2r

，其中

r

表示圆锥底面圆半径

解得：

r=1

∴根据勾股定理，

h=22213

故答案为：3

【点睛】

本题考查圆锥侧面展开图，公式比较多，建议通过绘制侧面展开图的草图来分析得出公式．

18、

1

2

【分析】证明

ACDCBD△∽△

，从而求出

CD

的长度，再求出tanBCD即可．

【详解】∵CD是斜边AB上的高

∴90CDACDB

∵+=9090ABAACD∠∠，∠∠

∴BACD

∴

ACDCBD△∽△

∴

ADCD

CDDB



8

2

CD

CD



解得

4,4CDCD

（舍去）

∴在tRCBD△中

21

tan

42

BD

BCD

CD



故答案为：

1

2

．

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定以及三角函数，掌握相似三角形的性质以及判定是解题的关键．

三、解答题（共78分）

19、（

1

）

1

4

；（

2

）P（

BC

两位同学参加篮球队）

1

6



【分析】

(1)

根据概率公式

P

m

n

(n

次试验中，事件

A

出现

m

次

)

计算即可

(2)

用列表法求得全部情况的总数与符合条件的情况数目，二者的比值就是其发生的概率

.

【详解】解：

(1)

1

PB

4



恰好选中

B

参加校篮球队的概率是

1

4

.

(2)列表格如下：

∴P（

BC

两位同学参加篮球队）

21

126



【点睛】

本题考查的是用列表法或树状图法求事件的概率问题，通过题目找出全部情况的总数与符合条件的情况数目与熟记概

率公式是解题的关键

.

20、（

1

）证明见解析；（

2

）∠

ACB=96

；（

3

）

CD

的长为5-1.

【分析】（

1

）根据三角形内角和定理可求出∠

ACB=80

，进而可得∠

ACD=40

，即可证明

AD=CD

，由∠

BCD=

∠

A=40

，

∠

B

为公共角可证明三角形

BCD

∽△

BAC

，即可得结论；

（

2

）根据等腰三角形的性质可得∠

ACD=

∠

A=48

，根据相似三角形的性质可得∠

BCD=

∠

A=48

，进而可得∠

ACB

的度数；

（

3

）由相似三角形的性质可得∠

BCD=

∠

A

，由

AC=BC=2

可得∠

A=

∠

B

，即可证明∠

BCD=

∠

B

，可得

BD=CD

，根

据相似三角形的性质列方程求出

CD

的长即可

.

【详解】（

1

）∵∠

A=40

，∠

B=60

，

∴∠

ACB=180-40-60=80

，

∵∠

BCD=40

，

∴∠

ACD=

∠

ACB-

∠

BCD=40

，

∴∠

ACD=

∠

A

，

∴

AD=CD

，即△

ACD

是等腰三角形，

∵∠

BCD=

∠

A=40

，∠

B

为公共角，

∴△

BCD

∽△

BAC

，

∴

CD

为△

ABC

的完美分割线

.

（

2

）∵△

ACD

是以

AC

为底边的等腰三角形，

∴

AD=CD

，

∴∠

ACD=

∠

A=48

，

∵

C分别的成语 D

是△

ABC

的完美分割线，

∴△

BCD

∽△

BAC

，

∴∠

BCD=

∠

A=48

，

∴∠

ACB=

∠

ACD+

∠

BCD=96.

（

3

）∵△

ACD

是以

CD

为底边的等腰三角形，

∴

AD=AC=2

，

∵

CD

是△

ABC

的完美分割线，

∴△

BCD

∽△

BAC

，

∴∠

BCD=

∠

A

，

CDBC

ACAB



，

∵

AC=BC=2

，

∴∠

A=

∠

B

，

∴∠

BCD=

∠

B

，

∴

BD=CD

，

∴

CDBC

ACADCD





，即

CD2

22CD





，

解得：

CD=5-1

或

CD=-5-1

（舍去），

∴

CD

的长为5-1.

【点睛】

本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，正确理解完美分割线的定义并熟练掌握相似三角形的

性质是解题关键

.

21、

(1)

证明见解析；

(2)

证明见解析

.

【分析】

(1)

根据全等三角形的判定定理

SAS

证得结论；

(2)

先证明四边形

EFGH

是平行四边形，再证明有一组邻边相等，然后结合∠

EFG

＝

90

，即可证得该平行四边形是正

方形．

【详解】证明：

(1)

∵四边形

ABCD

是平行四边形，

∴∠

A

＝∠

C

．

在△

AEH

与△

CGF

中，

AECG

AC

AHCF

















，

∴△

AEH

≌△

CGF

(

SAS

)

；

(2)

∵四边形

ABCD

是平行四边形，

∴

AD

＝

BC

，

AB

＝

CD

，∠

B

＝∠

D

．

∵

AE

＝

CG

，

AH

＝

CF

，

∴

EB

＝

DG

，

HD

＝

BF

．

∴△

BEF

≌△

DGH

(

SAS

)

，

∴

EF

＝

HG

．

又∵△

AEH

≌△

CGF

，

∴

EH

＝

GF

．

∴四边形

HEFG

为平行四边形．

∴

EH

∥

FG

，

∴∠

HEG

＝∠

FGE

．

∵

EG

平分∠

HEF

，

∴∠

HEG

＝∠

FEG

，

∴∠

FGE

＝∠

FEG

，

∴

EF

＝

GF

，

∴平行四边形

EFGH

是菱形．

又∵∠

EFG

＝

90

，

∴平行四边形

EFGH

是正方形．

【点睛】

本题主要考查了四边形的综合性问题，关键要注意正方形和菱形的性质定理，结合考虑三角形的全等的证明，这是中

考的必考点，必须熟练掌握

.

22、（

1

）证明见解析；（

2

）

30.

【解析】

(1)

连接

OC

,

证先利用角平分线的定义和等腰三角形的性质证明∠

OCA

=

∠

DAC

，从而

OC

∥

AD

，由平行线的

性质可得

OC

⊥

CD

，从而得出

CD

是⊙

O

切线；

(2)

连接

BC

,

证明

△

ACB

∽△

ADC

,

求出

AC

的长度

,

再求出∠

BAC

的余弦

,

得出∠

BAC

的度数

.

【详解】解：

(1)连结OC.

∵AC平分BAD，∴∠BAC=

∠

DAC.

又OA=OC,

∴∠

BAC=

∠

OCA,

∴∠

OCA=

∠

DAC,

∴

OC

∥

AD.

∵

AD

⊥

CD,

∴

OC

⊥

CD,

∴

CD是⊙O的切线.

(2)连结BC.

∵

AB是⊙O的直径,

∴∠

ACB=90,

∴∠

ACB=

∠

ADC=90.

又∠BAC=

∠

DAC,

∴△

ACB

∽△

ADC.

∴

,

ACAB

ADAC

,,

∴

AC=23.

在Rt

△

ACB中,cos

∠

BAC=

AC3

AB2

,

∴∠

BAC=30.

【点睛】

本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，圆的切线的判定及锐角三角函数的知识

.

连接半径是证明切

线的一种常用辅助线的做法

,

求角的度数可以借助于三角函数

.

23、（1）

BD

＝

CE

，

BD

⊥

CE

；（

2

）

2

AD2＝

BD2+

CD2，理由详见解析；（

3

）

62

.

【分析】（

1

）证明△

BAD

≌△

CAE，根据全等三角形的性质解答；

（

2

）证明△

BAD

≌△

CAE

，得到

BD=CE

，根据勾股定理计算即可；

（

3

）如图

3

，作辅助线，构建全等三角形，证明△

BAF

≌△

CAG

，得到

CG

＝

BF

＝

13

，证明CFG是直角三角形，

根据勾股定理计算即可

.

【详解】解：（

1

）在

Rt

△

ABC

中，

AB

＝

AC

，

∴∠

B

＝∠

ACB

＝

90

，

∵∠

BAC

＝∠

DAE

＝

90

，

∴∠

BAC

﹣∠

DAC

＝∠

DAE

﹣∠

DAC

，即∠

BAD

＝∠

CAE

，

在△

BAD

和△

CAE

中，

∵

ABAC

BADCAE

ADAE

















，

∴△

BAD

≌△

CAE

（

SAS

），

∴

BD

＝

CE

，∠

B

＝∠

ACE

＝

45

，

∵∠

ACB

＝

45

，

∴454590BCE，

故答案为

BD

＝

CE

，

BD

⊥

CE

；

（

2

）

2

AD2＝

BD2+

CD2，理由是：如图

2

，

∵∠

BAC

＝∠

DAE

＝

90

，

∴∠

BAD

＝∠

CAE

，

在△

ABD

和△

ACE

中，

∵

ABAC

BADCAE

ADAE

















，

∵△

BAD

≌△

CAE

（

SAS

），

∴

BD

＝

CE

，∠

B

＝∠

ACE

＝

45

，

∴∠

BCE

＝∠

ACB

+

∠

ACE

＝

45

+45

＝

90

，

∴

DE2＝

CE2+

CD2，

∵

AD

＝

AE

，∠

DAE

＝

90

，

∴2DEAD＝，

∴

2

AD2＝

BD2+

CD2；

（

3

）如图

3

，将

AF

绕点

A

逆时针旋转

90

至

AG

，连接

CG

、

FG

，

则△

FAG

是等腰直角三角形，

∴∠

AFG

＝

45

，

∵∠

AFC

＝

45

，

∴∠

GFC

＝

90

，

同理得：△

BAF

≌△

CAG

，

∴

CG

＝

BF

＝

13

，

Rt

△

CGF

中，∵

CF

＝

5

，

∴

FG

＝

12

，

∵△

FAG

是等腰直角三角形，

∴

12

62

2

AF＝

．

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及旋转变换的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理

是解题关键

.

24、（

1

）

1

；（

2

）

24

5

；（

3

）存在，所求点

M

的坐标为

M

1（

4

，

11

），

M

2（﹣

4

，

5

），

M

3（

2

，﹣

3

），

M

4（

1

，

3

）．

【分析】（

1

）利用因式分解法解方程

x2﹣

14

x

+48

＝

0

，求出

x

的值，可得到

A

、

B

两点的坐标，在

Rt△

AOB

中利用勾

股定理求出

AB

即可．

（

2

）证明四边形

PEOF

是矩形，推出

EF

＝

OP

，根据垂线段最短解决问题即可．

（

3

）分两种情况进行讨论：①当点

P

与点

B

重合时，先求出

BM

的解析式为

y

＝

3

4

x

+8

，设

M

（

x

，

3

4

x

+8

），再根据

BM

＝

5

列出方程（

3

4

x

+8

﹣

8

）2+

x2＝

52，解方程即可求出

M

的坐标；②当点

P

与点

A

重合时，先求出

AM

的解析式为

y

＝

3

4

x

﹣

9

2

，设

M

（

x

，

3

4

x

﹣

9

2

），再根据

AM

＝

5

列出方程（

3

4

x

﹣

9

2

）2+

（

x

﹣

6

）2＝

52，解方程即可求出

M

的坐

标．

【详解】解：（

1

）解方程

x2﹣

14

x

+48

＝

0

，

得

x

1＝

6

，

x

2＝

8

，

∵

OA

＜

OB

，

∴

A

（

6

，

0

），

B

（

0

，

8

）；

在

Rt△

AOB

中，∵∠

AOB

＝

90

，

OA

＝

6

，

OB

＝

8

，

∴

AB

＝22OAOB＝2268

＝

1

．

（

2

）如图，连接

OP

．

∵

PE

⊥

OB

，

PF

⊥

OA

，

∴∠

PEO

＝∠

EOF

＝∠

PFO

＝

90

，

∴四边形

PEOF

是矩形，

∴

EF

＝

OP

，

根据垂线段最短可知当

OP

⊥

AB

时，

OP

的值最小，此时

OP

＝

OBOA

AB



＝

24

5

，

∴

EF

的最小值为

24

5

．

（

3

）在坐标平面内存在点

M

，使以点

C

、

P

、

Q

、

M

为顶点的四边形是正方形，且该正方形的边长为

1

2

AB

长．

∵

AC

＝

BC

＝

1

2

AB

＝

5

，

∴以点

C

、

P

、

Q

、

M

为顶点的正方形的边长为

5

，且点

P

与点

B

或点

A

重合．分两种情况：

①当点

P

与点

B

重合时，易求

BM

的解析式为

y

＝

3

4

x

+8

，设

M

（

x

，

3

4

x

+8

），

∵

B

（

0

，

8

），

BM

＝

5

，

∴（

3

4

x

+8

﹣

8

）2+

x2＝

52，

化简整理，得

x2＝

16

，

解得

x

＝

4

，

∴

M

1（

4

，

11

），

M

2（﹣

4

，

5

）；

②当点

P

与点

A

重合时，易求

AM

的解析式为

y

＝

3

4

x

﹣

9

2

，设

M

（

x

，

3

4

x

﹣

9

2

），

∵

A

（

6

，

0

），

AM

＝

5

，

∴（

3

4

x

﹣

9

2

）2+

（

x

﹣

6

）2＝

52，

化简整理，得

x2﹣

12

x

+20

＝

0

，

解得

x

1＝

2

，

x

2＝

1

，

∴

M

3（

2

，﹣

3

），

M

4（

1

，

3

）；

综上所述，所求点

M

的坐标为

M

1（

4

，

11

），

M

2（﹣

4

，

5

），

M

3（

2

，﹣

3

），

M

4（

1

，

3

）．

【点睛】

本题是一次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求一次函数的解析式，一元二次方程的解法，正

方形的性质，综合性较强，难度适中．运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．

25、∠

C=57

．

【分析】此题根据圆周角与圆心角的关系求解即可．

【详解】连接

OA

，

OB

，

∵

PA

，

PB

分别与⊙

O

相切于

A

，

B

点，

∴∠

OAP=90

，∠

OBP=90

，

∴∠

AOB=360

﹣

90

﹣

90

﹣

66=114

，

由圆周角定理得，∠

C=

1

2

∠

AOB=57

．

【点睛】

此题考查同圆中圆周角与圆心角的关系和切线相关知识，难度一般．

26、（

1

）

b

=2

，

c

=3

；（

2

）（

0

，

3

），（

1

，

4

）（

3

）见解析；（

4

）－

12

＜

y

≤4

【解析】（

1

）将点（

2

，

3

），（

3

，

0

）的坐标直接代入

y

＝－

x2＋

bx

＋

c

即可；

（

2

）由（

1

）可得解析式，将二次函数的解析式华为顶点式即可

;

（

3

）根据二次函数的定点、对称轴及所过的点画出图象即可

;

（

4

）直接由图象可得出

y

的取值范围

.

【详解】（

1

）解：把点（

2

，

3

），（

3

，

0

）的坐标直接代入

y

＝－

x2＋

bx

＋

c

得

3=-4+2b+c

0=-9+3b+c







，解得

2

3

b

c











，

故答案为

:b=2

，

c=3;

（

2

）解：令

x=0,c=3,

二次函数图像与

y

轴的交点坐标为则（

0

，

3

），

二次函数解析式为

y=y

＝

-x2＋

2x

＋

3=-(x-1)+4,

则顶点坐标为

(1,4).

（

3

）解：如图所示

…

（

4

）解：根据图像，当－

3

＜

x

＜

2

时，

y

的取值范围是

:

－

12

＜

y

≤4.

【点睛】

本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择

恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元

一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与

x

轴有两个交

点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的图象与性质．