黑龙江省牡丹江市

第1页（共29页）

2022年黑龙江省牡丹江市中考数学试卷

一、选择题（本题12小题，每小题3分，共36分）

1．在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A．B．

C．D．

2．下列计算正确的是（）

A．a+a＝a2B．a•a2

＝a

3C．（a2

）

4

＝a

6D．a3

a﹣1

＝a

2

3．函数y=

√

−2中，自变量x的取值范围是（）

A．x≤﹣2B．x≥﹣2C．x≤2D．x≥2

4．由一些大小相同的小正方体搭成的几何体三视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体的个数是（）

A．3B．4C．5D．6

5．在一个不透明的袋子中装有1个红色小球，1个绿色小球，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后

放回并摇匀，再随机摸出一个，则两次都摸到红色小球的概率是（）

A．

1

2

B．

2

3

C．

3

4

D．

1

4

6．如图，BD是⊙O的直径，A，C在圆上，∠A＝50，∠DBC的度数是（）

A．50B．45C．40D．35

第2页（共29页）

7．如图，等边三角形OAB，点B在x轴正半轴上，S△OAB

＝4

√

3，若反比例函数y=

（k≠0）图象的一支

经过点A，则k的值是（）

A．

3

√

3

2

B．2

√

3C．

3

√

3

4

D．4

√

3

8．若关于x的方程

−1

−1

=3无解，则m的值为（）

A．1B．1或3C．1或2D．2或3

9．圆锥的底面圆半径是1，母线长是3，它的侧面展开图的圆心角是（）

A．90B．100C．120D．150

10．观察下列数据：

1

2

，−

2

5

，

3

10

，−

4

17

，

5

26

，…，则第12个数是（皮诺切特 ）

A．

12

143

B．−

12

143

C．

12

145

D．−

12

145

11．下列图形是黄金矩形的折叠过程：

第一步，如图（1），在一张矩形纸片一端折出一个正方形，然后把纸片展平；

第二步，如图（2），把正方形折成两个相等的矩形再把纸片展平；

第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图（3）中所示的AD处；

第四步，如图（4），展平纸片，折出矩形BCDE就是黄金矩形．

第3页（共29页）

则下列线段的比中：①

，②

，③

，④

，比值为

√

5−1

2

的是（）

A．①②B．①③C．②④D．②③

12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣2，并与x轴交于A，B两点，若OA＝5OB，

则下列结论中：①abc＞0；②（a+c）

2

﹣b

2

＝0；③9a+4c＜0；④若m为任意实数，则am

2+bm+2b≥4a，

正确的个数是（）

A．1B．2C．3D．4

二、填空题（本题8小题，每小题3分，共24分）

13．在2022年3月13日北京冬残奥会闭幕当天，奥林匹克官方旗舰店再次发售1000000只“冰墩墩”，很

快便售罄．数据1000000用科学记数法表示为．

14．如图，CA＝CD，∠ACD＝∠BCE，请添加一个条件，使△ABC≌△DEC．

15．某商品的进价为每件10元，若按标价打八折售出后，每件可获利2元，则该商品的标价为每件元．

16．一列数据：1，2，3，x，5，5的平均数是4，则这组数据的中位数是．

17．⊙O的直径CD＝10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝3：5，则AC的长为．

18．抛物线y＝x2

﹣2x+3向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线的顶点坐标

是．

第4页（共29页）

19．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣1，2），OC＝4，将平行四边形OABC绕点O旋转90后，点B

的对应点B'坐标是．

20．如图，在等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90，点D在BC边上，

DE与AC相交于点F，AH⊥DE，垂足是G，交BC于点H．下列结论中：①AC＝CD；②

√

2AD2

＝BC•

AF；③若AD＝3

√

5，DH＝5，则BD＝3；④AH2

＝DH•AC，正确的是．

三、解答题（共60分）

21．（5分）先化简，再求值．（x−

2−1

）

−1

，其中x＝cos30．

22．（6分）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，顶点为

D．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）连接BC，CD，BD，P为BD的中点，连接CP，则线段CP的长是．

注：抛物线y＝ax

2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=−

2

，顶点坐标是（−

2

，

4−2

4

）．

第5页（共29页）

23．（6分）在菱形ABCD中，对角线AC和BD的长分别是6和8，以AD为直角边向菱形外作等腰直角三

角形ADE，连接CE．请用尺规或三角板作出图形，并直接写出线段CE的长．

24．（7分）为推进“冰雪进校园”活动，我市某初级中学开展：A．速度滑冰，B．冰尜，C．雪地足球，

D．冰壶，E．冰球等五种冰雪体育活动，并在全校范围内随机抽取了若干名学生，对他们最喜爱的冰雪

体育活动的人数进行统计（要求：每名被抽查的学生必选且只能选择一种），绘制了如图所示的条形统计

图和扇形统计图．

请解答下列问题：

（1）这次被抽查的学生有多少人？

（2）请补全条形统计图，并写出扇形统计图中B类活动扇形圆心角的度数是；

（3）若该校共有1500人，请你估计全校最喜爱雪地足球的学生有多少人？

25．（8分）在一条平坦笔直的道路上依次有A，B，C三地，甲从B地骑电瓶车到C地，同时乙从B地骑

摩托车到A地，到达A地后因故停留1分钟，然后立即掉头（掉头时间忽略不计）按原路原速前往C地，

结果乙比甲早2分钟到达C地，两人均匀速运动，如图是两人距B地路程y（米）与时间x（分钟）之间

的函数图象．

请解答下列问题：

（1）填空：甲的速度为米/分钟，乙的速度为米/分钟；

（2）求图象中线段FG所在直线表示的y（米）与时间x（分钟）之间的函数解析式，并写出自变量x的

取值范围；

（3）出发多少分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米？请直接写出答案．

第6页（共29页）

26．（8分）如图，△ABC和△DEF，点E，F在直线BC上，AB＝DF，∠A＝∠D，∠B＝∠F．如图①，易

证：BC+BE＝BF．请解答下列问题：

（1）如图②，如图③，请猜想BC，BE，BF之间的数量关系，并直接写出猜想结论；

（2）请选择（1）中任意一种结论进行证明；

（3）若AB＝6，CE＝2，∠F＝60，S

△ABC

＝12

√

3，则BC＝，BF＝．

27．（10分）某工厂准备生产A和B两种防疫用品，已知A种防疫用品每箱成本比B种防疫用品每箱成本

多500元．经计算，用6000元生产A种防疫5万左右的车 用品的箱数与用4500元生产B种防疫用品的箱数相等，请

解答下列问题：

（1）求A，B两种防疫用品每箱的成本；

（2）该工厂计划用不超过90000元同时生产A和B两种防疫用品共50箱，且B种防疫用品不超过25

箱，该工厂有几种生产方案？

（3）为扩大生产，厂家欲拿出与（2）中最低成本相同的费用全部用于购进甲和乙两种设备（两种都买）．若

甲种设备每台2500元，乙种设备每台3500元，则有几种购买方案？最多可购买甲，乙两种设备共多少

台？（请直接写出答案即可）

28．（10分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD，A在y轴的正半轴上，B，C在x轴上，AD∥BC，

BD平分∠ABC，交AO于点E，交AC于点F，∠CAO＝∠DBC．若OB，OC的长分别是一元二次方程

x2

﹣5x+6＝0的两个根，且OB＞OC．

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请解答下列问题：

（1）求点B，C的坐标；

（2）若反比例函数y=

（k≠0）图象的一支经过点D，求这个反比例函数的解析式；

（3）平面内是否存在点M，N（M在N的上方），使以B，D，M，N为顶点的四边形是边长比为2：3的

矩形？若存在，请直接写出在第四象限内点N的坐标；若不存在，请说明理时光吉他谱 由．

2022年黑龙江省牡丹江市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本题12小题，每小题3分，共36分）

1．在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A．B．

C．D．

解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；

B．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；

C．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；

D．不是中心对称美丽心情的句子 图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；

故选：C．

2．下列计算正确的是（）

第8页（共29页）

A．a+a＝a2B．a•a2

＝a

3C．（a2

）

4

＝a

6D．a3

a﹣1

＝a

2

解：A．因为a+a＝2a，所以A选项计算不正确，故A选项不符合题猪肉解冻最快的方法 意；

B．因为a•a＝a3

，所以B选项计算正确，故B选项符合题意；

C．因为（a2

）

4

＝a

8

，所以C选项计算不正确，故C选项不符合题意；

D．因为a3

a﹣1

＝a

3﹣（﹣1）＝a

4

，所以D选项计算不正确，故D选项不符合题意．

故选：B．

3．函数y=

√

−2中，自变量x的取值范围是（）

A．x≤﹣2B．x≥﹣2C．x≤2D．x≥2

解：由题意得：

x﹣2≥0，

∴x≥2，

故选：D．

4．由一些大小相同的小正方体搭成的几何体三视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体的个数是（）

A．3B．4C．5D．6

解：由三视图画出小正方体搭成的几何体如下：

则搭成这个几何体的小正方体的个数是4，

故选：B．

5．在一个不透明的袋子中装有1个红色小球，1个绿色小球，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后

放回并摇匀，再随机摸出一个，则两次都摸到红色小球的概率是（）

第9页（共29页）

A．

1

2

B．

2

3

C．

3

4

D．

1

4

解：画树状图得：

∵共有4种等可能的结果，其中两次都摸到红球的只有1种情况，

∴两次都摸到红球的概率是

1

4

，

故选：D．

6．如图，BD是⊙O的直径，A，C在圆上，∠A＝50，∠DBC的度数是（）

A．50B．45C．40D．35

解：∵BD是⊙O的直径，

∴∠BCD＝90，

∵∠D＝∠A＝50，

∴∠DBC＝90﹣∠D＝40．

故选：C．

7．如图，等边三角形OAB，点B在x轴正半轴上，S△OAB

＝4

√

3，若反比例函数y=

（k≠0）图象的一支

经过点A，则k的值是（）

第10页（共29页）

A．

3

√

3

2

B．2

√

3C肉包子打狗歇后语 ．

3

√

3

4

D．4

√

3

解：如图，过点A作AC⊥OB于点C，

∵△OAB是正三角形，

∴OC＝BC，

∴S

△AOC

=

1

2

S△AOB

＝2

√

3=

1

2

|k|，

又∵k＞0，

∴k＝4

√

3，

故选：D．

8．若关于x的方程

−1

−1

=3无解，则m的值为（）

A．1B．1或3C．1或2D．2或3

解：两边同乘以（x﹣1）得：mx﹣1＝3x﹣3，

∴（m﹣3）x＝﹣2．

当m﹣3＝0时，即m＝3时，原方程无解，符合题意．

当m﹣3≠0时，x=

−2

−3

，

∵方程无解，

∴x﹣1＝0，

∴x＝1，

∴m﹣3＝﹣2，

∴m＝1，

综上：当m＝1或3时，原方程无解．

故选：B．

9．圆锥的底面圆半径是1，母线长是3，它的侧面展开图的圆心角是（）

第11页（共29页）

A．90B．100C．120D．150

解：圆锥侧面展开图的弧长是：21＝2，

设圆心角的度数是n度．

则

3

180

=2，

解得：n＝120．

故选：C．

10．观察下列数据：

1

2

，−

2

5

，

3

10

，−

4

17

，

5

26

，…，则第12个数是（）

A．

12

143

B．−

12

143

C．

12

145

D．−

12

145

解：根据给出的数据特点可知第n个数是

2+1

（﹣1）n+1

，

∴第12个数就是

12

122+1

（﹣1）12+1=−

12

145

．

故选：D．

11．下列图形是黄金矩形的折叠过程：

第一步，如图（1），在一张矩形纸片一端折出一个正方形，然后把纸片展平；

第二步，如图（2），把正方形折成两个相等的矩形再把纸片展平；

第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图（3）中所示的AD处；

第四步，如图（4），展平纸片，折出矩形BCDE就是黄金矩形．

则下列线段的比中：①

，②

，③

，④

，比值为

√

5−1

2

的是（）

A．①②B．①③C．②④D．②③

第12页（共29页）

解：①设MN＝2a，则BC＝DE＝2a，AC＝a，

在Rt△ABC中，AB=

√2+2=

√2+(2)2=

√

5a，

如图（3），由折叠得：AD＝AB=

√

5a，

∴CD＝AD﹣AC＝AB﹣AC=

√

5a﹣a，

∴

=

√

5−

2

=

√

5−1

2

；

②

=

2

√

5

=

2

√

5

5

；

③∵四边形MNCB是正方形，

∴CN＝MN＝2a，

∴ND＝a+

√

5a，

∴

=

2

+

√

5

=

2

1+

√

5

=

√

5−1

2

；

④

=

√

5

=

√

5

5

；

综上，比值为

√

5−1

2

的是①③；

故选：B．

12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣2，并与x轴交于A，B两点，若OA＝5OB，

则下列结论中：①abc＞0；②（a+c）

2

﹣b

2

＝0；③9a+4c＜0；④若m为任意实数，则am

2+bm+2b≥4a，

正确的个数是（）

A．1B．2C．3D．4

解：①观察图象可知：a＞0，b＞0，c＜0，

第13页（共29页）

∴abc＜0，故①错误；

②∵对称轴为直线x＝﹣2，OA＝5OB，

可得OA＝5，OB＝1，

∴点A（﹣5，0），点B（1，0），

∴当x＝1时，y＝0，即a+b+c＝0，

∴（a+c）

2

﹣b

2

＝（a+b+c）（a+c﹣b）＝0，故②正确；

③抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，即−

2

=−2，

∴b＝4a，

∵a+b+c＝0，

∴5a+c＝0，

∴c＝﹣5a，

∴9a+4c＝﹣11a，

∵a＞0，

∴9a+4c＜0，故③正确；

④当x＝﹣2时，函数有最小值y＝4a﹣2b+c，

由am

2+bm+c≥4a﹣2b+c，可得am2+bm+2b≥4a，

∴若m为任意实数，则am

2+bm+2b≥4a，故④正确；

故选：C．

二、填空题（本题8小题，每小题3分，共24分）

13．在2022年3月13日北京冬残奥会闭幕当天，奥林匹克官方旗舰店再次发售1000000只“冰墩墩”，很

快便售罄．数据1000000用科学记数法表示为110

6

．

解：1000000＝110

6

．

故答案为：110

6

．

14．如图，CA＝CD，∠ACD＝∠BCE，请添加一个条件CB＝CE（答案不唯一），使△ABC≌△DEC．

解：∵∠ACD＝∠BCE，

∴∠ACD+∠ACE＝∠BCE+∠ACE，

第14页（共29页）

∴∠DCE＝∠ACB，

∵CA＝CD，CB＝CE，

∴△ABC≌△DEC（SAS），

故答案为：CB＝CE（答案不唯一）．

15．某商品的进价为每件10元，若按标价打八折售出后，每件可获利2元，则该商品的标价为每件15

元．

解：设该商品的标价为每件x元，

由题意得：80%x﹣10＝2，

解得：x＝15．

答：该商品的标价为每件15元．

故答案为：15．

16．一列数据：1，2，3，x，5，5的平均数是4，则这组数据的中位数是4．

解：由题意知，

1+2+3++5+5

6

=4，

解得x＝8，

∴这组数据为1，2，3，5，5，8，

∴这组数据的中位数是

3+5

2

=4，

故答案为：4．

17．⊙O的直径CD＝10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝3：5，则AC的长为4

√

5或

2

√

5．

解：连接OA，

∵OM：OC＝3：5，

设OC＝5x，OM＝3x，则DM＝2x，

∵CD＝10，

第15页（共29页）

∴OM＝3，OA＝OC＝5，

∵AB⊥CD，

∴AM＝BM=

1

2

AB，

在Rt△OAM中，OA＝5，

AM=√2−2=√52−32=4，

当如图1时，CM＝OC+OM＝5+3＝8，

在Rt△ACM中，AC=

√2+2=

√42+82=4

√

5；

当如图2时，CM＝OC﹣OM＝5﹣3＝2，

在Rt△ACM中，AC=

√2+2=

√42+22=2

√

5．

综上所述，AC的长为4

√

5或2

√

5．

故答案为：4

√

5或2

√

5．

18．抛物线y＝x2

﹣2x+3向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线的顶点坐标是（3，

5）．

解：∵抛物线y＝x

2

﹣2x+3＝（x﹣1）

2+2，

∴抛物线y＝x

2

﹣2x+3向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线y＝（x﹣1﹣2）

2+2+3，即y＝（x﹣3）2+5，

∴平移后的抛物线的顶点坐标为（3，5）．

故答案为：（3，5）．

19．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣1，2），OC＝4，将平行四边形OABC绕点O旋转90后，点B

的对应点B'坐标是（﹣2，3）或（2，﹣3）．

解：∵A（﹣1，2），OC＝4，

∴C（4，0），B（3，2），M（0，2），BM＝3，AB∥x轴，

第16页（共29页）

将平行四边形OABC绕点O分别顺时针、逆时针旋转90后，

由旋转得：OM＝OM

1

＝OM

2

＝2，∠AOA

1

＝∠AOA

2

＝90，BM＝B

1

M

1

＝B

2

M

2

＝3，

A

1

B

1

⊥x轴，A

2

B

2

⊥x轴，

∴B

1

和B

2

的坐标分别为：（﹣2，3）、（2，﹣3），

∴B'即是图中的B云的英语怎么读

1

和B

2

，坐标就是（﹣2，3）或（2，﹣3），

故答案为：（﹣2，3）或（2，﹣3）．

20．如图，在等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90，点D在BC边上，

DE与AC相交于点F，AH⊥DE，垂足是G，交BC于点H．下列结论中：①AC＝CD；②

√

2AD2

＝BC•

AF；③若AD＝3

√

5，DH＝5，则BD＝3；④AH2

＝DH•AC，正确的是②③．

解：①∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠B＝∠ACB＝45，

∵∠ADC＝∠B+∠BAD，

而∠BAD的度数不确定，

∴∠ADC与∠CAD不一定相等，

∴AC与CD不一定相等，

故①错误；

②∵∠BAC＝∠DAE＝90，

∴∠BAD＝∠CAE，

∵∠B＝∠AED＝45，

∴△AEF∽△ABD，

第17页（共29页）

∴

=

，

∵AE＝AD，AB=

√2

2

BC，

∴AD

2

＝AF•AB＝AF•

√

2

2

BC，

∴

√

2AD

2

＝AF•BC，

故②正确；

④∵∠DAH＝∠B＝45，∠AHD＝∠AHD，

∴△ADH∽△BAH，

∴

=

，

∴AH

2

＝DH•BH，

而BH与AC不一定相等，

故④不一定正确；

③∵△ADE是等腰直角三角形，

∴∠ADG＝45，

∵AH⊥DE，

∴∠AGD＝90，

∵AD＝3

√

5，

∴AG＝DG=

3√10

2

，

∵DH＝5，

∴GH=√2−2=

√

52−(

3√10

2

)2=

√10

2

，

∴AH＝AG+GH＝2

√

10，

由④知：AH

2

＝DH•BH，

∴（2

√

10）

2

＝5BH，

∴BH＝8，

∴BD＝BH﹣DH＝8﹣5＝3，

故③正确；

本题正确的结论有：②③

故答案为：②③．

三、解答题（共60分）

第18页（共29页）

21．（5分）先化简，再求值．（x−

2−1

）

−1

，其中x＝cos30．

解：原式=

2−2+1

•

−1

=

(−1)

2

•

−1

＝x﹣1，

∵x＝cos30=

√3

2

，

∴原式=

√3

2

−1．

22．（6分）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，顶点为

D．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）连接BC，CD，BD，P为BD的中点，连接CP，则线段CP的长是

√

5．

注：抛物线y＝ax

2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=−

2

，顶点坐标是（−

2

，

4−2

4

）．

解：（1）∵抛物线y＝﹣x

2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，

∴{

−1−+=0

−9+3+=0

，

解得：{

=2

=3

，

∴抛物线的解析式为y＝﹣x

2+2x+3；

（2）∵y＝﹣x

2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，

∴D（1，4），

把x＝0代入y＝﹣x

2+2x+3，得y＝3，

第19页（共29页）

∴C（0，3），

∵P为BD的中点，

∴P（2，2），

∴CP=

√(2

−0)2+(2−3)2=

√

5．

故答案为：

√

5．

23．（6分）在菱形ABCD中，对角线AC和BD的长分别是6和8，以AD为直角边向菱形外作等腰直角三

角形ADE，连接CE．请用尺规或三角板作出图形，并直接写出线段CE的长．

解：利用三角板可作图1，图2；

（1）如图1，过点E作AC的垂线，交CA的延长线于点F，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，OA＝OC=

1

2

AC＝3，OB＝OD=

1

2

BD＝4，

∴AB=

√32+42=5＝BC＝CD＝AD，

∵△ADE是等腰直角三角形，

∴∠DAE＝90，AE＝AD，

∴∠OAD+∠FAE＝180﹣90＝90，

又∵∠FAE+∠FEA＝90，

∴∠OAD＝∠FEA，

在△AOD和△EFA中，

{

∠=∠

∠=∠=90

=

，

∴△AOD≌△EFA（AAS），

∴AF＝DO＝4，EF＝AO＝3，

在Rt△CEF中，CF＝4+6＝10，EF＝3，

∴EC=

√2+2=

√

109；

（2）如图2，过点E作BD的垂线，交BD的延长线于点F，过点C作EF的垂线交EF的延长线于点

G，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，即∠COD＝90，

∵EF⊥BD，

第20页（共29页）

∴∠OFG＝90，

又∵CG⊥EG，

∴∠G＝90，

∴四边形OCGF是矩形，

由（1）的方法可证，△AOD≌△DFE（AAS），

∴DF＝AO＝3，EF＝DO＝4，

∴OF＝OD+DF＝4+3＝7＝CG，

在Rt△ECG中，CG＝7，EG＝EF+FG＝4+3＝7，

∴EC=

√2+2=

√72+72=7

√

2；

综上所述，EC=

√

109或EC＝7

√

2．

24．（7分）为推进“冰雪进校园”活动，我市某初级中学开展：A．速度滑冰，B．冰尜，C．雪地足球，

D．冰壶，E．冰球等五种冰雪体育活动，并在全校范围内随机抽取了若干名学生，对他们最喜爱的冰雪

体育活动的人数进行统计（要求：每名被抽查的学生必选且只能选择一种），绘制了如图所示的条形统计

图和扇形统计图．

第21页（共29页）

请解答下列问题：

（1）这次被抽查的学生有多少人？

（2）请补全条形统计图，并写出扇形统计图中B类活动扇形圆心角的度数是120；

（3）若该校共有1500人，请你估计全校最喜爱雪地足球的学生有多少人？

解：（1）1220%＝60（人），

答：这次被抽查的学生有60人；

（2）补全的条形统计图如图，

B类活动扇形圆心角的度数=

20

60

360＝120，

故答案为：120；

（3）1500

8

60

=200（人）．

答：全校最喜爱雪地足球的学生约有200人．

25．（8分）在一条平坦笔直的道路上依次有A，B，C三地，甲从B地骑电瓶车到C地，同时乙从B地骑

摩托车到A地，到达A地后因故停留1分钟，然后立即掉头（掉头时间忽略不计）按原路原速前往C地，

结果乙比甲早2分钟到达C地，两人均匀速运动，如图是两人距B地路程y（米）与时间x（分钟）之间

的函数图象．

第22页（共29页）

请解答下列问题：

（1）填空：甲的速度为300米/分钟，乙的速度为800米/分钟；

（2）求图象中线段FG所在直线表示的y（米）与时间x（分钟）之间的函数解析式，并写出自变量x的

取值范围；

（3）出发多少分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米？请直接写出答案．

解：（1）根据题意可知D（1，800），E（2，800），

∴乙的速度为：8001＝800（米/分钟），

∴乙从B地到C地用时：2400800＝3（分钟），

∴G（6，2400）．

∴H（8，2400）．

∴甲的速度为24008＝300（米/分钟），

故答案为：300；800；

（2）设直线FG的解析式为：y＝kx+b（k≠0），且由图象可知F（3，0），

由（1）知G（6，2400）．

∴{

3+=0

6+=2400

，

解得，{

=800

=−2400

．

∴直线FG的解析式为：y＝800x﹣2400（3≤x≤6）．

（3）由题意可知，AB相距800米，BC相距2400米．

∵O（0，0），H（8，2400），

∴直线OH的解析式为：y＝300x，

第23页（共29页）

∵D（1，800），

∴直线OD的解析式为：y＝800x，

当0≤x≤1时，甲从B地骑电瓶车到C地，同时乙从B地骑摩托车到A地，即甲乙朝相反方向走，

∴令800x+300x＝600，解得x=

6

11

．

∵当2≤x≤3时，甲从B继续往C地走，乙从A地往B地走，

∴300x+800﹣800（x﹣2）＝600解得x=

18

5

（不合题意，舍去）

∵当x＞3时，甲从B继续往C地走，乙从B地往C地走，

∴300x+800﹣800（x﹣2）＝600或800（x﹣2）﹣（300x+800）＝600，

解得x=

18

5

或x＝6．

综上，出发

6

11

分钟或

18

5

分钟或6分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米．

26．（8分）如图，△ABC和△DEF，点E，F在直线BC上，AB＝DF，∠A＝∠D，∠B＝∠F．如图①，易

证：BC+BE＝BF．请解答下列问题：

（1）如图②，如图③，请猜想BC，BE，BF之间的数量关系，并直接写出猜想结论；

（2）请选择（1）中任意一种结论进行证明；

（3）若AB＝6，CE＝2，∠F＝60，S

△ABC

＝12

√

3，则BC＝8，BF＝14或18．

解：（1）图②：BC+BE＝BF，

图③：BE﹣BC＝BF；

（2）图②：∵AB＝DF，∠A＝∠D，∠B＝∠F，

∴△ABC≌△DFE（ASA），

∴BC＝EF，

∵BE＝BC+CE，

∴BC+BE＝EF+BC+CE＝BF；

图③：∵AB＝DF，∠A＝∠D，∠B＝∠F，

∴△ABC≌△DFE（ASA），

第24页（共29页）

∴BC＝EF，

∵BE＝BF+EF，

∴BE﹣BC＝BF+EF﹣BC＝BF+BC﹣BC＝BF；

（3）当点E在BC上时，如图，作AH⊥BC于H，

∵∠B＝∠F＝60，

∴∠BAH＝30，

∴BH＝3，

∴AH＝3

√

3，

∵S

△ABC

＝12

√

3，

∴

1

2

=12

√

3，

∴BC＝8，

∵CE＝2，

∴BF＝BE+EF＝8﹣2+8＝14；

同理，当点E在BC延长线上时，如图②，BF＝BC+BE＝8+10＝18，

故答案为：8，14或18．

27．（10分）某工厂准备生产A和B两种防疫用品，已知A种防疫用品每箱成本比B种防疫用品每箱成本

多500元．经计算，用6000元生产A种防疫用品的箱数与用4500元生产B种防疫用品的箱数相等，请

解答下列问题：

（1）求A，B两种防疫用品每箱的成本；

（2）该工厂计划用不超过90000元同时生产A和B两种防疫用品共50箱，且B种防疫用品不超过25

箱，该工厂有几种生产方案？

（3）为扩大生产，厂家欲拿出与（2）中最低成本相同的费用全部用于购进甲和乙两种设备（两种都买）．若

甲种设备每台2500元，乙种设备每台3500元，则有几种购买方案？最多可购买甲，乙两种设备共多少

台？（请直接写出答案即可）

解：（1）设B种防疫用品的成本为x元/箱，则A种防疫用品的成本为（x+500）元/箱，

依题意得：

6000

+500

=

4500

，

第25页（共29页）

解得：x＝1500，

经检验，x＝1500是原方程的解，且符合题意，

∴x+500＝1500+500＝2000．

答：A种防疫用品的成本为2000元/箱，B种防疫用品的成本为1500元/箱．

（2）设生产m箱B种防疫用品，则生产（50﹣m）箱A种防疫用品，

依题意得：{

2000(50−)+1500≤90000

≤25

，

解得：20≤m≤25．

又∵m为整数，

∴m可以为20，21，22，23，24，区域地理 25，

∴该工厂共有6种生产方案．

（3）设（2）中的生产成本为w元，则w＝2000（50﹣m）+1500m＝﹣500m+100000，

∵﹣500＜0，

∴w随m的增大而减小，

∴当m＝25时，w取得最小值，最小值＝﹣50025+100000＝87500．

设购买a台甲种设备，b台乙种设备，

依题意得：2500a+3500b＝87500，

∴a＝35−

7

5

b．

又∵a，b均为正整数，

∴{

=28

=5

或{

=21

=10

或{

=14

=15

或{

=7

=20

，

∴a+b＝33或31或29或27．

∵33＞31＞29＞27，

∴共有4种购买方案，最多可购买甲，乙两种设备共33台．

28．（10分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD，A在y轴的正半轴上，B，C在x轴上，AD∥BC，

BD平分∠ABC，交AO于点E，交AC于点F，∠CAO＝∠DBC．若OB，OC的长分别是一元二次方程

x2

﹣5x+6＝0的两个根，且OB＞OC．

请解答下列问题：

（1）求点B，C的坐标；

（2）若反比例函数y=

（k≠0）图象的一支经过点D，求这个反比例函数的解析式；

第26页（共29页）

（3）平面内是否存在点M，N（M在N的上方），使以B，D，M，N为顶点的四边形是边长比为2：3的

矩形？若存在，请直接写出在第四象限内点N的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）由x

2

﹣5x+6＝0，解得x

1

＝2，x

2

＝3，

∵OB，OC的长分别是方程的两个根，且OB＞OC，

∴OB＝3，OC＝2．

∴B（﹣3，0），C（2，0）；

（2）∵AO⊥BC，

∴∠AOB＝90，

∵∠CAO＝∠DBC，∠CAO+∠AFB＝∠DBC+∠AOB，

∴∠AFB＝∠AOB＝90．

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠DBC，

∵∠AFB＝90，

∴∠BAC＝∠BCA，

∴AB＝BC＝5，

∵AD∥BC，

∴∠ADB＝∠DBC，

∴∠ABD＝∠ADB，

∴AB＝AD＝5，

∵在Rt△ABO中，AO=√2−2=√52−33=4，

∴D（5，4），

第27页（共29页）

∴反比例函数解析式为：y=

20

；

（3）存在，N

4

（3，﹣12），N

5

（

17

13

，−

32

13

），N

6

（

57

13

，−

12

13

），

理由：过点D作DG⊥x轴于点G，

∵B（﹣3，0），D（5，4），

∴BG＝8，DG＝4，BD=

√82+42=4

√

5，

∵使以B，D，M，N为顶点的四边形是边长比为2：3的矩形，

①当BD是矩形一边，且是短边时，即图中矩形BDM

1

N

1

和矩形BDM

4

N

4

，

由BD：N

1

B＝2：3，得N

1

B＝6

√

5，

过点N

1

作N

1

H⊥x轴于点H，由一线三等角易得△BDG∽△N

1

BH，

∴根据相似三角形三边对应成比例得：BH＝6，N

1

H＝12，

∴OH＝OB+BH＝3+6＝9，

∴N

1

（﹣9，12），

同理得点N

4

（3，﹣12），

当BD是矩形一边，且是长边时，即图中矩形BDM

2

N

2

和矩形BDM

3

N

3

，

方法同上，得点N

2

（−

17

3

，

16

3

），N

3

（−

1

3

，−

16

3

）；

②当BD是对角线时，如下图：以BD为半径作圆，矩形BN

5

DM

5

，BN

6

DM

6

即为符合题意矩形，

第28页（共29页）

当BN

5

：N

5

D＝2：3时，过点N

5

作KL∥x轴，过点B作BK⊥KL于点K，过点D作DL⊥KL于点L，

由一线三等角易得△BKN

5

∽△DLN

5

，

∴

5

5

=

5

=

5

=

2

3

，

∴BK=

2

3

N

5

L，KN

5

=

2

3

LD，

设N

5

L＝x，LD＝y，

∴BK=

2

3

x，KN

5

=

2

3

y，

∵N

5

L+KN

5

＝8，DL﹣BK＝4，

∴{

+

2

3

=8

−

2

3

=4

，

解得：{

=

84

13

=

48

13

，

∴KN

5

=

2

3

y=

2

3

84

13

=

56

13

，N

5

的横坐标=

56

13

−3=

17

13

，

第29页（共29页）

同理得N

5

的纵坐标=−

32

13

；

再同理得：当BN

5

：N

5

D＝3：2时，N

6

（

57

13

，−

12

13

）．

综上所述：在第四象限内点N的坐标为N

4

（3，﹣12），N

5

（

17

13

，−

32

13

），N

6

（

57

13

，−

12

13

）．