9一

1

一元二次方程的解集及其根与系数的关系

[A级基础巩固]

1．一元二次方程x2＝3x的解集是()

A．{0}B．{3}

C．{－3}D．{0，3}

解析：选D∵x2＝3x，∴x2－3x＝0，∴x(x－3)＝三叶青的功效与作用 0，解得x1＝0，x2＝3，故选D.

2．用配方法解下列方程，配方正确的是()

A．2y2－4y－4＝0可化为(y－1)2＝4

B．x2－2x－9＝0可化为(x－1)2＝8

C．x2＋8x－9＝0可化为(x＋4)2＝16

D．x2－4x＝0立春吃什么食物养生 可化为(x－2)2＝4

解析：选DA项：2y2－4y－4＝0可化为(y－1)2＝3，故A错误；B项：x2－2x－9＝0

可化为(x－1)2＝10，故B错误；C项：x2＋8x－9＝0可化为(x＋4)2＝25，故C错误；D项：

x2－4x＝0可化为(x－2)2＝4，故D正确．故选D.

3．一元二次方程x2＋6x＋9＝0的解集情况是()

A．只有一个元素B．有两个元素

C．为空集D．不能确定有几个元素

解析：选A∵＝62－419＝0，∴一元二次方程x2＋6x＋9＝0有两个相等的实数

根，故选A.

4．关于x的一元二次方程x2＋(a2－2a)x＋a－1＝0的两个实数根互为相反数，则a的

值为()

A．2B．0

C．1D．2或0

解析：选B设方程x2＋(a2－2a)x＋a－1＝0两根为x1，x2，

由题意知，x1＋x2＝0，

即－(a2－2a)＝0，解得a＝0或a＝2，

又∵x1x2＝a－1≤0，∴a≤1.故选B.

5．若关于x的方程x2＋2(k＋2)x＋k2＝0的两个实数根之和大于－4，则k的取值范围

是()

A．(－1，＋∞)B．(－∞，0)

C．(－1，0)D．[－1，0)

解析：选D设关于x的方程x2＋2(k＋2)x＋k2＝0的两个实数根为a，b，由根与系数

的关系得a＋b＝－

2（k＋2）

1

＝－(2k＋4)．

2

∵关于x的方程x2＋2(k＋2)x＋k2＝0的两个实数根之和大于－4，

∴－(2k＋4)>－4，∴k<0.

由＝[2(k＋2)]2－41k2＝16(k＋1)≥0，解得k≥－1，

即k的取值范围是[－1，0)．故选D.

6．若方程x2－mx＋m－1＝0的一个实数根为2，则方程的另一个实数根为________．

解析：设另一个根为a.

根据题意可得a＋2＝m，2a＝m－1，

∴a＋2＝2a＋1，∴a＝1，

∴另一个根为1.

答案：1

7．在解方程x2＋px＋q＝0时，甲同学看错了p，解得方程的根为x1＝1，x2＝－3；乙

同学看错了q，解得方程的根为x1＝4，x2＝－2，则方程中的p＝________，q＝________．

解析：甲同学看错了p，但没有看错q，乙同学看错了q，但没有看错p，所以根据根与

系数的关系，得q＝(－3)1＝－3，p＝－(－2＋4)＝－2.

答案：－2－3

8．已知关于x的方程m(x＋a)2＋n＝0的解集是{－3，1}，则关于x的方程m(x＋a－2)2

＋n＝0的解集是________．

解析：把后面一个方程m(x＋a－2)2＋鼓棒 n＝0中的x－2看作整体，相当于前面一个方程

中的x.

∵关于x的方程m(x＋a)2＋n＝0的解集是{－3，1}，

∴方程m(x＋a－2)2＋n＝0可变形为m[(x－2)＋a]2＋n＝0，此方程中x－2＝－3或x

－2＝1，解得x＝－1或x＝3.∴关于x的方程m(x＋a－2)2＋n＝0的解集是{－1，3}．

答案：{－1，3}

9．若关于x的方程x2＋2x－m＋1＝0没有实数根，试说明关于x的方程x2＋mx＋12m＝

1一定有实数根．

解：∵方程x2＋2x－m＋1＝0没有实数根，

∴此方程的判别式＝22－41(－m＋1)<0，解得m<0.

而方程x2＋mx＋12m＝1的根蒸蛋糕怎么做 的判别式′＝m2－41(12m－1)＝m2－48m＋4，

∵m<0，∴m2>0，－48m>0.∴m2－48m＋4>0，

即′>0，

∴方程x2＋mx＋12m＝1有两个不等的实数根，即一定有实数根．

10．已知一元二次方程x2－4x＋k＝0的解集中有两个不相等的实数根．

(1)求k的取值范围；

(2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2－4x＋k＝0与x2＋mx－1＝0有一

3

个相同的根，求此时m的值．

解：(1)由一元二次方程x2－4x＋k＝0的解集中有两个不相等的实数根，得＝b2－4ac

＝(－4)2－4k＞0，

解得k＜4.

(2)由k是符合条件的最大整数，得k＝3，

∴一元二次方程为x2－4x＋3＝0，

解得x1＝1，x2＝3.

∵一元二次方程x2－4x＋k＝0与x2＋mx－1＝0有一个相同的根，∴当x＝1时，把x＝

1代入x2＋mx－1＝0，得1＋m－1＝0，解得m＝0；

当x＝3时，把x＝3代入x2＋mx－1＝0，

得9＋3m－1＝0，解得m＝－

8

3

.

综上，m＝0或m＝－

8

3

.

[B级综合运用]

11．若a，b，c为△ABC的三边长，且关于x的一元二次方程(c－b)x2＋22(b－a)x

＋2(a－b)＝0有两个相等的实数根，则这个三角形是()

A．等腰三角形B．直角三角形

C．等边三角形D．不等边三角形

解析：选A根据题意，得

＝[22(b－a)]2－4(c－b)2(a－b)＝0，

(a－b)(a－b－c＋b)＝0，

所以a－b＝0或a－c＝0，所以a＝b或a＝c，

又c－b≠0，c≠b，

所以这个三角形为等腰三角形．

12．已知m，n是关于x的一元二次方程x2－2tx＋t2－2t＋4＝0的两实数根，则(m＋2)(n

＋2)的最小值是()

A．7B．11

C．12D．16

解析：选D∵适合练字的诗词 m，n是关于x的一元二次方程x2－2tx＋t2－2t＋4＝0的两实数根，

∴由根与系数的关系，得m＋n＝2t，mn＝t2－2t＋4，

∴(m＋2)(n＋有趣的段子 2)＝mn＋2(m＋n)＋4＝t2＋2t＋8＝(t＋1)2＋7.

∵方程有两个实数根，

∴＝(－2t)2－4(t2－2t＋4)＝8t－16≥0，∴t≥2.

4

∴(t＋1)2＋7≥(2＋1)2＋7＝16，即(m＋2)(n＋2)的最小值是16.

13．已知关于x的方程k2x2＋2(k－1)x＋1＝0有实数根．

(1)实数k的取值范围为________；

(2)如果这个方程的两个实数根的倒数和的平方等于8，则实数k的值为________．

解析：(1)当k＝0时，方程为－2x＋1＝0，解得x＝

1

2

，符合题意；

当k≠0时，＝[2(k－1)]2－4k2＝－8k＋4≥0，解得k≤

1

2

.

综上，当k≤

1

2

时，方程有实数根．

(2)设方程的两个实数根为x1，x2，

则x1＋x2＝－

2（k－1）

k2

，x1x2＝

1

k2

，

所以











1

x1

＋

1

x2

2

＝











x1＋x2

x1x2

2

＝[－2(k－1)]2＝8，解得k＝1＋2或k＝1－2，

由(1)知当方程有两个实数根时，k≤

1

2

，且k≠0，所以k＝1－2.

答案：(1)k≤

1

2

(2)1－2

14．已知关于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2－2＝0.

(1)若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；

(2)若方程的两个实数根为x1，x2，且(x1－x2)2＋m2＝21，求m的值．

解：(1)根据题意，得＝(2m＋1)2－4(m2－2)≥0，

解得m≥－

9

4

.

∴m的最小整数值为－2.

(2)根据题意，得x1＋x2＝－(2m＋1)，x1x2＝m2－2.

∵(x1－x2)2＋m2＝21，

∴(x1＋x2)2－4x1x2＋m2＝21，

∴[－(2m＋1)]2－4(m2－2)＋m2＝21，

整理，得m2＋4m－12＝0.解得m1＝2，m2＝－6.

由(1)可知m≥－

9

4

，

∴m的值为2.

[C级拓展探究]

15．在学习解一元二次方程之后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们也可通过变

5

形将其转化为一元二次方程来解．例如：方程：x2－3|x|＋2＝0.

其解法为：设|x|＝y，则原方程可化为：y2－3y＋2＝0(y≥0)．

解得：y1＝1，y2＝2.

当y＝1时，|x|＝1，∴x＝1；

当y＝2时，|x|＝2，∴x＝2.

∴原方程的解是：x1＝1，x2＝－1，x3＝2，x4＝－2.

上述解方程的方法叫做“换元法”．

请用“换元法”解决下列问题：

(1)解方程：x4－10x2＋9＝0；

(2)若实数x满足x2＋

1

x2

－3x－

3

x

＝2，求x＋

1

x

的值．

解：(1)设x2＝a，则原方程可化为a2－10a＋9＝0(a≥0)，

即(a－1)(a－9)＝0，

解得：a＝1或a＝9，

当a＝1时，x2＝1，∴x＝1；

当a＝9时，x2＝9，∴x＝3.

∴原方程的解是x1＝1，x2＝－1，x3＝3，x4＝－3.

(2)设x＋

1

x

＝y，

则原方程可化为y2－2－3y＝2，即y2－3y－4＝0，

∴(y＋1)(y－4)＝0，

解得：y＝－1或y＝4，

即x＋

1

x

＝－1(方程无解，舍去)或x＋

1

x

＝4，

故x＋

1

x

＝4.