交与

高中数学北师大版（必修一）畅言教育

用心用情服务教育

《交集与并集》

本节的内容是交集、并集、的概念及交、并的运算，要从自然语言、符号语言、图形语

言三个方面去理解交、并的含义，是在学习集合关系的基础上自然引出的知识，是集合知识

里面的核心内容，是考查的重点，同时也是与其他内容很容易交汇出题的知识点，经常作为

载体出现。

【知识与能力目标】

1、理解并集、交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。

2、能使用形象工具表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。

【过程与方法目标】

1、体验通过实例分析和阅读自学探究集合间的关系与运算的过程，培养学生的自学、

阅读能力和自主探究能力。

2、能使用数轴与Venn图表达集合的关系及运算，直观图示对理解抽象概念的作用。

【情感态度价值观目标】

◆教材分析

◆教学目标

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通过使用符号表示、集合表示、图形表示集合间的关系与运算，让学生感受集合语言在

描述客观现实和数学问题中的意义，学习用数学的思维方式去认识世界、解决问题的能力，

同时培养学生的语言转换能力。

【教学重点】

并集、交集的概念，利用Venn图与数轴进行交、并的运算。

【教学难点】

弄清并集、交集的概念；符号之间的区别与联系。

电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要不要问丧钟为谁而鸣 调试好。

一、导入部分

复习提问：

1、集合的表示方法。

2、集合的基本关系。

新知导引：

每组同学写出自己的5个爱好，以组为单位整理报表。

设计意图:温习已学知识，为新知作好铺垫。

二、研探新知，建构概念

1、交集、并集的概念及表示

(1)集合A与集合B的交集

◆教学重难点

◆

◆课前准备

◆

◆教学过程

自然

语言

符号

语言

图形

语言

由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集

合

A∩B={x︱x∈A，且x∈B}

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(2)集合A与集合B的并集

2、交集与并集的运算性质

交集并集

A∩B＝B∩A

A∩A＝A

A∩∅＝∅

(A∩B)⊆A

(A∩B)⊆B

A∪B＝B∪A

A∪A＝A

A∪∅＝A

A⊆(A∪B)

B⊆(A∪B)

设计意图:训练学生对数学语言的运用。

三法律体系 、质疑答辩，发展思维

类型一集合交、并的简单运算

[例1](1)若集合P＝{x|x2＝1}，集合M＝{x|x2－2x－3＝0}，则P∩M＝________，P∪M

＝________；

(2)已知集合M＝{x|－35}，则M∪N＝________，M∩N＝

________；

(3)已知集合M＝{y|y＝x2－4x＋3，x∈Z}，集合N＝{y|y＝－x2－2x，x∈Z}，求M∩N。

【解析】(1)P＝{x|x2＝1}＝{－1,1}，M＝{x|x2－2x－3＝0}＝{－1,3}，所以P∩M＝{－

1}，P∪M＝{－1,1,3}。

(2)借助数轴可知：

自然

语言

符号

语言

图形

语言

由既属于集合A或属于集合B的所有元素组成

的集合

A∩B={x︱x∈A或x∈B}

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M臂怎么组词 ∪N＝{x|x>－5}，M∩N＝{x|－3

(3)∵y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，x∈Z，

∴M＝{－1,0,3,8,15，…}．

又∵y＝－x2－2x＝－(x＋1)2＋1，x∈Z，

∴N＝{0，－3，－8，－15，…}，

∴M∩N＝{0}。

方法归纳：

此类题目首先应看清集合中元素的范围，简化集合，若是用列举法表示的数集，可以根据交

集、并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，

可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示。

类型二已知集合的并集、交集求参数

[例2](1)设集合A＝{a2，a＋1，－3}，B＝{a－3,2a－1，a2＋1}，A∩B＝{－3}，求

实数a；

(2)若集合A＝{1,3，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝{1,3，x}，求满足条件的实数x。

【解析】(1)∵A∩B＝{－3}，

∴－3∈B.

易知a2＋1≠－3，

∴①若a－3＝－3，则a＝0，

此时A＝{0,1，－3一类会议 }，B＝{－3，－1,1}，

则A∩B＝{1，－3}，这与已知矛盾。

②若2a－1＝－3，则a＝－1，

此时A＝{1,0，－3}，B＝{－4，－3,2}，A∩B＝{－3}，

综上可知，a＝－1。

(2)∵A∪B＝{1,3，x}，A＝{1,3，x}，B＝{1，x2}，

∴A∪B＝A，即B⊆A，∴x2＝3，或x2＝x。

当x2＝3时，得x＝3。

若x＝3，则A＝{1,3，3}，B＝{1,3}，符合题意。

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若x＝－3，则A＝{1,3，－3}，B＝{1,3}，符合题意。

当x2＝x时，得x＝0，或x＝1.

若x＝0，则A＝{1,3,0}，B＝{1,0}，符合题意；

若x＝1，则A＝{1,3,1}，B＝{1,1}，不符合集合中元素的互异性，舍去。

综上知，x＝3，或x＝0。

方法归纳：

对于这类已知两个有限集的运算结果求参数值的问题，一般先用观察法得到不同集合中元素

之间的关系，再列方程(组)求解．另外，在处理有关含参数的集合问题时，要注意对求得的

结果进行检验，以避免违背集合中元素的有关特性，尤其是互异性。

类型三交集、并集性质的运用

[例3]已知集合A＝{x|x<－1或x>4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若A∩B＝B，

求实数a的取值范围。

【思路点拨】利用A∩B＝B得B⊆A，然后就B是否为空集讨论，列出关于a的不等式(组)

求解即可。

【解析】①当B＝∅时，只需2a>a＋3，即a>3；

②当B≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，

可英语陈述句 得

{a＋3≥2a，a＋3<－1

或

{a＋3≥2a，2a>4，

解得a<－4或2

综上可得，实数a的取值范围为a<－4或a>2。

方法归纳：

(1)在利用集合的交集、并集性质解题时，常常会遇到A∩B＝A，A∪B＝B等这类问题，解答

时常借助于交、并集的定义及上节学习的集合间的关系去分析，如A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝

B⇔A⊆B等，解答时应灵活处理。

(2)当集合B⊆A时，如果集合A是一个确定的集合，而集合B不确定，运算时要考虑B＝∅

的情况，均不可漏掉。

四、自我尝试

1、判断(正确的打“√”，错误的打“”)

(1)A∪B的元素个数等于集合A中元素的个数与集合B中元素个数的和．()

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(2)并集定义中的“或”能改为“和”．()

(3)A∩B是由属于A且属于B的所有元素组成的集合．(√)

(4)若A∩B＝A∩C，则必有男女激情故事 B＝C.()

2、已知集合P＝{x|x<3}，Q＝{x|－1≤x≤4}，那么P∪Q＝()。

A．{x|－1≤x<3}B．{x|－1≤x≤4}

C．{x|计划财务部 x≤4}D．{x|x≥－1}

【解析】在数轴上表示两个集合，如图．

易知P∪Q＝{x|x≤4}．

【答案】C

3、已知集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x＝2a－1，a∈七夕下雨 N*}，则M∩N＝()。

A．{0}B．{1,2}

C．{1}D．{2}

【解析】因为N＝{1,3,5，…}，M＝{0,1,2}，所以M∩N＝{1}

【答案】C

4、设A＝{x|－3≤x≤3}，B＝{y|y＝－x2＋t}．电化学基础 若A∩B＝∅，则实数t的取值范围是()。

A．t<－3B．t≤－3

C．t>3D．t≥3

【解析】B＝{y|y≤t}，结合数轴可知t<－3.

【答案】A

设计意图:让学生在探究中得到结论，加深对知识的应用和理解。

五、课堂小结：

1．集合的并、交运算的方法

(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”“并”定义求解，但要注意集

合元素的互异性。

(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，

但要注意端点值取到与否。

2．在解决集合运算问题时，要注意A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝B⇔A⊆B的应用，当集合

A⊆B时，若集合A不能确定时，运算时要考虑A＝∅的情况，否则极易漏解。

（六）、作业布置：

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1、设集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2x－3>0}，则A∩B＝()。

A.













－3，－

3

2

B.













－3，

3

2

C.













1，

3

2

D.











3

2

，3

【解析】∵x2－4x＋3<0，∴1

∵2x－3>0，∴x>

3

2

，∴B＝





















x







x>

3

2

。

∴A∩B＝{x|1





















x







x>

3

2

＝





















x





3

2

。故选D。

【答案】D

2、设集合A＝{1,2}，则满足A∪B＝{1,2,3}的集合B的个数是()。

A．1B．3

C．4D．8

【解析】因为A＝{1,2}，A∪B＝{1,2,3}。

所以B＝{3}或{1,3}或{2,3}或{1,2,3}，

故选C.

【答案】C

3、若集合A，B，C满足A∩B＝A，B∪C＝C，则A与C之间的关系是________。

【解析】因为A∩B＝A，所以A⊆B.

因为B∪C＝C，所以B⊆C，所以A⊆C.

【答案】A⊆C

略。

略。

◆教学反思