李锤

4.4对数函数

第1课时对数函数的概念、图象和性质

学习目标核心素养

1.理解对数函数的概念，会求对数函数的定义

域．(重点、难点)

2．能画出具体对数函数的图象，并能根据对数

函数的图象说明对数函数的性质．(重点)

1.通过学习对数函数的图象，培养直观

想象素养．

2．借助对数函数的定义域的求解，培养

数学运算的素养.

中科院古脊椎动物与古人类研究所的专家向外界确认，河南汝阳村李锤发现的“龙骨”

实际上是一头距今已有1亿至8000万年历史的黄河巨龙的肋骨．经过发掘、整理、还原模

型，专家推断这条黄河巨龙活着的时候，体重应该在60吨左右，是迄今为止亚洲最高大、最

肥胖的“亚洲龙王”．

同学们，你们知道专家是怎样依据化石估算出黄河巨龙的生活年代的吗？那就让我们学

习一种新的函数模型——对数函数来解决这个问题吧！

问题：(1)考古学家一般通过提取附着在出土文物、古遗址上死亡物体的残留物，利用

(P为碳14含量)估算出土文物或古遗址的年代t，那么t是P的函数吗？为什

么？

(2)函数的解析式与函数y＝log2x的解析式有什么共同特征？

提示：(1)t是P的函数，因为对于P每取一个确定的值按照对应关系f：，

都有唯一的值与之相对应，故t是P的函数．

(2)两个函数都是对数的真数作为函数的自变量．

1．对数函数的概念

函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋

∞)．

思考1：函数y＝2log3x，y＝log3(2x)是对数函数吗？

提示：不是，其不符合对数函数的形式．

2．对数函数的图象和性质

a的范围01

图象

定义域(0，＋∞)

值域R

性质

定点(1,0)，即x＝1时，y＝0

单调性在(0，＋∞)上是减函数在(0，＋∞)上是增函数

思考2：对数函数的“上升”或“下降”与谁有关？

提示：底数a与1的关系决定了对数函数的升降．

当a>1时，对数函数的图象“上升”；当0

3．反函数

指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数．

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“”)

(1)对数函数的定义域为R.()

(2)函数y＝loga(x＋2)恒过定点(－1,0)．()

(3)对数函数的图象一定在y轴右侧．()

(4)函数y＝log2x与y＝x2互为反函数．()

[答案](1)(2)√(3)√(4)

2．函数y＝logax的图象如图所示，则实数a的可能取值为()

A．5B．

1

5

C.

1

e

D．

1

2

A[由图可知，a>1，故选A.]

3．若对数函数过点(4,2)，则其解析式为________．

f(x)＝log2x[设对数函数的解析式为f(x)＝logax(a>0且a≠1)．由f(4)＝2得loga4

＝2，∴a＝2，即f(x)＝log2x.]

4．函数f(x)＝log2(x＋1)的定义域为________．

(－1，＋∞)[由x＋1>0得x>－1，故f(x)的定义域为(－1，＋∞)．]

对数函数的概念及应用

【例1】(1)下列给出的函数：①y＝log5x＋1；

②y＝logax2(a>0，且a≠1)；③y＝log(食人部落 3－1)x；

④y＝

1

3

log3x；⑤y＝logx3(x>0，且x≠1)；

A．③④⑤B．②④⑥

C．①③⑤⑥D．③⑥

(2)若函数y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，则a＝________.

(3)已知对数函数的图象过点(16,4)，则f











1

2

＝_____________.

(1)D(2)4(3)－1[(1)由对数函数定义知，③⑥是对数函数，故选D.

(2)因为函数y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，

所以









2a－1>0，

2a－1≠1，

a2－5a＋4＝0，

解得a＝4.

(3)设对数函数为f(x)＝logax(a>0且a≠1)，

由f(16)＝4可知loga16＝4，∴a＝2，

∴f(x)＝log2x，

∴f











1

2

＝log2

1

2

＝－1.]

判断一个函数是对数函数的方法

[跟进训练]

1．若函数f(x)＝(a2＋a－5)logax是对数函数，则a＝________.

2[由a2＋a－5＝1得a＝－3或a＝2.

又a>0且a≠1，所以a＝2.]

对数函数的定义域

【例2】求下列函数的定义域．

(1)y＝log3x2；

(2)y＝loga(4－x)(a>0，且a≠1)；

(3)y＝

1

lgx

；

(4)y＝log7

1

1－3x

.

[解](1)∵x2>0，即x≠0.

∴函数y＝log3x2的定义域为{x|x≠0}．

(2)∵4－x>0，即x<4.

∴函数y＝loga(4－x)的定义域为{x|x<4}．

(3)∵x＞0，且lgx≠0.

∴x高一班主任工作计划 ＞0且x≠1.

∴函数y＝

1

lgx

的定义域为{x|x＞0且x≠1}．

(4)∵

1

1－3x

>0，∴1－3x>0，即x<

1

3

.

∴函数y＝log7

1

1－3x

的定义域为





















x







x<

1

3

.

求对数型函数的定义域时应遵循的原则

1分母不能为0.

2根指数为偶数时，被开方数非负.

3对数的真数大于0，底数大于0且不为1.

提醒：定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函数有关的定义域问展示厅设计方案 题

时，要注意对数函数的概念，若自变量在真数上，则必须保证真数大于0；若自变量在底数上，

应保证底数大于0且不等于1.

[跟进训练]

2．求下列函数的定义域：

(1)f(x)＝

1

log

1

2

x＋1

；

(2)f(x)＝

1

2－x

＋ln(x＋1)；

(3)f(x)＝log(2x－1)(－4x＋8)．

[解](1)要使函数f(x)有意义，则log

1

2

x＋1>0，即log

1

2

x>－1，解得0

f(x)的定义域为(0,2)．

(2)函数式若有意义，需满足









x＋1>0，

2－x>0，

即









x>－1，

x<2，

解得－1

为(－1,2)．

(3)由题意得









－4x＋8>0，

2x－1>0，

2x－1≠1，

解得









x<2，

x>

1

2

，

x≠1.

故函数y＝log(2x－1)(－4x＋8)的定义

域为





















x





1

2

.

对数函数的图象问题

[探究问题]

1．如图，曲线C1，C2，C3，C4分别对应y＝loga1x，y＝loga2x，y＝loga3x，y＝loga4x的

图象，你能指出a1，a2，a3，a4以及1的大小关系吗？

提示：作直线y＝1，它与各曲线C1，C2，C3，C4的交点的横坐标就是各对数的底数，由此

可判断出各底数的大小必有a4>a3>1>a2>a1>0.

2．函数y＝ax与y＝logax(a>0且a≠1)的图象有何特点？

提示：两函数的图象关于直线y＝x对称．

【例3】(1)当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象为()

ABCD

(2)已知f(x)＝loga|x|，满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象．

[思路点拨](1)结合a>1时y＝a－x＝











1

a

x

及y＝logax的图象求解．

(2)由f(－5)＝1求得a，然后借助函数的奇偶性作图．

(1)C[∵a>1，∴0<

1

a

<1，∴y＝a－x是减函数，y＝logax是增函数，故选C.]

(2)[解]∵f(x)＝loga|x|，∴f(－5)＝loga5＝1，即a＝5，∴f(x)＝log5|x|，

∴f(x)是偶函数，其图象如图所示．

1．把本例(1)的条件“a>1”去掉，函数“y＝logax”改为“y＝loga(－x)”，则函数y

＝a－x与y＝loga(－x)的图象可能是()

C[∵在y＝loga(－x)中，－x＞0，∴x＜0，

∴图象只能在y轴的左侧，故排除A，D；

当a＞1时，y＝loga(－x)是减函数，

y比赛获奖感言 ＝a－x＝











1

a

x

是减函数，故排除B；

当0＜a＜1时，y＝loga(－x)是增函数，

y＝a－x＝











1

a

x

是增函数，∴C满足条件，故选C.]

2．把本例(2)改为f(x)＝

||log2x＋1

＋2，试作出其图象．

[解]第一步：作y＝log2x的图象，如图(1)所示．

(1)(2)

第二步：将y＝log2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度，得y＝log2(x＋1)的图象，

如图(2)所示．

第三步：将y＝log2(x＋1)的图象在x轴下方的部分作关于x轴的对称变换，得y＝|log2(x

＋1)|的图象，如图(3)所示．

第四步：将y＝|log2(x＋1)|的图象沿y轴向上平移2个单位长度，即得到所求的函数图

象，如图(4)所示．

(3)(4)

函数图象的变换规律

1一般地，函数y＝fxa＋ba，b为实数的图象是由函数y＝fx的图象

沿x轴向左或向右平移|a|个单位长度，再沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度得到的.

2含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的.一般地，y＝f|x－a|的

图象是关于直线x＝a对称的轴对称图形；函数y＝|fx|的图象与y＝fx的图象在

fx≥0的部分相同，在fx<0的部分关于x轴对称.

1．掌握3个知识点

(1)对数函数的定义；

(2)对数函数的定义域；

(3)对数函数的图象．

2．关注3个易错点

(1)判断一个函数是不是对数函数关键是分析所给函数是否具有y＝logax(a>0且a≠1)

这种形式．

(2)在对数函数y＝logax中，底数a对其图象直接产生影响，学会以分类的观点认识和

掌握对数函数的图象和性质．

(3)涉及对数函数定义域的问题，常从真数和底数两个角度分析．

1．下列函数是对数函数的是()

A．y＝2＋log3x

B．y＝loga(2a)(a>0，且a≠1)

C．y＝logax2(a>0，且a≠1)

D．y＝lnx

D[结合对数函数的形式y＝logax(a>0且a≠1)可知D正确．]

2．函数f(x)＝lgx＋lg(5－3x)的定义域是()

A.













0，

5

3

B．













0，

5

3

C.













1，

5

3

D．













1，

5

3

C[由









lgx≥0，

5－3x>0，

得









x≥1，

x体育创业 <

5

3

，

即1≤x<

5

3

.]

3．对数函数的图象过点M(16,4)，则此对数函数的解析式为()

A．y＝log4xB．y＝log

1

4

x

C．y＝log

1

2

xD．y＝log2x

D[由于对数函数的图象过点M(16,4)，所以4＝loga16，得a＝2.所以对数函数的解析

式为y＝log2x，故选D.]

4．已知函数f(x)＝loga(x－1)＋4(a>0，且a≠1)的图象恒过定点Q，则Q点坐标是()

A．(0,5)B．(1,4)

C．(2,4)D．(2,5)糯米肠

C[令x－1＝1，即x＝2.则f(x)＝4.即函数图象恒过定点Q(2,4)．故选C.]

5．已知f(x)＝log3x.

(1)作出这个函数的图象；

(2)若f(a)

[解](1)作出函数y＝log3x的图象如图所示．

(2)令f(x)＝f(2)，

即log3x＝log32，解得x＝2.

由图象知：

当0

所以所求a的取值范围为0