内蒙古通辽市

历年考试真题汇总——2023年最新整理

2021年内蒙古通辽市中考数学真题及答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）.

1．|﹣2|的倒数是（）

A．2B．C．﹣2D．﹣

2．下列计算正确的是（）

A．x2+x3＝x5B．2x3﹣x3＝1

C．x3•x4＝x7D．（﹣2xy2）3＝﹣6x3y6

3．为迎接中国共产党建党一百周年，某班50名同学进行了党史知识竞赛，测试成绩统计如

下表，其中有两个数据被遮盖．

成绩/分9979899100

人数■■1235681012

下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（）

A．平均数，方差B．中位数，方差青岛旅游最佳时间

C．中位数，众数D．平均数，众数

4．关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣3）x﹣k+1＝0的根的情况，下列说法正确的是（）

A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根

C．无实数根D．无法确定

5．如图，是由若干个相同的小立方体搭成的几何体的主视图和左视图，则搭成这个几何体

的小立方体的个数不可能是（）

A．3B．4C．5D．6

6．随着互联网技术的发展，我国快递业务量逐年增加，据统计从2018年到2020年，我国

快递业务量由507亿件增加到833.6亿件，设我国从2018年到2020年快递业务量的年

平均增长率为x，则可列方程为（）

A．507（1+2x）＝833.6

历年考试真题汇总——2023年最新整理

B．5072（1+x）＝833.6

C．507（1+x）2＝833.6

D．507+507（1+x）+507（1+x）2＝833.6

7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（）

A．∠BDE＝∠BACB．∠BAD＝∠BC．DE＝DCD．AE＝AC

8．定义：一次函数y＝ax+b的特征数为[a，b]，若一次函数y＝﹣2x+m的图象向上平移3

个单位长度后与反比例函数y＝﹣的图象交于A，B两点，且点A，B关于原点对称，则

一次函数y＝﹣2x+m的特征数是（）

A．[2，3]B．[2，﹣3]C．[﹣2，3]D．[﹣2，﹣3]

9．如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB＝3，点E为射线BC上一个动点，连接AE，将△ABE沿

AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC于M，N两点，当B′

为线段MN的三等分点时，BE的长为（）

A．B．C．或D．或

10．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，动点P，Q同时从点A出发，点P沿A→B→C

的路径运动，点Q沿A→D→C的路径运动，点P，Q的运动速度相同，当点P到达点C时，

点Q也随之停止运动，连接PQ．设点P的运动路程为x，PQ2为y，则y关于x的函数图

象大致是（）

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A．B．

C．D．

二、填空题（本题包括7道小题，每小题3分，共21分。将答案直接填在答题卡对应题的

横线上）

11．冠状病毒是一类病毒的总称，其最大直径约为0.00000012米，数据0.00000012用科学

记数法表示为．

12．如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常．随机闭合开关S1

，S2

，S3

中的两个，能

让两个小灯泡同时发光的概率是．

13．一副三角板如图所示摆放，且AB∥CD，则∠1的度数为．

14．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比

竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，

用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再炖蛋要多长时间 去量竿，就比竿短5尺．设绳

索长x尺，竿长y尺，则可列方程组为．

15．若关于x的不等式组，有且只有2个整数解，则a的取值范围是．

16．如图，AB是⊙O的弦，AB＝2急救措施 ，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝60，若点M，

N分别是AB，BC的中点，则图中阴影部分面积的最大值是．

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17．如图，△OA1B1

，△A1A2B2

，△A2A3B3

，…，△An﹣1AnBn

都是斜边在x轴上的等腰直角三角形，

点A1

，A2

，A3

，…，An

都在x轴上，点B1

，B2

，B3

，…，Bn

都在反比例函数y＝（x＞0）

的图象上，则点B

n

的坐标为．（用含有正整数n的式子表示）

三、解答题（本题包括9道小题，共69分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡

上写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤）

18．计算：（）﹣1+（﹣3）0﹣2cos30+|3﹣|．

19．先化简，再求值：（+x﹣1），其中x满足x2﹣x﹣2＝0．

20．如图，甲、乙两个转盘均被分成3个面积相等的扇形，每个扇形中都标有相应的数字，

同时转动两个转盘（当指针指在边界线上时视为无效，需重新转动转盘），当转盘停止

后，把甲、乙两个转盘中指针所指数字分别记为x，y．请用树状图或列表法求点（x，y）

落在平面直角坐标系第一象限内的概率．

21．如图，一段河流自西向东，河岸笔直，且两岸平行．为测量其宽度，小明在南岸边B

处测得对岸边A处一棵大树位于北偏东60方向，他以1.5m/s的速度沿着河岸向东步行

40s后到达C处，此时测得大树位于北偏东45方向，试计算此段河面的宽度（结果取

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整大家拓展 数，参考数据：≈1.732）

22．暑期将至，某校组织学生进行“防溺水”安全知识竞赛，老师从中随机抽取了部分学生

的成绩（得分取整数，满分为100分），整理后绘制成如图所示的不完整的扇形统计图

和频数分布直方图．

其中A组的频数a比B组的频数b小15．请根据以上信息，解答下列问题：

（1）本次共抽取名学生，a的值为；

（2）在扇形统计图中，n＝，E组所占比例为%；

（3）补全频数分布直方图；

（4）若全校共有1500名学生，请根据抽样调查的结果，估计成绩在80分以上的学生人

数．

23．为做好新冠疫情的防控工作，某单位需购买甲、乙两种消毒液，经了解每桶甲种消毒液

的零售价比乙种消毒液的零售价多6元，该单位以零售价分别用900元和720元采购了

相同桶数的甲、乙两种消毒液．

（1）求甲、乙两种消毒液的零售价分别是每桶多少元？

（2）由于疫情防控进入常态化，该单位需再次购买两种消毒液共300桶，且甲种消毒液

的桶数不少于乙种消毒液桶数的．由于购买量大，甲、乙两种消毒液分别获得了20元

/桶、15元/桶的批发价登记注册类型 ．求甲种消毒液购买多少桶时，所需资金总额最少？最少总金额

是多少元？

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24．如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线AC，点P是射线AC上的动点，连接OP，

过点B作BD∥OP，交⊙O于点D，连接PD．

（1）求证：PD是⊙O的切线；

（2）当四边形POBD是平行四边形时，求∠APO的度数．

25．已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形（OA＜OM＜OA），∠AOB＝∠MON＝90．

（1）如图1，连接AM，BN，求证：AM＝BN；

（2）将△MON绕点O顺时针旋转．

①如图2，当点M恰好在AB边上时，求证：AM2+BM2＝2OM2；

②当点A，M，N在同一条直线上时，若OA＝4，OM＝3，请直接写出线段AM的长．

26．如图，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A（3，0），B（﹣1，0）两点，交y轴于点C，动

点P在抛物线的对称轴上．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当以P，B，C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及△PBC的周长；

（3）若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点

的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明

理由．

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参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）.

1．|﹣2|的倒数是（）

A．2B．C．﹣2D．﹣

解：|﹣2|的倒数是，

故选：B．

2．下列计算正确的是（）

A．x2+x3＝x5B．2x3﹣x3＝1

C．x3•x4＝x7D．（﹣2xy2）3＝﹣6x3y6

解：A．x2+x3，不是同类项，不能合并，故本选项不合题意；

B.2x3﹣x3＝x3，故本选项不合题意；

C．x3•x4＝x7，故本选项符合题意；

D．（﹣2xy2）3＝﹣8x3y6，故本选项不合题意；

故选：C．

3．为迎接中国共产党建党一百周年，某班50名同学进行了党史知识竞赛，测试成绩统计如

下表，其中有两个数据被遮盖．

成绩/分9979899100

人数■■1235681012

下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（）

A．平均数，方差B．中位数，方差

C．中位数，众数D．平均数，众数

解：由表格数据可知，成绩为24分、92分的人数为50﹣（12+10+8+6+5+3+2+1）＝3（人），

成绩为100分的，出现次数最多，因此成绩的众数是100，

成绩从小到大排列后处在第25、26位的两个数都是98分，因此中位数是98，

因此中位数和众数与被遮盖的数据无关，

故选：C．

4．关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣3）x﹣k+1＝0的根的情况，下列说法正确的是（）

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A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根

C．无实数根D．无法确定

解：△＝[﹣（k﹣3）]2﹣4（﹣k+1）

＝k2﹣6k+9﹣4+4k

＝k2﹣2k+5

＝（k﹣1）2+4，

∵（k﹣1）2≥0，

∴（k﹣1）2+4＞0，即△＞0，

∴方程总有两个不相等的实数根．

故选：A．

5．如图，是由若干个相同的小立方体搭成的几何体的主视图和左视图，则搭成这个几何体

的小立方体的个数不可能是（）

A．3B．4C．5D．6

解：根据主视图与左视图，第一行的正方体有1（只有一边有）或2（左右都有）个，第

二行的正方体可能有2（左边有）或3（左右都有）个，

∵1+2＝3，1+3＝4，2+2＝4，2+3＝5，

∴不可能有6个．

故选：D．

6．随着互联网技术的发展，我国快递业务量逐年增加，据统计从2018年到2020年，我国

快递业务量由507亿件增加到833.6亿件，设我国从2018年到2020年快递业务量的年

平均增长率为x，则可列方程为（）

A．507（1+2x）＝833.6

B．5072（1+x）＝833.6

C．507（1+x）2＝833.6

D．507+507（1+x）+507（1+x）2＝833.6

解：设我国2018年至2020年快递业务收入的年平均增长率为x，

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由题意得：507（1+x）2＝833.6，

故选：C．

7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（）

A．∠BDE＝∠BACB．∠BAD＝∠BC．DE＝DCD．AE＝AC

解：根据尺规作图的痕迹可得，DE⊥AB，AD是∠BAC的平分线，

∵∠C＝90，

∴DE＝DC，∠B+∠BDE＝∠B+∠BAC＝90，

∴∠BDE＝∠BAC，

在Rt△AED和Rt△ACD中，

，

∴Rt△AED≌Rt△ACD（HL），

∴AE＝AC，

∵DE不是AB的垂直平分线，故不能证明∠BAD＝∠B，

综上所述：A，C，D不符合题意，B符合题意，

故选：B．

8．定义：一次函数y＝ax+b的特征数为[a，b]，若一次函数y＝﹣2x+m的图象向上平移3

个单位长度后与反比例函数y＝﹣的图象交于A，B两点，且点A，B关于原点对称，则

一次函数y＝﹣2x+m的特征数是（）

A．[2，3]B．[2，﹣3]C．[﹣2，3]D．[﹣2，﹣3]

解：将一次函数y＝﹣2x+m向上平移3个单位长度后得到y＝﹣2x+m+3，

设A（x1

，0），B（x2

，0），

联立，

∴2x2﹣（m+3）x﹣3＝0，

∵x1

和x2

是方程的两根，

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∴，

又∵A，B两点关于原点对称，

∴x1

+x2

＝0，

∴，

∴m＝﹣3，

根据定义，一次函数y＝﹣2x+m的特征数是[﹣2，﹣3]，

故选：D．

9．如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB＝3，点E为射线BC上一个动点，连接AE，将△ABE沿

AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC于M，N两点，当B′

为线段MN的三等分点时，BE的长为（）

A．B．C．或D．或

解：①当MB'＝MN时，如图：

Rt△AMB'中，AB'＝AB＝3，MB'＝AB＝1，

∴AM＝＝2，

∵AD∥BC，AB⊥BC，MN⊥AD，

∴四边形ABNM是矩形，

∴BN＝AM＝2，MN＝AB＝3，

设BE＝x，则B'E＝x，EN＝2﹣x，

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Rt△B'EN中，B'N＝MN﹣MB'＝2，EN2+B'N2＝B'E2，

∴（2﹣x）2+22＝x2，

解得x＝，

∴BE的长为；

②当NB'＝MN时，如图：

∵NB'＝MN＝1，

∴MB'＝2，

设BE＝y，

同①可得y＝，

∴BE的长为，

综上所述，BE的长为或．

故选：D．

10．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，动点P，Q同时从点A出发，点P沿A→B→C

的路径运动，点Q沿A→D→C的路径运动，点P，Q的运动速度相同，当点P到达点C时，

点Q也随之停止运动，连接PQ．设点P的运动路程为x，PQ2为y，则y关于x的函数图

象大致是（）

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A．B．

C．D．

解：在Rt△APQ中，∠QAP＝90，AP＝AQ＝x，

∴PQ2＝2x2．

当0≤x≤3时，AP＝AQ＝x，

∴y＝PQ2＝2x2；

当3≤x≤4时，DP＝x﹣3，AP＝x，

∴y＝PQ2＝32+32＝18；

当4≤x≤7时，CP＝7﹣x，CQ＝7﹣x，

∴y＝PQ2＝CP2+CQ2＝2x2﹣28x+98．

故选：C．

二、填空题（本题包括7道小题，每小题3分，共21分。将答案直接填在答题卡对应题的

横线上）

11．冠状病毒是一类病毒的总称，其最大直径约为0.00000012米，数据0.00000012用科学

记数法表示为1.210﹣7．

解：0.00000012＝1.210﹣7．

故答案为：1.210﹣7．

12．如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常．随机闭合开关S1

，S2

，S3

中的两个，能

让两个小灯泡同时发光的概率是．

解：把开关S1

，S2

，S3

分别记为A、B、C，

画树状图如图：

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共有6种等可能的结果，能让两个小灯泡同时发光的结果有2种，

∴能让两个小灯泡同时发光的概率为＝，

故答案为：．

13．一副三角板如图所示摆放，且AB∥CD，则∠1的度数为75．

解：如图，∠A＝45，∠C＝30，

∵AB∥CD，

∴∠2＝∠C＝30，

∴∠1＝∠2+∠A＝30+45＝75，

故答案为：75．

14．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比

竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，

用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳

索长x尺，竿长y尺，则可列方程组为．

解：设绳索长x尺，竿长y尺，

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依题意得：．

故答案为：．

15．若关于x的不等式组，有且只有2个整数解，则a的取值范围是﹣1＜a

≤1．

解：解不等式3x﹣2≥1，得：x≥1，

解不等式2x﹣a＜5，得：x＜，

∵不等式组只有2个整数解，

∴2＜≤3，

解得﹣1＜a≤1，

故答案为：﹣1＜a≤1．

16．如图，AB是⊙O的弦，AB＝2，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝60，若点M，

N分别是AB，BC的中点，则图中阴影部分面积的最大值是﹣．

解：连接OA、OB、OM，如图，

∵∠ACB＝60，

∴∠AOB＝120五十英文 ，

∵OA＝OB，

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∴∠OAB＝∠OBA＝30，

∵AM＝BM＝AB＝，

∴OM⊥AB，

∴tan30＝，

∴OM＝＝1，

∴OA＝2OM＝2，

∵点M、N分别是AB、BC的中点，

∴MN∥AC，MN＝AC，

∴△MBN∽△ABC，

∴＝（）2＝，

∴当△ABC的面积最大时，△MBN的面积最大，

∵C、O、M在一条直线时，△ABC的面积最大，

∴△ABC的面积最大值为：（2+1）＝3，

∴△MBN的面积最大值为：，

∵S弓形

＝S扇形OAB

﹣S△AOB

＝﹣＝﹣，

∴此时，S阴影

＝﹣+＝﹣，

故答案为：﹣．

17．如图，△OA1B1

，△A1A2B2

，△A2A3B3

，…，△An﹣1AnBn

都是斜边在x轴上的等腰直角三角形，

点A1

，A2

，A3

，…，An

都在x轴上，点B1

，B2

，B3

，…，Bn

都在反比例函数y＝（x＞0）

的图象上，则点Bn

的坐标为（+，﹣+）．（用含有正整数n的式

子表示）

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解：过B1

作B1M1

⊥x轴于M1

，

易知M1

（1，0）是OA1

的中点，

∴A1

（2，0）．

可得B1

的坐标为（1，1），

∴B1O的解析式为：y＝x，

∵P1O∥A1P2

，

∴A1B2

的表达式一次项系数相等，

将A1

（2，0）代入y＝x+b，

∴b＝﹣2，

∴A1B2

的表达式是y＝x﹣2，

与y＝（x＞0）联立，解得B2

（1+，﹣1+）．

仿上，A2

（2，0）．

B3

（+，﹣+），

依此类推，点Bn

的坐标为（+，﹣+），

故答案为（+，﹣+）．

三、解答题（本题包括9道小题，共69分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡

上写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤）

18．计算：（）﹣1+（﹣3）0﹣2cos30+|3﹣|．

解：原式＝2+1﹣2+2

＝﹣

＝．

19．先化简，再求值：（+x﹣1），其中x满足x2﹣x﹣2＝0．

解：原式＝•

历年考试真题汇总——2023年最新整理

＝•

＝x（x+1）

＝x2+x，

解方程x2﹣x﹣2＝0，得x1

＝2，x2

＝﹣1，

∵x+1≠0，

∴x≠﹣1，

当x＝2时，原式＝22+2＝6．

20．如图，甲、乙两个转盘均被分成3个面积相等的扇形，每个扇形中都标有相应的数字，

同时转动两个转盘（当指针指在边界线上时视为无效，需重新转动转盘），当转盘停止

后，把甲、乙两个转盘中指针所指数字分别记为x，y．请用树状图或列表法求点（x，y）

落在平面直角坐标系第一象限内的概率．

解：画树状图如图：

共有9种等可能的结果，点（x，y）落在平面直角坐标系第一象限内的结果有4种，

∴点（x，y）落在平面直角坐标系第一象限内的概率为．

21．如图，一段河流自西向东，河岸笔直，且两岸平行．为测量其宽度，小明在南岸边B

处测得对岸边A处一棵大树位于北偏东60方向，他以1.5m/s的速度沿着河岸向东步行

40s后到达C处，此时测得大树位于北偏东45方向，试计算此段河面的宽度（结果取

整数，参考数据：≈1承诺作文 .732）

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解：如图，作AD⊥BC于D．

由题意可知：BC＝1.540＝60（m），∠ABD＝90﹣60＝30，∠ACD＝90﹣45

＝45，

在Rt△ACD中，∵tan∠ACD＝tan45＝＝1，

∴AD＝CD，

在Rt△ABD中，∵tan∠ABD＝tan30＝，

∴BD＝，

∵BC＝BD﹣CD＝﹣AD＝60（m），

∴AD＝30（+1）≈82（m），

答：此段河面的宽度约82m．

22．暑期将至，某校组织学生进行“防溺水”安全知识竞赛，老师从中随机抽取了部分学生

的成绩（得分取整数，满分为100分），整理后绘制成如图所示的不完整的扇形统计图

和频数分布直方图．

历年考试真题汇总——2023年最新整理

其中A组的频数a比B组的频数b小15．请根据以上信息，解答下列问题：

（1）本次共抽取150名学生，a的值为12；

（2）在扇形统计图中，n＝144，E组所占比例为4%；

（3）补全频数分布直方图；

（4）若全校共有1500名学生，请根据抽样调查的结果，估计成绩在80分以上的学生人

数．

解：（1）A组的频数a比B组的频数b小15，A组的频频率比B组的频率小18%﹣8%＝

10%，

因此调查人数为：15（18%﹣8%）＝150（人），

a＝1508%＝12（人），

故答案为：150，12；

（2）360＝36040%＝144，即n＝144，

“E组”所占的百分比为1﹣8%﹣18%﹣30%﹣40%＝4%，

故答案为：144，4；

（3）b＝a+15＝27（人），

“C组”频数为：15030%＝45（人），

“E组”频数为：1504%＝6（人），

补全频数分布直方图如图所示：

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（4）1500＝660（人），

答：估计成绩在80分以上的学生人数大约为660人．

23．为做好新冠疫情的防控工作，某单位需购买甲、乙两种消毒液，经了解每桶甲种消毒液

的零售价比乙种消毒液的零售价多6元，该单位以零售价分别用900元和720元采购了

相同桶数的甲、乙两种消毒液．

（1）求甲、乙两种消毒液的零售价分别是每桶多少元？

（2）由于疫情防控进入常态化，该单位需再次购买两种消毒液共300桶，且甲种消毒液

的桶数不少于乙种消毒液桶数的．由于购买量大，甲、乙两种消毒液分别获得了20元

/桶、15元/桶的批发价．求甲种消毒液购买多少桶时，所需资金总额最少？最少总金额

是多少元？

解：（1）设乙种消毒液的零售价为x元/桶，则甲种消毒液的零售价为（x+6）元/桶，

依题意得：＝，

解得：x＝24，

经检验，x＝24是原方程的解，且符合题意，

∴x+6＝30．

答：甲种消毒液的零售价为30元/桶，乙种消毒液的零售价为24元/桶．

（2）设购买甲种消毒故乡的诗 液m桶，则购买乙种消毒液（300﹣m）桶，

依题意得：m≥（300﹣m），

解得：m≥75．

设所需资金总额为w元，则w＝20m+15（300﹣m）＝5m+4500，

∵5＞0，

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∴w随m的增大而增大，

∴当m＝75时，w取得最小值，最小值＝575+4500＝4875．

答：当甲种消毒液购买75桶时，所需资金总额最少，最少总金额是4875元．

24．如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线AC，点P是射线AC上的动点，连接OP，

过点B作BD∥OP，交⊙O于点D，连接PD．

（1）求证：PD是⊙O的切线；

（2）当四边形POBD是平行四边形时，求∠APO的度数．

【解答】（1）证明：连接OD，

∵PA切⊙O于A，

∴PA⊥AB，

即∠PAO＝90，

∵OP∥BD，

∴∠DBO＝∠淘宝经营策略 AOP，∠BDO＝∠DOP，

∵OD＝OB，

∴∠BDO＝∠DBO，

∴∠DOP＝∠AOP，

在△AOP和△DOP中

，

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∴△AOP≌△DOP（SAS），

∴∠PDO＝∠PAO，

∵∠PAO＝90，

∴∠PDO＝90，

即OD⊥PD，

∵OD过O，

∴PD是⊙O的切线；

（2）解：

由（1）知：△AOP≌△DOP，

∴PA＝PD，

∵四边形POBD是平行四边形，

∴PD＝OB，

∵OB＝OA，

∴PA＝OA，

∵∠PAO＝90，

∴∠APO＝∠AOP＝45．

25．已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形（OA＜OM＜OA），∠AOB＝∠MON＝90．

（1）如图1，连接AM，BN，求证：AM＝BN；

（2）将△MON绕点O顺时针旋转．

①如图2，当点M恰好在AB边上时，求证：AM2+BM2＝2OM2；

②当点A，M，N在同一条直线上时，若OA＝4，OM＝3，请直接写出线段AM的长．

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【解答】（1）证明：∵∠AOB＝∠MON＝90，

∴∠AOB+∠AON＝∠MON+∠AON，

即∠AOM＝∠BON，

∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，

∴OA＝OB，OM＝ON，

∴△AOM≌△BON（SAS），

∴AM＝BN；

（2）①证明：连接BN，

∵∠AOB＝∠MON＝90，

∴∠AOB﹣∠BOM＝∠MON﹣∠BOM，

即∠AOM＝∠BON，

∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，

∴OA＝OB，OM＝ON，

∴△AOM≌△BON（SAS），

∴∠MAO＝∠NBO＝45，AM＝BN，

∴∠MBN＝90，

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∴MN2+BN2＝MN2，

∵△MON都是等腰直角三角形，

∴MN2＝2ON2，

∴AM2+BM2＝2OM2；

②解：如图3，当点N在线段AM上时，连接BN，设BN＝x，

由（1）可知△AOM≌△BON，可得AM＝BN且AM⊥BN，

在Rt△ABN中，AN2+BN2＝AB2，

∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，OA＝4，OM＝3，

∴MN＝3，AB＝4，

∴（x﹣3）2+x2＝（4）2，

解得：x＝，

∴AM＝BN＝，

如图4，当点，M在线段AN上时，连接BN，设BN＝x，

由（1）可知△AOM≌△BON，可得AM＝BN且AM⊥BN，

在Rt△ABN中，AN2+BN2＝AB2，

∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，OA＝4，OM＝3，

∴MN＝3，AB＝4，

∴（x+3）2+x2＝（4）2，

解得：x＝，

∴AM＝BN＝，

综上所述，线段AM的长为或．

26．如图，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A（3，0），B（﹣1，0）两点，交y轴于点C，动

点P在抛物线的对称轴上．

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（1）求抛物线的解析式；

（2）当以P，B，C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及△PBC的周长；

（3）若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点

的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明

理由．

解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A（3，0），B（﹣1，0）两点，

∴，

解得：，

∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；

（2）在y＝﹣x2+2x+3中，令x＝0，得y＝3，

∴C（0，3），

∵△PBC的周长为：PB+PC+BC，BC是定值，

∴当PB+PC最小时，△PBC的周长最小．

如图1，点A、B关于对称轴l对称，连接AC交l于点P，则点P为所求的点．

∵AP＝BP，

∴△PBC周长的最小值是：PB+PC+BC＝AC+BC．

∵A（3，0），B（﹣1，0），C（0，3），

∴AC＝3，BC＝．

∴△PBC周长的最小值是：3+．

抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，

设直线AC的解析式为y＝kx+c，将A（3，0），C（0，3）代入，得：

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，

解得：，

∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3，

∴P（1，2）；

（3）存在．

设P（1，t），

①以AC为边时，如图2，

∵四边形ACPQ是菱形，

∴CP＝CA，

∴12+（3﹣t）2＝32+32，

解得：t＝3，

∴P1

（1，3﹣），P2

（1，3+），

∴Q1

（4，﹣），Q2

（4，），

②以AC为对角线时，如图3，

∵四边形ACPQ是菱形，

∴CP＝PA，

∴12+（3﹣t）2＝（1﹣3）2+t2，

解得：t＝1，

∴P3

（1，1），Q3

（2，2），

综上所述，符合条件的点Q的坐标为：Q1

（4，﹣），Q2

（4，），Q3

（2，2）．

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