2次根式

二次根式知识点归纳和题型归类

一、知识框图

二、知识要点梳理

知识点一、二次根式的主要性质：

1.；2.；3.；

4.积的算术平方根的性质：；

5.商的算术平方根的性质：.

6.若，则.

知识点二、二次根式的运算

1．二次根式的乘除运算

(1)运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号.

(2)注大蒜苗 意每一步运算的算理；

(3)乘法公式的推广：

2．二次根式的加减运算先化简，再运算，

3．二次根式的混合运算(1)明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里；

(2)整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用.

一.利用二次根式的双重非负性来解题（

0a

（a≥0），即一个非负数的算术平方根是一个非负数。）

1.下列各式中一定是二次根式的是（）。A、

3

；B、

x

；C、12x；D、

1x

2.x取何值时，下列各式在实数范围内有意义。

（1）（2）

12

1





x

（3）

4

5





x

x

（4）（5）(6).

（7）若1)1(xxxx，则x的取值范围是（8）若

1

3

1

3











x

x

x

x

，则x的取值范围是。

3.若13m有意义，则m能取的最小整数值是；若20m是一个正整数，则正整数m的最小值是________．

4.当x为何整数时，

1110x

有最小整数值，这个最小整数值为。

5.若20042005aaa，则22004a=_____________；若

433xxy

，则yx

6．设m、n满足

3

29922







m

mm

n，则

mn

=。

7．若

m

适合关系式35223199199xymxymxyxy，求

m

的值．

8.若三角形的三边a、b、c满足

3442baa

=0，则第三边c的取值范围是

9.已知ABC△的三边abc，，满足2|12|102422abcab

，则

ABC△

为（）

10.若0|84|myxx，且0y时，则（）A、10mB、2mC、2mD、2m

二．利用二次根式的性质2a=|a|=

















)0(

)0(0

)(

aa

a

baa

(即一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值)来解题

1.已知233xx

＝－x

3x

，则（）A.x≤0B.x≤－3Ｃ.x≥－3D.－3≤x≤0

2.．已知a

aba

B．

aba

C．

aba

D．

aba

3.若化简|1-x|-

1682xx

的结果为2x-5则（）A、x为任意实数B、1≤x≤4C、x≥1D、x≤4

4.已知a，b，c为三角形的三边，则222)()()(acbacbcba=

5.当-3

6、化简)0(||2yxxyx的结果是（）A．xy2B．yC．yx2D．y

7、已知：221aaa=1，则a的取值范围是（）。A、0a；B、1a；C、0a或1；D、1a

8、化简

2

1

)2蒜苗烧豆腐 (





x

x

的结果为（）A、

x2

；B、

2x

；C、

2x

D、

x2

12

1

3





x

x

三．二次根式的化简与计算（主要依据是二次根式的性质：（

a

）2=a（a≥0），即

||2aa

以及混合运算法则）

（一）化简与求值

1.把下列各式化成最简二次根式：（1）

8

3

3

（2）224041（3）

2

255m（4）224yxx

2.下列哪些是同类二次根式：（1）

75

，

27

1

，

12

，

2

，

50

1

，

3

，

10

1

；（2）

,533cba323cba

，

4c

ab

，a

bc

a

3.计算下列各题：

（1）6

)33(27

（2）

4

9

12

3a

ab；（3）

a

c

c

b

b

a

53

6

5

4



（4睡觉的英语怎么说 ）

24

182

（5）－

54

5

3

2

1

（6）

)(

2

35

22

c

ab

c

ba



4.计算（1）2

50

5

1

12

2

1

8

3

1

33

（2）

)

25

4

4

1

4()

3

1

9

1

(

3

3

2

3

y

y

x

xy

y

x

x



5．已知

1018

2

2

2

x

x

x

x

，则x等于（）A．4B．2C．2D．4

6.

21

1



＋

32

1



＋

43

1



＋…＋

10099

1



（二）先化简，后求值：

1.直接代入法：已知

),57(

2

1

x),57(

2

1

y

求(1)22yx(2)

y

x

x

y



2.变形代入法：

（1）变条件：①已知：

13

2



x，求12xx的值。②.已知:x=

23

23

,

23

23











y

，求3x2－5xy+3y2的值

③已知

21915xx

，求

xx1519

④已知

a

ax

1



，求

2

2

42

42

xxx

xxx





（2）变结论：

①设3=a，30=b，则0.9=。②

y

-211

,

y

m

y

y



则

的结果为（）

③.已知12,12yx，求

xyyxxy

yx

3

3





④若315,35xyyx，求

yx

的值。

⑤已知5yx，3xy，（1）求

x

y

y

x

的值（2）求

yx

yx





的值

（3）同时变条件与结论：已知：，求的值．

五．关于求二次根式的整数部分与小数部分的问题

1.估算31－2的值在哪两个数之间（）A．1～2B.2～3C.3～4D.4～5

2．若

3

的整数部分是a猪和猴相配婚姻如何 ，小数部分是b，则

ba3

3.已知9+13913与的小数部分分别搞笑诗词 是a和b，求ab－3a+4b+8的值

4.若a，b为有理数，且

8

+18+

8

1

=a+b2，则ba=.

六．二次根式的比较大小（1）北京有名的胡同 32200

5

1

和（2）－5

566和

（3）

13151517和

（4）设a=23,

32b

,25c,则（）

七．实数范围内因式分解：1.9x2－5y22.4x4－4x2＋13.x4+x2－6

19.已知：

1

110a

a



，求2

2

1

a

a



的值。

20.已知：,xy为实数，且113yxx，化简：23816yyy

。

21.已知

1

1

0

3

93

2

2











y

x

x

xyx

，求的值。