排列数

更新时间:2023-03-25 02:09:29 阅读: 评论:0

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排列数
2023年3月25日发(作者:小花猫上学校)

排列及排列数的计算

3.1.1排列及排列数的计算

课型:新授课

课时:1课时

教材分析

排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素,或排成一排或并成一组,

并求有多少种不同方法的问题.排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关.与

顺序有关的是排列问题,与顺序无关是组合问题,顺序对排列、组合问题的求

解特别重要.排列与组合的区别,从定义上来说是简单的,但在具体求解过程中

学生往往感到困惑,分不清到底与顺序有无关系.

分类计数原理和分步计数原理既是推导排列数公式、组合数公式的基础,

也是解决排列、组合问题的主要依据,并且还常需要直接运用它们去解决问题,

这两个原理贯穿排列、组合学习过程的始终.搞好排列、组合问题的教学从这两

个原理入手带有根本性.

教学目标

1、知识与技能目标

理解排列、排列数的概念;掌握排列数公式;正确理解排列、排列数的概念,

能够解决一些与排列有关的问题.

2、过程与方法

通过本节课的学习,是学生体验从特殊到一般的思维方式,并进一步了解化

归的数学思想,进一步提高学生的分析问题和解决问题的能力.

3、情感态度与价值观

培养学生学会透过现象抓住本质,通过对事物,现象本质的进一步分析得出

一般规律;通过小组合作增强学生的协助能力和创新意识,进而提高学生的综

合公正的意思 素质.

教学重点、难点

重点:排列数公式的理解与运用;排列应用题常用的方法有直接法,间接法。

难点:排列数公式的推导。

教学过程

一、复习引入:

1.分类计数原理;2.分步计数原理.

分类计数原理和分步计数原理,都是研究做一件事共有多少种不同方法的

问题,区别在于:分类计数原理针对的是“分类”问题,其中各种方法相互独

立,每一种方法都可以做完这件事,用的是加法;分步计数原理针对的是“分步”

问题,各个步骤中的方法相互依存,只有各个步骤都完成才算做完这件事,我

们用的是乘法

二、讲解新课:

1.提出问题:

问题1:从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加某天的一项活动,其中1人

参加上午的活动,1人参加下午的活动,有多少种不同的方法?

分析:这个问题就是从甲、乙、丙3名同学中每次选出2名同学,按照参

加上午的活动在前,参加下午活动在后的顺序排成一列,共有多少种不同的排

法的问题.

利用分步计数原理:

第一步从3名同学中任选一名参加上午的活动,有3种选择,

第二步从余下的2名同学中任选一名参加下午的活动,有2种选择,

共有32成长日记 =6种不同的方法.

用动画把甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙六种排法给展示出来.

甲乙、乙甲这两种安排方法,都是甲和乙参与活动,由于我们对甲和乙两

人的安排是有顺序的,顺序不同,意义也就不同.

其中被选取的对象叫做元素.

刚才的排序,如果经过数学抽象,实质上是从已知的3个不同元素中每次

选出2个,再按照延时锻炼 一定的顺序排成一列.

问题2:从a,b,c,d这四个字母中,每次取出3个按由左向右的顺序排成一

列,共有多少种不同的排法?

分析:解决这个问题分三个步骤:

第一步先确定左边的字母,在4个字母中任取1个,有4种方法;

第二步确定中间的字母,从余下的3个字母中任取1个,有3种方法;

第三步确定右边的字母,从余下的2个字母中任取1个,有2种方法

根据分步计数原理共有:432=24种不同的方法.用树型图排出:

2.排列的概念:

从n个不同元素中,任取m(mn)个元素,按照一定的顺序排成一列,

叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.

注:(1)排列的定义包括两个方面:①取出元素,②按一定的顺序排列;

(2)两个排列相同的条件:①元素完全相同,②元素的排列顺序也相同

练习:判断下列问题是不是排列问题:

(1)从6名同学中选出4名去天安门参观的问题;

(2)从6名同学中选出微微一笑很倾城演员表 4名分别担任语、数、外、体育课代表的问题;

3.排列数的定义:

从n个不同元素中,任取m(mn)个元素的所有排列的个数叫做从n个

元素中取出m元素的排列数,用符号m

n

P表示

注意区别排列和排列数的不同:“一个排列”是指:从n个不同元素中,任取

m个元素按照一定的顺序

.....

排成一列,不是数;“排列数”是指从n个不同元素中,

任取m(mn)个元素的所有排列的个数,是一个数所以符号m

n

P只表示排列

数,而不表示具体的排列

4.排列数公式及其推导:

求3

n

P可以按依次填3个空位来考虑,∴3

n

P=(1)(2)nnn,

求m

n

P以按依次填m个空位来考虑(1)(2)(1)m

n

Pnnnnm,

排列数公式:

(1)(2)(1)m

n一字成语

Pnnnnm

,,mnNmn

注:(1)公式特征:第一个因数是n,后面每一个因数比它前面一个

少1,最后一个因数是1nm,共有m个因数;

(2)全排列:当nm时即

n

个不同元素全部取出的一个排列

全排列数:(1)(2)21!n

n

Pnnnn(叫做n的阶乘)

另外,我们规定0!=1.

!

()!

n

m

n

n

nm

nm

P

n

P

Pnm



.

例:1:计算2

5

P和4

4

P

解:24

54

54204!;

例2:某年全国足球甲级(A组)联赛共有14个队参加,每队要与其余各

队在主、客场分别比赛一次,共进行多少场比赛?

解:任意两队间进行1次主场比赛与1次客场比赛,对应于从14个元素

中任取2个元素的一个排列.因此,比赛的总场次是2

14

P=1413=18em的用法 2.

例3:(1)从5本不同的书中选3本送给3名同学,每人各1本,有多

少种不同的送法?

(2)从5种不同的书中买3本送给3名同学,每人各1本,共有多少种不

同的送法?

解:(1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学,对应于从5个不

同元素中任取3个元素的一个排列,因此不同送法的种数是3

5

P=543=60.

(2)由于有5种不同的书,送给每个同学的1本书都有5种不同的选购方

法,因此送给3名同学每人各1本书的不同方法种数是555=125.

注:(1)是从5本不同的书中选出3本分送3名同学,各人得到的书

不同,属于求排列数问题;而(2)中,由于不同的人得到的书可能相同,因

此不符合使用排列数公式的条件,只能用分步乘法计数原理进行计算.

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