空间思维

一、利用计算机绘制生动、形象的立体图形，使学生通过对直观图形透彻的观察，理解抽象

的理论概念。

在"多面体与旋转体的体积"这一章中，主要内容是柱、锥、台、球四种体积公式的推导，

关键是对立体图形分析与理解。为了帮助学生在观察图形的基础上从感性认识向理性认识过

渡，我们运用我校的计算机设备，与专职电脑编程人员密切合作，设计编制了图形软件来辅

助教学。我们先根据讲解的需要设计出基本图形，再配合编程人员利用计算机先进的绘图系

统进行绘制。在绘制过程中，我们利用画面的连续移动构成动画来体现切割、旋转、移动等

动态动作。在讲解祖原理时，其主要内容为：两个等高的几何体，若被平行于底的平面截得

的两个截面面积相等，则这两个几何体的体积相等。为了体现其中的关键点：两个几何体任

意位置的平行截面相等，我们绘制了多幅不同位置截面的图形，并将截面涂上鲜明的色彩，

按顺序编排好，连续播放时即形成了截面上下移动的动画效果，使学生形象地认识到不同位

置的平行截面处处相等。又如在讲解锥体的体积公式推导时，由于要将三棱柱分割成三个三

棱锥，图形变化较大，学生不易理解，因此我们将切割过程从头至尾展现给学生，在讲解时

又将所要比较的两个三棱锥逐步恢复到切割前的状态，再分开。随着分开一复原一再分开的

移动过程，学生们清楚自然地得出了所要推证的结论，同时也使得教师的讲解轻松而且顺理

成章。有了锥的体积公式，我们又进一步依据大锥被平行于底的平面截去一小锥得到台体的

思路，利用已推导出的锥体体积公式去推导台体的体积公式。我们利用动画效果使一平面进

行移动呈现出动割大锥的过程，即让平面从大锥锥体某处以平行于底的方式插入，从另一侧

抽出，留下切割的痕迹，图片猫 进而将截得的小锥移到其它位置，将剩下的台体展现给学生。这一

过程的加入，在学生的头脑中非常深刻地留下了台体与锥体的联系，可以说是过目不忘，收

到了很好的效果。

二、充分利用计算机绘图多功能的优越性，从多方位、多角度、多侧面描绘立体图形，

解决平面立体图形与真实立体图形在视觉上的差异。

我们在平面上绘制立体图形就要考虑到视觉差异的问题。比如，在纸上画一个立方体，

它的某些面就必须呈平行四边形，才给人一种"体"的感觉，而实际上立方体的各个面均为正

方形。为了不使学生把直观感觉当作概念，我们设计了一些旋转变形动作。在讲球的体积公

式时，应用祖原理，找到了一个与半球体积相等的几何体，即与半球等高的圆柱中间挖去一

个圆锥，证明的关键是推导出二者在等高处的平行截面面积相等。从图上看，这两个截面分

别为椭圆和椭圆环，而实际形状应为圆和圆环。为了更形象地说明问题，我们将这两个截面

设计为从原位置水平移动出来，再水平旋转９０度使其成为竖直放置，这样两个截面就恢复

了实际形状。同时我们又让环形截面中的小圆逐渐缩小至一点，使圆环变成与另一截面大小

一样的圆，通过二者色彩的互换闪烁，使学生形象直观地感觉到是两个面积相等的截面，然

后通过理论证明它们的面积相等。这样，从直观到理论两方面的配合，加深了学生的理解，

使得这个难点顺利解决。

三、利用多媒体辅助教学，引导学生通过观察图形主动积极地去寻找解题思路。

现代教学论的思想核心是确认教师在教学中的主导地位的同时，认定学生在学习活动中

的主体地位。因此教学的最终目的是启发和调动学生的主动性、积极性，让学生"会学"。在

多媒体教学的尝试中，为了打破传统教学中的"老师讲，学生听"的习惯，我们将课上的习题

"从一个正方体中，如图那样截去四个三棱锥后，得到一个正三棱锥，求它的体积是正方体

体积的几分之几？"根据题意设计成动画情景。一个正方体依次被切去了四个角，把切去的

部分放到屏幕的四角，中间剩下一个三棱锥，求三棱锥的体积。学生根据画面的演示，立即

想到剩余部分是由整体减去切掉的。有了思路后，再从画面中清晰地推导出每个角的体积是

整体的１／６，进而得出所求体积为整体的１／３。这样，通过画面的演示，不需教师讲解，

学生自己就可以找到求解方法，同时在无形中途立了间接求体积的概念。通过多媒体教学，

我们发现它具有不可比拟的优越性。首先，多媒体教学使课上教学省力；它能直观、生动、

形象地进行教学，有利于引起学生的注意力，充分调动学生的积极性，并且使教师的板书量

大大减少。其次，多媒体教学增大了课容量，加强了知识间的连贯性。由于多媒体教学直观、

生动、形象地突出了教学重点，浅化了教学难点，使学生理解知识的进度加快，并且节省了

教师反复讲解的时间，节省了课时，相对增大了课容量，突出了各部分知识的连贯性，取得

较好的教学效果。

浅谈中学生空间思维能力的培养

摘要：本文首先对空间思维的定义进行介绍，就目前中学生空间思维能力进行分

析，并对培养中学生空间思维能力的目的以及意义进行介绍，然后介绍数形结合

在中学教育中的地位以及应用.最后通过例题分析介绍培养中学生空间思维能力

的方法.

关键词：空间思维能力；分析能力；逻辑推理

1空间思维的相关概述

“维”是一种度量，如几何平面即二维.长、宽、高便构成“三维空间”.在

三维空间坐标系中，加上时间，时空互相联系，就构成四维空间连续区.现在科

学家已承认十一维空间.空间维数愈高，说明其愈难以想象.

1.1空间思维的定义

空间思维能力是一种普遍的思维能力，是所有人在任何背景下都或多或少具

备的一种能力.空间思维由三大要素组成：空间概念、呈现工具以及推理过程.

空间思维能力涉及到对空间意义的理解，利用空间的各种性质形成问题，寻找答

案，并呈现解决方案.通过使空间结构内部的各种关系可视化，观察、记录、分

析物体之间的静动态关系.空间思维能够通过学习得到提高，也能够在各个年级

教授.特别是在计算机软硬件的辅助下，开展空间思维能力的培训有了更加便利

的条件.

1.2中学生目前空间思维能力

空间素养在当今的信息经济中发挥着越来越重要的作用，应该成为中学教学

的重要组成部分.相关报告指出，空间思维“在中学课程中没有得到系统教授，

尽管它非常重要”.中学生目前处于学习的初级阶段，其空间思维水平处在刚起

步的阶段.中学生的空间思维能力随着时间的推移和学习程度的深入而不断发展.

因此教育教学手段对中学生的空间思维能力起着关键性的做用.

1.3培养中学生空间思维能力的目标和意义

具备空间素养的学生应该掌握相当水平的空间知识和技能，具有以下的特

征：

（1）具有空间思维的心理准备和思维习惯——他们知道何时、何地、怎样

以及为什么进行空间思维.

（2）具有在获取足够信息的情况下运用空间思维的能力——对空间概念和

空间呈现方式有广泛且深入的了解，掌握空间推理方法，以及利用辅助工具和技

术进行空间思维.

（3）批判地利用空间思维的能力——能根据空间数据的来源及其准确性和

可靠性，对空间数据的质量进行评估；在解决问题或回答问题时，能够利用空间

数据提出、表达或支持自己的推理或观点；能根据空间信息评价观点的合理性.

通过系统的教学与训练，中学生不仅要熟练应用空间思维，还应明白要领，

具备和掌握：

更多的知识；更聪慧的眼睛；更灵敏的耳朵；更准确的感觉；更督智的嗅觉；更

全面的自我；更英勇的作风；更丰富的经验.要熟练应用空间思维，应牢固建立

空间思维思想意识.应不断地探索、摸索，常用多用，养成应用的好习惯.只要善

于总结和分析，成为空间思维的应用高手.

2培养中学生空间思维能力的理论和步骤

正确建立或应用空间思维能力应分五个步骤：确立空间；信息搜索和提取；

分析判断；决策实施；应对实施.

2.1空间的确立

空间的确立是正确建立或进行空自我鉴定表 间思维的第一步，也是正确建立或进行空间

思维的关键所在.所谓空间是指范围和大小的整体构成，客观存在的空间是不以

人的意志为转移的，空间无处不在.可以说某一事物是由一个点构成的，而我们

这个世界绝对是由空间构成，而严格地说，点也是由一个很小的空间构成.这里

所讲的空间是指思维空间，是指因思维而确立、由所处理事物决定并范围和大小

的整体构成.虽然思维空间是由主观思维产生的，但思维空间本身是客观的.每个

人都不应忽略思维空间主观的一面，但每个人都必须牢牢地尊重思维空间的客观

性，并严格实现思维主观向客观的统一，遵从事物本来的要素和属性，避免建立

过大或过小的思维空间.

2.2空间信息搜索和提取

对空间信息分类并全部搜取是正确建立或进行空间思维的第二步.简而言

之，空间信息分动、静两类.动信息是指在空间里处于活跃的事物及状态，静信

息是指在空间里相对稳定的事物及状态.处于活跃的事物及状态并非不可以把

握，相对稳定的事物及状态也并非固定不变，动、静信息都不是一成不变的，都

是发展的变化的，都是相对的，甚至有时还可以互相转化.信息事物和状态对决

策项目的影响由事物及状态本身而定，但信息没有轻重好坏之分.对信息全部而

快速的搜开学必备物品清单 取并且分类分析是确保空间思维正确也是之所以优秀的要素之一.

2.3确认判断及要则

对所有搜取信息进行确认判断，是正确建立或进行空间思维的第三步.确认

判断是对搜取信息首先进行再确认和同步分析加工——过滤与加工同步进行的

过程，一经发现有错误信息应立即纠正，然后再行分析加工.再确认和分析加工

的好与坏将直接影响确认判断的正确性，一改空间思维的结局.所以，确认判断

对能否正确建立或进行空间思维是关键的.

为确保确认判断的正确性，应做到：

（1）确认判断应做到认真.对搜取信息的再确认和分析加工应认真进行，应

为确认判断树立严格的思维要求，创造可靠的心态保证，养成一向严谨的习惯.

决不能轻看小视、掉以轻心，酿成千古恨.

（2）确认判断应做到彻底.对搜取信息的过滤加工应做到不错不偏不漏.只

有做到不错不偏不漏，才可能把最影响决策实施的因素挖掘出来，保证目标或目

的的春饼的制作方法 正确实现.将错误信息一错再错，把正确信息、关键信息偏掉和漏掉，错用、

误判、漏判等，同样都会给空间思维埋下失败的祸根.

（3）确认判断应做到科学.对搜取信息的过滤加工应遵循规律、尊重客观、

尊重事实，应杜绝主观臆断、主观武断和个人好恶，甚至漫不经心、马虎大意.

只要充分运用各种知识，人类不仅可以做到对有规律事物的客观分析，对无规律

的客观事物同样也可以进行把握分析.思维对搜取信息的全面扫描和诸多分析，

不仅包括对客观动、静两方面信息的加工处理，尤其是对意识层面的主观信息及

客观动信息的延展分析应特别进行加工处理.对于实现以人为本的目标或目的，

主客观条件同样重要.主观与客观条件的同备同契，是人类谋事的必要准则.

（4）确认判断应以谋事为中心.中心标定全局、中心决定一切，确立了中心，

其它与后续即可序顺位定、方清案明，思维工作自然有条不紊.思维对信息的加

工处理，与中心比对，也会很容易分出轻重缓急.中心是分析判断的方向，是一

切思维比对的最终标准.中心对思维工作的制约、指导、过滤、摈弃、优选等作

用不言而喻.

（5）确认判断应多种思维手段并用.实际中的确认判断可能是条块格局、多

面多点、多方向多角度、同步异步、分列并行等，于异常繁杂中完成的多手段并

用的综合的复杂思维.没有人限制或阻碍你采用哪一种思维形式，你所学的未学

的都可以在这里一展身手.其它思维形式纳入并在空间思维里自由而广泛应用

——这正是空间思维的特点之一.只要对谋事有利的，只要是行之有效的，你都

可以尽情应用.空间思维才是人之思维应用的伟大天地

（6）确认判断应做到快速.对搜取信息的分析加工应一针见血瞬间完成.迟

则生变，变则生死.速度是空间思维优秀的标志之一，优秀的空间思维决定了其

一系列的确认判断应快捷高速.实践证明，比光速还快的思维是可以做到的.另一

方面，某些目标实现的本身需要快速，没有了速度，实现目标的最佳契机将转瞬

即失、不复存在，目标和目的向分析判断提出了苛刻的速度要求.失却快速或高

效的空间思维都是毫无意义的.

2.4决策实施及注意事项

适时而果断的决策实施是正确建立或进行空间思维的第四步.通过确认判

断，对于同时具备了主客观条件的目标或目的，应不失时机地动作实施：

（1）实施应全力以赴.调动起自身力量是保证实施预期完成的主力，自身需

要调动的优秀部；实施过程中还应尽可能地调度周遍的力量.

（2）实施应干脆利落，不拖泥带水.既然决定了的实施，就不要再犹豫和怀

疑，即便是错了也应坚定直往.拖泥带水是实施出现偏差和差错的主要原因，拖

泥带水影响了实施的速度，延缓了实施的时限，从而导致错失良机.干脆利落一

向是实施的风格，也是对实施这一动作过程的基本要求.长远看，此种作风也必

将对其它养成产生积极影响.

(3)实施应全神贯注、大气沉稳.失败的可能并不是没有，但应信心必胜.既

要想到成功以后的应对，也要摆平失败以后的心态.“失败乃成功之母”、“挫

折是金”等等都是对挫折失败最好的面对，但应竭力避免失败.全神贯注、大气

沉稳不仅是实施的需要，同时正可把代价和损失降到最低.

2.5实施中的应对

实施中的应对是实施空间思维的第五步，也是完成本次空间思维的最后一

步，同时它也是正确建立或进行空间思维不可忽略的一步.经过了严密分析判断

实施的空间思维虽然大多数都能成功，但每一次实施不一定都如期顺利，突发情

况常会造成功亏一篑.可能需要你多次小小而英明的调整、纠正和改正，需要你

获取实施中最细微的信息动态，做出最灵敏的判断，并以最机智最迅速最恰当做

出动态应对，完成实施的最后一笔.

3中学生空间思维能力培养方法

培养中学生的空间思维能力不仅要从教学中进行培养，还要从教学过程中发

挥教师的主导作用.这样才能结合主观和客观因素,发挥学生的能动性,从而更好

的拓展学生的空间思维能力.

3.1教育手段举例

听老师讲课是空间思维的重要应用、典型应用，当然也是空间思维无数应用

之一.之所以说是典型应用，是因为空间思维在听课中的应用有相当大一部分是

在人的记忆和思想意识领域里，在所谓微空间或宏观与微观结合的双空间里进行

的，牵涉到人的自我管理部分以及更多更为复杂的内在技能，并不象过马路、行

进等那样通过脑处理后主要在宏观下完成.中学生应努力掌握空间思维在微空间

下的应用，应努力掌握空间思维如何进行自我管理的能力，以及空间思维在微空

间下如何进行其它管理和其它更多更为复杂思维活动的技能.

听课的目标设置是：一、新；二、会.一堂课的时间一般是45分钟，其空间

思维的应用过程是：一、依据授课的门类、章节、内容，教案的设置、方略、步

骤，授课的时间、地点、场景、人物，授课人富含理解、强调、加重等各种信息

的讲述，显示新内容的黑板、投影、幻灯，听课的备件、布局，听课人的状态和

要求建立思维空间.二、按已学内容为静信息，预学内容、相关内容和老师授课

中涉猎的其它内容及动作的教具、模具、板示、映示、投示、展示、演示、实验

等为动信息分类，充分运用人的视、听、嗅、感四大输入功能，通过眼、耳、手

等，俱搜整堂授课过程中的动、静信息，可以用写记、录音、拍照、摄像等其它

备存手段，确保信息搜取的即时性、全面性、系统性、连贯性和可靠性.三、充

分运用各种思维手段，同步地对搜取信息进行确认判断和过滤加工，分门别类地

归档到人的记忆、分析处理系统等大脑中去，对少量错误的、有疑问的标识隔离.

对老师新讲授内容分门别类、过滤加工和标识存提的过程，实际是空间思维对人

脑完成知识输入、应用安装、归整标识的过程，此过程是空间思维第三、四、五

步的综合.对于标识有错误、有疑问的，应立即利用老师原文、举例中的各种讲

述、同学提问、直接发问、课下询问等机会解决，做到当堂消化、不留后患.因

故尚未解决的，事后处理.作业练习，实际是空间思维依照所学完成启动应用、

检查纠正、知识输出的过程，此过程也是空间思维第三、四、五步的综合，但此

过程前两项空间建立和信息搜取两步与知识输入的内容有所不同：其空间的确立

是依据作业的时间、地点、位子、作业人、作业用品、作业用具、练习题目、课

本资料、授课印记、解析预案以及随机调用的脑处理系统等；其调用信息以必用

知识为动信息、待用知识及相关知识，充分运用视、听、嗅、感四大输入功能，

通过眼、耳、手等，搜索来自于题卷、书本、资料、笔记、脑海中相关记忆、工

作状态的预案、经验等信息，尤其暗含于字间、行间、段间、章节间、图间、数

间、意间、理间、逻辑间的信息，以确保问清答明.作业完成后检查，重复的空

间思维可更大程度地保证问题的发现与纠正.多次的空间思维运行中又把刚做完

的题卷纳入了信息搜取的范围一并进行确认判断，尤其空间思维的第五步，自然

地加重和突出了“实施中调整”的地位和作用，所以空间思维能更大程度地确保

学业的质量.

3.2数形结合思想

数形结合就是在研究数学问题时，由数数字转换大写 思形，以形思数，数形结合考虑问题

的一种思想方法.数形结合对于沟通代数、三角与几何的内在联系，具有重要的

指导意义.理解并掌握数形结合法，有助于增强人们的数学素养，提高分析问题

和解决问题的能力.中学数学中，数形结合法包含两个方面的内容：一是运用代

数、三角知识，通过对数量关系的讨论，去处理几何图形问题；而二是运用几何

知识，通过对图形性质的研究，去解决数量关系的问题.就具体方法而言，数形

结合法有：解析法、三角法、复数法、向量法、图解法等.

3.3教学手段举例

在教学中，教师经常通过讲解几何问题，并且运用数形结合的方法来解决几

何问题，依中国十大名小吃 此来发展中学生的空间思维能力.

下面列举几个典型的用数形结合方法解决的几何问题：

例:如图1所示，在棱长为a的正方体''''ABCDABCD中，E、F分别是BC、

''AD

的

中点.

（1）求证：四边形'BEDF是菱形.

(2）求直线'AC与DE所成的角；

图1

（1）证明：由题目中图所示，由勾股定理，得,'BE=ED=DF=F'B=

下证'B、E、D、F四点共面，取AD中点，连结'AG、EG，由

EG

AB'AB知，

''BE减肥应该吃什么 GA是平行四边形.

∴'BE∥'AG

,又'AF

DG

∴四边形'AGDF

为平行四边形.

∴'AG∥FD，

∴'B

、E、D、F四点共面

∴四边形'BDEF

是菱形.

（2）解：如图所示，在平面ABCD内，过C作CP∥ED，交直线AD于P，

则(或补角)为异面直线'AC与ED所成的角.

在中，易得'3ACa,

5

2

CPDEa，'

13

2

APa

由余弦定理得'

15

cos

15

ACP

，故'AC

与ED所成角为

15

arccos

15

.

4小结

空间思维能力在人的一生中占据着重要的地位,因此培养空间思维能力的非

常重要.中学生的空间思维能力正处在一个发展的黄金阶段,我们要抓住这个时

期,改善教育和教学的方法,从而更好的培养中学生的空间思维能力.

参考文献

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[3]．孙风军.利用数形结合法求解几类代数问题[J].兵团教育学院学报.

2006年06月

[4]．王永红.数学能力的培养[J].陕西教育.2006年12月

高中数学新教材所营造的思维空间及其教学价值

陈镔

新课程实施以来，高中数学新教材变厚了。变厚了的教材究竟增加了什么？是扩充了知识的广度还是增强了知识体

通过近几年的教学实践，笔者感受最深的是，教材拓展的是一个“充满活力、更为宽泛的思维空间”！

一、新教材着力营造出有利于师生活动的思维空间

就知识结构与内容而言，新教材的确做了较大调整。在“有用的数学”、“身边的数学”的思想指导下，改进了

识结构的严谨性、深刻性的不足，更强调知识的发生发展过程，关注知识的内在规律；突出数学知识与社会时代发展

重学生个体对数学知识不同层次的需求与选择。整套实验教材富有弹性，具有较强的指导性和可操作性。尤其能反映

和新课程理念的还是它给广大师生营造的宽泛生动的思维空间。

1．用“问题与矛盾”来激发思维

旧教材与新教材编写上最大的区别在于对学习数学知识目的性的描述。前者的理念是“为了巩固所学知识而例举

用”，重心在知识的传授，问题解决则是知识应用的载体。其基本格式一般是：数学结论的表述———数学结论的验

用举例———巩固练习。师生在教学上往往照本宣科，思维的重心局限于知识传授、记忆和验证上。因此，学生对数

间是相当有限的。而后者的理念则是“为了解决问题而引发对数学知识的探究与思考”，重心在知识的探究，问题解

究与应用的出发点和归宿。其基本格式一般是：提出问题———分析理解———动手实践———问题解决———思考

抽象概括。这样师生关注的重点不再是知识结论的合理与验证，而是知识的内在规律、知识的发展、解决问题的过程

表明，教材用“问题激发思维”“问题解决训练思维”“抽象概括升华思维”的编写意图得到了较好的实现。

2．用科学丰富而生动的方式诱导思维

教学中笔者发现，自主阅读教材已经成为学生学习数学的主要方法之一。每节课前后，学生一般都要利用半小时

学习研究教材，这种情形与旧教材教学时形成了极大反差。是什么因素使教材如此吸引学生呢？显然，教材语言的“

主要因素之一。在问题与知识结构之间，教材使用了大量的富有启发性的思维语言，就像是一名富有经验的专家娓娓

燥”的数学不再枯燥，深奥的数学变得浅显，像小说的故事情节引人入胜。思维的语言不仅使教材成为一个有机的整

个偌大的思维空间变得清楚明白了。概括起来，教材中，引导思维的语言大致可分为三类。

第一是“启发性”语言，主要是对问题提出的描述。

例如，教材《必修3》中对算法基本思想的引入，在描述“物品价格竞猜”问题背景后，一句“如果你是参与者，

怎么猜？”就将学习者的思维引到对竞猜规律的探索上来。又例如，教材《必修1》对对数函数概念的引入，以细胞

指出由x﹙分裂次数﹚、y﹙细胞个数﹚的指数关系转化为对数关系后，一句“对于一般的指数函数y=ax（a>1，a≠

变量，能不能把y当作自变量，使得x是y的函数呢？”使得对数函数的概念这一难点在学习者的头脑中有了很深刻

第二是“分析性”语言，主要是对问题解决思路的描述。

例如，《必修3》对问题“求100个数中的最大数，试设计算法流程图”的解决，教材做了精辟的分析：为什么要

构？循环变量是什么？起始和终止条件怎样设计？循环体是什么？怎样设计？其效果是使整个算法流程图(这是很难

自如流畅，学生的思维得到有效的训练。

第三是“概括性”语言，主要是对方法、规律、结论的描述。

例如，必修3《算法初步》中对变量与赋值概念的归纳描述十分精当：“将变量比喻成一个盒子，赋值就相当于往

西„„”这样的描述既形象又生动，而且很好地突出了变量与赋值的特点。又例如《算法初步》中对循环结构的归纳

好三件事：“确定循环变量；确定循环体；确定循环的终止条件”，从方法上给学习者提供指导。再如必修4在对《

积运算》归纳时指出：“向量的数量积运算是研究空间图形度量问题和位置关系问题的有力工具„„”，在知识的应

予明确的指导和思维升华。

3．用现实的存在需求启发思维

一套好的教材，固然要为教学提供思维的大空间，但这个空间必须是现实的，是符合学生实际能力的，否则，要

要么深不可测，学习者无处可思，无维可思。在处理这个问题上，新教材作了比较深入的探索，贯彻“身边的数学”

数学”的理念，用大量的篇幅，坚持从实际生活背景中提出问题，提炼观点、然后又回到实际问题的解决中去，反复

数学就在生活中，数学就是你的朋友、数学能帮你解决问题！

用现实的存在与需求启发思维，是新教材的一大亮点，在《函月利率 数》一章中体现尤为突出。众所周知，函数一直是

学的难点，也是核心，在整个知识体系中具有统领意义。在以往的教学和考试中人们往往热衷于挖掘其理论纵深，比

函数”“函数方程的迭代”“反函数”等方面的研究不断加深，乐此不疲，从而使大部分学生的认识走进“函数难学

新教材则彻底放弃了这些陈旧、繁难的知识，立足现实的函数，这正是函数的本质。概括起来，这一章的编写有三个

突出生活中的变量，自然形成函数的概念与性质；第二，立足实际，强调函数在生产实际、日常生活中的应用，所编

大多是具有鲜明的实际背景和意义，难易适中，个个精彩；第三，重视在二维图形中对函数问题的思考，形数结合思

体现。

总之，在新课程标准背景下，教材营造了一个宽泛的、现实的思维空间。

二、用好新教材发展学生的思维能力

教材是静态的，而教学是动态的。教学中如何实现由静态的思维空间向动态的思维能力的转化，是广大数学教师

考的重大课题，也是课改取得成功的一个重要突破口。下面谈几点个人的体会。

1．用先进的教育理念激活思维空间

教材蕴涵的思维空间如何向学生施放出来，这是思维能力培养的重要因素，也是教师首要思考的问题。由于教材

《课程标准》的指导下进行的，两者之间有着共同的理念，因此吃透《课程标准》，用先进的教育理念指导教学实践

一问题的必然途径。《课程标准》在突出高中数学课程的时代性、基础性的同时，特别突出以下几点：培养积极主动

的学习方式；为不同学生的发展提供不同的课程内容；注重培养学生的应用意识和创新精神„„这不仅为教学指明了

是思维能力培养取得实效的保证。例如，提倡“为不同学生的发展提供不同的课程内容”，就是要尊重学生个体差异

能力要求上把握好层次性和选择性。由于教材是静态地呈现在学生面前，不同的学生对其思维的感悟和总量需求也是

学上关键是要把握好一个度，在这个“度”中将教材的思维空间转化为活跃的课堂思维空间，惟此才能让每个学生的

大释放与训练。

2．用开放的教学手段开启思维空间

新教材最大的特点之一就是开放性，需要教师把教材的思维空间巧妙地向学生展现出来。怎样实现这一教学目标

的教材需要开放的教学手段与策略，“开放”是最好的策略。笔者建议做好三点。

第一，开放“问题”。

“问题是数学的心脏”，美国数学家保罗哈尔莫斯（PaulHalmos）的名言已为广大师生所知晓。强调“问题性

和新教材的一个重大变化。问题是思考的结果，又是深人思考的开始，“有问题”也是创造的开始。所谓“开放问题

将问题呈现给学生，更重要的是将问题形成的背景和过程揭示出来，这样才能真正开启思维空间。

例如在教学《分段函数》时，笔者并不急于引出分段函数的概念，而是通过对一个实际问题分析得出一个“新函

来的教学活动是这样开展的：

师：“为什么会出现这类函数？”

生：“因为两个变量的关系发生了改变。”

师：“你能在现实生活中找出这类函数并加以描述吗？”

„„

师：“你还能以学过的函数为基础构造这类函数吗？”

„„

师：“你能给这类函数取个名字吗？”

„„

师：“你能画出它们的图像吗？”

„„

这节课给学生留下了深刻印象，以致后来学习《算法选择结构》时，学生自然与分段函数进行类比，思维得到深

第二，开放“过程”。

围绕问题的解决，将知识发生发展的过程向学生展示出来，是教学中最重要最生动的环节，以教师讲解为中心的

可能将知识发生发展的过程讲得很生动，但是这并不是真正意义的“开放”，因为学生的思维是在教师的思维之后进

得到根本性的训练。要做到真正意义的“开放”，最根本的方法，就是探究！坚持“探索———发现———反思”的

题解决的过程放手交给学生，让其思维触及数学的灵魂。特别是在一些传统的重要的数学结论的教学中，尤其要做到

笔者在进行立体几何定理教学时，对每种垂直与平行的位置关系的判定，尝试让学生自己探索，编写一个定理，

“定理”与定理有差异，但经过教师的点拨，思维很快指向和认可定理，并且对定理内涵和价值的理解更为深刻。

第三，“课后”开放。

思维空间的开启与延拓，课后是重要的环节。在以往的教学实践中，课后一般是完成教材相应的习题（作业）。

调查与分析认为新教材的习题配备偏难，思维跳跃性太大，学生普遍感到难以接受。面对这种情况，有什么好的办法予

笔者认为变封闭的课后作业为开放的课后探讨。为此，笔者做了两个方面的尝试。

一方面，将教材上的习题进行整合，另外添加一些问题，形成数量适当的“习题链”，要求学生选做三分之二，

选择；另一方面，编写一些有利于知识巩固、扩散思维的阅读辅导材料（包括教材中的有关材料），要求学生提出问

题；或是寻求规律，得出结论；或是开展研究性学习，撰写小论文，每周一次，每半月讨论交流一次。

3．用鲜活的现实去促进和调控思维

数学是现实的数学，新教材正是将数学置于这一背景之中，与此同时，《课程标准》明确指出：“要注重培养学

识，了解数学内容与其他学科、日常生活的联系，亲自利用数学解决一些实际问题”。由此可见，将教材的思维空间

的土壤，也是教师的必然选择。那么，怎样实现这一教学目标呢？

首先，教师要善于营造真实的情感氛围。良好的情感氛围是使学生走进思维空间的原动力。影响情感的因素有很

教师对待生活、事业、学生、数学、教材等的态度就会直接影响学生对待数学的态度；又比如，教师的人格魅力、教

影响学生对待数学的态度；再比如，通过揭示数学的内在美、展示数学家的发现美、身边同学的学习美，完全可以引

数学的积极态度。

其次，教师要善于营造鲜活的现实情景。苏霍姆林斯基说过，“人的心灵深处都有一种根深蒂固的需要，这就是

己是一个发现者、探究者、研究者„„最肥沃的土壤就是生活”，因此，把数学融入现实的生活的情景之中，最能引

材、学生之间思维的共鸣。新教材中处处洋溢着现实生活的气息，教师要善于捕捉，精心打造，为学生编绘数学与生

的美丽图画。例如，在引入函数的概念时，笔者安排一个课时的时间，围绕“生活中的变量”，展开教学，先向学生

读材料，主要是通过典型实例，帮助学生理解变量、生活中的变量、变量之间存在的关系，然后将课堂交给学生，建

整理现实生活里的变量对子，并探索其关系，尝试用语言（文字语言、图形语言、符号语言均可）给予描述，最后1

结。实践证明，这种教学策略不仅帮助学生克服函数概念这一难点，更重要的是为函数后续知识的学习，给学生带来

参考文献：

彭上观.高中数学新课标实验教材使用情况的调查分析.数学教育学报2005，（4）.

（作者单位广州开发区中学本文学科编辑许世红）

选自《广州教学研究》总第411期

在数学教学中培养学生的思维能力

推理过程，就是思维发展的过程。在现实生活中，推理应用非常广泛，涉及到各行各业。因此，从小学低

年级起就应当注意结合儿童的年龄特点和思维特点加以引导和培养。通过长期的训练逐步提高学生的逻辑

思维能力，同时也要注意培养学生的一些良好思维品质，以利于学生智力的开发和发展。

（一）创设矛盾情境

要根据小学生的心理特征，抓住时机，创设问题情境，使新旧知识之间的矛盾，或新旧发展水平之间的矛

盾，构成学生认识活动的内部矛盾，形成强烈的解决问题的内部动机，从而有效地调动学生思维活动。如

教学《小数点位置的移动，引起小数大小的变化》时，先复习把“5”扩大10倍、100倍、1000倍„„各

得多少？是怎样算出来的？学生回答说：把一个整数扩10倍，就在这个数未尾添一个“0”，把一个整数

扩大100倍，就在这个数未尾添两个“0”，把一个整数扩大1000倍，就在这个数的未尾添上三个“0”„„

然后把“5”改为“0.5”，要学生把0.5扩大10倍、100倍、1000倍„„问：是不是也可以在0.5的未

尾添上一个、两个、三个„„„“0”呢？学生中有两种意见：一种因受到知识负迁移的影响，认为可以这

样做。另外一些同学看到，若这样做，得到0.50、0.500、0.5000„„，根据小数的性质，小数的大小不

变，所以0.50=0.500=0.5000=0.5，因此，在一个小数的末尾添“0”，这个数并未扩大。由此激起学生

认知中的矛盾冲突，教师设问：“是什么引起小数大小的变化呢？”继而写出1.234、12.34、123.4，让

学生观察这三个小数中的“1、2、3、4”四个数字一样，小数点位置不同，然后大小不同，悟出是小数点

位置的变化引起小数大小的变化，学生进而积极探索小数点位置的移动引起小数大小变化的规律，课堂气

氛十分热烈，达到了激发思维的目的。

（二）重视分析说理

在应用题教学中培养学生的分析说理能力，不仅可以反映学生对所学过应用题理解、掌握的程度，提高学

生语言表达能力，更重要的是激发训练学生思维的逻辑性。

应用题中的数量主要指已知条件和未知条件以及已知条件和未知条件的关系，分析它们之间的数量关系，

一般采用分析法和综合法。如“王师傅计划8天做完240个零件，实际每天比计划多做5个，实际多少天

完成任务怀孕初期小腹痛 ？”如果用分析法来分析，可以这样启发学生：若想求出实际的工作效率，前者是已知的，若想

求出实际几天完成任务，需要知道实际做多少个零件和实际每天做多少个，前者是已知的，若想求出实际

工作效率，就应求出分计划每天做多少个零件？„„„一直推向已知条件为止。如果用综合法分析，可以

这样引导学生：根据已知婚联横批 条件“计划8天”和“做240个零件”两个条件，可先求出计划的工作效率„„

一直推向所求问题。总之，应用题教学训练学生分析数量关系时要有理，掌握方法、把握规律，保证学生

思维有序。

（三）教给思维方法

思维方法有比较法、归纳整理、分析综合法、抽象概括法等，这里只谈谈比较法。

1.学生对数学概念定律、性质、公式、结论的理解，如果只停留在表面上是不会深刻的。如果能将有关的

基础知识进行比较、分析其内在的各种特性，就能使学生真正深刻理解它们的本质。

例如，在教学分数应用题时，可将整数应用题中的“倍数”与分数应用题中的“分率”进行类似比较，帮

助学生深刻理解数理。如：①科技书有100本，文艺书是科技书的3倍，文艺书有多少本？②科技书有100

本，文艺书是科技书的1.2倍，文艺书有多少本？③科技书有100本，文艺书是科技书的1倍，文艺书有

多少本？通过上述题中“倍数”与“分率”的比较，学生能体会到“分率”是“倍数”的扩充，一般适用

于倍数小于1的情况，“倍数”一般指分率大于1的情形。

2.在教学中遇到一些容易混淆的概念，应当引导学生进行比较分析，从而分清其本质的不同。如：“求比

值”和“化简比”，学生常因为把比写成分数形式后，比值和比有时没有明显的界限而造成概念混淆，出

现诸如用3/1表示求的比值，或用“1”表示化简比等错误。因此，要引导学生从定义、方法、结果三个

方面去比较两者之间的区别，尤其要把两者的结果的区别作为重点，使学生明白，求比值的结果是数，化

简比的结果是比。

（四）精心设计练习

要使学生的思维能力得到不断发展，设计练习必须有计划、有步骤地进行，练习的内容要按学生的认识规

律，由浅入深，由易到难。要分层次，探索问题要一环接一环，坚持循序渐进的原则，努力培养学生思维

的准确性、深刻性和灵活性。

1.通过比较、判断性练习，培养学生思维的准确性。比较、判断性练习，有意识地将内容、形式和数量关

系等方面相近或相似的应用题安排在一起，让学生比较判断，从中比较出本质问题。这种练习的设计，目

的是让学生在比较和判断过程中加深对应用题中的基本数量的理解和掌握，把握问题的实质，从而培养思

维的准确性。

2.通过变式练习，培养学生思维的深刻性。变式练习有助于启发学生分析、比较其异同点，加深对问题本

质、特征的认识，从而更深刻地理解所学的知识，促进和增强学生思维的深刻性。在教学中经常有意识地

训练学生，在变换数量关系中分辨出问题的实质，使学生的思维从具体不断地向抽象过渡，逐步把握数量

之间的内在关系及变化，无疑对培养学生思维的深刻性是十分有利的。