增根概念

例谈分式方程的增根与无解

分式方程的qq名片 增根与无解是分式方程中常见的两个概念，同学们在学习分式方程后，常常

会对这两个概念混淆不清，认为分式方程无解和分式方程有增根是同一回事，事实上并非如

此。

分式方程有增2020高考人数 根，指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，

方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知

数的值。所以增根苦瓜黄豆汤 具有两个特征：其一,它是分式方程化为整式方程后的整式方程的解;其二,

它使最简公分母等于0；而分式方程无解则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值

相等。它包含两种情形：其一原方程化去分母后的整式方程无解；其二原方程化去分母后的

整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原何超琼有孩子吗 方程无解．现举

例说明如下：

例1、解分式方程

11

2

22

x

xx







，①可知方程（）

A．解为2xB．解为4xC．解为3xD．无解

解：方程两边都乘以（x-2），得1-x+2（x-2）=-1．②

解这个方程，得x=2．

经检验：当x=2时，原方程无意义，所以x=2是原方程的增根．

所以原方程无解，这条题目选D。

分析：显然，方程①中未知数x的取值范围是x≠2。而在去分母化为方程②后，此时未

知数x的取值范围扩大为全体实数．所以当求得的x值恰好使最简公分母为零时，x的值就是

增根．本题中方程②的解是x＝2，恰好使公分母为零，所以x＝2是原方程的增根，原方程无

解．

例和山有关的成语 2解方程2

2

3

2

1











五首古诗

x

x

x

x

．

解：去分母后化为x－1＝3－x＋2（2＋x）．

整理得0x＝8．

因为此方程无解，所以原分式方程无解．

分析：此方程化为整式方程后，本身就无解，当然原分式方程肯定就无解了．由此可见，

分式方程无解不一定就是产生增根．

例3若方程

3

2

x

x





=

2

m

x

无解，求m的值。

解：原方程可化为

3

2

x

x





=－

2

m

x

．

方程两边都乘以x－2，得x－3=－m．

解这个方程，得x=3－m．

因为原方程无解，吵架的英文 所以这个解应是原方程的增根．即x=2，

所以2=3－m，解得m=1．

故当m=1时，原方程无解．

分析：因为同学们当前所学的是能化为一元一次方程的分式方程，而一元一次方程只有

一个根，所以如果这个根是原方程的增根，那么原方程无解．但是同学们并不能所以认为有

增根的分式方程一定无解，随着以后所学知识的加深，能将分式方程化为一元二次方程的分

式方程同学们便会黄鹤楼导游词 明白其中的道理，此处不再举例．

例4、若关于

x

的分式方程

3

1

1

xa

xx







①无解，则

a

．

解：方程两边都乘以x(x-1)，得(x-a)x-3(x-1)＝x(x-1)

整理得（a+2）x＝3②

因原方程无解，则有两种情形：

（1）当a+2＝0（即a＝-2）时，方程②为0x＝3，此方程无解，所以原方程无解。

（2）如果方程②的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式方程无解．原方程若有增根，

增根为x＝0或1，把x＝0或1代入方程②中，求出a＝1。

综上所述，a＝1或-2，原分式方程无解．

若将此题“无解”改为“会产生增根”，即：

当a为何值时，关于x的方程

3

1

1

xa

xx







①会产生增根？

若原分式方程有增根，则x＝0或1是方程②的根．

把x＝0或1代入方程②中，解得，a＝1．

分析：做此类题首先将分式方程转化为整式方程，然后找出使公分母为零的未知数的值

即为增根，最后将增根代入转化得到的整式方程中，求出原方程中所含字母的值．

总之，弄清分式方程的增根与无解的区别和联系,能帮助我们提高解分式方程的正确性,

对判断方程解的情况有一定的指导意义，同时可有效地解决分式方程增根的问题。