四棱锥图片

4

一8-

正视图侧视图创业者素质 <

图

1

俯视图

、课堂笔记第45课当瓷多姿当童多彩

今典型考题‘

(2018年湖北省华中师大一附中等八校高三第二次联考理科第10题）我国古代数学名著

《九章算术》中记载：“当亮者，下有裹有广，而上有裹无丈．

当，草也；亮，屋盖也．”翻译为：“底面有长有宽为矩形，顶部

只有长没有宽为一条棱．自亮的字面意思为茅草屋顶．”如

图1为一色亮的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为

等腰三角形，则它的体积为

（)

A160

.3

B.160

c256

.3

D.64

汽黑黑。。、。。，，。》～、、』，**:＊》，,~

｝鳖蠕、方亭、方锥、当亮、当童、羡除等多面体的体积计算公式公元263年刘徽撰《九章算

！术注》’全面证明了这些公式

｝若干体积公式

;1

．堑堵：将一个长方体沿相对两棱斜解，得到两个一模一样的三棱柱，称为堑堵．《九

之星史.AJ卫.'SF人．..~~I-1,.I_一r,"-'、曰丫尸1~~

‘早异幽／！、、矛罗百tJtj飞J里石百1平砂丈亿穿，：、‘足v:::：一abIi.rL工夕

}'

!2阳马：沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开’得四棱锥和三棱锥各一个’以矩形为底’

｝另有一棱与底面垂直的四棱锥’称为阳马余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四

｝面体’称为鳖孺阳马是直角四棱锥’《九章算术

’商功》第

15

题给出的体积公式是广裹

‘山．，瑞．．、．-a.-;,-山一一，

口．,~1,,,，之、

》寸日升健，k人！局到趁乙r，二二‘川一，“pv=

下一aOh

．迄夕

{j

}3

鳖孺鳖孺是四面皆为勾股形的四面体《九章算术

’商功》第

16

题给出的体积公

‘刁、！=,.J一堵＝'4r,荆：-．、！省～令：‘几‘．，立一＝1，口n了，1~~

》二’：、喊龙：少桑乙于日’长，以同洲沐！J,z、Ill-I，以pv:＝下：一aO/l

．‘岌夕

｛。

l其中“,b,h

分别是它们的广、囊、高．如图2.

长方体

堑堵

阳马鳖蠕

F＝口石hF＝告abh

F＝李abh

j

F＝毒abh

0

图

2

嵘组

．第45课自婆多姿当童多彩

《九章算术。商功》有部分题目涉及当亮、羡除、当童及楔形四棱台的体积公式，这些

公式秦汉时人们都已掌握．

4.当亮：《九章算术

・商功》第18题：

今有当亮，下广三丈，裹四丈；上裹二丈，无广；高一丈．问：积几何？

答曰：五千立方尺．

术曰：倍下裹，上裹从之，以广乘之，又以高乘之，六而一．

当亮，指唯一顶棱平行于唯一平行四边形底面、三条平行棱不全等长的五面体．

如图3

所示，当蔓如四面落水屋顶的五面体，形似“草

E

脊”，也是常见的填土土方．

在初三吃什么 五面体

EF一ABCD中，

AB//DC//EF

，底面ABCD

是平行四边形，平面EFBA

与平面EFCD

为梯形．

‘一’~

这一立体体积公式为：底的二倍长，职业兴趣 加两梯形共棱长，

和乘以底宽，再乘以高，除以

6.

设

AB=a,EF=c，直线AB,CD

之间的距离是人1，直线EF与平面ABCD

之间的距

离是人2，则其体积为

v=::生资二三（2“十‘).

{

0

．如图4所示，设点

E,F在平面ABCD上的射影分别是点

E',F'．我们把平面

ABCD

分成三块区域：区域工指该平面位于直线

AD

左侧的部分（不包括直线

AD)，区域

n

指该平面夹在直线

AD,BC

之间的部分（包括这两条直线），区域班指该平面位于直线

BC

右侧的部分（不包括直线刀（了）．分六种情形来证明：

(1）点E',F'

均位于区域工；

(2）点E

尹位于区域工，点F'位于区域

n;

(3）点E'位于区域I，点F'位于区域ifi;

(4）点E',F

‘均位于区域

n;

G

刀

(5）点E'

位于区域n，点F

’位于区域班；

(6）点E',F尹均位于区域m.

下面只对情形（5

）予以证明，其他情形类似可证．

过点

E'作GH'土CD

于点H'，交八B于点

G；过点F产作汀土

CD于点J，交AB

于点

J，得

GH'

一机，

EE

‘一从，

所以v一v直三彼柱F1H产-FJI

十（V四搜锥E-A&H'D一v四彼锥F-BJIC)

一h1h2

2

・‘+h2

-(SAGH

。一SBJIC)

h1h2

2

・‘+h2

-(JABCD一SBJIH')

一h1h2

2・‘＋誓(ah，一ch1)

=毕（2"+')

图

3图3

G刀

图

4

课堂笔记尸

止黔

产题一课高考数学命题探杜（第：版）.

5．羡除：《九章算术・

商功》第17题：

今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺；末广八尺，无深；裹七尺．问：积几何？

答曰：八十四立方尺．

术曰：并三广，以深乘之，又以裹乘之，六而一．

羡除，指唯一顶棱平行于唯一梯形底面，且三条棱两两平行的五面体．

如图5所示，五面体ABCDEF，其中AB//DC//EF，底面

ABCD

是梯形，也是常见的填（挖）土土方，羡除形似“楔体”．

“广”是指羡除的三条平行侧棱之长、“深”是指一条侧棱到

另两条侧棱所在平面的距离、“裹”是指这两条侧棱所在平行线

A

之间的距离．用现代图形语言描述，就是设AB一

a,CD=b(a

>b),EF=c，直线AB,CD

之间的距离是人1，直线EF与平面

图

5

ABCD

之间的距离是h2，则其体积

、课堂笔记

v=hlh2("+b+')

砚用补形法可证．如图6，延长（二D至点尺，使

AB-

RC

，得当亮ABCREF

，由当亮的体积公式，得

|

v~v自毯ABCREF一v三梭锥EADR

里华

(2a+')h2.(a几b)h1

0

J乙

=蝉兰（"＋占＋').图

6

0

注羡除的体积公式是由当亮的体积公式推得的；当羡除的下底面梯形变成平行四

边形时，羡除就变成了当亮，也就是说自亮的体积公式是羡除的体积公式的极限情形．

6.

当童：《九章算术・商功》第19

题：

今有自童，下广二丈，裹三丈；上裹三丈，囊四丈；高三丈．问：积几何？

术曰：倍上裹，下裹从之；亦倍下裹，上裹从之，各以其广乘之，并，以高若深乘之，皆

六而一．

答曰：二万六千五百立方尺．

当童，中算立体名词，包括方台、曲池、盘池、冥谷，形似“草垛”，就是恰有两个平行四

边形互相平行的六面体．

如图7所示的六面体ABCD一A'B'C'D'

，其中平面ABCD

//平面A'B'C'D'，底面ABCD和底面A'B'C‘D'

均是平行四

边形．

设AB=a,A'B'一‘a，直线AB,CD

之间的距离是h1,

A'B’,C'D

’之间的距离是人产，平面ABCD与平面A'B'C'D'之间

的距离是人2

，则其体积

图7

h,-~

v=誉[(2a十a")h1十（2a'十“）入门．}

6‘一、～’一‘~‘、一一

一’~_J.、心夕

其中，“尹为上广，a

为下广，人产为上襄，人工为下裹,h2为高．

嫂如图8，由定义知平面'A'与平面ABCD,A'B'C'D'的交线为AB,A'B',

鳄皇＝:

．第45

课当蔓多姿当童多彩

所以AB//A'B'，连结A'D,B'C，由当亮的体积公式得，

v一v当井B'A'ABC。十v当花cDA'B'C'D'

=冬

[(2a+a')h1+(2a'+a)h'l.

0一

一

课堂笔记p

注“自童”的体积公式是由“鱼亮”的体积公式推得的；当

“当童”的上底面平行四边形变成线段时，“当童”就变成了“当

亮”，也就是说“当亮”的体积公式是“当童”的体积公式的极限

情形．

A

图8

考题解答‘

原三视图的直观图是一个当亮，底面是长为8，宽为4

的矩形，平行于底面的线段长

一一，,～一～~～、．,．多‘～声」一一”～一～~为4

，且到J氏回日飞排已禺刀

'I，田臼党1

小形丈亿之八，月”寻v

一I-'入任入住入I'乙入6

十任夕：=～飞一，0父

0

0

选A.

李热点纵峨‘

一、当葺的体积

1.(1999

年高考全国卷理科第10题）如图9，在多面体ABcDEF中，已知四边形

ABCD是边长为3的正方形，EF刀AB,EF=普,EF与平面ABCD的距离为2，则该多

面体的体积为（)

9

I人．二

艺

B

.

5

丝

2

D

C.6

方法1

由题意知，多面体ABCDEF

为当亮，由公式④，

1

、～~,~~～、．3、15本止，、月，丫、

vABCDEF~;

；一夕又乙入0、‘入j十；；一少～;；一，fl父卫tU.

0"

图9

方法2如图10，连结EB,EC，则VE_ABCD=

生

3

火32又

2=6.

立

2

因为EF//AB,EF-，所以S

△EA刀=2S△BEF,

VF_EBC==VC_EFB==

iv,.

1t,1、，1,

3

2vC-ABE==2vEABC=

百入2vE-ABCD一2'图

10

所以V=VEABCD+VFEBC=6+普一誓，故选D

变式1(2005年全国卷工卷理科第4题）如图11

，在多面体ABcDEF

中，已知

ABCD

是边长为1

的正方形，且△ADE..ABCF

均为正三角形，EF才AB,EF=2，则该

多面体的体积为（)

八丫百

Z

飞．——

3

B.

亘

3

4

C.3

3

D.2

327

之污李

产题一课高考数学命题探批（;：版）.

、课堂笔记

图11

图12

方法1

显然本题中所述的几何体为自亮，如图12

所示，通过补画四棱锥E-

AMND，得棱柱E:MN一FCB，由题意易证棱锥E一ADNM

为正四棱锥，又此棱锥的棱长

共，J李，1丁‘。注七：仑‘曰上「，2iT戈11占入口口债r」求/;5-

-t2_.平‘山方蓄

,___r1I.小：丫才曰、；1

均为1，不难求得点E到平面AMND

的距离为芝分，故由当亮体积公式，可得v

刀cDE厂=牛

'

～一一～～…、～'～一

～～一「’一2

～产、～"J~"~~~'-

'-.p'JflD,L1tr6

x螟

X1X(2X1+2)=谭，故选A

…2一一…一一一’一／

方法2如图13

，过A,B

两点分别作AM土EF,BN土EF

，垂足分别为M,N，连结

DM,CN，可证得DM土EF,CN土EF，多面体ABCDEF

分为三部分，多面体的体积为

生

2}

VABCDEF=VMD_

刀N(；十vEAMD十VF_BNC,

，刀F一1，所以

BN-

乙

因为

NF

EM

刀

所以

图

13

作

N万

土

BC

于点H，贝归f为

BC

的中点，则

N万

-2

所以SLBNC=合。BC・NH=音义1只睿德

生

2

匹

2

4

}

1_,

vF-BNC-万。LBNC’入尸}

VE_AMD

一

v~Nc-VF_BNC-,

乙任

VAJ,.fD_ENC=S△BNc

一涯千了，2庄A

——～下：一，目戈j艺L.z飞．

J

MN

迄

4

』

所以

V刀cDEF

｝方法3

一个完整的三棱柱的图形为棱柱的高为2，底面三角形的底为1，高为织

{

｝其体积为粤xix粤X2=

粤；割去的四棱锥体积为粤xix

螟一螟，所以，几何体的

!

沁士落口J李，了玄了玄一丫百十

I,.、庄A

（下卜,rJJ?J；屯一——：：一——下；一，g)u之三z飞．

{

｝变式2（宜宾市2015

级高三第二次诊断测试文科第10

题）《九章算术》是我国古代

｛的数学名著’其中提到一种名为“当亮”的五面体’如图14’四边形ABCD

是矩形’棱EF

｛产AB,AB=4,EF=2,AADE

和△BCF

都是边长为2

的等边三角形，则这个几何体的

体积是（)

20

八・了

且

旦

3

+2/丁

,,10、／百

U.-—.—

3

328

年落之＝二

第45课自亮多姿自童多彩

课堂笔记产

注

召

诬2M2

图14图15

方法

显然本题所述的几何体为当亮，如图

15，分别取

AB,CD的中点M,N，并连

结EM,EN,MN，得到正四棱锥

E-ADNM，又此棱锥的棱长均为

2，不难求得点

E到平

面

AMNfl的距离为涯，故由当亮体积公式，可得

v，。CDE=粤

X丫百X2义(2x4+2)-

:J

’刁‘

~~~2'J

子

J

乡

J

一”"J/J

丫～"”八～

~‘】‘Jr"／、一一～

'""~J~~'

五《商功》中，有问题“今有当亮，下广三丈，裹四丈，上裹二丈，无

z

广，高一丈．问积几何？”，意思是：“今有底面为矩形的屋脊状的楔

体，下底面宽

3丈，长

4丈；上棱长

2丈，无宽，高

1丈（如图

16)．问

它的体积是多少？”这个问题的答案是（

)

A.5立方丈

B.6立方丈

图

16

C.7立方丈

D.9立方丈

方法1

由当亮体积公式，可得

v=含X1X3x(2X4+2)=5，故选A

，一即生户，、名咭认.4-..-=-i'=T日飞；“人-.1之_凿t

幽．～一-一玄门1,.＝书一‘京一，书一-二2

方法2可将该几何体分成一个直三棱柱和两个四棱锥，即

1、，‘、、，~~～、、，1、2，、／r、、z，尸丰‘、声＋A

v一言X3>

变式

4(2018年辽宁省朝阳市普通高中高三第一次模拟考试理科第

5题）《九章算

术》是我国古代内容即为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有当凳，下广三丈，裹四

丈，上裹二丈，无广，高二丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，

下底面宽

3丈，长4丈，上棱长

2丈，高2丈，问：它的体积是多少？”已知

1丈为10尺，该楔

体的三视图如图

17所示，则该楔体的体积为（

)

10000立方尺

11000立方尺

12000立方尺

13000立方尺

：一刁j一户．~，甩．、一，.~~方法

由当亮体积公式，可得

v=告

X2X3x(2x4

"“几

尸

‘

一

石

、叮

．

j.'几

}

L

企

厄图例l视！

图

L

｝月一

百湘「

｝

「厂～

不、『

厂

L

一

｝

伸

．

门双

"

T厂

'

r

-

+2)===10立方丈

=10000立方尺，故选

A.

变式5（安徽省滁州中学

2017届高三（上）

12月半月考文

科第

5题）《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷第五《商

功》中有如下的问题：“今有自亮，下广三丈，裹四丈，上裹二丈，

无广，高一丈．问积几何？”意思为：“今有底面为矩形的屋脊形

图

17

E

图

18

止豁

ir、I5二！．、川一、

土V

华U，故选C.

3~7～一

变式3（江西省南昌市

2017届高三第二

・次模拟考试理科第

8题）《九章算术》卷第

图

16

图19

1、／丈、

v一了入。△邢H入厂’1～了入

2入J入‘A‘一2'

直三棱柱的体积为

,,丫一。△尤H入了1丈’一百入J入-I入任一。’

生

2

F万

产题一课高考钦学命题探批（第：版）.

状恢复英文 的多面体（如图18)，下底面宽

AD=3丈，长AB=4丈，上棱EF=2丈，EF刀平面

与平面ABCD的距离为1丈”，则它的体积是（

)

A.4立方丈

B.5立方丈

C.6立方丈

D.8立方丈

刁一、小1方法

1多面体

ABCDEF为当亮’则

VABCDEF=言X1X3X(2X4+2)==5,

所以B选项是正确的．

方法2如图

19，过E点作

EG土平面

ABCD，垂足朝花夕拾好词好句摘抄 为点G，过F点作FH土平面

ABCD，垂足为点

H，过G点作

PQ//八D交AB于点Q，交CD于点尸，过点月作

MN//

BC，交AB于点N，交

CD于点M．则它的体积：

VABCDEF一

vEAQP。十VEPQ一FMN十vFNBCM

一合xEGXS月尸Qfl+SLEPQXNQ＋合xF升XSNBCM

一合X1X1X3＋合X3X1X2＋合X1X1X3

::5（立方丈）

.

所以B选项是正确的．

方法3如图20，分别延长

EF,FE到点

H,G，且

FH=EG=1，则得到几何体为直

三棱柱，三棱锥F一BC月的体积为

、课堂笔记

所以所求体积为

图20

侧一

2V=6一

1=5.

故选B.

变式6（惠州市

2015届高三模拟考试理科第

7题）已知多面体

MN一

ABcD的底

面

ABCD为矩形，如图21，其正（主）视图和侧（左）视图如图

22，其中正（主）视图为等腰

梯形，侧（左）视图为等腰三角形，则该多面体的体积为（

)

卜2叫/AAl

卜一4洲巨

2~}

正（主）视图

fI)IJ（左）视图

图

22

厂、9n

C.管

B

图

21

丝

3

AB.

丫百

D.6

方法1

用当亮体积公式，

VMJSJABCD=粤

><2X2X(2X4-f--2)=馨，故选C

0

j

用割补法可把几何体分割成三部分，可得

方法2

V～旦凄卫又

2＋了喜

X1X2X2)X2=馨，

乙

、0

/d

330

龟活＝＝二

生

6

只q

〕

只

护人厂人…

▲

—

—

、

、卜

l

4

．第45课当蔓多姿自童多彩

故选C.

二、当童体积

2.(2017

年安徽省“江南十校”高三联考文科第6

题）中国的计量单位可以追溯到

4000黑恩军赢紧ilfi221蕙t1210／又10

容量标准器．图23

是古代的一种度量工具“斗”（无盖，正视图侧视图

不计量厚度）的三视图（其正视图和侧视图为等腰梯灭-20/}不计量厚度）的三视图（其正视图和侧视图为等腰梯＼/}

2000

2800

3000

俯视图

6000

图23

方法1

视此几何体为上下两底面均为正方形的台体，上底面面积Si=202=400,

下底面面积S2=102=100，高h=12

，则由台体体积公式得，

1

～、．,,._,1~~.,～、．。～、、、z，‘。。八八

v',一夺(S1十S2十了S1S2)h=＝令(400十100十200)X12=2800,

’万

故本题正确答案为B.

~...～一，．、，：一～.，动一～~”」、一～~方法2

视此几何体为当童，由当童体积公式，可得v=告X12

州(2X20

十10)><

产

J

了‘人‘曰

20+(2X10+20)X10]=2800,

故本题正确答案为B.

变式1（江淮十校2018

届高三第三次联考理科第9题）《九章算术》是我国古代内

容极为丰富的数学名著，书中提出如下问题：“今有当童，下广两丈，裹三丈，上广三丈，裹

四丈，高三丈，问积几何？”翻译成现代文是“今有上下实习期闯红灯 底面皆为长方形的草垛，下底面（指

面积较小的长方形）宽2丈，长3

丈；上底面（指面积较大的长方形）宽3

丈，长4

丈；高3

丈．问它的体积是多少？”现将该几何体的三视图给出如图24

所示，则该几何体的体积为

(）立方丈．

51

I一

3~J闷一2引

A．上毛全二

一

尸一J~｝口～~!

~'2

24

27

D.18十6

了万

方法原三视图的直观图为当童，将“=4,h1

一3,a'

=3,/i'=2,h2=3

代人，可得v=

图洲

[(2X4+3)X3+(2X3+4)x21=譬，故选A

变式2（河南省2017

届豫南九校高三上学期期末质量考评文科第9

题）中国古代

名词“当童”原来是草堆的意思，古代用它作为长方棱台（上、下底面均为矩形的棱台）的

一

形），则此“斗”的体积为（单位：立方厘米）()

zu

/!

课堂笔记尸

产题一课高考狄学命题探机（第：版）.

专用术语．关于“自童”体积计算的描述，《九章算术》注日：“倍上裹，下裹从之．亦倍下裹，

上囊从之，梯牧草 各以其广乘之，并，以高若深乘之，皆六面一．”其计算方法是：将上底面的长乘

二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘；将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再

与下底面的宽相乘；把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一，以此算法，现有上下

底面为相似矩形的棱台，相似比为粤，高为3，且上底面的周长为6，则该棱台的体积的最

乙

大值是（)

A.14

方法

设上底面的长为.1，宽为y，则x十y=3,x>O,y>O,

气课堂笔记

c

丝

4

D.63

该棱台的体积为

=[(2x-j-2x)X，十（

4'十

x)X2们

X3X李

=7xv'7产士少、

2=7X且一丝，

一一～~b

~～、乙产4

4

所以该棱台的体积的最大值为63，所以C选项是正确的

任

三、羡除体积

3.(“皖南八校”2018

届高三第三次联考理科第14题）如图25

①所示是一种生活中常

见的容器，其结构如图②，其中ABCD是矩形，ABFE

和CDEF都是等腰梯形，且AD土

平面CDEF，现测得AB=2Ocm,AD=l5cm,EF=3Ocm,AB

与EF间的距离为25c

示，

则几何体EF一ABCD的体积为cm3.

且

4

x

y

图

25

方法注意到AD

土平面（二DEF，换个角度看几何体EF一

ABCD,AB

一CDEF

是羡除，先求两平行线〔二D和EF

之间的距离．

如图26，作w土EF，垂足为G，连结AG，则由AD土EF知，EF

土

平面ADG，故E1、土AG，可得AG=:25cm,

EG

所以DG==AG一AD2:＝丫252一152==20,图26

羡除AB一CDEF的体积

}

}

！变式（吉林市普通中学2017-2018学年高中毕业班第三次调研测试文科第19题）

｝在如图

27

如示的多面体中

’平面

AEFD

土平面

BEFC

’四边形

AEFD

是边长为2的正方

,ittnflIInrr-tnnmn1～、r、

之’1:’，乙里‘刀DL,．日‘里j上r一ur=下～卫艾护＝＝乙．

{

}(I）若M,N分别是AE,CF的中点’求证：MN//平面ABCD;

{(n）求此多面体

ABCDEF的体积．

图

27

图

28

脚第45

课自夔多姿

自童多彩

(J)方法如图

28，在平面CDF中，作NH土CF，连结AH．因

为M,N是AE,CF中点，且AEFD是正方形，所以N月//DF,NH=

音DF,AM//DF,AM～音DF

所以NH=AM,NH产AM，所以AMNH是平行四边形，所以

MN//AH．因为

AH仁平面ABCD，所以

MN//平面ABCD.

注取DF’中点H，连结

MH,NH，证明平面HMN//平面

ABcD也可以．

川）方法1如图29，连结

BD,BF，过F作FG土EF，交BC于

点

G.

竹～．一、，~~~~，口左六～旋律英语 ～工从～~~~,囚芡了l丝幻及力：'2j上才七力全青翎安45幻衫，月吓L‘人L丈J一下代丈j

七一卫：矛厂夕一土，

'

万U一丫可．

因为平面

AEFD土平面

BEFC，所以

GF土平面

AEFD,DF土

平面

BEFC,

所以

VD一2p-

合SL砚F・DF

生

2

x

生

3}X4X授X2-

课堂笔记尸

1,.,

vBAEFD-万。正方形AEFDir=

合X2X2又涯=警图29

所以多面体

ABCDEF的体积

V=VDa:F十VBAEFD:=

方法2因为平面AEFD土平面

BEFC,AE土EF，所以

AE土平面BEFC，由底面

BEFC

是等腰梯形，且BE一CF一合BC=2，可求得梯形BEFC的高为,/22-12一万，

于是羡除AB一CDEF的体积为V精X2X万x(4+2+2)=呼

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