正向思维

剖析教学

思维力是人们获得提升和发展的内在动力袁其

中逆向思维能力是人们思维力尧创新力的最重要体

现遥事实上袁人们很多的创新渊包括科学技术创新

和管理创新冤正源于逆向思维遥数学有一整套比较

成熟的思维体系袁其中袁从正向思维走向逆向思

维尧用双向思维交互思考是根本遥包含逆向思维在

内的打破常规尧另辟蹊径的思维袁值得我们珍视袁

因为它包含创造性的元素袁具有更大的魅力遥什么

叫逆向思维钥它有何特征钥逆向思维与常规思维有

哪些关系钥这些问题是我们教师必须充分探讨从而

明晰的遥数学中袁哪些常用的逆向思维方法最有

效钥如何发挥教师的作用父亲用英语怎么说 钥本文3位作者袁就此话

题展示了各自的观察视角和思考方向遥

滕义和院我曾经出过一个不等式的题目：在一

次

以100分为满分的考试中

，

A班共有30个学生，

平均

分为90分，请问，这个班不及格的学生至多有几个？

大部分学生解答是这样：

设不及格的学生最多

有x人，列出不等式59x+（猿园原曾）100逸30伊90，解得

x臆712

41。答：这个班级不及格同学至多7人

。

对以上解法，大家怎么看。

陈媛慧院解法没毛病啊，这是常规解法。但

是，学生要能列出不等式，或者教师要讲清楚还真

不容易。为什么？因为要转两个弯：一为什么乘以59、100？二为什么用大于等于号？这道题可使用

的条件很模糊

。

滕义和院但是，有一部分学生是这样回答的：

一个不及格要至少扣分40分，

那么

8个人就至少

扣分320分了。平均分为90分，意味着扣了300

分，8个人扣320分太多了，而7个人至少扣280

分，少于300，所以最多只能7个人不及格

。

陈灵云院这个解法让我眼前一亮

。仔细想想，

这一解法不是从得分入手

，而是反过来从扣分入

手，这是逆向思维

。

滕义和院怎么样，我们可否从数学学科角度对

这个问题深究一下？从概念开始

？什么叫逆向思

维？逆向思维有何特征？与

常规思维有哪些关系？

陈媛慧院逆向思维是一种思考方式，形式是

“反其道而思之”，从对立面的方向展开

、从问题的

相反面去探索的思维。这是一种打破固有思维模

式、突破常态的一种思考问题的方法

。当大家都朝

着一个固定的思维方向思考问题时，

而你却另辟蹊

径，独自朝相反的方向思索，

这样的思维方式就叫

逆向思维。在某些问题的解答过程中

，学生使用逆

向思维更容易理解和解决问题。

陈灵云院我也是这样理解的。

这里的“逆向”

也可以解释为“反向”，所以又称反向思维法

、补

集求索法、反面求索法。学生用逆向思维法解决问

题路径是：利用逆向思维，将未知答案设成已知条

件，来反向解题。如“司马光砸缸”，就是个逆向

思维的故事。有人落水，常规的思维模式是“让人

离开水”，而司马光面对紧急险情

，运用了逆向思

维，反过来“让水离开人

”，果断地用石头把缸砸

破，救了小伙伴性命

。

从正向到逆向，从趋同到求异

要要要对初中数学教学中逆向思维运用的研讨

咱摘要暂本文明确了逆向思维尧求异思维相关概念袁讨论了逆向思维的特

征和常用的野逆冶向方法后袁用实例总结了数学教师在发展野求异思维冶时的

着力点院高站位袁自身具备双向思维能力曰精布局袁埋下双向思维的种子曰多

元化袁提出问题时精心命题袁解答问题时一题多解遥

咱关键词暂初中数学教学曰能力培养曰发展思维曰打破常规

咱作者简介暂滕义和袁厦门大同中学袁高级教师曰陈媛慧袁厦门大同中学曰

陈灵云袁厦门外国语学校瑞景分校

文/滕义和陈媛慧陈灵云

42

图1

ABCD

A330

B033

C000

D303

剖析教学

陈媛慧院我“抬杠”一下。这里有两个问题：

一是逆向思维使用范围仅仅限于解题吗

？二是把逆

向思维变成反向思维，是不是把逆向思维狭隘化

了？它们能画等号吗？我以为，

仅就数学学科而

言，定义可以逆向思考，

法则定理也有逆向思考的

空间，不能用解题概之。

逆向不等于反向，这里的

“向”不仅是方向，也可以是

“属性”“结构”等。

滕义和院我们讨论问题之前应先把概念界定明

确。媛慧老师提了一个很好的问题。

“逆”原始的本意的的确确是

“反”的意思，

按灵云老师的“反”也可以

，但这个反是反原有的

常规，而不是纯方位词。

我同意媛慧老师的说法，

我更愿意把“逆”解读为

“异”，“向”解读为

“常规”“习惯”。逆向思维有低层次和高层次之

分，其最高层次是“求异思维

”“反常规思维”。

因为“异”帮助人们挑战习惯性思维

，克服心理定

式，冒着违背常规、常理或者是常识的危险来找出

问题答案的，从而出奇制胜

。我欣赏媛慧老师最开

始界定，“当大家都朝着一个固定的思维方向思考

问题时，你却另辟蹊径，独自朝相反的方向思索”，

其中“却”“独自”这三个字我认为用得很准确

。

陈媛慧院个人以为，逆向思维没有高、低层次

之分，也不能变成“求异思维”。我认为，逆向思

维就是“反其道而思之”

，让思维从对立面的方向

展开、从问题的相反面去探索。

陈灵云院我同意媛慧老师的说法

。

滕义和院我为什么把逆向思维理解为

（或发展

为）包括逆向思维在内的

“求异思维”？理由有这

么几点：第一，逆向思维核心思想是另辟蹊径

，它

突破了正向思维的惯性，

取得出奇制胜的效果，事

实上，这正是我追求、坚持的发现式思维

。第二，

数学中有些方法貌似逆向思维方法

，却很普通、很

基本。如综合法与分析法

，它们程序上是互逆的，

但分析法事实上是一个基本的

、成熟的数学方法。

直接证法和反证法，它们需证明的属性是互逆的，

但反证法事实上是一个基本的

、成熟的数学方法。

证真思维与证伪思维，它们的关系也类似上述综合

法与分析法、直接证法和反证法

。分析法、反证

法、证伪思维貌似逆向思维方法

，但没有另辟蹊

径、突破定势、异于常规（因为它们自己就是常

规），故我不将这三种数学思维列入逆向思维。

陈灵云院插一句，什么叫证伪思维

？

滕义和院“可证伪”，顾名思义就是可以被证

明是“伪”或“不正确”。前几年，厦门市中考题

中出现的“举反例”题，就用到了证伪思维。证伪

思维的中心是：“真”不能被证明

，但“伪”却可以

被证明。比如说，一个理论说

“世界上所有的绵羊都

是白色的”，你因为能力所及

，你不能证明理论是

正确的，但你在客观世界里恰恰观察到一个黑绵羊

存在，你反过来证明了它是

“伪”的。此时，这个

理论就被你推翻了。这个思想的源头来自哲学家卡

尔波普尔。学生解答选择题，

常用证伪思维：尽

管求不出哪一个选择支正确

，但如果能知道其中的

三个选择支错误，那么第四个选择支便是答案了。

逆向思维里的这个“向”

字，它不是一个方位

词，而有“常规”“习惯”之

意。逆向思维更确切

名字应是“反常规思维”“

反习惯思维”，或者直

接为“求异思维”，我希望将这样的思维称为逆

“向”思维。如此，逆向思维这个词就与时俱进了。

比如，数学方法诞生之初

，反证法还很少被使用，

大家都用直接证法说理，这时候

，反证法就属于逆

向思维了。但当它出现后，

人们再运油漆十大品牌 用它思考，就

属于运用常规思维了。随后，反证法作为成熟的数

学方冰糖炖雪梨的功效 法，它又将成了后来者的“逆向”的对象。

陈灵云院我觉得逆向思维得由专家来下定义，

我们3人暂且求同存异吧。媛慧老师，义和老师，

你们各自说说心中的逆向思维的特征如何？

陈媛慧院我有做了一些功课。

前人曾做过总

结，逆向思维常从七方面逆向

：原理逆向、功能逆

向、结构逆向、属性逆向、程

序逆向、方向逆向、

观念逆向。所以，所有反原理

、功能、结构、属

性、程序、方向、观念操作的思维

，就是逆向思

维固化是什么意思 。如滕老师举的第一个例子

，抓住“扣分”是逆

向思维方法。又如，厦门的一道中考题，

难倒了许

多考生，甚至难倒了部分教师

。若考生能逆转试题

的解题方向，则能轻松突破难点

。

世界杯足球赛小组赛

，每个小组

4个队进行单循

环比赛，每场比赛胜队得3分，败队得0分，平局时

两队各得1分，小组赛完以后，总积分最高的两个队

出线进入下轮比赛，如果总积分相同，

还要按净胜球

排序，一个队要保证出线，

这个队至少要积几分？

使用顺向思维

：每队最低

0

分，最高9分；每队可能的得分

情况有许多种，要分类讨论（容

易让考生迷失方向）。使用逆向

思维，考生可由“至少”两个字

入手推导，推导步骤紧凑，答案

清晰明了：每队都进行3场比

43

赛，本组进行6场比赛，若A队两胜一平，则积7

分，因此其他队的积分不可能是9分，依据规则

，

不可能有球队积8分；每场比赛，

两队得分的和是3分或2分，6场比赛两队的得分之和最少是12分

，

最多是18分，所以至多只有两个队得7分；队伍积7分保证一定出线

；若

A队两胜一负

，积

6分，如

图1所示，根据规则

，这种情况下，

A队不一定出

线；同理，当A队积分是5分

、

4分

、

3分

、

2分时

不一定出线。

总之，至少

7分才能保证一定出线

。

滕义和院我只能描述一下我心中的数学中求异思

维的一些特征：第一就是反常规的，

不采用大众常用

方法，比如把常规倒过来或反过来

；第二是脱离固定

程序；第三是其中部分内容不借助已有的数学模型

。

陈灵云院“从正向到逆向”，让

人眼前一亮，

“从趋同到求异”，让人创意迭出

。显然，“从趋同

到求异”更符合现代人才的追求

。

陈媛慧院是的，创造性思维是根本

。当然，我

们要意识到，逆向思维立意并不具有普遍性

，不是

任何命题、定理、结论、公式都能逆向、求异，要

注意合理运用的范畴。

滕义和院我们汇总一下，逆向思维最核心的特

征———逆向、求异。

陈灵云院我觉得，第一，教师自身站位要高，

要具备双向思维、求异思维

。打铁自身要硬，教师

自己认识高、理解深，这样才可以利用正向思维、

逆向思维以及其他思维来讲解数学定义、

公式、定

理。比如，对这道题：

已知，不等式组

1约x臆2，

x跃m嗓

有解，

求

m的范围。教师要认识到：

这

是含参数m

的问题，学生解题的最大疑惑点是m取2时有没有

解？正面讲解完后

，教师应带着

m取2有没有解这

个疑问，引导到反面讲解

：已知，不等式组1约x臆2，

x跃m嗓无解

，

求m的范围

。

显然，如

图

2，经讨论m

1

，m

2

肯定不符合

，

2

本身符合

，

m

3

也符合，所以反过来后

，答案是

m

2

，

回到原问题，

就得到

m<2。这样，

边界

2这个难点

便突破了。

又如，讲“逆命题”“逆定理

”时，切不可与

逆向思维混为一谈。“同一个三角形的三个内角和

是180度”，反过来，“如果三个角相加之和是180

度，那么它一定是同一个三角形的三个内角

”，这

种逆向思维显然是错误的。

不过，大多数数学定理

是可以运用逆向思维来理解的。

“如果同一平面内

的两条直线永不相交，那么他们一定平行

”，反过

来，“如果同一平面内的两条直线相互平行

，那么

他们一定永不相交”，这是正确的。所

以在帮助学

生提升逆向思维能力的同时，一定要帮助学生辨别

哪些数学知识可以运用逆向思维

。

第二，教师要提前布局和铺垫

，要在教学中埋

下双向思维的种子，要为逆向、

求异思维的出现作

铺垫。比如，

化简：

（

5

姨

-

3

姨

）

2

（8+2

15

姨

）。

常

规解法为：第一式平方，按多项式法则展开，

算出

结果（运算量显然要大一些

）。教师肯定希望学生能

用逆向思维完成解题，

出奇制胜，把

（8+2

15

姨

）逆

过来变成（

5

姨

+

3

姨

）

2

，这样问题就简单得多了。

但是，学生要一眼看出原式等于（

5

姨

-

3

姨

）

2

（

5姨

+

3

姨

）2

，离开平时（

5姨

+

3

姨

）2

的计算

、

反思、归纳和铺垫，行吗

？答案显而易见。

滕义和院灵云老师归纳得很好

，我补充一点。

第三，教师要不失时机地渗透一题多解

。一题

多解是训练学生求异思维、

发散思维的最好的、最

常用的方法。我曾给学生出过这么一题：如

图

3，

已知吟ABC中

，

蚁BAC=45毅，AD彝BC于点D，

若

BD=2，CD=1，求吟ABC的面积

。

这道题如何去做呢？学生一下就懵了，

他们

说：两个线段长度和45毅角根本扯不上关系啊。后

来，有十几个学生根据题中的蚁BAC=45毅这个条

件，想到由两个45毅角去组成一个直角。所以，他

们在AC的右边作出一个蚁CAE=45毅，并且让AE=AB，

这样设计肯定是可以得到三角形全等，如图4。学

生顺便连接CE，这年假不休补偿的规定 样吟ABC和吟AEC就是全等的，

那么我们可以得到CE的长度是3。不过，这样组

合貌似用处不大，

毕竟学生需要计算

AD的长度。

之后怎么办？大家都没有办法

。全班学生都卡在这

里了，都不会

，怎么办？

后来，有3位学生想到了解法

。他们说我以前

剖析教学

m

11

m22

m3

图2

图3图4

A

BCD

A

BCD

E

44

剖析教学

讲过的题目给了他们启发，逆向思考后容易用于解

答这道题。以前做过的题目是：如

图

5，正方形

ADGF中，蚁EAC=45毅，求证

：

DC+FE=CE。为了拼

接DC、FE，学生把吟AFE绕点A顺时针转90毅得到吟ABD，如图6，构成吟ABC艺吟ACE，所以DC+BD=

CE。从而

，

DC+FE=CE。

而学生面临的是图3，用这个方法倒着去想

，

已经有吟ABD艺吟AEF了，能不能反过来把吟ABD

绕点A逆时针转90毅得到吟AFE。这个时候

，学生

根据前面的全等可以得到AB=AE，而且蚁BAD+蚁DAE=90毅，这样，可以得到吟ABD艺吟AEF，所

以AD=AF。那么蚁BAD=蚁EAF了。这样一来

，蚁DAF=90毅，蚁F=90毅，蚁ADC=90毅，AD=AF，补上

吟ECG，如图6，正方形ADGF就呼之欲出了。学

生要找AD的长度，只需要搞定正方形的边长就可

以了。假设正方形边长为m，那么已知的有EF=

BD=2，DC=1，CE=3，所以明显的要在Rt吟CGE中

来搞定了，CG=m-1，EG=m-2，CE=3，勾股定理

解出m的值，也

就是

AD的长度，

那么

吟ABC的面

积就可以求出了。

反思这一题，难就难在如何拓展图形上，

卡就

卡在

“把

吟ABD绕点A顺时针转90毅得到吟AFE”

这个节点上。很多学生并不擅长

“添加辅助线构造

图形”几点了英语 ，其实是没有掌握这个方法的要诀

——

—要善

于对以往经验予以逆向，

要有双向思维意识。

陈灵云院很神奇，辅助线中内切割图的逆向思

维是外扩展图

。

滕义和院是的，我在班上讲了这个思路后

，第

二天，又有新的收获

。

几个学生来找我，他们想起以前做过的题目：

如图7，正方形AEFG中，蚁BAC=45毅，求证：EB+

CG=CB。此题通过证明吟ABE艺吟ABD、吟ACD艺

吟ACG得证。现在，学生面对的是简洁的图3，

他

们将原来题的方法倒着去想

，把简洁的图

3扩充成

图7，步骤是：

先把

吟ABD翻折得到吟ABE图8；

再把吟ACD也翻折增加了吟ACG，如图9；最后再

补上吟CFB，如图7（正方形AGFE就呼之欲出

）。

接下来，在吟CFB中用勾股定理就可以证明原题了。

学生解答这道题靠什么？

靠原来的积累，把积

累作逆向思考，把原先向内轴对称反过来作外扩展

轴对称。接着又有一拨学生，

用相似和方程做，他

们过C作CH垂直AB于H，由勾股定理

、全等、

等腰直角三角形知识证明

；还有学生用同样的辅助

线，用等腰直角三角形和相似证明结论

。这些都是

逆向思维的成果

。

陈媛慧院在义和老师的启发下

，我补充第四点。

第四，设计灵活多样的作业练习，

以巩固、深化

学生的逆向思维和求异思维

，其中包括命题。

一道厦门市2019年八年级（下）

市质检题就

是精心命题成功的案例。因为要解决这道题，学生

要建立知识、方法之间的联结，而且要善于应用逆

向思维。

如图10，在矩形ABCD中，点E在BC边上，

动点P以2厘米/秒的速度

从点A出发，

沿

吟AED的

边按照A寅E寅D寅A的顺

序运动一周

。

设点P从A

出发经x（x跃0）秒后

，吟ABP的面积是y。

（1）

若

AB越6厘米

，

BE越8厘米，当

点

P在线

段AE上时，

求

y关于x的函数表达式

；

（2）已知点E是BC的中点

，当点

P在线段

ED上时，y越2.4x；当点P在线段AD上时，y越32-4x。

求y关于x的函数表达式。

我们重点看第2小题：函数解析式明显是分段

函数，而自变量取值范围才是本题的未知量

。许多

学生沿用第1小题的已知量分析

，发现完全不符；

而使用逆向思维，找到分段函数的节点A，E，D

来分析，瞬间获得解题思路。

点

D都属于两段函

数，是交点，是公共点

。抓住点

D，学生就能联立

解析式求出P点到达D点所用时间；随后利用图形

特征，证明AE=ED，求出点P到达点E所用时间，

分段函数的自变量取值范围显现。如果使用正向思

维，学生无法通过分析得到解题关键点。学生解答

本题靠什么？靠融通知识、方法，靠逆向思考。

C

A

DG

E

F

AF

G

E

DCB

图5图6

图10

A

BEC

D

P

G

A

F

C

B

D

E

图7图8图9

A

E

BDC

A

BDC

G

E

45