淄博临淄

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷

请考生注意：

1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题(每小题3分,共30分)

1．若一个圆锥的底面积为24cm，圆锥的高为42cm，则该圆锥的侧面展开图中圆心角的度数为（）

A

．40B

．80C

．120D

．150

2．若

5

2

x

y



，则

xy

y



的值为（）

A

．

5

2

B

．

2

5

C

．

3

2

D

．﹣

3

5

3．如图，四边形

ABCD

是圆内接四边形，

E

是

BC

延长线上一点，若∠

BAD

＝

105

，则∠

DCE

的大小是

()

A

．

115B

．

105C

．

100D

．

95

4．关于

x

的一元二次方程

x2﹣

2x

﹣

m

＝

0

有实根，则

m

的值可能是（）

A

．﹣

4B

．﹣

3C

．﹣

2D

．﹣

1

5．如图，在RtABC中，∠

B

=90

，消防支队

AB

=2

，以

B

为圆心，

AB

为半径画弧，恰好经过

AC

的中点

D

，则弧

AD

与线段

AD

围成的弓形面积是（）

A

．

2

2

3

B

．

2

3

3

C

．

2

33

3

D

．

4

33

3



6．一元二次方程234xx的正根的个数是

()

A

．

0B

．1C

．2D

．不确定

7．如图，已知DE∥BC，CD和BE相交于点O，S

△

DOE：

S

△

COB=4：9，则AE：EC为（）

A

．

2

：

1

B

．

2

：

3

C

．

4

：

9

D

．

5

：

4

8．如图，正方形的四个顶点在半径为2的大圆圆周上，四条边都与小圆都相切，ABCD，过圆心O，且ABCD，

则图中阴影部分的面积是（）

A

．

4B

．2C

．



D

．

2



9．过矩形

ABCD

的对角线

AC

的中点

O

作

EF⊥AC

，交

BC

边于点

E

，交

AD

边于点

F

，分别连接

AE

、

CF

，若

AB

，

∠DCF30

，则

EF

的长为（）．

A

．

2B

．

3C

．

3

2

D

．3

10．如图，在

Rt△ABC

中，∠

C=90

，

AC=3

，

AB=5

，则

cosB

的值为（）

A

．

4

5

B

．

3

4

C

．

4

3

D

．

3

5

二、填空题(每小题3分,共24分)

11．已知

1

2

y

x



，则

xy

x



_____

．

12．已知点

A

（

2

，

4

）与点

B

（

b

﹣

1

，

2a

）关于原点对称，则

ab

＝

_____

．

13．把2288yxx配方成2()yaxhk的形式为

y

__________

．

14．如图，BE为正五边形

ABCDE

的一条对角线，则∠ABE

=_____________

．

15．若

x

1、

x

2是关于

x

的一元二次方程

x2-2x-3=0

的两个实数根，则

x

1

+x

2

=______

．

16．如图，矩形ABCD的水稻栽培技术 对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点A在反比例函数

221aa

y

x





的图象上

.

若点C的坐标为

(2,2)

，则

a

的值为

_______

．

17．如图，在

Rt

△

ABC

中，∠

C

＝

90

，

AC

＝

4

，

BC

＝

3

，分别以

A

，

B

为圆心，以

AB

2

的长为半径作圆，将

Rt

△

ABC

截去两个扇形，则剩余（阴影）部分的面积为

_____

．

18．如图，ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tanC的值为

________.

三、解答题(共66分)

19．（10分）如图，在

A

岛周围

50

海里水域有暗礁，一轮船由西向东航行到

O

处时，发现

A

岛在北偏东

60

方向，轮

船继续正东方向航行

40

海里到达

B

处发现

A

岛在北偏东

45

方向，该船若不改变航向继续前进，有无触礁的危险？（参

考数据：31.732）

20．（6分）某市有

A

、

B

、

C

三个公园，甲、乙两位同学随机选择其中一个公园游玩．

（

1

）甲去

A

公园游玩的概率是；

（

2

）求甲、乙恰好在同一个公园游玩的概率．（请用

“

画树状图

”

或

“

列表

”

或

“

列举

”

等方法给出分析过程）

21．（6分）如图，点

E

是弧

BC

的中点，点

A

在⊙

O

上，

AE

交

BC

于点

D

．

（

1

）求证：2•BEAEDE；

（

2

）连接

OB

，

OC

，若⊙

O

的半径为

5

，

BC=8

，求OBC的面积．

22．（8分）（

﹣

3.14

）0+

（

1

2

）﹣1﹣

|8﹣

3|

23．（8分）如图，直线

1

1

2

yx

与

x

轴交于点

A

，与

y

轴交于点

B

，抛物线

y

=-

x2+

bx

+

c

经过

A

，

B

两点．

（

1

）求抛物线的解析式．

（

2

）点

P

是第一象限抛物线上的一点，连接

PA

，

PB

，

PO

，若

△

POA

的面积是

△

POB

面积的

4

3

倍．

①求点

P

的坐标；

②点

Q

为抛物线对称轴上一点，请求出

QP

+

QA

的最小值．

24．（8分）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在

“

勾股

”

章中有这样一个问题：

“

今有邑方二百步，各中开门，

出东门十五步有木，问：出南门几步面见木？

”

用今天的话说，大意是：如图，

DEFG

是一座边长为

200

步（

“

步

”

是古

代的长度单位）的正方形小城，东门

H

位于

GD

的中点，南门

K

位于

ED

的中点，出东门

15

步的

A

处有一树木，求

出南门多少步恰好看到位于

A

处的树木（即点

D

在直线

AC

上）？请你计算

KC

的长为多少步．

25．（10分）已知，抛物线

y

＝

ax2+

ax

+

b

（

a

≠

0

）与直线

y

＝

2x

+

m

有一个公共点

M

（

1

，

0

），且

a

＜

b

．

（

1

）求

b

与

a

的关系式和抛物线的顶点

D

坐标（用

a

的代数式表示）；

（

2

）直线与抛物线的另外一个交点记为

N

，求△

DMN

的面积与

a

的关系式；

（

3

）

a

＝﹣

1

时，直线

y

＝﹣

2x

与抛物线在第二象限交于点

G

，点

G

、

H

关于原点对称，现将线段

GH

沿

y

轴向上平

移

t

个单位（

t

＞

0

），若线段

GH

与抛物线有两个不同的公共点，试求

t

的取值范围．

26．（10分）如图，在RtABC中，90C，6AC，

60BAC

，AD平分

BAC

交BC于点D，过点D作

DEAC

交AB于点E，点M是线段AD上的动点，连结BM并延长分别交DE，AC于点F、G.

（

1

）求CD的长

.

（

2

）若点M是线段AD的中点，求

EF

DF

的值

.

（

3

）请问当DM的长满足什么条件时，在线段DE上恰好只有一点

P

，使得60CPG?

参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)

1、

C

【分析】根据圆锥底面积求得圆锥的底面半径，然后利用勾股定理求得母线长，根据圆锥的母线长等于展开图扇形的

半径，求出圆锥底面圆的周长，也即是展开图扇形的弧长，然后根据弧长公式可求出圆心角的度数．

【详解】解：∵圆锥的底面积为

4cm2，

∴圆锥的底面半径为

2cm

，

∴底面周长为

4，

圆锥的高为

42cm

，

∴由勾股定理得圆锥的母线长为

6cm

，

设侧面展开图的圆心角是

n

，

根据题意得：

6

180

n89多大 

=4，

解得：

n=1

．

故选：

C

．

【点睛】

本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长

是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．

2、

C

【分析】将

xy

y



变形为

x

y

﹣

1

，再代入计算即可求解．

【详解】解：∵

5

2

x

y



，

∴

xy

y



＝

x

y

﹣

1

＝

5

2

﹣

1

＝

3

2

．

故选：

C

．

【点睛】

考查了比例的性质，解题的关键是将

xy

y



变形为

1

x

y



．

3、

B

【分析】根据圆内接四边形的对角互补得到∠

BAD+

∠

BCD=180

，而∠

BCD

与∠

DEC

为邻补角，得到

∠

DCE=

∠

BAD=105

．

【详解】解：∵四边形

ABCD

是圆内接四边形，

∴∠

BAD+

∠

BCD=180

，

而∠

BCD+

∠

DCE=180

，

∴∠

DCE=

∠

BAD

，

而∠

BAD=105

，

∴∠

DCE=105

．

故选

B

．

4、

D

【分析】根据题意可得，24bac△

≥0

，即可得出答案

.

【详解】解：∵关于

x

的一元二次方程

x2﹣

2x

﹣

m

＝

0

有实根，

∴△＝（﹣

2

）2﹣

41

（﹣

m

）

≥0

，

解得：

m≥

﹣

1

．

故选

D

．

【点睛】

本题考查的是一元二次方程的根的判别式，当240bac时，有两个不等实根；当240bac时，有两个

相等实根；当240bac时，没有实数根

.

5、

B

【分析】如图（见解析），先根据圆的性质、直角三角形的性质可得2ABBDAD，再根据等边三角形的判定

与性质可得60ABDBAD，然后根据直角三角形的性质、勾股定理可得23BC，从而可得ABD△的面

积，最后利用扇形

BAD

的面积减去ABD△的面积即可得．

【详解】如图，连接

BD

，

由题意得：2BDAB，

点

D

是RtABC斜边

AC

上的中点，

1

2

BDADAC，

2ABBDAD，

ABD是等边三角形，

60ABDBAD，

9030CBAD，

在RtABC中，2224,23ACABBCACAB，

又BD是RtABC的中线，

111

3

222ABDABC

SSABBC

，

则弧

AD

与线段

AD

围成的弓形面积为

26022

33

3603ABD

BAD

SS









扇形

，

故选：

B

．

【点睛】

本题考查了扇形的面积公式、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，通过作辅助线，构

造等边三角形和扇形是解题关键．霜打的茄子

6、

B

【分析】解法一：根据一元二次方程的解法直接求解判断正根的个数；解法二：先将一元二次方程化为一般式，再根

据一元二次方程的根与系数的关系即可判断正根的个数．

【详解】解：解法一：化为一般式得，2340xx，

∵

a

=1

，

b

=3

，

c

=−4

，

则224341(4)250bac，

∴方程有两个不相等的实数根，

∴

2432535

2212







bbac

x

a

，

即

1

4x

，

2

1x，

所以一元二次方程234xx的正根的个数是

1

；

解法二：化为一般式得，2340xx，

224341(4)250bac，

方程有两个不相等的实数根，

12

4xx

，

则

1

x

、

2

x

必为一正一负，所以一元二次方程宝贝英语 234xx的正根的个数是

1

；

故选

B

．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握解一元二次方程的步骤是解题的关键；如果只判断正根或负根的个数，也

可灵活运用一元二次方程的根与系数的关系进行判断．

7、

A

【解析】试题解析：∵

ED

∥

BC

，

.DOECOBAEDACB∽，∽

:4:9

DOEBOC

DOECOBSS∽，，

:2:

AEDACB∽，

::.EDBCAEAC

:2:3,?::EDBCEDBCAEAC，

:2:3AEAC，:2:

故选

A.

点睛：相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方

.

8、

C

【分析】由于圆是中心对称图形，则阴影部分的面积等于大圆的四分之一，即可求解．

【详解】解：由于圆是中心对称图形，则阴影部分的面积等于大圆的四分之一．

故阴影部分的面积

=2

1

2

4



．

故选：

C

．

【点睛】

本题利用了圆是中心对称图形，圆面积公式及概率的计算公式求解，熟练掌握公式是本题的解题关键．

9、

A

【解析】试题分析：由题意可证

△AOF≌△COE

，

EO=FO

，

AF=CF=CE=AE

，四边形

AECF

是菱形，若∠

DCF=30

，

则∠

FCE=60

，

△EFC

是等边三角形，∵

CD=AB=

，∴

DF=tan30CD==1

，∴

CF=2DF=21=2

，

∴EF=CF=2

，故选

A

．

考点：

1

．矩形及菱形性质；

2

．解直角三角形．

10、

B

【详解】解：在

Rt△ABC

中，∠

C=90

，

AC=3

，

AB=5

，由勾股定理，得：

BC=22ABAC=2253=1

．

cosB=

BC

AB

=

4

5

，

故选

B

．

【点睛】

本题考查锐角三角函数的定义．

二、填空题(每小题3分,共24分)

11、

3

2

【分析】由已知可得

x、y

的关系，然后代入所求式子计算即可

.

【详解】解：∵

1

2

y

x



，∴

2xy

，∴

23

22

xyyy

xy





.

故答案为：

3

2

.

【点睛】

本题考查了比例的性质和代数式求值，属于基本题型，掌握求解的方法是关键

.

12、

1

．

【解析】由题意，得

b−1=−1，1a=−4，

解得

b=−1，a=−1，

∴ab=(−1)(−1)=1，

故答案为

1.

13、22(2)x

【分析】对二次函数进行配方，即可得到答案．

【详解】2288yxx

=22(4)8xx

=22(444)8xx

=22(2)x．

故答案是：22(2)x．

【点睛】

本题主要考查二次函数的顶点式，掌握二次函数的配方，是解题的关键．

14、

36

【解析】

3605=72

，

180-72=108

，所以，正五边形每个内角的度数为

108

，

即可知∠

A=108

，又知

△ABE

是等腰三角形，则∠

ABE=

（

180-108

）

=36

．

15、

1

【解析】一元二次方程

x1-1x-3=0

的两个实数根分别为

x

1和

x

1，根据根与系数的关系即可得出答案．

【详解】解：∵一元二次方程

x1-1x-3=0

的两个实数根分别为

x

1和

x

1，

∴根据韦达定理，

x

1

+x

1

=1

，

故答案为：

1

．

【点睛】

本题考查了根与系数的关系，难度不大，关键掌握

x

1，

x

1是方程

x1+px+q=0

的两根时，

x

1

+x

1

=-p

，

x

1

x

1

=q

．

16、

1

或

-3

【分析】由题意根据反比例函数中k值的几何意义即函数图像上一点分别作关于

x

、

y

轴的垂线与原点所围成的矩形的

面积为

k

，据此进行分析求解即可

.

【详解】解：由题意图形分成如下几部分，

∵矩形ABCD的对角线为BD，

∴

DCBABD

SS

，即

164253

SSSSSS

，

∵根据矩形性质可知

1234

,SSSS

，

∴

56

SS

，

∵2

5

21Saa

，点C的坐标为2,2

，

∴2

6

214Saa

，解得

a

1

或

-3.

故答案为：

1

或

-3.

【点睛】

本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此

题的关键．

17、

6

﹣

25

16

【分析】利用勾股定理得出

AB

的长，再利用图中阴影部分的面积是：

S

△ABC﹣

S扇形面积

求出即可．

【详解】解：∵

Rt△ABC

中，∠

ABC

＝

90

，

AC

＝

4

，

BC

＝

3

，

∴AB

＝2243＝

5

，

∴S

阴影部分

＝

1

2

34

﹣

25

90

2

360











＝

6

﹣

25

16

．

故答案是：

6

﹣

25

16

．

【点睛】

此题主要考查不规则图形的面积求解，解题的关键是熟知割补法的应用

.

18、棒组词

1

2

【分析】先证明

△ABC

为直角三角形，再根据正切的定义即可求解

.

【详解】根据网格的性质设网格的边长为

1

，

则

AB=22112,AC=222222

,BC=221310

∵

AB2+AC2=BC2,

∴

△ABC

为直角三角形，∠

A=90

，

∴tanC=

1

2

AB

AC



故填：

1

2

.

【点睛】

此题主要考查正切的求解，解题的关键是证明三角形为直角三角形

.

三、解答题(共66分)

19、无触礁的危险．

【分析】根据已知条件解直角三角形

OAC

可得

A

岛距离航线的最短距离

AC

的值，若

AC>50

，则无触礁危险，若

AC<50

，

则有触礁危险．

【详解】解由题意得：∠

AOC=30

，∠

ABC=45

，∠

ACO=90

，

OB=40



∠

BAC=45

，

AC=BC

在Ｒ

t

△

OAC

中，∠

ACO=90

，∠

AOC=30

，

tan

∠

AOC=

3

3

AC

OC

，

∴

3

3

AC

ACOB





，

3

403

AC

AC





∴20320AC，2032054.6450AC．

因此无触礁的危险．

【点睛】

本题考查解直角三角形，由题意画出几何图形把实际问题转化为解直角三角形是解题关键．

20、（

1

）

1

3

；（

2

）

1

3

【分析】（

1

）直接根据概率公式计算可得；

（

2

）利用列举方法找出所有的可能情况，再找两位同学恰好在同一个公园游玩的情况个数，即可求出所求的概率．

【详解】解：（1）甲去

A

公园游玩的概率为

1

3

；

故答案为：

1

3

.

（

2

）列树状图如下：

共有

9

种等可能结果，其中甲、乙恰好在同一个公园游玩的有

3

种，

∴其概率为

31

93



.

【点睛】

本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果

n

，再从中选出符合事件A的结果数目

m

，然后利用概率公式计算事件A的概率

()

m

PA

n



．

21、（

1

）见解析；（

2

）

12

【分析】（

1

）由点

E

是

BC

的中点根据圆周角定理可得∠

BAE=

∠

CBE富贵平安对联

，又由∠

E=

∠

E

（公共角），即可证得

△

BDE

∽△

ABE

，然后由相似三角形的对应边成比例，证得结论．

（

2

）过点

O

作

OF

⊥

BC

于点

F

，根据垂径定理得出

BF=CF=4

，再根据勾股定理得出

OF

的长，从而求出OBC的

面积

【详解】（

1

）证明：∵点

E

是弧

BC

的中点

∴∠

BAE=

∠

CBE=

∠

DBE

又∵∠

E=

∠

E

∴△

AEB

∽△

BED

∴

AEEB

BEED



∴2•BEAEDE

（

2

）过点

O

作

OF

⊥

BC

于点

F

，则

BF=CF=4

在

RtOFB

中，2225163OFOBBF

∴

11

8312

22OBC

SBCOF





【点睛】

此题考查了圆周角定理、垂径定理以及相似三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．

22、

22

【分析】首先计算乘方、开方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．

【详解】解：（

﹣

3.14

）0+

（

1

2

）﹣1﹣

|8﹣

3|

＝

1+2

﹣

3+22

＝

22

【点睛】

此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从

高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的

顺序进行．另外，有理数的运算白山药的做法 律在实数范围内仍然适用．

23、（

1

）2

3

1

2

yxx

；（

2

）①点

P

的坐标为（

3

2

，

1

）；②5

【分析】（

1

）先确定出点

A

，

B

坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式；

（

2

）设出点

P

的坐标，①用△

POA

的面积是△

POB

面积的

4

3

倍，建立方程求解即可；

②利用对称性找到最小线段，用两点间距离公式求解即可．

【详解】解：（

1

）在

1

1

2

yx

中，

令

x=0

，得

y=1

；令

y=0

，得

x=2

，

∴

A

（

2

，

0

），，

B

（

0

，

1

）．

∵抛物线2yxbxc经过

A

、

B

两点，

∴

420

1

bc

c











解得

3

2

1

b

c















∴抛物线的解析式为2

3

1

2

yxx

．

（

2

）①设点

P

的坐标为（

a

，2

3

1

2

aa

），过点

P

分别作

x

轴、

y

轴的垂线，垂足分别为

D

、

E

．

∴

22

1133

211

2222POA

SOAPDaaaa











111

1

222POB

SOBPEaa





∵

4

3POAPOB

SS





∴2

341

1

232

aaa

∴

1

2

3

a

，

2

3

2

a

∵点

P

在第一象限，所以

3

2

a

∴点

P

的坐标为（

3

2

，

1

）

②设抛物线与

x

轴的另一交点为

C

，则点

C

的坐标为（

1

2



，

0

）

连接

PC

交对称轴一点，即

Q

点，则

PC

的长就是

QP+QA

的最小值，

2222125PCPDCD

所以

QP+QA

的最小值就是5．

【点睛】

此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积，对称性，解本题的关键是求抛物线解析式．

24、

2000

3

【分析】根据平行证出△

CDK

∽△

DAH

，利用相似比即可得出答案

.

【详解】解：

DH=100

，

DK=100

，

AH=15

，

∵

AH

∥

DK

，

∴∠

CDK=

∠

A

，

而∠

CKD=

∠

AHD

，

∴△

CDK

∽△

DAH

，

∴

CKDK

DHAH



，即

100

10015

CK



，

∴

CK=

2000

3

答：

KC

的长为

2000

3

步．

【点睛】

本题主要考查的是相似三角形的应用，难度适中，解题关键是找出相似三角形

.

25、（1）b=﹣2a

，顶点

D

的坐标为（﹣

1

2

，﹣

9

4

a

）；（2）

27327

48

a

a



；（

3

）2≤t＜

9

4

．

【解析】（

1

）把

M

点坐标代入抛物线解析式可得到

b

与

a

的关系，可用

a

表示出抛物线解析式，化为顶点式可求得其

顶点

D

的坐标；

（

2

）把点

M

（

1

，

0

）代入直线解析式可先求得

m

的值，联立直线与抛物线解析式，消去

y

，可得到关于

x

的一元二

次方程，可求得另一交点

N

的坐标，根据

a

＜

b

，判断

a

＜

0

，确定

D

、

M

、

N

的位置，画图

1

，根据面积和可得△

DMN

的面积即可；

（

3

）先根据

a

的值确定抛物线的解析式，画出图

2

，先联立方程组可求得当

GH

与抛物线只有一个公共点时，

t

的值，

再确定当线段一个端点在抛物线上时，

t

的值，可得：线段

GH

与抛物线有两个不同的公共点时

t

的取值范围．

【详解】解：（

1

）∵抛物线

y=ax2+ax+b

有一个公共点

M

（

1

，

0

），

∴

a+a+b=0

，即

b=-2a

，

∴

y=ax2+ax+b=ax2+ax-2a=a

（

x+

1

2

）2-

9

4

a

，

∴抛物线顶点

D

的坐标为（

-

1

2

，

-

9

4

a

）；

（

2

）∵直线

y=2x+m

经过点

M

（

1

，

0

），

∴

0=21+m

，解得

m=-2

，

∴

y=2x-2

，

则

2

22

2

yx

yaxaxa











＝

＝

，

得

ax2+

（

a-2

）

x-2a+2=0

，

∴（

x-1

）（

ax+2a-2

）

=0

，

解得

x=1

或

x=

2

a

-2

，

∴

N

点坐标为（

2

a

-2

，

4

a

-6

），

∵

a

＜

b

，即

a

＜

-2a

，

∴

a

＜

0

，

如图

1

，设抛物线对称轴交直线于点

E

，

∵抛物线对称轴为

1

22

a

x

a



，

∴

E

（

-

1

2

，

-3

），

∵

M

（

1

，

0

），

N

（

2

a

-2

，

4

a

-6

），

设△

DMN

的面积为

S

，

∴

S=S

△DEN

+S

△DEM

=

1

2

|

（

2

a

-2

）

-1|•|-

9

4

a

-

（

-3

）

|=

27

4

−

3

a

−

27

8

a

，

（

3

）当

a=-1

时，

抛物线的解析式为：

y=-x2-x+2=-

（

x+

1

2

）2+

9

4

，

由

22

2

yxx

yx











，

-x2-x+2=-2x

，

解得：

x

1

=2

，

x

2

=-1

，

∴

G

（

-1

，

2

），

∵点

G

、

H

关于原点对称，

∴

H

（

1

，

-2

），

设直线

GH

平移后的解析式为：

y=-2x+t

，

-x2-x+2=-2x+t

，

x2-x-2+t=0

，

△

=1-4

（

t-2

）

=0

，

t=

9

4

，

当点

H

平移后落在抛物线上时，坐标为（

1

，

0

），

把（

1

，

0

）代入

y=-2x+t

，

t=2

，

∴当线段

GH

与抛物线有两个不同的公共点，

t

的取值范围是

2≤t

＜

9

4

．

【点睛】

本题为二次函数的综合应用，涉及函数图象的交点、二次函数的性质、根的判别式、三角形的面积等知识．在（

1

）中

由

M

的坐标得到

b

与

a

的关系是解题的关键，在（

2

）中联立两函数解析式，得到关于

x

的一元二次方程是解题的关

键，在（

3

）中求得

GH

与抛物线一个交点和两个交点的分界点是解题的关键，本题考查知识点较多，综合性较强，难

度较大．

26、（

1

）23DC；（

2

）

2

3

EF

DF



；（

3

）当

16

3

7

DM

或

14

343

5

DM

时，满足条件的点

P

只有一个

.

【解析】（

1

）由角平分线定义得

30DAC

，在RtADC中，根据锐角三角函数正切定义即可求得DC长

.

（

2

）由题意易求得63BC，43BD，由全等三角形判定ASA得DFMAGM，根据全等三角形性质得

DFAG，根据相似三角形判定得~BFEBGA，由相似三角形性质得

EFBEBD

AGABBC



，将DFAG代入即

可求得答案

.

（

3

）由圆周角定理可得

CQG

是顶角为

120

的等腰三角形，再分情况讨论：

①当

Q

与DE相切时，结合题意画出图形，过点

Q

作

QHAC

，并延长

HQ

与DE交于点

P

，连结

QC

，

QG

，

设

Q

半径为

r

，由相似三角形的判定和性质即可求得DM长；

②当

Q

经过点E时，结合题意画出图形，过点C作CKAB，设

Q

半径为

r

，在

RtEQK

中，根据勾股定理

求得

r

，再由相似三角形的判定和性质即可求得DM长；③当

Q

经过点D时，结合题意画出图形，此时点M与点G

重合，且恰好在点A处，由此可得DM长

.

【详解】（

1

）解：∵AD平分

BAC

，

60BAC

，

∴

1

30

2

DACBAC

．

在RtADC中，tan3023DCAC

（

2

）解：易得，63BC，43BD．

由

DEAC

，得EDADAC，DFMAGM．

∵AMDM，

∴DFMAGM，

∴AGDF．

由

DEAC

，得~BFEBGA，

∴

EFBEBD

AGABBC



∴

432

3

63

EFEFBD

DFAGBC



（

3

）解：∵60CPG，过C，

P

，G作外接圆，圆心为

Q

，

∴

CQG

是顶角为

120

的等腰三角形

.

①当

Q

与DE相切时，如图

1

，

过

Q

点作

QHAC

，

并延长

HQ

与DE交于点

P

，连结

QC

，

QG

设

Q

的半径

QPr

则

1

2

QHr

，

1

23

2

rr

，

解得

4

3

3

r

．

∴

4

334

3

CG

，2AG．

易知DFMAGM，可得

4

3

DMDF

AMAG



，则

4

7

DM

AD



∴

16

3

7

DM

．

②当

Q

经过点E时，如图

2

，

过C点作CKAB，垂足为K．

设

Q

的半径

QCQEr

，则33-QKr．

在

RtEQK

中，221332rr

，解得

14

3

9

r

，

∴

1414

33

93

CG

易知DFMAGM，可得

14

3

5

DM

③当

Q

经过点D时，如图

3

，

此时点M与点G重合，

且恰好在点A处，可得43DM．

综上所述，当

16

3

7

DM

或

14

343

5

DM

时，满足条件的点

P

只有一个

.

【点睛】

本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，圆周角定理等知识，解题的关键是学会利

用参数构建方程解决问题，学会利用特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题．