大元素使变身公式

2022届高三数学二轮复习教案——三角函数

一、考点整理

2022年各地高考中本部分自制果汁 所占分值在17～22分，主要以选择题和解答题的形式出现。

主要考察内容按综合难度分，有以下几方面：

一、通过诱导公式和倍角公式的简单运用，解决有关三角函数基本性质的问题。如判断

符号、求值、求周期、判断奇偶性等。

二、三角函数公式变形中的某些常用技巧的运用。如辅助角公式、平方公式逆用、切弦

互化等

三、充分利用三角函数作为一种特殊函数的图象及周期性、奇偶性、单调性、有界性等

特殊性质，解决较复杂的函数问题。如分段函数值，求复合函数值域等。

二、高考大纲要求

1．理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算。

2．掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义，掌握同解

三角函数的基本关系式，掌握正弦、余弦的诱导公式，理解周期函数与最小正周期的意义。

3．掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公

式。

4．能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明。

5．了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质，会用“五点法”画正弦函数、余

弦函数和函数y=Asin(x+)的简图，理解A、、的物理意义。

6．掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决解三

角形的计算问题。

三、复习目标

1．熟练掌握三角变换的所有公式，理解每个公式的意义，应用特点，常规使用方法等．

2．熟悉三角变换常用的方法——化弦法，降幂法，角的变换法等．并能应用这些方法

进行三角函数式的求值、化简、证明．

3．掌握三角变换公式在三角形中应用的特点，并能结合三角形的公式解决一些实际问

题．

4．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质，并能用它研究复合函

数的性质．

5．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、特点，并会用

五点作图法做出三角函数图像.

6．理解图象平移变换、伸缩变换的意义，并会用这两种变换研究函数图象的变化．

四、基础知识梳理

（一）三角变换公式的使用特点

1．同角三角函数关系式

(1)理解公式中“同角”的含义．

(2)明确公式成立的条件。

例如，tan+1=c，当且仅当≠k

(3)掌握公式的变形．特别需要指出的是sin=tancos，

cos=cotsin．它使得“弦”可以用“切”来表示．

(4)使用这组公式进行变形时，经常把“切”、“割”用“弦”表示，即化弦法，这是

三角变换非常重要的方法．

2．诱导公式

(1)诱导公式中的角是使公式成立的任意角．

(2)正确使用诱导公式的关键是公式中符号的确定．

(3)sin(k+)=(-1)

k

sin；cos(k+)=(-1)

k

cos(k∈Z)．

⑷熟记关系式sincoscos

444

xxx











；cossin

44

xx











．

3．两角和与差的三角函数

(1)公式不但要会正用，还要会逆用．(2)公式的变形应用要熟悉．

熟记：tan+tan=tan(+)(1-tantan)，它体现了两个角正切的和与积的关系．

(3)角的变换要能灵活应用，如=(+)-，=-(-)，2=(+)+(-)等．

4．倍角公式，半角公式

(2)使用二倍角的正弦、余弦公式时，公式的选择要准确．

如已知sin，cos，tan求cos2时，应分别选择cos2=1

(3)余弦的二倍角公式的变形——升幂公式、降幂公式必须熟练掌握．要明确，降幂法

是三角变换中非常重要的变形方法．

5．和差化积、积化和差公式，这两组公式现在不要求记忆，但要会使用．

(1)要明确，这两组公式是解决正、余弦的加、减、乘的运算关系式．

(3)对下列关系式要熟记：

6．三角变换：

三角函数式的恒等变形或用三角式来代换代数式称为三角变换．

三角恒等变形是以同角三角公式，诱导公式，和、差、倍、半角公式，和差化积为基础．

三角代换是以三角函数的值域为根据，进行恰如其分的代换，使代数式转化为三角式，

然后再使用上述诸公式进行恒等变形，使问题得以解决．

7．三角形中的三角变换

三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的

特点．

(1)角的变换

因为在△ABC中，A+B+C=，所以

sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=-cosC；tan(A+B)=-tanC．

(2)三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理．

r为三角形内切圆半径，p为周长之半．

在非直角△ABC中，tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC．

(4)在△ABC中，熟记并会证明：

∠A，∠B，∠C成等差数列的充分必要条件是∠B=60．

△ABC是正三角形的充分必要条件是∠A，∠B，∠C成等差数列且a，b，c成等比数

列．

8．三角形的面积公式：

（1）△＝

2

1

ah

a

＝

2

1

bh

b

＝

2

1

ch

c

（h

a

、h

b

、h

c

分别表示a、b、c上的高）．

（2）△＝

2

1

absinC＝

2

1

bcsinA＝

2

1

acsinB．

（3）△＝

)sin(2

sinsin2

CB

CBa



＝

)sin(2

sinsin2

AC

ACb



＝

)sin(2

sinsin2

BA

BAc



．

（4）△＝2R2sinAsinBsinC．（R为外接圆半径）

（5）△＝

R

abc

4

．

（6）△＝))()((csbsass；











)(

2

1

cbas．

（7）△＝rs．

9．直角三角形中各元素间的关系：

如图，在△ABC中，C＝90，AB＝c，AC＝b，BC＝a．

（1）三边之间的关系：a2＋b2＝c2．（勾股定理）

（2）锐角之间的关系：A＋B＝90；

（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）

sinA＝cosB＝

c

a

，cosA＝sinB＝

c

b

，

tgA＝ctgB＝

b

a

，ctgA＝tgB＝

a

b

．

10．斜三角形中各元素间的关系:

如图6-29，在△ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分别表示A、B、C的对边．

（1）三角形内角和：A＋B＋C＝．

（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.

R

C

c

B

b

A

a

2

sinsinsin



（R为外接圆半径）

（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方

的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．

a2＝b2＋c2－2bccosA，

b2＝c2＋a2－2cacosB，

c2＝a2＋b2－2abcosC．

11．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内

角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的

问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括中药可以加糖吗 三角形的高、中线、角平分线以及

内切圆半径、外接圆半径、面积等等．解三角形的问题一般可分为下面两种情形：若给出的

三角形是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角形是斜三角形，则称为解斜三角

形．

解斜三角形的主要依据是：

设△ABC的三边为a、b、c，对应的三个角为A、B、C．

（1）角与角关系：A+B+C=，

（2）边与边关系：a+b>c，b+c>a，c+a>b，a－bb．

（3）边与角关系：

正弦定理R

C

c

B

b

A

a

2

sinsinsin

（R为外接圆半径）．

余弦定理c2=a2+b2－2bccosC，b2=a2+c2－2accosB，a2=b2+c2－2bccosA．

它们的变形形式有：a=2RsinA，

b

a

B

A



sin

sin

，

bc

acb

A

2

cos

222

．

（4）面积公式：

AbcBacCabchbhahS

cba

sin

2

1

sin

2

1

sin

2

1

2

1

2

1

2

1





．

解斜三角形的常规思维方法是：

（1）已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C=求C，由正弦定理求a、b．

（2）已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较

短边所对的角，然后利用A+B+C=，求另一角．

（3）已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C=

求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．

（4）已知三边a、b、c，应余弦定理求A、B，再由A+B+C=，求角C．

（二）三角函数性质的分析

1．三角函数的定义域

这两种表示法都需要掌握．即角x不能取终边在y轴上的角．

函数y=cotx的定义域是x≠或(k，k+)(k∈Z)，这两种表示法都需要掌握．即

角x不能取终边在x轴上的角．

(2)函数y=cx、y=cscx的定义域分别与y=tanx、y=cotx相同．

2．三角函数的值域

(1)由|sinx|≤1、|cosx|≤1得函数y=cscx、y=cx的值域是|cscx|≥1、|cx|≥1．

(2)复合三角函数的值域问题较复杂，除了代数求值域的方法都可以适用外，还要注意

三角函数本身的特点，特别是经常需要先进行三角变换再求值域．

常用的一些函数的值域要熟记．

③y=tanx+cotx∈(-∞，-2]∪[2，+∞)．

3．三角函数的周期性

(1)对周期函数的定义，要抓住两个要点：

①周期性是函数的整体性质，因此f(x+T)=f(x)必须对定义域中任一个x成立时，非零

常数T才是f(x)的周期．

②周期是使函数值重复出现的自变量x的增加值．

因为sin(2k+x)=sinx对定义域中任一个x成立，所以2k(k∈Z，k≠0)是y=sinx的

周期，最小正周期是2．

同理2k(k∈Z，k≠0)是y=cosx的周期，最小正周期是2．

因为tan(k+x)=tanx对定义域中任一个x成立，所以k(k∈Z，k≠0)是y=tanx的周

期，最小正周期是．

同理k(k∈Z，k≠0)是y=cotx的周期，最小正周期是．

(3)三角函数的周期性在三角函数性质中的作用

①函数的递增或递减区间周期性的出现，每一个三角函数，都有无数个递增或递减区

间，这些递增区间互不连接，递减区间也互不连接．

②函数的最大、最小值点或使函数无意义的点周期性变化．

③因为三角函数是周期函数，所以画三角函数图象时，只须画一个周期的图象即可．

4．三角函数的奇偶性，单调性

研究函数的单调性，关键是求函数的单调区间．

5．三角函数的图象

(1)画三角函数的图象应先求函数的周期，然后用五点法画出函数一个周期的图象．

(2)函数y=sinx，y=cosx，y=tanx，y=cotx图象的对称中心分别为

∈Z)的直线．

五、思想方法及技巧

1.三角函数恒等变形的基本策略。

（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos2+sin2=tanxcotx=tan45等。

（2）项的分拆与角的西红柿豆腐汤 配凑。如分拆项：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；

配凑角：=（+）－，=

2



－

2



等。

（3）降次与升次。（4）化弦（切）法。

（4）引入辅助角。asin+bcos=22basin(+)，这里辅助角所在象限由a、b

的符号确定，角的值由tan=

a

b

确定。

2.证明三角等式的思路和方法。

（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。

（2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。

3.解答三角高考题的策略。

（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。

（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。

（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。

六、经典例题

例1、（08全国高考题）在ABC△中，

5

cos

13

B，

4

cos

5

C．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）设ABC△的面积

33

2ABC

S

△

，求的长．

解：（Ⅰ）由

5

cos

13

B，得

12

sin

13

B，

由

4

cos

5

C，得

3

sin

5

C．

所以

33

sinsin()sincoscossin

65

ABCBCBC．（Ⅱ）由

33

2ABC

S

△

得

133

sin

22

ABACA，

由（Ⅰ）知

33

sin

65

A，

故65ABAC，

又

sin20

sin13

ABB

ACAB

C



，

故2

20

65

13

AB，

13

2

AB．

所以

sin11

sin2

ABA

BC

C



．

例2、（08山东高考题）已知函数f(x)＝

)0,0)(cos()sin(3xx

为

偶函数，且函数y＝f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为.

2

（Ⅰ）求f（

8

）的值；

（Ⅱ）将函数y＝f(x)的图象向右平移

6

个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标舒畅长

到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间.

解：（Ⅰ）f(x)＝

)cos()sin(3xx

＝











)cos(

2

1

)sin(

2

3

2xx

＝2sin(x-

6

)

因为f(x)为偶函数，

所以对x∈R,f(-x)=f(x)恒成立，

因此sin（-x-

6

）＝sin(x-

6

).

即-sincos(-

6

)+cossin(-

6

)=sincos(-

6

)+cossin(-

6

),

整理得sincos(-

6

)=0.因为＞0，且x∈R,所以cos（-

6

）＝0.

又因为0＜＜，故-

6

＝

2

.所以f(x)＝2sin(+

2

)=2cos.

由题意得

.2,

2

2

2

＝ 所以 









故f(x)=2cos2x.

因为.2

4

cos2)

8

(



f

（Ⅱ）将f(x)的图象向右平移个

6



个单位后，得到)

6

(



xf的图象，再将所得图象横坐标

伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到)

64

(



f的图象.

).

32

(cos2)

64

(2cos2)

64

()(

















ffxg所以

当2k≤

32



≤2k+(k∈Z),

即4k＋≤

3

2

≤x≤4k+

3

8

(k∈Z)时，g(x)单调递减.

因此g(x)的单调递减区间为















3

8

4,

3

2

4







kk(k∈Z)

例3、（08广东高考题）已知函数()sin()(0,0),fxAxaxR的最大值

是1，其图像经过点

1

(,)

32

M



。

（1）求的解析式；

（2）已知,(0,)

2



，且

312

(),(),

513

ff求()f的值。

解：（1）依题意知A=1

2

1

)

3

sin()

3

(f







，又

3

4

33











；

∴

6

5

3







即

2





因此xcos)

2

xsin()x(f



；

（2）∵

13

12

cos)(，f

5

3

cos)(f

且)

2

,0(,





∴

13

5

sin,

5

4

sin

65

56

13

5

5

4

13

12

5

3

sinsincoscos)cos()(f

例4、设)0(cossin)(xbxaxf的周期T，最大值4)

12

(



f，

（1）求、、的值；

（2）的值终边不共线，求、、的两根，为方程、、若)tan(0)(xf.

解：(1))xsin(ba)x(f22，T，2，又)x(f的最大值

4)

12

(f



，22ba4①，且

12

2

cosb

12

2

sina4







②，

由①、②解出a=2,b=3.

(2))

3

x2sin(4x2cos32x2sin2)x(f



，0)(f)(f，

)

3

2sin(4)

3

2sin(4







，

3

2k2

3

2







，或)

3

2(k2

3

2







，

即k(、共线，故舍去)，或

6

k



，

3

3

)

6

ktan()tan(





)Zk(.

说明：方程组的思想是解题时常用的基本思想方法；在解题时不要忘记三角函数的周期性。

例5、（08湖南高考题）在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒

水域.。点E正北55海里处有一个雷达观测站A。.某时刻测得一艘匀速直

线行驶的船只位于点A北偏东且与点A相距40海里的位置B，经过40

分钟又测得该船已行驶到点A北偏东+(其中sin=

26

26

，090)且

与点A相距10海里的位置C.

（I）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;

（II）若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.

解（I）如图，AB=40，AC=10，

26

,sin.

26

BAC

由于<<，所以cos=2

26526

1().

2626



由余弦定理得BC=AC••

所以船的行驶速度为

105

155

2

3

（海里/小时）.

（II）解法一如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，设点B、C的坐标分别是

B（x

1

，y

1

）,C（x

2

，y

2

），BC与x轴的交点为D.

由题设有，x

1

=y

1

=

2

2

AB=40，

2

cos1013cos(45)30xACCAD,

2

sin1013sin(45)20yACCAD

所以过点B、C的直线l的斜率k=

20

2

10

,

直线l的方程为y=2x－40.

又点E（0，－55）到直线l的距离d=

|05540|

357.

14







所以船会进入警戒水历史诗词 域.

解法二如图所示，设直线AE与BC的延长线相交于点Q.在△

ABC中，由余弦定理得，

222

cos

2

ABBCAC

ABC

ABBC





•

==

2224021051013

2402105





=

310

10

.

从而2

910

sin1cos1.

1010

ABCABC

在△ABQ中，由正弦定理得，

AQ=

10

402

sin

10

40.

sin(45)

2210

210

ABABC

ABC











由于AE=55>40=AQ，所以点Q位于点A和点E之间，且QE=AE－AQ=15.

过点E作EPBC于点P，则EP为点E到直线BC的距离.

在Rt△中，

PE=QEsinsinsin(45)PQEQEAQCQEABC••

=

5

15357.

5



所以船会进入警戒水域.

例6、（09潍坊模拟）如图，A、B是一矩OEFG边界上不同的两点，

且∠AOB=45,OE=1,EF=，设∠AOE=.

（1）写出△AOB的面积关于的函数关系式f();

（2）写出函数f(x)的取值范围。

解：（1）∵OE=1，EF=

∴∠EOF=60

当∈[0，15]时，△AOB的两顶点A、B在E、F上，且AE=tan,BE=tan(45+)

∴f()=S△AOB

=

2

1

[tan(45+)－tan]

=

)45cos(cos2

45sin







=

2)452cos(2

2



当a∈（15,45]时，A点在EF上，B点在FG上，且OA=

cos

1

，OB=

)45cos(

3



∴=S△AOB

=

2

1

OAOBsin45=

cos2

1

)45cos(

3



sin45=

2)2

4

cos(2

6





综上得：f()=



























]

4

,

12

(

2)

4

2cos(2

6

]

12

,0[

2)

4

2cos(2

2













（2）由（1）得：当∈[0，

12



]时

f()=

2)

4

2cos(2

2





∈[

2

1

,－1]

且当=0时，f()

min

=

2

1

；=

12



时，f()

max

=－1；

当∈]

4

,

12

(



时,－

12



≤2－

4



≤

4



，f（）=

2)

4

2cos(2

6





∈[－,

2

3

]

且当=

8



时，f()

min

=－；当=

4



时，f()

max

=

2

3

所以f(x)∈[

2

1

,

2

3

]。

说明：三角函数与其他数学知识有着紧密的关系，它几乎渗透了数学的每一个分支。练习时

注意三角函数的综合应用。

例7、已知函数

)(1cossin

2

3

cos

2

1

2Rxxxxy

（1）求函数y的最大值，并求此时x的值.

（2）该函数的图象可由)(sinRxxy的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？

解：（1）

4

5

)

6

2sin(

2

1

1cossin

2

3

cos

2

1

2



xxxxy，

4

7

max,,

6

yZkkx男生个性签名 时当



；

（2）将函数xysin的图象依次进行如下变换：

①把函数xysin的图象向左平移

6



，得到函数)

6

sin(



xy的图象；

②把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的

2

1

倍（纵坐标不变），得到函数

)

6

2sin(



xy的图象；

③把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的

2

1

倍（横坐标不变），得到函数

)

6

2sin(

2

1

xy的图象；

④把得到的图象向上平移

4

5

个单位长度，得到函数)

6

2sin(

2

1

xy+

4

5

的图象；

综上得函数1cossin

2

3

cos

2

1

2xxxy的图象.

说明：图象变换是否熟练、准确是解决三角函数问题的关键，要求学生要熟练掌握。

例8、已知函数y=

2

1

cos2x+

2

3

sinxcosx+1（x∈R）,

（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；

（2）该函数的图像可由y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？

解：（1）y=

2

1

cos2x+

2

3

sinxcosx+1=

4

1

(2cos2x－1)+

4

1

+

4

3

（2sinxcosx）+1

=

4

1

cos2x+

4

3

sin2x+

4

5

=

2

1

(cos2xsin

6



+sin2xcos

6



)+

4

5

=

2

1

sin(2x+

6



)+

4

5

所以y取最大值时，只需2x+

6



=

2



+2k,（k∈Z），即x=

6



+k,（k∈Z）。

所以当函数y取最大值时，自变量x的集合为{x|x=

6



+k,k∈Z}

（2）将函数y=sinx依次进行如下变换：

（i）把函数y=sinx的图像向左平移

6



，得到函数y=sin(x+

6



)的图像；

（ii）把得到的图像上晚安的情话 各点横坐标缩短到原来的

2

1

倍（纵坐标不变），得到函数

y=sin(2x+

6



)的图像；

（iii）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的

2

1

倍（横坐标不变），得到函数

y=

2

1

sin(2x+

6



)的图像；

（iv）把得到的图像向上平移

4

5

个单位长度，得到函数y=

2

1

sin(2x+

6



)+

4

5

的图像。

综上得到y=

2

1

cos2x+

2

3

sinxcosx+1的图像。

说明：本题属中档偏容易题，主要考查三角函数的图像和性质。这鲅鱼怎么做好吃 类题一般有两种解法：一

是化成关于sinx,cosx的齐次式，降幂后最终化成y=22basin(x+)+k的形式，二是化

成某一个三角函数的二次三项式。本题（1）还可以解法如下：当cosx=0时，y=1；当cosx

≠0时，y=

xx

xxx

22

2

cossin

cossin

2

3

cos

2

1





+1=

x

x

2tan1

tan

2

3

2

1





+1

化简得：2(y－1)tan2x－tanx+2y－3=0

∵tanx∈R，∴△=3－8(y－1)(2y－3)≥0,解之得：

4

3

≤y≤

4

7

∴y

max

=

4

7

，此时对应自变量x的值集为{x|x=k+

6



,k∈Z}

例9、已知函数.

3

cos3

3

cos

3

sin)(2

xxx

xf

（Ⅰ）将f(x)写成)sin(xA的形式，并求其图象对称中心的横坐标；

（Ⅱ）如果△ABC的三边a、b、c满足b2=ac，且边b所对的角为x，试求x的范围及此

时函数f(x)的值域.

2

3

)

33

2

sin(

2

3

3

2

cos

2

3

3

2

sin

2

1

)

3

2

cos1(

2

3

3

2

sin

2

1

)(

xxxxx

xf

由)

33

2

sin(





x

=0即zk

k

xzkk

x









2

13

)(

33

2

得

即对称中心的横坐标为zk

k





，

2

13

（Ⅱ）由已知b2=ac

，，，

，，

，

2

3

1)

33

2

sin(31)

33

2

sin(

3

sin|

29

5

||

23

|

9

5

33

2

33

01cos

2

1

2

1

2

2

22

cos

22222























xx

x

xx

ac

acac

ac

acca

ac

bca

x



即的值域为]

2

3

1,3(.

综上所述，]

3

,0(



x，值域为]

2

3

1,3(.

说明：本题综合运用了三角函数、余弦定理、基本不等式等知识，还需要利用数形结合的思

想来解决函数值域的问题，有利于培养学生的运算能力，对知识进行整合的能力。

例10、设二次函数

),()(2Rcbcbxxxf，已知不论为何实数恒有

0)cos2(,0)(sinff.

（1）求证：1cb；

（2）求证：；

（3）若函数)(sinf的最大值为8，求的值.

(1)]1,1[sin，]3,1[cos2，0)(sinf又，0)cos2(f恒

成立.0)1(f，0)1(f，即0)1(f恒成立.

0cb1，即1cb.

（2）0)3(f，0cb39，0c)c1(39，3c.

（3）由题意可知：上为减函数，在]11[)x(f，

cb1)1(f8①，1cb②，

由①，②可得b=,c=3.

说明：赋值法在解决有关恒成立问题时经常用到，利用函数的单调性往往能使问题得以顺利

解决。

例11、平面直角坐标系有点]

4

,

4

[),1,(cos),cos,1(



xxQxP

（1）求向量和的夹角的余弦用表示的函数；

（2）求的最值.

解：（1）

cosOQOPOQOP

，

x

x

xxx

2

2

cos1

cos2

cos

cos)cos1(coscos











即

x

x

xf

2cos1

cos2

)(



)

44

(



x

（2）

x

x

cos

1

cos

2

cos



，又]

2

23

,2[

cos

1

cos

x

x，

]1,

3

22

[cos，0

min

，

3

22

arccos

max

.

说明：三角函数与向量之间的联系很紧密，解题时要时刻注意。

七、强化训练

1．（08江苏）已知x(

2



,0),cosx=

5

4

,则tan2x=

A.

24

7

B.

24

7

C.

7

24

D.

7

24



2．（08湖南）函数f(x)=sin2x+3sincosxx在区间,

42









上的最大值是

B.

13

2



C.

3

2

+

3．（08全国）若动直线与函数()sinfxx和()cosgxx的图像分别交于MN，两点，

则的最大值为（）

A．1B．C．D．2

4、（08宁夏）已知函数y=2sin(x+)(>0)在区间[0，2]的图像如下：

那么=（）

A.1B.2C.1/2D.1/3

5、（08山东）已知cos（-

6

）+sin=的值是则)

6

7

sin(,3

5

4



（A）-

5

32

（B）

5

32

(C)-

5

4

(D)

5

4

、

6、(08天津)把函数sin()yxxR的图象上所有的点向左平行移动

3



个单位长度，再把

所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的

1

2

倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数

是（）

A．sin2

3

yxx











R，B．sin

26

x

yx











R，

C．sin2

3

yxx











R，D．sin2

3

yxx











R，

7、（08湖北）将函数sin()yx的图象F向右平移

3



个单位长度得到图象F′，若F′

的一条对称轴是直线,

1

x



则的一个可能取值是

A.

5

12

B.

5

12

C.

11

12

D.

11

12



8、下列命题中正确的是（）

=tanx是增函数=sinx在第一象限是增函数

=

2



－arccosx是奇函数=sinx的反函数是y=arcsinx

9、函数y=sin(2x+

3



)的图象是由函数y=sin2x的图像（）

A.向左平移

3



单位B.向右平移

6



单位

C.向左平移

6

5

单位D.吴会清 向右平移

6

5

单位

10、要得到函数













4

2cos3



xy的图象，可以将函数y=3sin2x的图象()

A.沿x轴向左平移

8



单位B.沿x轴向右平移

8



单位

C.沿x轴向左平移

4



单位D.沿x轴向右平移

4



单位

11、图04是函数y=2sin(x＋)（0

2





，）的图象．则、的值是（）

A．

11

10

，

6



B．

11

10

，

6





C．2，

6



D．2，

6





12、（08湖北）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知3,3,30,abc

则A＝.

13、

5

1

cossinxx，













2

3

6



，x，求tanx的值．

14、（1）已知sin(

4



+)sin(

4



－)=

6

1

,∈(

2



,)，求sin4；

（2）已知cos(x+

4



)=

5

3

,

4

5

4

7

，求

x

xx

tan1

sin22sin2





的值。

15、某观测站C在城A的南20西的方向上，由A城出发有一条公路，走向是南40东，在

C处测得距C为31千米的公路上B处有一人正沿公路向A城走去，走了20千米后，到

达D处，此时C、D间距离为21千米，问这人还需走多少千米到达A城？

16、△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c顺序成等差数列，

且∠A-∠C=120，求sinA，sinC．

17、如图03，三棱锥P-ABC的底面ABC为等腰三角形，AB=AC=a，侧棱长均为2a，问

BC为何值时，三棱锥P-ABC的体积V最大，最大值是多少？

18、已知⊙O的半径为R，，在它的内接三角形ABC中，有BbaCARsin2sinsin222

成立，求△ABC面积S的最大值．

八、参考答案

1.D2.C3.B4.B7、A

8、y=tanx在每一个定义区间上都是增函数，但在其定义域内并不是增函数；y=sinx在第一

象限的每个区间上都是增函数，但在第一象限上并不是增函数；y=arcsinx只是y=sinx，x

∈[－

2



,

2



]的反函数；令f(x)=

2



－arccosx,则f(－x)=

2



－arccos(－x)=arccosx－

2



=

－f(x)所以y=

2



－arccosx是奇函数。故答案选C。

9、y=sin2x图像向左平移

3



单位后得:y=sin2(x+

3



)=sin(2x+

3

2

);y=sin2x图像，向右平移

`6



单位后得y=sin2(x－

`6



)=sin(2x－

`3



);y=sin2x图象向左平移

`6

5

单位后得：

y=sin2(x+

`6

5

)=sin(2x+

3

5

)=sin(2x－

3



);y=sin2x图像向右平移

`6

5

单位后得：y=sin2(x

－

`6

5

)=sin(2x－

3

5

)=sin(2x+

3



)，故答案选D。

10、分析：我们知道，当a＞0时，把函数y=f(x)的图象沿x轴向右移a个单位，便得到函

数y=f(x－a)的图象，把函数f(x)的图象沿x轴向左平移a个单位，便得到函数

y=f(x＋a)的图象．本题中













4

2cos3



xy与y=3sin2x的对应法则不同，应当把它

们变为“y=f(x)与y=f(x＋a)”的形式后，再讨论平移关系．因为我们关心的是对函数

y=3sin2x的图象平移，所以要把













4

2cos3



xy变形，变到y=3sin(2x＋)的形式．

由正弦曲线和余弦曲线的关系，不难看出，把余弦曲线沿x轴向右平移

2



，就得到正

弦曲线，即是xxsin

2

cos

















（这与诱导公式的结论是一致的）．利用这个关系，可以

得到：











































24

2cos3

4

2cos3



xx















4

2sin3



x．

问题成为：把函数y=3sin2x的图象沿x轴进行怎样的平移，可以得到函数















4

2sin3



xy的图象？

如果y=3sin2x=f(x)，那么













4

2sin3



xy



























8

2sin3



x















8



xf．可

见，把函数y=3sin2x的图象向左移

8



个单位后，可得到函数













4

2sin3



xy的图象，

即得到函数













4

2cos3



xy的图象．因此选A．

说明：这个题目有两点值得注意：一是函数y=f(x)的图象与函数y=f(x＋a)的图象的

平移关系（平移方向，平移量）；二是对法则“f”的理解．只有把两个函数整理成f(x)与

f(x＋a)的形式后，才可讨论它们沿x轴的平移问题．例如“把函数y=－tanx的图象沿x

轴进行怎样的平移，就可得到函数











xy

3

tan



的图象”的问题．就应该考虑y=－tanx

与













3

tan



xy这两个函数．它们是y=f(x)与













3



xfy的关系．可见，只要把

函数y=－tanx的图象沿x轴右移

3



个单位，就能得到函数











xy

3

tan



的图象．

11、分析：图04给我们提供的“信息”是：

（1）点(0，1)、











0

12

11

，在图象上；

（2）函数的最小正周期

12

11

ABT．

可见：







































.

12

112

0

12

11

sin2

1sin2













，

，

∵

2



，由2sin=1得

6



，

由0

12

211

sin

612

11

sin

































，得Z



kk



12

211

∴，

11

212



k

私人财产 Zk．

由

12

112





，得

11

24

．

满足

11

24

0时，k=1或k=2．由此得到

11

10

1

，2

2

．分析到这里，只否

定了B、D．为选出正确答案，关键在于确定

11

10

及2

2

中哪个符合题意．为此，还

要仔细地从图04中“挖掘”出有用的“信息”．

注意到

12

11

2



BC

T

，即

12

11





，因此

11

12

．这样就排除了

11

10

．

根据以上分析知，应选C．

说明：因为函数y=Asin(x＋)是周期函数，所以仅靠图像上的三个点，不能完全确

定A、、的值．本题虽然给出了＞0，

2



的条件，但是仅靠(0，1)、











0

12

11

，，

两点，能完全确定、的值．在确定的过程中，比较隐蔽的条件T

T



12

11

2



（



2

T）

起了重要作用．

12、30（或

6



）

13、分析与解：













2

3

6



，x

跨越了四个象限，如果角x真能落在各象限内，那么tanx

值的符号就有正有负．为便于求出tanx的值，不妨先“审查”一下角x的实际范围．

根据正弦曲线和余弦曲线；当

2

3

x时，sinx＜0，cosx＜0，与

5

1

cossinxx

矛盾．可见，角x的终边不在第三象限．

当角x在第一象限时，sinx＞0，cosx＞0，这时有

1cossin21cossincossin2xxxxxx，又与

5

1

cossinxx矛盾．可

见角x的终边不会位于











2

0



，．

如果0

6

x



．由余弦曲线知：

1cos

2

3

x，

由正弦曲线知：0sin

2

1

x，

这时

1cossin

2

13

5

1





xx，

可见













0

6

，



x．

如果



x

4

3

，由正弦曲线及余弦曲线知

2

2

sin0x，

2

2

cos1x，

这时

5

1

0cossinxx，可见

















，

4

3

x．

根据以上分析可以看出：满足

5

1

cossinxx的角













4

3

2



，x，根据正切曲线知

tanx＜－1．

由

5

1

cossinxx，等式两端平方得：

25

1

cossin2cossin22xxxx

即：

25

1

1tan2tancos22xxx，

25

1

tan1

1tan2tan

2

2







x

xx

，

整理得：12tan2x＋25tanx＋12=0．

解之得：

4

3

tanx或

3

4

tanx．

注意到tanx＜－1

∴

3

4

tanx．

说明：有些三角函数的题目，为了考查学生对“某区间上任意值”与“某区间上特殊

值”的区分能力，常把已知条件中的区间给“大”．这时往往先要进行“缩小”区间的工

作．

14、解（1）∵+

4



+

4



－=

2



∴sin(

4



－)=cos(

4



+)

∴sin(

4



+)sin(

4



－)=sin(

4



+)cos(

4



+)

=

2

1

sin(

2



+2)=

2

1

cos2=

6

1

又∵<2<2,cos2=

3

1

,∴sin2=－

3

22

∴sin4=2sin2cos2=－

9

24

本题也可以这样解：

sin(

4



+)sin(

4



－)=（

2

2

sin+

2

2

cos）(

2

2

cos－

2

2

sin)=

2

1

cos2

－

2

1

sin2=

2

1

cos2=

6

1

也可以用积化和差公式：

sin(

4



+)sin(

4



－)=

2

1

(cos2－cos

2



)=

2

1

cos2=

6

1

（2）法一:由x+

4



∈(

2

3

,2)知sin(x+

4



)=－

5

4

∴cosx=cos(x+

4



－

4



)=cos(x+

4



)cos

4



+sin(x+

4



)sin

4



=

10

3

－

10

4

=－

10

2

由cosx<0可知，

4

5

2

3

，于是

sinx=－

10

7

,tan=7

∴原式=

71

)2

10

7

(2)2

10

7

()

10

2

(22





=－

75

28

法二：原式=

xx

xxx

sincos

)sin(coscossin2





=

)

4

cos(2

)

4

sin(22sin









x

xx

=－cos(2x+

2



)tan(x+

4



)

=[1－2cos2(x+

4



)]tan(x+

4



)

而cos(x+

4



)=

5

3

,tan(x+

4



)=－

3

4

，代入得：原式=－

75

28

注三角函数求值，重视与角的关系，如

4



+x与

4



－x互余（广义）,2=++－等。

15、解：根据题意得图02，

其中BC=31千米，BD=20千米，CD=21千米，

∠CAB=60．

设∠ACD=，∠CDB=．

在△CDB中，由余弦定理得：

7

1

20212

312021

2

cos

222222















BDCD

BCBDCD

，

7

34

cos1sin2．

CDACAD180sinsin

18060180sin



14

35

2

3

7

1

2

1

7

34

60sincos60cossin60sin．

在△ACD中，由正弦定理得：

15

14

35

2

3

21

14

35

60sin

21

sin

sin







A

CD

AD

．

此人还得走15千米到达A城．

说明：运用解三角形的知识解决实际问题时，关键是把题设条件转化为三角形中的已知元素，

然后解三角形求之．

16、解：因为2b=a+c，由正弦定理得

17、分析：因为三棱锥的三条侧棱长均相等，因此顶点P在底面上的射影O是△ABC的外

心，从而想到用正弦定理，再利用三角函数来求最值．

解：作PO⊥底面ABC，垂足为O．

由PA=PB=PC=2a，知O为△ABC的外心．

∵AB=AC=a，

∴O落在底面ABC的高AD上．

设∠ABC=，连结BO，

则BO为△ABC外接圆的半径．

记BO=R，由正弦定理，有

sin2

a

R，





2

2

22

sin

1sin16

2

1

aBOPBPO

∵BD=acos，AD=asin

cossin

2

1

2aADBCS

ABC





．







2

2

2

sin

1sin16

2

1

cossin

3

1

aaV

223sin11sin16

6

1

a

64

225

32

17

sin16

6

12

23













a

∴当

32

17

sin2时，3

max16

5

aV．

此时，aaaBDBC

4

3

sin12cos222．

在研究利用三角公式解决一些有关三角形中的三角函数问题时．常用的公式有：

（1）在△ABC中，A+B+C=，

222

CBA





，CBAsinsin，

CBAcoscos，

2

cos

2

sin

CBA





，

2

cot

2

tan

CBA





．

（2）正余弦定理及其变式：

如a=2RsinA，b2+c2－a2=2bccosA．

射影定理：a=bcosC+ccosB．

（3）三角形面积公式：



R

abc

rPcPbPaPPS

4





（其中)(

2

1

cbaP，r为三角形内切圆

半径）．

18、解：由已知条件得

baBRBAR2sin2sinsin222

2．

即有2222babca，

又

2

2

2

cos

222







ab

cba

C

∴

4



c．∴BARabCabSsinsin4

4

2

4

2

sin

2

1

2

BABARcoscos

2

2

2

















BARcos

2

2

2

2

2．

所以当A=B时，2

max2

12

RS



．

说明：三角形中的三角变换，应灵活运用正、余弦定理．在求值时，要利用三角函数的

有关性质．