十字相乘法分解因式

经典十字相乘法分解因式整理

因式分解的一点补充-—十字相乘法

一、学习目标1．使学生掌握运用十字相乘法把某些形如ax2+bx+c的二次三项式因式分

解；

2．进一步培养学生的观察力和思维的敏捷性.

二、学习重点：正确地运用十字相乘法把某些二次项系数不是1的二次三项式因式分解。

三、学习难点：灵活运用十字相乘法因分解式.

四、自主学习:

（一）导入新课

关于x2+（p+q）x+pq这类二次三项式的因式分解，这类式子的特点是x2+入工会申请书

（p+q)x+pq=(x+p)(x+q).

课前练习：下列各式因式分解

1．—x2+2x+152．(x+y）2—8（x+y）+123．x4—7x2+18

4．x2-5xy+6y2

对于二次项系数不是1的二次三项式如何因式分解呢？这节课就来讨论这个问题,即把

某些形如ax2+bx+c的二次三项式因式分解。

（二）、探究：

例1把2x2—7x+小农经济的特点 3因式分解。

分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项,

分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和,使其等于一次项系数。

分解二次项系数（只取正因数）：2=12=21;

分解常数项:3=13=31=（-3）（—1）=(-1）（-3）.

用画十字交叉线方法表示下列四种情况：

11131—11-3

23212-32—1

13+2111+231（—3)爱的表达 +2（-1）1（—1）+2

（-3）

=5=7=-5=—7

经过观察，第四种情况是正确有.这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系

数—7.

解2x2—7x+3=（x-3）（2x—1）。

归纳:一般地，对于二次三项式ax2+bx+c(a≠0），如果二次项系数a可以分解成两个

因数之积，即a=a1a2，常数项大蒜的生长过程 c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2,把a1，a2，c1，c2排

列如下：

a1c1

a2c2

a1c2+a2c1

按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项

系数b,即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即

ax2+bx+c=（a1x+c1)（a2x+c2）.

像这种借助开十字交叉线分解系数,从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫

做十字相乘法。

例2把6x2-7x-5分解因式。

例3把5x2+6xy-8y2分解因式。

例4把(x—y）（2x—2y—3)—2分解因式。

（三）、课堂练习

1．用十字相乘法因式分解：

(1）2x2—5x—12；（2)3x2-5x—2；（3）

6破俗小说 x2—13x+5;

（4）7x2—19x-6；（5）12x2—13x+3;

（6)4x2+24x+27。

2．把下列各式因式分解:

（1）6x2—13x+6y2；（2）8x2y2+6xy-35；

（3）18x2—21xy+5y2;(4)2（a+b）2+（a+b）（a-b）—6(a—b）

2。

（四)、小结

1．用十字相乘法把某些形如ax2+bx+c的二次三项式分解因式时，应注意以下问题：

（1）正确的十字相乘必须满足以下条件:

a1c1

在式子中，竖向的两个数必须满足关系a1a2=a，c1c2=c;在上式中，斜

a2c2

经典十字相乘法分解因式整理

向的两个数必须满足关系a1c2+a2c1=b，分解思路为“看两端，凑中间。"

(2）由十字相乘的图中的四个数写出分解后的两个一次因式时，图的上一行两个数中，

a1是第一个因式中的一次项系数，c1是常数项；在下一行的两个数中，a2是第

二个因式中的一次项的系数，c2是常数项。

（3）二次项系数a一般都把它看作是正数(如果是负数，则应提出负号,利用恒等变形

把它转化为正数）,只需把经分解在两个正的因数。

2．形如x2+px+q的某些二次三项式也可以用十字相乘法分解因式.

3．凡是可用代换的方法转化为二次三项式ax2+bx+c的多项式，有些也可以用十字相乘

法分解因式，如例4。

（五）、作业

1．用十字相乘法分解因式：

（1）2x2+3x+1；（2）2y2+y-6;（3)6x2—13x+6；(4)3a2—7a-6;

(5)6x2—11xy+3y2；（6)4m2一年级上册生字表组词 +8mn+3n2;

(7）10x2-21xy+2y2；(8)8m2—22mn+15n2。

2．把下列各式分解因式：

（1）4n2+4n—15；（2)6a2+a—35；（3）5x2-8x—13；

(4）4x2+15x+9;（5)15x2+x-2;(6)6y2+19y+10；

（7）20-9y-20y2；（8)7（x-1）2+4孕妇吃辣的食物对胎儿有什么影响 (x—1）（y+2)-20(y+2）2.

十字相乘法因式分解练习题

1、232xx2、672xx

3、2142xx4、1522xx

5、8624xx6、3)(4)(2baba

7、2223yxyx8、234283xxx

9、342xx10、1072aa

11、1272yy12、862qq

13、202xx14、1872mm

15、3652pp16、822tt

17、2024xx18、8722axxa

19、22149baba20、221811yxyx

21、222265xyxyx22、aaa12423

23、101132xx24、3722xx

25、5762xx26、22865yxyx

27、71522xx28、4832aa

29、6752xx30、1023522abba

31、222210173yxabxyba

32、22224954yyxyx

33、15442nn34、3562ll

35、2222110yxyx36、2215228nmnm

经典十字相乘法分解因式整理

37、6)25)(35(22xxxx

38、24)4)(3)(2)(1(xxxx

答案：1、)2)(1(xx2、)6)(1(xx3、)7)(3(xx4、)5)(3(xx

5、)2)(4(22xx6、)3)(1(baba7、)2)((yxyx

8、)7)(4(2xxx9、)3)(1(xx10、)5)(2(atime的音标 a11、)4)(3(yy

12、)4)(2(qq13、)5)(4(xx14、)9)(2(mm15、)9)(4(pp

16、)4)精卫填海神话故事 (2(tt17、)5)(4(22xx18、)8)(1(axax19、)7)(2(baba

20、)9)(2(yxyx21、)6)(1(2yyx22、)6)(2(aaa

23、)53)(2(xx24、)12)(3(xx25、)53)(12(xx

26、)45)(2(yxyx27、)7)(12(xx28、)23)(2(aa

29、)35)(2(xx30、)5)(25(abab31、)5)(23(xyabxyab

32、)32)(32)(1(22xxxy33、)52)(32(nmnm34、)73)(52(幼儿园家长会通知 ll

35、

)2)(10(yxyx

36、

)54)(32(nmnm

37、)35)(4)(1(2xxxx38、)8)(2)(3(2xxxx