向时

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第4课时向量的数量积

【学习目标】

1.通过物理中“功”等实例，理解平而向量数疑积的含义及其物理、几何意义；

2.体会平而向量的数量积与向疑投影的关系：

3.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平而向量垂直

4.掌握数疑积的运算性质，了解用平而向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的

问题：

【预学评价】

1•已知”|=4,冏=6,,a与〃的夹角为150,则ab=___________.

-12^3

2.判断下列各题正确与否：

①若ab=O,则“=0或b=O;(X)

②若a-b=Q,则叶问=0;(X)

③若“=0,则对任一向量以有ab=Ot(J)

④若“丄则“•〃=();(J)

⑤对任意向量a、b、c都有(a-b).c=a-(b-c).(X)

3.__________________________________正三角形磁的边长为2,则丽反=.

-2

4.己知同=5,|列=6海瓜子的做法 ,a〃〃,则ab=_______.；

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平面向量数量积(内积)的定义：已知两个非零向量a与方，它们的夹角是“，则数量|a|

问cos&叫“与”的数量积，记作ab,

即a」二abcos0(O<0<^)并规左0与任何向量的数量积为0.

当a与“同向时,ab=|||Z>|:当“与〃反向时，ab=-|||^|:

“丄b<=>a・b=0$cos&=0:

特别地，aa=a~-”「。

平面向量的数量积的几何意义：“小等于a的长度问与&在“方向上投影|^|co的乘积

【经典范例一】

例1已知向量a,b的夹角为0,|“|=3,0|=4,分別在下列条件下求“丄

(1)o=150:(2)a//b(3)“丄〃

答案(1)a-ft=|a||^|cos^=3x4xcosl50=—6>/3

(2)当a〃方时，则0=0或180

若0二0时，ab=2

若0=180时，ab=-2

(3)当“丄方时，ab=Q

说明两个向量的数量枳由两个向量的模和他们的夹角以及他们的夹角三个要素决定的，因

此准确地求出两向量的情话问答 模和•余弦值是关键。

例2已知三角形ABC中BC=a,G4=Zi,AB=cJfl|=3,|^|=4t|c|=5

求ab+bc+ca的值。

分析AABC为直角三角形，求出两锐角的飘逸的近义词 余弦值，再由向量数量积运算求解。

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解法一由已知条件，可知，故cosA=-,cosB=二,cosC=0.

则a・b+b・c+c・a—|a||ft|(—cosC)■|Z>||c|(—cosA)■”|c(一

cosB)■—25。

解法二在ZXABC中”+〃+c=0

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(+b+c)2=a2+b2+c2+2(a・b+b・c+“・c)

=”「+卩「+|c「+2(ab+bc+a-c)=50+2(ab+bc+a-c)=0

可得“•〃+方・c+c・“=—25o

说明以三角形为背景的问题求解中要准确把握三角形的内角与向量夹角的关系。

【随堂练习一】

1.已知0、〃是两个非零向量，判断下列结论是否正确

①0・“=0；(X)②”•冲=叶问;(X)

③若a2-bi1则“=切；(X)④若“上=匕|卩|则a〃〃.

(4)

2.已知阀二6,|列二4,a,"的夹角为30。

求：⑴ab(2)a2(3)b2

答案：(1)2羽(2)36(3)16

3•己知||=10,问二12,且(3a)-(-Z>)=-36,贝怙与〃的夹角是_________•

答案：120

【经典范例二】

例3已知向量a,方的夹角为120。，且同=4,0|=2,

求(1)(站-加)•(滋+〃)

(2)3a-4b

分析先根据数量积的泄义求岀“小,然后利用运算率及性质求解

解a•b=|t/||Z>|cos^=4x2xcosl20:=—4

(1)(跖一加)・(滋+方)=一8

(2)因为国一彻‘=9/一2滋小+16^=304

所以|3-4^|=4V19

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说明於=叶即问=罰我们经常利用这一关系研究向虽的模.

例4设向量0,b满足|a|=|^|=1,|3-2^|=3求丙+列值解由条件，得阀‘=问

'=1,|3—%『=9,所以9叶+4”_1加"=9,所以”b=L

所以国+〃「=9”「+问’+幺鼻=9+2+1=12

所以|引+冲=2省.

例5x=a—b,y=2a+b,且”|=问=1,“丄〃，求x与y的夹角.解因为“丄

方，所以ab=Q

|x|2=(a-b)'=”「—2a•方+晴=2,闰=血

y[=(加=4”「一滋•〃+”「二5,|j|=>/5

xy=(a—b)'(2a+b)=2||~_"•方「二1

【随堂练习二】

1・已知向量a,〃的夹角为60。，且间=1,b=2,求

(1)(a+b)2(2)(a-b)2(3)(“+〃)•(“一〃)

答案：(1)7(2)3(3)-3

2.已知向量a，〃的夹角为60,且问=4,(站+场)・(“一3〃)=一72,求向量“的模.

答案：|“|=6

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3•已知三角形個:中BC=a,CA=b^AB=c,a=3^|^|=4,c=2求ab+bc+ca的值.

【分层训练】

1.C知向量a，〃的夹角为60”|=问=1,则a(a-b)=__________.

答案：；

2

2.__________________________________________若ab<0,则向量a,b的夹角的取

值范围是____________________________________________•

答案：(訐1

3.平行四边形MG?中BA==bta=b,则丽•农二_______________.

答案：0

4.已知a和b的夹角为60。，冋=10,,卩|=8求：

(1)a+b；(2)a+b与a的夹角&的余弦值答案：(1)a+b=2^6

(2)cosO=m

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5.已知阀二2,b=^2,a与方的夹角为45。，要使Ab-a与“垂直，则2=_

答案：2

6.已知|a|=4,”|=5,=求(1)ab；青海湟鱼 (2)(2a-b)-(a+3b).

答案：(1)-10(2)93

7.已知|a|=4,b=3,(1)若a与b夹角为60,求(“+历)•(“一站);

(2)若(勿一3b)•(加+〃)二61,求a与b的夹角0.

答案：(1)44(2)120

8•若同=|方|=1，与方的夹角120,那么实数2为何值时,a-Ab的值最小，

答案：A=——

答案：-

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T

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2

9.已知非零向量丽与走满足[皿+盛_]•就=0,且逛_.也=4则AABC

(l/WIAC丿ABAC2

的形状为▲•

答案：等边三角形

10.已知平而上三个向量a、b、C的模均为1,它们相互之间的夹角均为120.

(1)求证当(a-b)丄c(2)若|加+方+c|>lGwR),求几的取值范围.

证明(1)(a-b)c=|||c|cosl20-|^||c|cosl20=0

故(“一〃)丄c中国古迹 ・

(2)>1的取值范围为(-8,o)U(2,+8).

【师生互动】

学生质疑老师释问