吉林省长春

2021年吉林省长春市中考数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

1．﹣（﹣2）的值为（）

A．B．﹣C．2D．﹣2

2．据报道，我省今年前4个月货物贸易进出口总值为52860000000元人民币，比去年同期

增长28.2%．日本动漫十大肉片 其中52860000000这个数用科学记数法表示为（）

A．0.52861011B．5.2861010

C．52.86109D．5286107

3．如图是一个几何体的三视图，这个几何体是（）

A．圆锥B．长方体C．球D．圆柱

4．关于x的一元二次方程x2

﹣6x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的值可能是（）

A．8B．9C．10D．11

5．如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图．已知A、B两点间的距离为30米，∠A

＝，则缆车从A点到达B点，上升的高度（BC的长）为（）

A．30sin米B．米C．30cos米D．米

6．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，若∠BAC＝35，则∠ACB的大小为（）

A．35B．45C．55D．65

7．在△ABC中，∠BAC＝90，AB≠AC．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使

△ACD为等腰三角形．下列作法不正确的是（）

A．B．

C．D．

8．如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，过点A作

x轴的垂线，与函数y＝﹣（x＞0）的图象交于点C，连结BC交x轴于点D．若点A

的横坐标为1，BC＝3BD，则点B的横坐标为（）

A．B．2C．D．3

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

9．分解因式：a2+2a＝．

10．不等式组的所有整数解为．

11．将一副三角板按如图所示的方式摆放，点D在边AC上，BC∥EF，则∠ADE的大小为

度．

12．如图是圆弧形状的铁轨示意图，半径OA的长度为200米，圆心角∠AOB＝90，则这

段铁轨的长度为米．（铁轨的宽度忽略不计，结果保留）

13．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形AOB的斜边OA在y轴上，OA＝2，点B

在第一象限．标记点B的位置后，将△AOB沿x轴正方向平移至△A

1

O

1

B

1

的位置，使

A

1

O

1

经过点B，再标记点B

1

的位置，继续平移至△A

2

O

2

B

2

的位置，使A

2

O

2

经过点B

1

，

此时点B

2

的坐标为．

14．如图，在平面直角坐标系中，点A（2，4）在抛物线y＝ax2

上，过点A作y轴的垂线，

交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于

E、F两点．当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为．

三、解答题（本大题共10小题，共78分）

15．（6分）先化简，再求值：（a+2）（a﹣2）+a（1﹣a），其中a＝+4．

16．（6分）在一个不透明的口袋中装有三个小球，分别标记数字1、2、3，每个小球除数字

不同外其余均相同．小明和小亮玩摸球游戏，两人各摸一个球，谁摸到的数字大谁获胜，

摸到相同数字记为平局．小明从口袋中摸出一个小球记下数字后放回并搅匀，小亮再从

口袋中摸出一个小球．用画树状图（或列表）的方法，求小明获胜的概率．

17．（6分）为助力乡村发展，某购物平台推出有机大米促销活动，其中每千克有机大米的

售价仅比普通大米多2元，用420元购买的有机大米与用300元购买的普通大米的重量

相同．求每千克有机大米的售价为多少元？

18．（7分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝4，BD＝8，点E

在边AD上，AE＝AD，连结BE交AC于点M．

（1）求AM的长．

（2）tan∠MBO的值为．

19．（7分）稳定的粮食产量是人民幸福生活的基本保障，为了解粮食产量情况，小明查阅

相关资料得到如下信息：长春市2020年的粮食总产量达到960万吨，比上年增长约9%．其

中玉米产量增长约12%，水稻产量下降约2%，其他农作物产量下降约10%．

根据以上信息回答下列问题：

（1）2020年玉米产量比2019年玉米产量多万吨．

（2）扇形统计图中n的值为．

（3）计算2020年水稻的产量．

（4）小明发现如果这样计算2020年粮食总产量的年增长率：＝0，

就与2020年粮食总产量比上年增长约9%不符，请说明原因．

20．（7分）图①、图②、图③均是44的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个

小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网

格中找一格点M，按下列要求作图：

（1）在图①中，连结MA、MB，使MA＝MB；

（2）在图②中，连结MA、MB、MC，使MA＝MB＝MC；

（3）在图③中，连结MA、MC，使∠AMC＝2∠ABC．

21．（8分）《九章算术》中记载，浮箭漏（图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组

成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速

上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校STEAM小组仿制了一套浮箭漏，并从函数

角度进行了如下实验探究：

【实验观察】实验小组通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，得到如表：

供水时间x（小时）02468

箭尺读数y（厘米）618304254

【探索发现】①建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示供水时间x．纵轴表示箭尺读数

y，描出以表格中数据为坐标的各点．

②观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求

出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由．

【结论应用】应用上述发现的规律估算：

①供水时间达到12小时时，箭尺的读数为多少厘米？

②如果本次实验记录的开始时间是上午8：00，那当箭尺读数为90厘米时是几点钟？（箭

尺最大读数为100厘米）

22．（9分）实践与探究

操作一：如图①，已知正方形纸片ABCD，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B

落在正方形ABCD的内部，点B的对应点为点M，折痕为AE，再将纸片沿过点A的直

线折叠，使AD与AM重合，折痕为AF，则∠EAF＝度．

操作二：如图②，将正方形纸片沿EF继续折叠，点C的对应点为点N．我们发现，当

点E的位置不同时，点N的位置也不同．当点E在BC边的某一位置时，点N恰好落在

折痕AE上，则∠AEF＝度．

在图②中，运用以上操作所得结论，解答下列问题：

（1）设AM与NF的交点为点P．求证：△ANP≌△FNE；

（2）若AB＝，则线段AP的长为．

23．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90，AB＝5，BC＝3，点D为边AC的中点．动

点P从点A出发，沿折线AB﹣BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P不与

点A、C重合时，连结PD．作点A关于直线PD的对称点A′，连结A′D、A′A．设

点P的运动时间为t秒．

（1）线段AD的长为；

（2）用含t的代数式表示线段BP的长；

（3）当点A′在△ABC内部时，求t的取值范围；

（4）当∠AA′D与∠B相等时，直接写出t的值．

24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝2（x﹣m）2+2m（m为常数）的顶点为A．

（1）当m＝时，点A的坐标是，抛物线与y轴交点的坐标

是；

（2）若点A在第一象限，且OA＝，求此抛物线所对应的二次函数的表达式，并写出

函数值y随x的增大而减小时x的取值范围；

（3）当x≤2m时，若函数y＝2（x﹣m）

2+m的最小值为3，求m的值；

（4）分别过点P（4，2）、Q（4，2﹣2m）作y轴的垂线，交抛物线的对称轴于点M、N．当

抛物线y＝2（x﹣m）

2+2m与四边形PQNM的边有两个交点时，将这两个交点分别记为

点B、点C，且点B的纵坐标大于点C的纵坐标．若点B到y轴的距离与点C到x轴的

距离相等，直接写出m的值．

2021年吉林省长春市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

1．﹣（﹣2）的值为（）

A．B．﹣C．2D．﹣2

【分析】直接根据相反数的定义可得答案．

【解答】解：﹣（﹣2）的值为2．

故选：C．

2．据报道，我省今年前4个月货物贸易进出口总值为52860000000元人民币，比去年同期

增长28.2%．其中52860000000这个数用科学记数法表示为（）

A．0.52861011B．5.2861010

C．52.86109D．5286107

【分析】科学记数法的表示形式为a10

n

的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n

的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相

同．

【解答】解：52860000000＝5.28610

10

．

故选：B．

3．如图是一个几何体的三视图，这个几何体是（）

A．圆锥B．长方体C．球D．圆柱

【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．

【解答】解：由于主视图和俯视图为长方形可得此几何体为柱体，由左视图为圆形可得

为圆柱．

故选：D．

4．关于x的一元二次方程x2

﹣6x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的值可能是（）

A．8B．9C．10D．11

【分析】根据判别式的意义得到△＝（﹣6）

2

﹣4m＞0，然后解关于m的不等式，最后

对各选项进行判断．

【解党外人士座谈会 答】解：根据题意得保安职责 △＝（﹣6）

2

﹣4m＞0，

解得m＜9．

故选：A．

5．如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图．已知A、B两点间的距离为30米，∠A

＝，则缆车从A点到达B点，上升的高度（BC的长）为（）

A．30sin米B．米C．30cos米D．米

【分析】根据sin＝求解．

【解答】解：∵sin＝＝，

∴BC＝30sin米．

故选：A．

6．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，若∠BAC＝35，则∠ACB的大小为（）

A．35B．45C．55D．65

【分析】先根据切线的性质得到∠ABC＝90，然后利用互余计算出∠ACB的度数．

【解答】解：∵BC是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，

∴AB⊥BC，

∴∠ABC＝90，

∴∠ACB＝90﹣∠BAC＝90﹣35＝55．

故选：C．

7．在△ABC中，∠BAC＝90，AB≠AC．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使

△ACD为等腰三角形．下列作法不正确的是（）

A．B．

C．D．

【分析】根据等腰三角形的定义一一判断即可．

【解答】解：A、由作图可知AD是△ABC的角平分线，推不出△ADC是等腰三角形，

本选项符合题意．

B、由作图可知CA＝CD，△ADC是等腰三角形，本选项不符合题意．

C、由作图可知DA＝CD，△ADC是等腰三角形，本选项不符合题意．

D、由作图可知BD＝CD，推出AD＝DC＝BD，△ADC是等腰三角形，本选项不符合题

意．

故选：A．

8．如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，过点A作

x轴的垂线，与函数y＝﹣（x＞0）的图象交于点C，连结BC交x轴于点D．若点A

的横坐标为1，BC＝3BD，则点B的横坐标为（）

A．B．2C．D．3

【分析】作BE⊥x轴于E，则AC∥BE，即可得到△CDF∽△BDE，由题意得出＝允许的反义词

＝，即可CF＝2BE，DF＝2DE，设B（，b），则C（1，﹣2b），代入y＝﹣（x＞0）

即可求得k＝2b，从而求得B的坐标为2．

【解答】解：作BE⊥x轴于E，

∴AC∥BE，

∴△CDF∽△BDE，

∴＝＝，

∵BC＝3BD，

∴＝＝，

∴CF＝2BE，DF＝2DE，

设B（，b），

∴C（1，﹣2b），

∵函数y＝﹣（x＞0）的图象交于点C，

∴﹣k＝1（﹣2b）＝﹣2b，

∴k＝2b，

∴B的横坐标为＝＝2，

故选：B．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

9．分解因式：a2+2a＝a（a+2）．

【分析】直接提公因式法：观察原式a

2+2a，找到公因式a，提出即可得出答案．

【解答】解：a

2+2a＝a（a+2）．

10．不等式组的所有整数解为0、1．

【分析】求出第一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、

大大小小找不到确定不等式组的解集，从而得出答案．

【解答】解：解不等式2x＞﹣1，得：x＞﹣0.5，

则不等式组的解集为﹣0.5＜x≤1，

∴不等式组的整数解为0、1，

故答案为：0、1．

11．将一副三角板按如图所示的方式摆放，点D在边AC上，BC∥EF，则∠ADE的大小为

75度．

【分析】由“两直线平行，同位角性质”得到∠1＝∠E＝45，再根据三角形的外角定

理求解即可．

【解答】解：如图，∠C＝30，∠E＝45，

∵BC∥EF，

∴∠1＝∠E＝45，

∴∠ADE＝∠1+∠C＝45+30＝75，

故答案为：75．

12．如图是圆弧形状的铁轨示意图，半径OA的长度为200米，圆心角∠AOB＝90，则这

段铁轨的长度为100米．（铁轨的宽度忽略不计，结果保留）

【分析】根据圆的弧长计算公式l＝，代入计算即可．

【解答】解：圆弧长是：＝100（米）．

故答案是：100．

13．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形AOB的斜边OA在y轴上，OA＝2，点B

在第一象限．标记点B的位置后，将△AOB沿x轴正方向平移至△A

1

O

1

B

1

的位置，使

A

1

O

1

经过点B，再标记点B

1

的位置，继续平移至△A

2

O

2

B

2

的位置，使A

2

O

2

经过点B

1

，

此时点B

2

的坐标为（3，1）．

【分析】过点B作BP⊥y轴于点P，由△ABO是等腰直角三角形，OA＝2知AP＝OP＝1，

∠AOB＝45，继而得△BPO是等腰直角三角形，据此可知BP＝PO＝1，再根据题意可

得答案．

【解答】解：如图所示，过点B作BP⊥y轴于点P，

∵△ABO是等腰直角三角形，OA＝2，

∴AP＝OP＝1，∠AOB＝45，

∴△BPO是等腰直角三角形，

∴BP＝PO＝1，

由题意知点B

2

的坐标为（3，1），

故答案为：（3，1）．

14．如图，在平面直角坐标系中，点A（2，4）在抛物线y＝ax2

上，过点A作y轴的垂线，

交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于

E、F两点．当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为﹣2+2．

【分析】通过待定系数法求出函数解析式，然后设点C横坐标为m，则CD＝CE＝2m，

从而得出点E坐标为（m，4﹣2m），将点坐标代入解析式求解．

【解答】解：把A（2，4）代入y＝ax

2

中得4＝4a，

解得a＝1，

∴y＝x

2

，

设点C横坐标为m，则CD＝CE＝2m，

∴点E坐标为（m，4﹣2m），

∴m

2

＝4﹣2m，

解得m＝﹣1﹣（舍）或m＝﹣1+．

∴CD＝2m＝﹣2+2．

故答案为：﹣2+2．

三、解答题（本大题共10小题，共78分）

15．（6分小狗图片大全可爱 ）先化简，再求值：（a+2）（a﹣2）+a（1﹣a），其中a＝+4．

【分析】根据平方差公式、单项式乘多项式的运算法则把原式化简，把a的值代入计算

即可．

【解答】解：原式＝a

2

﹣4+a﹣a

2

＝a﹣4，

当a＝+4时，原式＝+4﹣4＝．

16．（6分）在一个不透明的口袋中装有三个小球，分别标记数字1、2、3，每个小球除数字

不同外其余均相同．小明和小亮玩摸球游戏，两人各摸一个球，谁摸到的数字大谁获胜，

摸到相同数字记为平局．小明从口袋中摸出一个小球记下数字后放回并搅匀，小亮再从

口袋中摸出一个小球．用画树状图（或列表）的方法，求小明获胜的概率．

【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，小明获胜的结果有3种，再由概率公式求

解即可．

【解答】解：画树状图如图：

共有9种等可能的结果，小明获胜的结果有3种，

∴小明获胜的概率为＝．

17．（6分）为助力乡村发展，某购物平台推出有机大米促销活动，其中每千克有机大米的

售价仅比普通大米多2元，用420元购买的有机大米与用300元购买的普通大米的重量

相同．求每千克有机大米的售价为多少元？

【分析】设每千克有机大米的售价为x元，则每千克普通大米的售价为（x﹣2）元，根

据数量＝总价单价，结合用420元购买的有机大米与用300元购买的普通大米的重量

相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．

【解答】解：设每千克有机大米的售价为x元，则每千克普通大米的售价为（x﹣2）元，

依题意得：＝，

解得：x＝7，

经检验，x＝7是原方程的解，且符合题意．

答：每千克有机大米的售价为7元．

18．（7分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝4，BD＝8，点E

在边AD上，AE＝AD，连结BE交AC于点M．

（1）求AM的长．

（2）tan∠MBO的值为．

【分析】（1）由菱形的性质可得△AEM∽△CBM，再由＝求解．

（2）由tan∠MBO＝求解．

【解答】解：（1）在菱形ABCD中，

AD∥BC，AD＝BC，

∴△AEM∽△CBM，

∴＝，

∵AE＝AD，

∴AE＝BC，

∴＝＝，

∴AM＝CM＝AC＝1．

（2）∵AO＝AC＝2，BO＝BD＝4，AC⊥BD，

∴∠BOM＝90，AM＝OM＝AO＝1，

∴tan∠MBO＝＝．

故答案为：．

19．（7分）稳定的粮食产量是人民幸福生活的基本保障，为了解粮食产量情况，小明查阅

相关资料得到如下信息：长春市2020年的粮食总产量达到960万吨，比上年增长约9%．其

中玉米产量增长约12%，水稻产量下降约2%，其他农作物产量下降约10%．

根据以上信息回答下列问题：

（1）2020年玉米产量比2019年玉米产量多85万吨．

（2）扇形统计图中n的值为15．

（3）计算2020年水稻的产量．

（4）小明发现如果这样计算2020年粮食总产量的年增长率：＝0，

就与2020年粮食总产量比上年增长约9%不符，请说明原因．

【分析】（1）2020年玉米产量减去2019年玉米产量即可；

（2）1减去另外两个百分数即可求解；

（3）根据水稻产量下降约2%求解即可；

（4）因为式子中的几个百分数基数不同，所以不能这样计算．

【解答】解：（1）792﹣707＝85（万吨），

故答案为：85；

（2）1﹣82.5%﹣2.5%＝15%，

∴n＝15，

故答案为：15；

（3）147（1﹣2%）＝144.06（万吨），

答：2020年水稻的产量为144.06万吨；

（4）正确的计算方法为：（792+144.06+24﹣707﹣147﹣27）（707+147+27）100%

≈9%，

因为题中式子中的几个百分数基数不同，所以不能这样计算．

20．（7分）图①、图②、图③均是44的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个

小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网

格中找一格点M，按下列要求作图：

（1）在图①中，连结MA、MB，使MA＝MB；

（2）在图②中，连结MA、MB、MC，使MA＝MB＝MC；

（3）在图③中，连结MA、MC，使∠AMC＝2∠ABC．

【分析】（1）根据勾股定理得MA＝MB＝．

（2）连接AC，取AC中点M，MA＝MB＝MC＝．

（3）取△ABC内心M，由圆周角定理得∠AMC＝2∠ABC．

【解答】解：如图，

21．（8分）《九章算术》中记载，浮箭漏（图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组

成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速

上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校STEAM小组仿制了一套浮箭漏，并从函数

角度进行了如下实验探究：

【实验观察】实验小组通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，得到如表：

供水时间x（小时）02468

箭尺读数y（厘米）618304254

【探索发现】①建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示供水时间x．纵轴表示箭尺读数

y，描出以表格中数据为坐标的各点．

②观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求

出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由．

【结论应用】应用上述发现的规律估算：

①供水时间达到12小时时，箭尺的读数为多少厘米？

②如果本次实验记录的开始时间是上午8：00，那当箭尺读数为90厘米时是几点钟？（箭

尺最大读数为100厘米）

【分析】【探索发现】①在平面直角坐标系中描出以表格中数据为坐标的各点即可；

②观察上述各点的分布规律，可得它们是否在同一条直线上，设这条直线所对应的函数

表达式为y＝kx+b，利用待定系数法即可求解；

【结论应用】应用上述发现的规律估算：

①利用前面求得的函数表达式求出x＝12时，y的值即可得出箭尺的读数；

②利用前面求得的函数表达式求出y＝90时，x的值，由本次实验记录的开始时间是上午

8：00，即可求解．

【解答】解：可爱的小熊猫 【探索发现】①如图②，

②观察上述各点的分布规律，可得它们是否在同一条直线上，

设这条直线所对应的函数表达式为y＝kx+b，

则，

解得：，

∴y＝6x+6；

结论应用】应用上述发现的规律估算：

①x＝12时，y＝612+6＝78，

∴供水时间达到12小时时，箭尺的读数为78厘米；

②y＝90时，6x+6＝90，解得：x＝14，

∴供水时间为14小时，

∵本次实验记录的开始时间是上午8：00，8：00+14＝22：00，

∴当箭尺读数为90厘米时是22点钟．

22．（9分）实践与探究

操作一：如图①，已知正方形纸片ABCD，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B

落在正方形ABCD的内部，点B的对应点为点M，折痕为AE，再将纸片沿过点A的直

线折叠，使AD与AM重合，折痕为AF，则∠EAF＝45度．

操作二：如图②，将正方形纸片沿EF继续折叠，点C的对应点为点N．我们发现，当

点E的位置不同时，点N的位置也不同．当点E在BC边的某一位置时，点N恰好落在

折痕AE上，则∠AEF＝60度．

在图②中，运用以上操作所得结论，解答下列问题：

（1）设AM与NF的交点为点P．求证：△ANP≌△FNE；

（2）若AB＝，则线段AP的长为2﹣2．

【分析】操作一：由正方形的性质得∠BAD＝90，再由折叠的性质得：∠BAE＝∠MAE，

∠DAF＝∠MAF，即可求解；

操作二：证△ANF是等腰直角三角形，得∠AFN＝45，则∠AFD＝∠AFM＝45+∠

NFE，求出∠NFE＝∠CFE＝30，即可求解；

（1）由等腰直角三角形的性质得AN＝FN，再证∠NAP＝∠NFE＝30，由ASA即可得

出结论；

（2）由全等三角形的性质得AP＝FE，PN＝EN，再证∠AEB＝60，然后由含30角

的直角三角形的性质得BE＝AB＝1，AE＝2BE＝2，AN＝PN＝a，AP＝2PN＝

2a，由AN+EN＝AE得出方程，求解即可．

【解答】操作一：

解：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠C＝∠BAD＝90，

由折叠的性质得：∠BAE＝∠MAE，∠DAF＝∠MAF，

∴∠MAE+∠MAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD＝45，

即∠EAF＝45，

故答案为：45；

操作二：

解：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠B＝∠C＝90，

由折叠的性质得：∠NFE＝∠CFE，∠ENF＝∠C＝90，∠AFD＝∠AFM，

∴∠ANF＝180﹣90＝90，

由操作一得：∠EAF＝45，

∴△ANF是等腰直角三角形，

∴∠AFN＝45，

∴∠AFD＝∠AFM＝45+∠NFE，

∴2（45+∠NFE）+∠CFE＝180，

∴∠NFE＝∠CFE＝30，

∴∠AEF＝90﹣30＝60，

故答案为：60；

（1）证明：∵△ANF是等腰直角三角形，

∴AN＝FN，

∵∠AMF＝∠ANF＝90，∠APN＝∠FPM，

∴∠NAP＝∠NFE＝30，

在△ANP和△FNE中，

，

∴△ANP≌△FNE（ASA）；

（2）由（1）得：△ANP≌△FNE，

∴AP＝FE，PN＝EN，

∵∠NFE＝∠CFE＝30，∠ENF＝∠C＝90，

∴∠NEF＝∠CEF＝60，

∴∠AEB＝60，

∵∠B＝90，

∴∠BAE＝30，

∴BE＝AB＝1，

∴AE＝2BE＝2，

设PN＝EN＝a，

∵∠ANP＝90，∠NAP＝30，

∴AN＝PN＝a，AP＝2PN＝2a，

∵AN+EN＝AE，

∴a+a＝2，

解得：a＝﹣1，

∴AP＝2a＝2﹣2，

故答案为：2﹣2．

23．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90，AB＝5，BC＝3，点D为边AC的中点．动

点P从点A出发，沿折线AB﹣BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P不与

点A、C重合时，连结PD．作点A关于直线PD的对称点A′，连结A′D、A′A．设

点P的运动时间为t秒．

（1）线段AD的长为2；

（2）用含t的代数式表示线段BP的长；

（3）当点A′在△ABC内部时，求t的取值范围；

（4）当∠AA′D与∠B相等时，直接写出t的值．

【分析】（1）由勾股定理求解．

（2）分类讨论点P在AB及BC上运动两种情况．

（3）分别求出点A'落在AB与BC上两个临界值求解．

（4）分类讨论点P在AB及BC上两种情况，通过添加辅助线求解．

【解答】解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得：

AC＝＝4，

∴AD＝AC＝2．

故答案为：2．

（2）当0＜t≤5时，点P在线段AB上运动，PB＝AB﹣AP＝5﹣t，

当5＜t＜8时，点P在BC上运动，PB＝t﹣5．

综上所述，PB＝．

（3）如图，当点A'落在AB上时，DP⊥AB，

∵AP＝t，AD＝2，cosA＝，

∴在Rt△APD中，cosA＝＝＝，

∴t＝．

如图，当点A'落在BC边上时，DP⊥AC，

∵AP＝t，AD＝2，cosA＝，

∴在Rt△APD中，cosA＝＝＝，

∴t＝．

如图，点A'运动轨迹为以D为圆心，AD长为半径的圆上，

∴＜t＜时，点A'在△ABC内部．

（4）如图，0＜t＜5时，

∵∠AA'D＝∠B＝∠A'AD，

∠ADP+∠A'AD＝∠BAC+∠B＝90，

∴∠ADP＝∠BAC，

∴AE＝AD＝1，

∵cosA＝＝＝，

∴t＝．

如图，当5＜t＜8时，

∵∠AA'B＝∠B＝∠A'AD，

∠BAC+∠B＝90，

∴∠BAC+∠A'AD＝90，

∴PE∥BA，

∴∠DPC＝∠B，

∵在Rt△PCD中，CD＝＝2，CP＝8﹣t，tan∠DPC＝，

∴tan∠DPC＝＝＝，

∴t＝．

综上所述，t＝或．

24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝2（x﹣m）2+2m（m为常数）的顶点为A．

（1）当m＝时，点A的坐标是（，1），抛物线与y轴交点的坐标是（0，

）；

（2）若点A在第一象限，且OA＝，求此抛物线所对应的二次函数的表达式，并写出

函数值y随x的增大而减小时x的取值范围；

（3）当x≤2m时，若函数y＝2（x﹣m）

2+m的最小值为3，求m的值；

（4）分别过点P（4，2）、Q（4，2﹣2m）作y轴的垂线，交抛物线的对称轴于点M、N．当

抛物线y＝2（x﹣m）

2+2m与四边形PQNM的边有两个交点时，将这两个交点分别记为

点B、点C，且点B的纵坐标大于点C的纵坐标．若点B到y轴的距离与点C到x轴的

距离相等，直接写出m洗澡怎么读 的值．

【分析】（1）将m＝代入抛物线解析式中，即可得出顶点坐标，再令x＝0，即可求得

答案；

（2）运用勾股定理建立方程求解即可；

（3）分两种情况进行讨论：①当m＜0时，2（2m﹣m）

2+m＝3，解方程即可得出答案；

②当m＞0时，2（m﹣m）

2+m＝3，解方程即可得出答案；

（4）分情况讨论：当m＞0时，若点B在PM边上，点C在MN边上，令y＝2，则2＝

2（x﹣m）2+2m，解方程即可；若点B在PM边上，点C在NQ边上，则2﹣2m＝m+，

解方程即可；若点B在PQ边上，点C在NQ边上，则4＝2﹣2m，不符合题意；当m＜

0时，若点B在NQ边上，点C在PM边上，无解．

【解答】解：（1）当m＝时，y＝2（x﹣）

2+1，

∴顶点A（，1），

令x＝0，得y＝，

∴抛物线与y轴交点的坐标为（0，），

故答案为：（，1），（0，）；

（2）∵点A（m，2m）在第一象限，且OA＝，

∴m

2+（2m）2

＝（）

2

，且m＞0，

解得：m＝1，

∴抛物线的解析式为y＝2（x﹣1）

2+2，当x＜1时，函数值y随x的增大而减小；

（3）∵当x≤2m时，若函数y＝2（x﹣m）

2+m的最小值为3，

∴分两种情况：2m＜m，即m＜0时，或2m＞m，即m＞0时，

①当m＜0时，2（2m﹣m）

2+m＝3，

解得：m＝1（舍）或m＝﹣，

②当m＞0时，2（m﹣m）

2+m＝3，

解得：m＝3，

综上所述，m的值为﹣或3；

（4）如图1，当m＞0时，∵P（4，2）、Q（4，2﹣2m），

∴M（m，2），N（m，2﹣2m），

抛物线y＝2（x﹣m）

2+2m与四边形PQNM的边有两个交点，若点B在PM边上，点C

在MN边上，

∴令y＝2，则2＝2（x﹣m）

2+2m，

∴x＝m+，（x＝m﹣不符合题意，舍去），

∴B（m+，2），C（m，2m），

根据题意，得2m＝m+，

解得：m＝，

若点B在PM边上，点C在NQ边上，

则2﹣2m＝m+，

解得：m＝，

若点B在PQ边上，点C在NQ边上，

则4＝2﹣2m，

解得：m＝﹣1＜0，不符合题意；

当m＜0时，如图2，

若点B在NQ边上，点C在PM边上，

则2﹣2m＝2（x﹣m）

2+2m，

∴x＝m，

∴|m+|＝2或|m﹣|＝2，

解得：m＝﹣3，

综上所述，m的值为或或﹣3．