菱形

BC

A

D

O

菱形的断定和性质之袁州冬雪创作

一、基础知识

（一）菱形的概念

一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

（二）菱形的性质：

1、具有平行四边形的一切性质；

2、菱形四条边都相等；

3、菱形的对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；

4、菱形是轴对称图形；

边角对角线对称性

菱形对边平行；

四边相等

对角相等；

邻角互补

互相垂直平分且

平分对角

轴对称

（三）菱形的断定：

1、一组邻边相等的平行四边形是菱形；

2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；

3、四条边都相等的四边形是菱形；

（四）菱形的面积

1、可以用平行四边形的面积算（S=2

1

底高）

2、用对角线计算（面积的两对角线的积的一半S=2

1

ab)

A

B

C

D

E

二、例题讲解

考点一：菱形的断定

例1：下列命题正确的是（）

（A）一组对边相等，另外一组对边平行的四边形一定是平行四边电影终极格斗

形

（B）对角线相等的四边形一定是矩形

（C）两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形

（D）两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形

操练1：菱形的对角线具有()A．互相平分且不垂直B．互相平分

且相等C．互相平分且垂直D．互相平分、垂直且相等

操练2：如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，M、N分别

是边AB、AD的中点，毗连OM、ON、MN，则下列叙述正确的是

（）

A．△AOM和△AON都是等边三角形B．四边形AMON与四边形ABCD

是位似图形

C．四边形MBON和四边形MODN都是菱形D．四边形MBCO和四边

形NDCO都是等腰梯形

操练3：如图，在三角形ABC中，AB＞AC，D、E分别是AB、AC上

的点，△ADE沿线段DE翻折，使点A落在边BC上，记为A

．若四边

形ADAE

是菱形，则下列说法正确的是()

A．DE是△ABC的中位线B．AA

是B设计院实习总结 C边上的中线

DB

C

A

N

M

O

C．AA

是BC边上的高D．AA

是△ABC的角平分线

操练4：如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为（）

①ACBD②90BAD③ABBC④ACBD

A．①③B．②③C．③④D．①②③

例2：已知AD是△ABC的平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC

于F，则四边形AED祖父的英文 F是什么四边形？请说明来由．

变更：若D是等腰三角形底边BC的中点，DE∥AC交AB于E，DF∥AB

交AC于F，则四边形AEDF是什么中长导管 四边形？请说明来由．

操练1：如图，AD是Rt△ABC斜边上的高，BE平分∠B交AD于G，

交AC于E，过E作EF⊥BC于F，试说明四边形AEFG是菱形．

操练2：如图，E是菱形ABCD边AD的中点，EF⊥AC于点H，交CB延

长线于点F，交AB于点G，求证：AB与EF互相平分.

操练3：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，∠BAC＝60，DE垂直

平分BC，垂足为D，交AB于点E，又点F在DE的延长线上，且AF＝

CE，求证：四边形ACEF是菱形.

考点二：菱形的性质

例1：如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90，AC＝CB，E、F分别是

AC、AB的中点，且∠DEA＝∠ACB＝45，BG⊥AE于G，

求证：（1）四边形AFGD是菱形；

（2）若AC＝BC＝10，求菱形的面积.

A

B

C

D

C

A

D

B

E

F

G

H

G

F

E

D

CB

A

F

E

D

C

B

A

A

B

C

D

F

E

A

B

D

C

F

E

G

F

E

D

C

B

A

操练1：如图春节压岁钱的来历 ，在菱形ABCD中，E是AB中点，且DE⊥AB，AB＝4，

求：（1）∠ABC的度数；

（其实我很幸福 2）菱形ABCD的面积.

例2：如图5，ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，

306ACDBD，．

（1）求证：△ABD是正三角形；

（2）求AC的长（成果可保存根号）．

操练1：若菱形的边长为1cm，其中一内角为60，则它的面积为

()

A．

2

3

cm

2B．23cmC．22cmD．223cm

操练2：若菱形的周长为16cm，两相邻角的度数之比是1：2，则菱

形的面积是（）

（A）43cm（B）83cm（C）163cm（D）203cm

操练3：已知菱形的周长为96㎝，两个邻角的比是1︰2，这个菱形

的较短对角线的长是()

A．21㎝B．22㎝C．23㎝

D．24㎝

例3：如图，将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片对折两次后，

沿所得矩形两邻边中点的连线(虚线)剪下，再打开，得到的菱形的面

O

D

C

B

A

E

DC

B

A

BC

A

D

O

积为()

A．210cmB．220cmC．240cmD．280cm

操练1：菱形的两条对角线分别是12cm、16cm，则菱形的周长是

（）

A．24cmB．32cmC．40cmD．60cm

操练2：若菱形ABCD中，AE垂直平分BC于E，AE＝1cm，则BC的长

是（）

（A）1cm（B）2cm（C）3cm

（D）4cm

操练3:若菱形周长为52cm，一条对角线长为10cm，则其面积为()

A．240cm2B．120cm2C．60cm2D．30cm2

例4:如图，菱形ABCD，E，F分别是BC，CD上的点，∠B＝∠EAF＝

60，∠BAE＝18求∠CEF的度数.

操练1:如图，菱形ABCD中，∠B＝60，AB＝2，E、F分别是

BC．CD的中点，毗连AE、EF、AF，则△AEF的周长为（）

A．

32B．33C．34D．3

操练2：如图，在菱形ABCD中，60A，E、F分别是AB、AD的中

点，若2EF，则菱形ABCD的边长是_____________．

操练3：如图所示，已知菱形ABCD中，E、F分别在BC和CD上，且

∠B=∠EAF=60，∠BAE=15，

求∠CEF的度数.

例5：如图，菱形ABCD是边长为13cm，其中对角

线AC=10cm，

求（1）菱形ABCD的面积；

BC

A

D

O

（2）作BC边上的高AH，求出AH的长度

操练1：如图，在菱形ABCD中，∠ABC与∠BAD

的度数比为1：2，周长是48cm．

求：（1）两条对角线的长度；

（2）菱形的面积．

例6：已知：如图，在菱形ABCD中，E、F分别是

BC、CD上的点，且CE=CF.过点C作CG∥EA交AF

于H，交AD于G，若∠B学习经验交流 AE=25，∠BCD=130，

求∠AHC的度数.

操练1：如图所示，已知菱形ABCD中E在BC

上，且AB=AE，∠BAE=2

1

∠EAD，AE交BD于M，试说明BE=AM.

操练2：如图，菱形ABCD的边长为2，BD＝2，E、F分别是边AD，CD

上的两个动点，且知足AE＋CF＝2．

(1)求证：△BDE≌△BCF；

(2)断定△BEF的形状，并说明来由；

(3)设△BEF的面积为S，求S的取值范

围．

考点三：综合

例1：如图，菱形111

ABCD的边长为1，

1

60B；作211

ADBC于点2

D，以2

AD为一边，做第二个菱形222

ABCD，

使2

60B；作322

ADBC于点3

D，以3

AD为一边做第三个菱形333

ABCD，

使3

60B；依此类推，这样做的第n个菱形nnn

ABCD的边n

AD的长

是．

H

G

F

E

D

C

B

A

例2：菱形ABCD的对角线交于O，AO=1，且∠ABC∶∠BAD=1∶2，∠

ABO=300则下列结论：①．∠ABC=600；②．AC=2；③．BD=4；

④．SABCD=23；⑤菱形ABCD的周长是8，其中正确的有（）

A．①②③④⑤B．①②④⑤C．②③④⑤

D．①②③

例3：如图所示，在RtABC△中，90ABC∠．将

RtABC△绕点C顺时针方向旋转60得到DEC△，点E

在AC上，再将RtABC△沿着AB所在直线翻转180得

到ABF△．毗连AD．

（1）求证：四边形AFCD是菱形；

（2）毗连BE并延长交AD于G，毗连CG，请问：四边形ABCG是什

么特殊平行四边形？为什么？

课后操练:

1、若菱形的边长是它的高的2倍，则它的一个较小内角的度数是.

2、如图1，在菱形ABCD中，AB=5，∠BCD=120，则对

角线AC等于（）

1

D

B

3

A

C

2

B

2

C

3

D

3

B

1D

2

C

1

A

D

F

C

E

G

B

B

A

C

D

A

B

C

D

O

A．20B．15

C．10D．5

3、菱形ABCD中，AE垂直平分BC，垂足为E，AB＝4cm．那末，菱形

ABCD的面积是，对角线BD的长是．

4、如图，在菱形ABCD中，∠A=110，E，F分别是边AB和BC的中

点，EP⊥CD于点P，则∠FPC=（）

A．35B．45C．50D．55

5、已知：如图，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线

EF，交AD于点M，交CD的延长线于点F.

（1）求证：AM=DM；

（2）若DF=2，求菱形ABCD的周长．

A

D

C

E

B

A

D

E

P

C

B

F