资产组合

第二讲资产组合选择理论

本讲主要讲述以下内容：

收益与风险的度量

标准的Markowitz均值—方差模型

推广的风险---收益组合选择模型

1.2收益与风险的度量

1.资产收益（Return,Income,Yield）度量

投资在某项资产上的收益(Return,Income)就是资产价格在一定时间上的绝对

改变量，收益率(Yield)是资产价格的变化率。这里资产指的是一切负债工具、普

通股股票、期权、期货、优先股、房地产、收藏品等。

常见资产价格过程：

无风险资产（银行存款，短期债券）的价格

离散时间n

fn

rPP)1(

0

，

Tn,...,2,1

连续时间





t

duu

t

ePP0

)(

0



，

],0[Tt

；

其中

)(t为t时刻的利息力（定义为

t

t

t

ttt

P

P

tP

PP

t

t









0

lim)(）

特别，利息强度为常数即)(t

时，t

t

ePP

0

；

当nt时，n

f

n

n

rPePP)1(

00

，所以)1ln(

f

r

风险资产（股票，长期债券）的价格

Black-Scholes模型：)(

ttt

dWdtSdS

解上述方程可得：t

Wt

t

eSS)(

0

2

2

1

其中

t

W是概率空间),,(PF上的标准Brown运动（即

t

W是零初值平稳的

独立增量过程，且具有正态分布),0(~tNW

t

）。

股票价格模型的其他形式：带Possion跳的几何Brown运动模型、随机波动

率模型、分式几何Brown运动模型、一般的指数半鞅模型）

离散时间风险证券价格

)1),...(1)(1(

21

0

n

tttT

RRRSS

其中，Ttttt

n

,...,,0

210

是

],0[T

的n等分点，

i

t

R表示时间区间],[

1ii

tt



上的

利息率，通常假设

n

ttt

RRR,...,

21

是独立同分布随机变量。

特别，)1(

01

RSS，R是风险利率，是随机变量。如果证券到期按面值P

兑换，那么该证券在

0

时刻的期望（合理）发行价格为：

)](1[]1[)1(

1111

1

0

R

rR

r

P

R

rR

r

Pf

f

f

f

EERPEB













收益率

设}0;{TtSS

it

是定义在滤子概率空间),)(,,(PFF

Ttt

上的R值随机

过程，

t

F表示市场参与者在t时刻所掌握的有关市场的全部信息，

it

S表示资产i

（如股票或者债券）在t时刻的价格，资产i在第t时期

],1[tt

内的收益率定义为：

1

1

)(







it

ititit

S

DSS

it

R，

Tt,...,2,1

（1.1）

it

D表示第t时期

],1[tt

资产i的红利（债券的利息），通常假设

it

D是确定且为常

数dD

it

。所以某一资产的收益率为在一定时间内（

],1[tt

）单位投资（

1it

D）

获得的总收益（

ititit

DSS



)(

1

）。资产的收益率也是概率空间),)(,,(PFF

Ttt

上

的一个随机过程。

特别，风险资产的价格是几何Brown运动，且股票无红利支付，则股票的瞬时

收益率为：

t

S

dSdWdt

t

t

如果风险资产价格过程为：

)1),...(1)(1(

21

0

n

tttT

RRRSS

其中，假设

n

ttt

RRR,...,

21

是独立同分布随机变量，则该资产在

],0[T

上的收益率

为

1)1),...(1)(1(

21



n

tttT

RRRR

即：





n

i

ttttT

in

RRRRR

1

)1ln()]1),...(1)(1ln[()1ln(

21

由中心极限定理可知，)1ln(

T

R近似服从正态分布。

任一资产（除了无风险资产以外），由于未来收益的不确定性，因而存在有

风险。资产收益率R是随机变量，如果能够知道收益率的概率分布，就可以确定

资产的平均收益率

][RE

。资产收益通常用资产收益率的均值来度量。

通过收集收益率

i

R的历史数据

it

r，

Tt,...2,1

利用数理统计中的估计理论（非

参数估计和参数估计理论），通过对收益率分布的估计，从而可以度量资产未来

的收益和风险。矩估计值为：





T

t

it

T

ii

rRr

1

1

2.资产风险(Risk)的度量

风险（risk）是指风险资产的预期收益的不确定性（概率）。对资产未来收益

的不确定性的度量就是风险度量（RiskMeasure）。资产风险是指风险资产的价格

或收益率的不确定性。度量风险的标准有很多，最简单的风险度量标准是：方差

)(RVar

实际应用中可用矩估计方法，用收益率的样本方差来作为其估计量：







T

i

iit

T

ii

rrRVar

1

2

1

2)()

(



或者修正样本方差







T

i

iit

T

ii

rrRVar

1

2

1

1

2)()

(



推广的风险度量标准

全风险测度(OverallRiskMeasure)：

方差:

)(RVar

标准差:)(RVar

期望绝对偏差:

|)(|RERE

市场风险（系统风险）:

)(

),(

m

mi

RVar

RRCov

i



下滑风险测度(DownsideRiskMeasure)

下偏矩(LowerPartialMoments)n阶下偏矩定义为：

)()()(xdFxqqLPM

X

q

n

n



其中，}{)(xXPxF

X

是资产X收益的分布函数.

1)二阶下偏矩（或半方差）（SLPM)：

dxxFxqxdFxqqSLPM

X

q

X

q)()(2)()()(2



2)一阶下偏矩（FLPM)

dxxFxdFxqqFLPM

X

q

X

q)()()()(



3)零阶下偏矩（ZLPM)

)()(xdFqZLPM

X

q



4)风险价值（ValueatRisk，简记为VaR）

)(1pFVaR

p

即：pVaRXP

p

}{

一定的目标期间内，在给定的置信水平p下，预期的最大损失。如

果资产的分布是对称分布，上述定义等价于pVaRXP

p

1}{

5)条件风险价值（ConditionalValueatRisk,简记为CVaR）

]|[

pp

VaRXXECVaR

6)风险资本（CapitalatRisk，简记为CaR）

)(1

0

pFeXCaRrT

p



7)条件风险资本（ConditionalCapitalatRisk，简记阅兵式观后感 为sCaR）

]|[

0p

rTs

p

VaRXXEeXCaR

8)风险收益(EarningsatRisk,简记为EaR)

]|[][

pp

VaRXXEXEEaR

有关上述不同风险度量之间的关系可参看文献：

JonDanielsson,n,MandiraS,ingRisk

Measures.

KaplanskiG,kMeasuresVersusTraditionalRisk

Measures:lofRisk,2000,4(3).

1.2标准均值—方差资产组合选择模型

1952年，Markowitz在JournalofFinance上发表了“PortfolioSelection”一

文，最先提出用风险资产的预期收益率和收益率的方差（或标准差）来度量风险

资产的收益和风险，利用数理模型研究了资产组合的选择问题---均值—方差资产

组合选择模型。

模型的基本假设

组合分析是在单一时期进行；

资产是无限可分；

收益率概率分布的均值和方差是存在的，可以用参数估计的方法估计；

市场是无摩擦的（无交易费、税收、红利等因素）；

投资者是理性的，即在相同的风险下，追求收益最大化，或者在相同的

收益下追求风险最小。

模型建立

设

i

R表示第i种资产的收益率，是一个随机变量均值方差存在，

ii

rRE)(，

2)(

ii

RVar，

ijji

RRCov),(，记协方差矩阵为)(

ij

，

i

x表示投资在第i

种资产上的份额（在每种资产上分配的比例），0

i

x（不允许卖空），ni,...,2,1，

1

1





n

i

i

x，称





n

i

ii

RxR

1

为由n个资产组成的投资组合，该投资组合的期望收益

和方差分别为

rxrxRExRE

i

n

i

ii

n

i

ip





11

)()(

xxxxRxVarRVar

ij

n

j

ji

n

i

i

n

i

ip











111

2)()(

显然

i

ni

pi

ni

rr







1

1

maxmin

标准均值—方差资产组合选择模型

给定收益率的条件下选择风险最小的投资组合，即指定收益率

p

rx



，求

),...,(

21





n

xxxx使得投资组合的风险xx

p





2最小。

xxxx

ij

n

j

ji

n

i

p

x











11

2min

ts.

pi

n

i

i

rxrx





1

1

1





n

i

i

x

0

i

xni,...,2,1

上述优化问题的最优解称为有效投资组合，对任意给定的投资组合期望收益

水平

p



，都可以得到一个与其相对应的有效投资组合的最小方差2，全部有效

投资组合对应的收益率方差和期望在方差2—均值

p



平面上对应的集合称为

投资组合的有效边界；在有效边界上不同投资者根据自己对风险和收益的偏好不

同，选择各自的最优资产组合。

模型的求解

由拉格朗日乘子法，令

)(2)1(2),,...,(

1

2

1

1

11

2,121pii

n

i

ii

n

i

ij

n

j

ji

n

i

n

rxrxxxxxxL



)(2)1(2

21p

rxIxxx













于是有

0222

21





rIx

x

L

所以有)(

21

1rIx

代入约束条件解得：

p

rrrI







2

1

1

1)()(

1)()(

2

1

1

1





IrII

令：IIA1



，rIB1



，rrC1



，2BAC，解上述线性方程组可得



BC

p



1

，



BA

p



2

所以优化问题的最优解为：

2

1

1

1rIx

对应的最小方差为：

212

1

1

12)(

p

rxIxxxx歌唱祖国简谱歌谱 













)2()(2

1

2CBAx

pp







最优问题解的性质：

1）对任意

p



（

i

ni

pi

ni

rr







1

1

maxmin），有效投资组合得有效边界是

p

2平

面上的一条抛物线。

由于与

p



对应的有效组合



x对应的方差为：

AA

B

p

A

pp

CBAx1

22

1

2)()2()(







由于是正定矩阵，所以

0,0CA

，且又许瓦茨不等式知

02BAC

2）对任意

p



（

i

ni

pi

ni

rr







1

1

maxmin），

A

x1

2)(



，且

A

x1

2)(



的充要条

件是

A

B

p



，此时对应的最优解为

II

Ix

1

1













3）对)max,min(

1

1

i

ni

i

ni

rr





中的任意两个数

21

,，相应的有效解

1



x和

2



x有，

AA

B

A

BArxrxCov1

21

))((),(

21











4）对任意

p



（

i

ni

pi

ni

rr







1

1

maxmin），对应的有效组合



x一定是

A

B

和

B

C

对应的有效组合



x与



x的凸组合即



xppxx)1(

（两基金分离定理）

证明：对任意

p



（

i

ni

pi

ni

rr







1

1

maxmin），对应的有效组合



x可表示为

2

1

1

1



rIx



BxAx

21



且1

21

BA

5）含有无风险资产（债券）

0

R的投资组合

设有1n种证券组成的资产组合（

n

xxx,...,

10

），其中

0

x表示在无风险

资产上的投资，第i种风险资产的收益率为

i

R，

ii

rER令),...,(

21





n

rrrr

并设

Ixxx

n

i

i







11

1

0

，

0



Ix

组合优化问题为：

xxxx

ij

n

j

ji

n

i

p

x











11

2min

ts.

pi

n

i

i

IRrxRrxRx







)(

00

1

00

Ixxx

n

i

i







11

1

0

用拉格朗日乘子法可得，上述优化问题的解为

)2/()()(2

000

1

0

ARBRCIRrRx

p





相应的最小方差：)2/()()(2

00

2

0

2ARBRCRx

p





即为：

ARBRCxR

p

2

000

2)(





注：

0

R

p



是冒风险所得的收益，它相应的风险用)(



x度量。

定义：

)(

0







x

R

p

称为Sharpe比，用符号

RS.

表示，其含义为单位风险所得的收

益。

注：

RS.

反映了风险的收益，它是点),0(

0

R与抛物线

)2()(2

1

2CBAx

pp







上点)),((



x连线的斜率，RS.越大越有效，最大值就是

ARBRCxR

p

2

000

2)(



与抛物线)2()(2

1

2CBAx

pp





的

切点（

tt

,）连线的斜率。

特别当0

0

x的投资正好是

ARBRCxR

p

2

000

2)(



与抛物线)2()(2

1

2CBAx

pp





的

切点（

tt

,）并且

0

0

ARB

BRC

t



，

2

0

2

00

)(

2

ARB

ARBRC

t





相应的最优策略)/()()(

00

1ARBIRrtx

显然可以算出：

)/()()/())(()()())((

0000

ARBRARBIRrtxtxtxRtxVar

t













定理：切点（

tt

,）处，得最优策略

)(tx

满足

)/()())(,(

00

ARBIRrRtxRCov



由上式与)/()())((

00

ARBRrRtxVar



可得

)(

0

))((

))(,(

0

RIRr

t

RtxVar

RtxRCov





上式说明，在每一种盆景 风险资产i上的投资

i

x的平均超额收益

0

Rr

i

与市场超

额收益

0

R

t



成比例，这个比例只与

i

R（第i种风险资产的收益）与Rtx)(



（市

场平均收益）的协方差有关，而且比例系数就是

i

R（第i种风险资产的收益）与

Rtx)(

工龄几个月算一年

（市场平均收益）的统计回归系数。令

))((

))(,(

RtxVar

RtxRCov





就可以360随身wifi怎么用 得到著名的CAMP模型：)(

00

RIRr

t



CAMP模型的统计分析(实证检验)

Sharpe-Lintner形式

用

0

RRz

itit

表示风险资产i的在t时刻的超额收益率，Ni,...2,1

Mt

z表示市场收益率

M

z

在t时刻的值，Tt,...2,1

由

it

z与

Mt

z之间的线性关系可假设计量模型为：

itMtiit

zz，

Tt,...2,1

，

Ni,...2,1

假定a)0

ti

E

，

ijji

Cov)燕窝销售 ,(

ji

jiij





,1

,0

，

Tji,...2,1,

在已知样本数据)(

,Mtt

zz条件下利用最小二乘法就可以得到

,,的估

计值

,

,



。

b)若假设

T

是正态分布，就可以对估计量进行假设检验。主要结论是：

NN~

,~



，

W~



；)

,

(

与



相互独立。

对市场是否满足CAMP模型进行假设检验，即：检验假设

0:

0

H

三种检验方法：

1）已知，用Wald统计量

当0:

0

H时，)(~))/1((

21221

1

NSzTt

MM







2）未知，用T统计量

)(~))/1((

212212NSzTT

MM







构造统计量

)1,(~

)/1(

1

)2(

1

22











NTNF

MM

Sz

T

TN

NT

3）似然比检验

Black形式

如果不用无风险收益率，在CAPM模型中可以用

0M

r――与市场收益率

M

r不相关的组合投资收益率来代替

0

R，不同之处是

0M

r是存在，但不能被观

察到，在模型里把它当未知参数处理，用

it

R和

Mt

r分别表示第i种证券在t

时的收益率，市场组合投资收益率，则CAPM可写为：

itMtiit

rR)(，Tt,...2,1，Ni,...2,1

此时市场计量模型可假设为：

itMtiit

rR)(，

Tt,...2,1

仍然可以用统计方法来估计：，,,

进而还可以对市场是否满足CAMP模型进行假设检验，即：检验假设

0:

0

H

1.2一般均值—方差资产组合选择模型

单阶段Markowitz模型的推广

1）不相关风险资产的简化模型

2

1

22mini

n

i

ip

x

x





ts.

pi

n

i

i

rxrx





1

1

1





n

i

i

x

0

i

xni,...,2,1

实际应用中相当于将xxxx

ij

n

j

ji

n

i











11

规范化，将对称矩阵对角化。

2）单指数资产组合选择模型

风险资产的收益率由一个外在因素I和随机因素决定。

iiii

IbaR，

ni,...,2,1

Iiiiiii

baEEIbaER

22][

iiI

ERRE

3）多指数资产组合选择模型

风险资产的收益率由多种不同外在因素I和随机因素决定。

iMiMiii

IbIbaR,...

11

，ni,...,2,1

M

IiMIiiiMiMiii

bbaEEIbEIbaER,...,...

1

111

22][葛根粉丝

iiI

ERRE

4）带有约束（限制买空卖空）的Markowitz模型

2

1

22mini

n

i

ip

x

x





ts.

pi

n

i

i

rxrx





1

1

1





n

i

i

x

iii

hxlni,...,2,1

5）多目标规划模型

2

1

22min

i

n

i

ip

x

x





pi

n

i

i

x

rxrx





1

max

1





n

i

i

x

0

i

xni,...,2,1

多阶段资产组合选择模型

1）离散事件资产组合选择模型

假设投资者初始资产为1

0

W，按资产组合),...,(

121111

1





n

xxxX投资到

1

n种收益率为),...,(

121111

1

n

rrrR的资产上，期末的财富为：

111

XRW





2）连续时间资产组合选择模型

收益—风险型资产组合选择模型

1）均值—绝对离差模型

2）Sharpe比模型

3）均值—风险（，CVaR,EaR,）型模型