和球

专题4.2与球相关的外接与内切问题

一．方法综述

如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多

面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.考查学生的

空间想象能力以及化归能力。

研究球与多面体的接、切问题主要考虑以下几个方面的问题：

（1）多面体外接球半径的求法，当三棱锥有三条棱垂直或棱长相等时，可构造长方体或正方体.

（2）与球的外切问题，解答时首先要找准切点，可通过作截面来解决.

（3）球自身的对称性与多面体的对称性；

二．解题策略

类型一柱体与球

【例1】（

2020

河南高三（理））已知长方体

1111

ABCDABCD

的表面积为208，

1

18ABBCAA

，

则该长方体的外接球的表面积为（）

A

．116B

．106C

．56D

．53

【举一反三】

1.

（

2020

河南高三模拟）已知三棱柱的底面是边长为3的等边三角形，侧棱垂直于底面且侧棱长为

2

，若

该棱柱的顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）

A

．

7

3

B

．

11

3

C

．

5D

．8

2.

（

2020

安徽高三（理））已知一个正方体的各顶点都在同一球面上，现用一个平面去截这个球和正方体，

得到的截面图形恰好是一个圆及内接正三角形，若此正三角形的边长为

a

，则这个球的表面积为（）．

A

．2

3

4

aB

．23aC

．26aD

．2

3

2

a

3

．（

2020

河南高三（理））有一圆柱状有盖铁皮桶（铁皮厚度忽略不计），底面直径为20cm

，高度为100cm

，

现往里面装直径为10cm

的球，在能盖住盖子的情况下，最多能装（）

（附：21.414,31.732,52.236）

A

．22个

B

．24个

C

．26个

D

．28个

类型二锥体与球

【例2】

5

．已知球

O

的半径为

10

2

，以球心

O

为中心的正四面体的各条棱均在球

O

的外部，若球

O

的

球面被的四个面截得的曲线的长度之和为8，则正四面体的体积为

_________

．

【来源】重庆市2021届高三下学期二模数学试题

【举一反三】

1.（2020四川省德阳一诊）正四面体ABCD的体积为，则正四面体ABCD的外接球的体积为______．

2

．（

2020

宁夏育才中学）《九章算术》是我国古代的数学名著

,

其中有很多对几何体体积的研究

,

已知某囤积

粮食的容器的下面是一个底面积为

32,

高为

h

的圆柱

,

上面是一个底面积为

32,

高为

h

的圆锥

,

若该容器有外

接球

,

则外接球的体积为

3

．（

2020

贵阳高三（理））在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为

4

的正方形，PAD是一个正三

角形，若平面PAD平面ABCD，则该四棱锥的外接球的表面积为（）

A

．

14

3



B

．

28

3



C

．

56

3



D

．

112

3



类型三构造法（补形法）

【例3】已知三棱锥PABC的各个顶点都在球O的表面上，PA底面ABC，ABAC，6AB，

8AC，D是线段AB上一点，且2ADDB.

过点D作球O的截面，若所得截面圆面积的最大值与最小

值之差为25，则球O的表面积为（）

A

．128B

．132C

．144D

．156

【举一反三】

1.（2020宁夏石嘴山模拟）三棱锥中，侧棱与底面垂直，，，且，

则三棱锥的外接球的表面积等于．

2.（2020菏泽高三模拟）已知直三棱柱的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1和，

此三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的体积为

A．B．C．D．

3

．（

2020

贵州高三月考（理））某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A

．

4

3

B

．

5

3

C

．

8

3

D

．

16

3

类型四与球体相关的最值问题

【例4】（

2020

福建高三期末（理））在外接球半径为

4

的正三棱锥中，体积最大的正三棱锥的高h（）

A

．

14

3国庆节观后感

B

．

13

4

C

．

7

2

D

．

16

3

【举一反三】

1.（

2020

广东高三（理））我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，

“

堑堵

”

意指底职场咨询 面为直角

三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而

“

阳马

”

指底面为矩形，且有一侧棱垂直于底面的四棱锥

.

现有一如

图所示的堑堵，

ACBC

，若

1

2AAAB

，当阳马

11

BAACC体积最大时，则堑堵

111

ABCABC

的

外接球体积为（）

A

．

22

B

．

82

3

C

．

142

3

D

．42

2

．（

2020

遵义市南白中学高三期末）已知A，B，C，D四点在同一个球的球面上，6ABBC，

90ABC，若四面体ABCD体积的最大值为

3

，则这个球的表面积为（）

A

．

4B

．8C

．16D

．

32

3

．（

2020

河南高三（理））菱形

ABCD

的边长为

2

，∠

ABC

＝

60

，沿对角线

AC

将三角形

ACD

折起，当三

棱锥

D

－

ABC

体积最大时，其外接球表面积为（）

A

．

15

3

B

．

215

3

C

．

20

9



D

．

20

3



三．强化训练

一、选择题

1

．（

2020

广西高三期末）棱长为

a

的正四面体

ABCD

与正三棱锥EBCD的底面重合，若由它们构成的多

面体

ABCDE

的顶点均在一球的球面上，则正三棱锥EBCD的表面积为（）

A

．2

33

4

a



B

．2

33

6

a



C

．2

33

6

a



D

．2

33

4

a



2、（2020辽宁省师范大学附属中学高三）在三棱锥中，

，则三棱锥外接球的表面积为（）

A．B．C．D．

3

．（

2020

安徽高三期末）如果一个凸多面体的每个面都是全等的正多边形，而且每个顶点都引出相同数目

的棱，那么这个凸多面体叫做正多面体

.

古希腊数学家欧几里得在其著作《几何原本》的卷

13

中系统地研究

了正多面体的作图，并证明了每个正多面体都有外接球

.

若正四面体、正方体、正八面体的外接球半径相同，

则它们的棱长之比为（）

A

．2:1:3B

．2:2:3C

．2:2:1D

．2:2:3

4

．（

2020

北京人大附中高三）如图，在四棱锥

SABCD

中，四边形ABCD为矩形，

23AB

，2AD，

120ASB，SAAD，则四棱锥外接球的表面积为（）

A

．16B

．20C

．80D

．100

5．（2020河南省郑州市一中高三）在三棱锥中，平面，

M是线段上一动点，线段长度最小值为，则三棱锥的外接球的表面积是（）

A．B．C．D．

6、（2020河南省天一大联考）某多面体的三视图如图所示，其中正视图是一个直角边为2的等腰直角三角

形，侧视图是两直角边分别为2和1的直角三角形，俯视图为一矩形，则该多面体的外接球的表面积为（）

A．B．

C．D．

7

．（

2020

江西高三期末（理））如图，三棱锥PABC的体积为24，又90PBCABC，3BC，

4AB，410PB，且二面角PBCA为锐角，则该三棱锥的外接球的表面积为（）

A

．169B

．144C

．185D

．80

8

．（

2019

湖南长沙一中高三）在如图所示的空间几何体中，下面的长方体

1111

ABCDABCD

的三条棱长

4中药虎杖 ABAD，

1

2AA

，上面的四棱锥

1111

PABCD

中

11

DECE

，

1111

PEABCD平面

，1PE，

则过五点A、

B

、C、D、P的外接球的表面积为（）

A

．

311

9

B

．

311

18

C

．

313

9

D

．

313

18

9．三棱锥P—ABC中，底面ABC满足BA=BC，，点P在底面ABC的射影为AC的中点，且该三棱

锥的体积为，当其外接球的表面积最小时，P到底面ABC的距离为（）

A．3B．C．D．

10

．（

2019

河北高三月考）在平面四边形

ABCD

中，

AB

⊥

BD

，∠

BCD=30

，2246ABBD，若将△

ABD

沿

BD

折成直二面角

A-BD-C

，则三棱锥

A-BDC

外接球的表面积是

()

A

．

4B

．

5C

．

6D

．

8

11

．（

2020

梅河口市第五中学高三期末（理））设三棱锥PABC的每个顶点都在球O的球面上，PAB是

面积为3的等边三角形，

45ACB

，则当三棱锥PABC的体积最大时，球O的表面积为（）

A

．

28

3

B

．10C

．

32

3

D

．

12

12.（2020四川省成都外国语学校模拟）已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，

EF，AF折成一个三棱锥P-AEF（使B，C，D重合于P），三棱锥P-AEF的外接球表面积为（）

A．B．C．D．

13

．已知球O夹在一个二面角

l

之间，与两个半平面分别相切于点

,AB

.

若2AB，球心O到该二

面角的棱l的距离为

2

，则球O的表面积为（）

A

．8B

．6C

．

4D

．2

【来源】江西省萍乡市2021届高三二模考试数学（文）试题

14

．已知点

,,ABC

在半径为

2

的球面上，满足1ABAC，3BC，若

S

是球面上任意一点，则三

棱锥SABC体积的最大值为（）

A

．

323

12



B

．

323

6



C

．

233

12



D

．

33

12



15

．已知半球O与圆台OO

有公共的底面，圆台上底面圆周在半球面上，半球的半径为

1

，则圆台侧面积

取最大值时，圆台母线与底面所成角的余弦值为（）

A

．

3

9

B

．

3

27

C

．

3

6

D

．

3

3

16

．（

2020

重庆八中高三）圆柱的侧面展开图是一个面积为216的正方形，该圆柱内有一个体积为

V

的球，

则

V

的最大值为

17

．（

2020

江西高三）半正多面体

(miregularsolid)

亦称

“

阿基米德多面体

”

，如图所示，是由边数不全相同

的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美．将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，

如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它们的边长都相等，其中八个为正三角形，

六个为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体

.

若二十四等边体的棱长为2，则该二十四等边体外

接球的表面积为

18

．（

2020

福建高三期末（理））在棱长为4的正方体

1111

ABCDABCD

中，E，F分别为

1

AA

，BC的

中点，点M在棱

11

BC

上，

111

1

4

BMBC

，若平面FEM交

11

AB

于点N，四棱锥

11

NBDDB

的五个顶点

都在球O的球面上，则球O半径为

19

．（

2020

黑龙江高三（理））设

,,,ABCD

是同一个半径为

4

的球的球面上四点，在ABC中，

6BC,

60BAC

,

则三棱锥DABC体积的最大值为

20

．（

2020

河北承德第一中学高三）正三棱锥

S

－

ABC

的外接球半径为

2

，底边长

AB

＝

3

，则此棱锥的体积

为

21

．（

2020

江西高三（理））已知

P,A,B,C

是半径为

2

的球面上的点，

PA=PB=PC=2

，90ABC，点

B

在

AC

上的射影为

D

，则三棱锥PABD体积的最大值为

22

．已知H是球O的直径AB上一点，:1:3AHHB，AB平面



，H为垂足，



截球O所得截面

的面积为



，则球O的表面积为

__________.

【来源】宁夏固原市第五中学2021届高三年级期末考试家常鲫鱼汤 数学（文）试题

23

．如图，在三棱锥PABC中，PA平面ABC，ABBC，2PAAB，22AC，M是BC

的中点，则过点M的平面截三棱锥PABC的外接球所得截面的面积最小值为

___

24

．若正四棱锥PABCD的底面边长和高均为

8

，

M

为侧棱PA的中点，则四棱锥MABCD外接球的

表面积为

___________.

【来源】山西省运城市2021届高三上学期期末数学（文）试题

25

．已知

P

为球

O

球面上一点，点

M

满足2OMMP中国十大咖啡品牌 ，过点

M

与OP成30的平面截球

O

，截面的面积

为16，则球

O

的表面积为

________.

【来源】广西钦州市2021届高三第二次模拟考试数学（理）试题

26

．如图是数学家GeminadDandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截面是椭圆的模型

(

称为丹德林双球

模型

)

：在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥侧面､截面相切，设图中球

1

O

和球

2

O

的半径

分别为

1

和

3

，

12

8OO

，截面分别与球

1

O担当议论文

和球

2

O

切于点E和F，则此椭圆的长轴长为

___________.

【来源】江苏省盐城市阜宁县2020-2021学年高三上学期期末数学试题

27

．在长方体

1111

ABCDABCD

中，13AB，

5AD

，

1

12AA

，过点

A

且与直线CD平行的平面



将

长方体分成两部分

.

现同时将两个球分别放入这两部分几何体内，则在平面



变化的过程中，这两个球的半

径之和的最大值为

___________.

【来源】江苏省六校2021届高三下学期第四次适应性联考数学试题

28

．设

ABCD，，，

是同一个半径为

4

的球的球面上四点，ABC为等边三角形且其面积为93，则三

棱锥DABC体积的最大值为

___________.

【来源】江苏省南京市秦淮中学2021届高三下学期期初学情调研数学试题

29

．已知四面体ABCD的棱长均为26,,EF分别为棱

,BCBD

上靠近点

B

的三等分点，过

,,AEF

三点的

平面与四面体ABCD的外接球O的球面相交

,

得圆'O，则球O的半径为

___________

，圆'O的面积为

__________

．

【来源】河南省九师联盟2021届高三下学期3月联考理科数学试题