归纳总结法

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数学归纳法总结

数学归纳法总结

一、创设情境，启动思维

情境一、财主儿子学写字的笑话、“小明弟兄三个，大

哥叫大毛……”的脑筋急转弯等;

教师总结：财主的儿子很傻很天真，但他懂一样思想方

法，是什么?以上都是由特殊情况归纳出一般情况的方法

---归纳法，这就是今天的课题.人们通常也会用归纳法思

考问题，小孩也会由此总结出什么年龄人该叫爷爷，什么年

龄人叫阿姨，叫哥哥或姐姐.

情境二：华罗庚的“摸球实验”

1、这里有一袋球共12个，我们要判断这一袋球是白球，

还是黑球，请问怎么判断?

启发回答:

方法一：把它全部倒出来看一看.特点：方法是正确的，

但操作上缺乏顺序性.

方法二：一个一个拿，拿一个看一个.

比如结果为：第一个白球，第二个白球，第三个白

球，……，第十二个白球，由此得到：这一袋球都是白球.

特点：有顺序，有过程.

2、如果想象袋子有足够大容量，球也无限多?要判断这

一袋球是白球，还是黑球，上述方法可行吗?

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情境三:回顾等差数列通项公式推导过程：

设计意图：首先设计情境一,分析情境，自然引出课题

----归纳法，谈笑间进入正题.再通过情境二的交流激发学

生的兴趣，调动学生学习的积极性.情境三点出两种归纳法

的不同特点.通过梳理我们熟悉的一些问题，很自然为本节

课主题与重点引出打下伏笔.

二、师生互动，探究问题

承上启下：以上问题的思考和解决，用的都是归纳法.

什么是归纳法?归纳法特点是什么?上述归纳法有什么不同

呢?

学生回答以上问题，得出结论：

1.归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法.

特点：由特殊→一般;

2.完全归纳法:把研究对象一一都考查到了而推出结

论的归纳法称为完全归纳法;

3.不完全最大的洲 归纳法:根据事物的部分(而不是全部)特例

得出一般结论的推理方法.

在生活和生产实际中，归纳法有着广泛的应用.例如气

象工作者、水文工作者，地震工作者依据积累的历史资料作

气象预测，水文预报，地震预测用的就是归纳法.

4.引导学生举例：

⑴不完全归纳法实例：如欧拉发现立体图形的欧拉公式:

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(V为顶点数,E为棱数,F为面数)

⑵完全归纳法实例：如证明圆周角定理时有什么神话故事 ，分圆心在

圆周角内部、外部及一边上三种情况讨论.

设计意图：从生活走向数学，与学生一起回顾以前学过

的数学知识，并在这里我安排学生举完全归纳法的实例和不

完全归纳法实例，进一步体会归纳意识，同时让学生感受到

我们以前的学习中其实早已接触过归纳法，并引导学生积极

投入到探寻论证方法过程的氛围中.

三、借助史料,引申思辨

问题1：已知=(n∈N)，

(1)分别求;;;.

(2)由⑴你会有怎样的一个猜想?这个猜想正确吗?

问题2：费马(Fermat)是17世纪法国著名的数学家，

他是解析几何的发明者之一，是对微积分的创立作出贡献最

多的人之一，是概率论的创始者之一，他对数论也有许多贡

献.他曾认为，当n∈N时，一定都是质数，这是他对n=0，

1，2，3，4作了验证后得到的.后来，18世纪伟大的瑞士科

学家欧拉(Euler)却证明了=4294967297=6700417641，

从而否定了费马的推测.没想到当n=5这一结论便不成立.

教师总结:有人说，费马为什么不再多算一个数呢?今

天我们是无法回答的.但梦到死去的奶奶 是要告诉同学们，失误的关键不在

于多算一个数上!

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问题3：,当n∈N时，是否都为质数?

验证：f(0)=41，f(1)=43，f(2)=47，f(3)=53，f(4)=61，

f(5)=71，f(6)=83，f(7)=97，f(8)=113，f(9)=131，

f(10)=151，…，f(39)=1601.但是f(40)=1681=，是合数.

承上启下：这里算了39个数不算少了吧，但还是不行!

我们介绍以上两个资料，不是说世界级大师还出错，我们有

错就可以原谅，也不是说归纳法不行，不去学了，而是要找

出运用归纳法出错的原因，并研究出对策来,寻求数学证

明.

教师设问：,不完全归纳法为什么会出错?如何弥补不足?

怎么给出证明呢?

设计意图：在生活引例与已学数学知识的基础上，进一

步引导学生看数学史料，能够让学生多方位多角度体会归纳

法，感受使用归纳法的普遍性.同时引导学生进行思辨：在

数学中运用不完全归纳法常常会得到错误的结论，不管是我

们还是数学大师都有可能如此家务劳动内容 .那么，不完全归纳法价值体

现在哪里?不足之处如何去弥补呢?结论正确性怎样给出证

明?学生一定会带着许多问题进入下一阶段探究.

四、实例再现，激发兴趣

1、演示多米诺骨牌游戏视频.

师生共同探讨多米诺骨牌全部依次倒下的条件：

⑴第一块要倒下;

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⑵当前面一块倒下时，后面一块必须倒下;

当满足这两个条件后，多米诺骨牌全部都倒下.

再举例：再举几则生活事例：推倒自行车,早操排队对

齐等.

2、学生类比多米诺骨牌依顺序倒下的原理，探究出证

明有关正整数命题的方法(建立数学模型).

设计意图：布鲁纳的发现学习理论认为，“有指导的发

现学习”强调知识发生发展过程.这里通过类比多米诺骨牌

过程，让学生发现数学归纳法的雏形，是一种再创造的发现

性学习.另外，这个环节里，我在培养学生大胆猜想、类比

概括能力方面实践的不够好.应该让学生在类比多米诺骨牌

游戏的基础上说出数学归纳法原理，教师给予肯定和补充即

可。

事实上，情境的设计都是为学生更好的知识迁移而服务

的。

概括能力是思维能力的核心.鲁宾斯坦指出：思维都是

在概括中完成的.心理学认为“迁移就是概括”，这里知识、

技能、思维方法、数学原理的迁移，突破口就是学生的概括

过程.

五、类比联想，形成概念

1、类比多米诺骨牌过程,证明等差数列通项公式(师

生共同完成,教师强调步骤及注意点)

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(1)当n=1时等式成立;

(2)假设当巴西雕像 n=k时等式成立,即,

则=,即n=k+1时等式也成立.

于是,我们可以下结论：等差数列的通项公式对任何

n∈都成立.

2.数学归纳法原理(学生表述,教师补正)：

(1)(递推奠基)：n取第一个值(例如)时命题成立;

(2)(递推归纳)：假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论

正确;(归纳假设)

利用它证明当n=k+1时结论也正确.(归纳证明)

由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n

都正确，这种证明方法叫做数学归纳法.

3、数学归纳法的本质：无穷的归纳→有限的演绎(递推

关系)

设计意图：至此，由生活实例出发，与学生一起解析归

纳原理,揭示递推过程.教师强调数学归纳法特点.数学归

纳法实际上是一种以数学归纳法原理为依据的演绎推理，它

将一个无穷的归纳过程转化为五岁儿童故事 一个有限步骤的演绎过程，是

处理自然数有关问题的有力工具，一种具普遍性的方法.

六、讨论交流，深化认识

例1、数列中,=1,(n∈),通项公式是什么?你是

怎么得到的?

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探讨一：观察数列特点，变形解出.

探讨二：先计算，，的值，再推测通项的公式,最

后用数学归纳法证明结论.

设计意图：通过典型例题使学生探究尝试，一方面体验

“观察—归纳—猜想—证明”完整过程，既能巩固归纳法和

数学归纳法，也能使他们体验数学方法，培养学生独立研究

数学问题的意识和能力.不同的方法也体现解决问题的灵活

性.

七、反馈练习,巩固提高

(请两位同学板演以下两题，教师指正)

1、用数学归纳法证明：1+3+5+…+(2n-1)=.

2、首项是，公比是q的等比数列的通项公式是.

3、用数学归纳法证明：时，下列推证是否正确，说出

理由?

证明：假设时，等式成立就是成立那么=这就是说当

时等式成立，

所以时等式成立.

4、判断下列推证是否正确，若是不对，如何改正.

求证：

证明：①当n=1时，左边=右边=，等式成立.

②设n=k时，有

那么，当n=k+1时，有，即n=k+1时，命题成立

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根据①②可知，对n∈N*，等式成立.

设计意图：练习题1，2的证明难度不大，套用数学归

纳法的证明步骤不难解答，通过这两个练习能看到学生对数

学归纳法证题步骤的掌握情况.这样既可以检验学生的学习

水平，保证不盲目拔高，同时不冲淡本节课的重点，对例题

是一个很好的对比与补充.通过3，4的易错辨析，进一步体

会数学归纳法证题时的两个步骤、一个结论，“递推基础不

可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉”.

八、总结归纳，加深理解

1、本节课的中心内容是归纳法和数学归纳法;

2、归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，它可以分

为完全归纳法和不完全归纳法两种，枚举法仅局限于有限个

元素，而不完全归纳法得出的结论不一定具有可靠性，数学

归纳法属于完全归纳法;

3、数学归纳法作为一种证明方法，其基本思想是递推

(递归)思想，使用要点可概括为：两个步骤一结论，递推基

础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉;

4、本节课所涉及到的数学思想方法有：递推思想、类

比思想、分类思想、归纳思想、辩证思想.

九、布置作业,课外延伸

十、书面作业：见教材P56

课后思考题：

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1.是否存在常数a、b、c使得等式：

对一切自然数n都成立并证明你的结论.

2.是否存在常数a、b、c，使得等式1

对一切自然数n都成立?并证明你的结论

(a=3,b=11,c=10)

设计意图:思考题则起着承上启下的作用,它既是

“观察—归纳—猜想—证明”的完整思维探究过程的再体

验，也是对下节课内容的铺垫与伏笔.